Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán liên quan đến Phép đối xứng trục. Thông qua các ví dụ minh học có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ dễ dàng nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.
Cho đường thẳng d. Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó. Biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’, được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d (hay là phép đối xứng trục) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd.
Nhận xét:
Với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d hay M’=Đd(M)=(x’;y’) thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\\
y' = - y
\end{array} \right.\)
Với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d hay M’=Đd(M)=(x’;y’) thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = - x\\
y' = y
\end{array} \right.\)
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.
Định nghĩa:
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó, tức là Đd(H)=H.
Cho điểm M(1;3). Tìm tọa đô M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy, rồi tìm tọa độ của M’’ là ảnh của M’ qua phép đối xứng trục Ox.
ĐOy(M)=M’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - x = - 1\\y' = y = 3\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 1;3).\)
ĐOx(M’)=M’’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = x' = - 1\\y'' = - y' = - 3\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 1; - 3).\)
Cho đường tròn (C): \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4.\) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh ủa đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C), I’ và R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C’).
Khi đó ta có: \(R' = R = 2\) và I’=ĐOx(I).
I’=ĐOx(I)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I} = 1\\{y_{I'}} = - {y_I} = - 2\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 4.\)
Cho \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3}.\) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Gọi \(M(x,y) \in d,\) khi đó ĐOy(M)=M’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right. \Rightarrow M( - x';y').\)
\(M \in d \Rightarrow \frac{{ - x' - 1}}{2} = \frac{{y' + 2}}{3} \Leftrightarrow 3x' + 2y' + 7 = 0\)
Vậy phương trình của d’ là: \(3x + 2y + 7 = 0.\)
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán liên quan đến Phép đối xứng trục. Thông qua các ví dụ minh học có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ dễ dàng nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 1 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong các hình sau đây, hình nào có 4 trục đối xứng?
Cho hai đường thẳng phân biệt d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành d’?
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 3x-2y+1=0. Ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 11 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 11 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 11 SGK Hình học 11
Bài tập 1.6 trang 16 SBT Hình học 11
Bài tập 1.7 trang 16 SBT Hình học 11
Bài tập 1.8 trang 16 SBT Hình học 11
Bài tập 1.9 trang 16 SBT Hình học 11
Bài tập 1.10 trang 16 SBT Hình học 11
Bài tập 7 trang 13 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 8 trang 13 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 9 trang 13 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 10 trang 13 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 11 trang 14 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Trong các hình sau đây, hình nào có 4 trục đối xứng?
Cho hai đường thẳng phân biệt d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành d’?
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 3x-2y+1=0. Ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là:
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương tình 3x-y+2=0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Viết phương trình ảnh của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0\) qua phép đối xứng trục Oy.
Cho hình vuông ABCD tâm I. gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh DA, AB, BC, CD. Phép đối xứng trục AC biến:
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-1;3). Phép đối xứng trục Ox biến M thành M’ thì tọa độ M’ là:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình : x - 2y + 4 = 0. Phép đối xứng trục Ox biến d thành d’ có phương trình:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: (x - 3)2 + (y - 1)2 = 6. Phép đối xứng trục Oy biến (C) thành (C’) có phương trình:
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1;-2) và B(3;1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(3x-y+2=0\). Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Trong các chữ cái sau, chữ nào có trục đối xứng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3;−5), đường thẳng d có phương trình 3x+2y−6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình: x2+y2−2x+4y−4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x−5y+7 = 0 và đường thẳng d′ có phương trình 5x−y−13 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến d thành d′
Tìm các trục đối xứng của hình vuông.
Cho hai đường thẳng c, d cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy dựng điểm C trên c, điểm D trên d sao cho tứ giác ABCD là hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy (không cần biện luận).
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d nhưng nằm cùng phía đối với d. Tìm trên d điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến A và B là bé nhất.
Qua phép đối xứng trục Đa (a là trục đối xứng), đường thẳng d biến thành đường thẳng d′. Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a. Khi nào thì d song song với d′?
b. Khi nào thì d trùng với d′ ?
c. Khi nào thì d cắt d′? Giao điểm của d và d′ có tính chất gì ?
d. Khi nào dd vuông góc với d′?
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có phương trình:
\(\begin{array}{l}
({C_1}):{x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0\\
({C_2}):{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0
\end{array}\)
Viết phương trình ảnh của mỗi đường tròn trên qua phép đối xứng có trục Oy
Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên Ox và điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất
Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn và điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định
Hướng dẫn. Khi BC không phải là đường kính, gọi là giao điểm của đường thẳng AH với đường tròn . Chứng minh rằng đối xứng với qua đường thẳng BC
Chỉ ra trục đối xứng (nếu có) của mỗi hình sau đây (mỗi hình là một từ bao gồm một số chữ cái):
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số chẵn luôn có trục đối xứng
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Gọi A'(a,b) và B'(c,d) lần lượt là ảnh của A và B qua phép đối xứng trục qua trục Oy
\(\eqalign{
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = - 1 \hfill \cr
b = 2 \hfill \cr} \right.;\,\,\,\left\{ \matrix{
c = - 5 \hfill \cr
d = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow A'( - 1,2);\,\,B'( - 5,0) \cr} \)
Câu trả lời của bạn
Gọi A', B' là ảnh của A, B qua phép đối xứng qua trục Ox.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = {x_A} = 1\\
{y_{A'}} = - {y_A} = - \left( { - 2} \right) = 2
\end{array} \right.\\ \Rightarrow A'\left( {1;2} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x_{B'}} = {x_B} = 3\\
{y_{B'}} = - {y_B} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {3; - 1} \right)
\end{array}\)
Do đó \(A' = (1;2), B' = ( 3;-1)\).
Ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox là đường thẳng A'B'.
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{A'B'}}} = \left( {3;2} \right)\) là VTPT của A'B'.
A'B' đi qua A'(1;2) nên có phương trình:
3(x-1)+2(y-2)=0 hay 3x+2y-7=0.
Câu trả lời của bạn
Ta thấy \(\frac{1}{5} \ne \frac{{ - 5}}{{ - 1}}\) nên \(d\) và \(d’\) không song song với nhau.
Do đó trục đối xứng \(\Delta\) của phép đối xứng biến \(d\) thành \(d’\) chính là đường phân giác của góc tạo bởi \(d\) và \(d’\).
Gọi M(x;y) bất kì thuộc đường phân giác \(\Delta\) của d và d'. Khi đó,
Khoảng cách từ M\((x;y)\) thuộc \(\Delta\) đến \(d\) và \(d’\) là bằng nhau
Nên ta có: \(\dfrac{{\left| {x - 5y + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 25} }} = \dfrac{{\left| {5x - y - 13} \right|}}{{\sqrt {25 + 1} }} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 5y + 7 = 5x - y - 13\\
x - 5y + 7 = - \left( {5x - y - 13} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 4x - 4y + 20 = 0\\
6x - 6y - 6 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + y - 5 = 0\\
x - y - 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Từ đó tìm được hai phép đối xứng qua các trục:
\(\Delta_1\) có phương trình \(x+y-5=0\)
\(\Delta_2\) có phương trình \(x-y-1=0\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M’\), \(d’\) và \((C’)\) theo thứ tự là ảnh của \(M\), \(d\) và \((C)\) qua phép đối xứng qua trục \(Ox\).
Khi đó \(M’=(3;5)\).
Để tìm \(d’\) ta viết biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục \(Ox:\left\{ \begin{array}{l}x' = x\\y' =- y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y =- y'\end{array} \right.\)(1).
Thay (1) vào phương trình của đường thẳng \(d\) ta được \(3x’-2y’-6=0\). Từ đó suy ra phương trình của \(d’\) là \(3x-2y-6=0\).
Thay (1) vào phương trình của \((C)\) ta được \({(x’)}^2+{(y’)}^2-2x’-4y’-4=0\). Từ đó suy ra phương trình của \((C’)\) là \({(x-1)}^2+{(y-2)}^2=9\).
Cũng có thể nhận xét \((C)\) có tâm là \(I(1;-2)\), bán kính bằng \(3\), từ đó suy ra tâm \(I’\) của \((C’)\) có tọa độ \((1;2)\) và phương trình của \((C’)\) là \({(x-1)}^2+{(y-2)}^2=9\).
Câu trả lời của bạn
.
Câu trả lời của bạn
Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d sao cho \(\left|MA-MB\right|\) đạt giá trị lớn nhất
Câu trả lời của bạn
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d
- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .
- Thật vậy : \(\left|MA-MB\right|=\left|MA'-MB\right|=A'B\)
. Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó : \(\left|M'A-M'B\right|=\left|M'A'-M'B\right|\le A'B\)
Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng, nghĩa là M trùng với M’.
Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó . Hãy tìm điểm B trên Ox, điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất .
Câu trả lời của bạn
- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox
- Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm
- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm .
Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) .
Gọi P là chu vi tam giác ABC - do từ (1) và (2) - thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’
Cho tam giác ABC có trực tâm H
a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng nhau
b/ Gọi \(O_1;O_2;O_3\) là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm \(O_1;O_2;O_3\) bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu trả lời của bạn
a/ Giả sử \(O_1\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì \(O_1\) chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau . Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) .
b/ Ta hoàn toàn chứng minh được \(O_1;O_2;O_3\) là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB . Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam giác \(O_1;O_2;O_3\)
Trong mp tọa độ Oxy a) phép đối xứng trục biến A(2;1) thành A'(2;5) tìm trục đối xứng
b) phép đối xứng trục biến M(1;-4) thành M'(-4;1) tìm trục đối xứng
Câu trả lời của bạn
mk làm câu a bn làm câu b tương tự cho quen nha .
a) đặc đường thẳng \(\Delta\) là đường thẳng biểu diển trục đối xứng cần tìm .
ta có : \(\Delta\) là đường trung trực của \(AA'\)
\(\Rightarrow\Delta\) đi qua trung điểm \(I\left(2;3\right)\) của \(AA'\) và có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{AA'}=\left(0;4\right)\)
\(\Rightarrow\left(\Delta\right):0\left(x-2\right)+4\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow4y-12=0\)
vậy trục đối xứng biến \(A\) thành \(A'\) là \(\left(\Delta\right):4y-12=0\)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(3x-2y-6=0\)
a) Viết phương trình của đường thẳng \(d_1\) là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Oy
b) Viết phương trình của đường thẳng \(d_2\) là ảnh của d qua phép đối xứng qua đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(x+y-2=0\)
Câu trả lời của bạn
a) \(d_1:3x+2y+6=0\)
b) Giao của d và \(\Delta\) là \(A\left(2;0\right)\). Lấy \(B\left(0;-3\right)\) thuộc d. Ảnh của B qua phép đối xứng qua đường thẳng \(\Delta\) là \(B'\left(5;2\right)\). Khi đó d' chính là đường thẳng AB':\(2x-3y-4=0\)
cho 2 điểm B , C cố định nằm trên đường tròn (O ; R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên 1 đường tròn cố định .
Hướng dẫn : khi BC không phải là đường kính , gọi H' là giao điểm của đường thẳng AH với đường tròn (O ; R) . Chứng minh rằng H đối xứng với H' qua đường tròn BC .
Câu trả lời của bạn
cho 2 điểm B , C cố định nằm trên đường tròn (O ; R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên 1 đường tròn cố định .
lấy đường kính AH' hãy chứng minh H và H' đối xứng qua trung điểm I của BC (tức là chứng minh BHCH' là hình bình hành), dễ thôi. H đối xứng với H' qua I mà H' thuộc (O;R) suy ra H thuộc (I;R).
hàm chẵn thì f(x)=f(-x), lấy 2 điểm (-x;b) và (x;b) , hai điểm có trung điểm là (0;b) thuộc x=0 với mọi x vậy đối xứng qua trục Oy.
chứng minh rằng đồ thi của hàm số chẵn luôn có trục đối xứng .
Câu trả lời của bạn
Cho hàm số y=f(x) là một hàm số chẵn, khi đó f(-x) = f(x)
Tức là nếu điểm M(x,y) thuộc đồ thị y = f(x) thì điểm M'(-x,y) là ảnh của M cũng thuộc đồ thị hàm y = f(x). Như vậy , ta có : x' = -x và y' = y
(x',y' lần lượt là hoành độ và tung độ của điểm M'). Đây là biểu thức của phép đối xứng trục Oy, vậy đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
Cho 2 đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d'?
Câu trả lời của bạn
Phép đối xứng qua mặt phẳng chứa đường phần goác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau d, d’ và vuông góc với mp (d, d’) biến d thành d’. vì hai dường thẳng cắt nhau d, d’ có hai phân giác nên có hai phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d’.
1. Hình gồm 2 đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng. A. Một. B. Không có. C. Vô số. D. Hai. 2. Có bao nhiêu phép tinh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó A. Một B. Vô số C. Hai D. Không có 3. Cho 2 đường thẳng song song d và m. Có bao nhiêu phép vị tự tỉ số k= 100 biến đường d thành m . A. Ko có phép nào B. Có duy nhất 1 phép C. Có hai phép D. Vô số
Câu trả lời của bạn
Câu 1C, 2D, 3B
1a: trục đx là đường nối tâm 2 đường tròn
2a phép tịnh tiến \(\underset{v}{\rightarrow} \left ( 0;0 \right )\) biến đường tròn thành chính nó
3d
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *