Sau khi nhắc lại kiến thức về hàm số bậc nhất đã từng học ở lớp dưới, chúng ta đã hiểu hơn về khái niêm của hàm số bậc nhất, cách vẽ đồ thị phương trình bậc nhất, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng... Bài học này sẽ giúp các em củng cố và ôn tập nội dung chính của Hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất là hàm số được viết dưới dạng \(y=ax+b(a\neq 0)\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi a dương.
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi a âm.
Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng:
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Song song với đường thẳng \(y=ax\), và cũng chính là đường thẳng \(y=ax\) nếu \(b=0\)
Chúng ta có 3 vị trí của hai đường thẳng \(y=ax+b;y=a'x+b'(a;a'\neq 0)\)
Song song: \(\left\{\begin{matrix} a=a'\\ b\neq b' \end{matrix}\right.\)
Trùng nhau: \(\left\{\begin{matrix} a=a'\\ b= b' \end{matrix}\right.\)
Cắt nhau: \(a\neq a'\)
Lưu ý: Đối với vị trí cắt nhau, ta cũng có trường hợp đó là hai đường thẳng vuông góc với nhau
khi đó: \(a.a'=-1\)
Về phương trình đường thẳng dạng chuẩn đó là \(y=ax+b(a\neq 0)\), ta có hệ số góc của phương trình này chính là \(a\)
Đôi khi, phương trình đường thẳng được viết dưới dạng \(ax+by+c=0\)
Thì ta sẽ biến đổi một chút thành dạng chuẩn:
\(ax+by+c=0(b\neq 0)\)\(\Leftrightarrow by=-ax-c\)\(\Leftrightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\); hệ số góc của phương trình này chính là \(\frac{-a}{b}\).
Bài 1: Cho hàm số \(y=ax-2\). Xác định hệ số góc của hàm số đó, biết rằng hàm số đi qua điểm \(A(2;4)\). Vẽ đồ thị hàm số đó trên trục tọa độ.
Hướng dẫn: Do hàm số đi qua điểm \(A(2;4)\) nên tọa độ của điểm A cũng thuộc đồ thị hàm số.
Thế hoành độ và tung độ của điểm A vào hàm số, ta được:
\(4=a.2-2\)\(\Leftrightarrow a=3\)
Vậy, hàm số được cho có dạng: \(y=3x-2\) với hệ số góc \(a=3\)
Vẽ đồ thị:
Hàm số qua các điểm: \(A(2;4)\); \(B(0;-2)\)
Bài 2:
a) Với giá trị nào của m thì hàm số \(y=(m-2)x-6\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
b) Với các giá trị nào của n thì hàm số \(y=(4-n)x+2017\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
Hướng dẫn:
a) Để hàm số \(y=(m-2)x-6\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì hệ số góc \(a>0\)
Tức là \(m-2>0\Leftrightarrow m>2\)
Vậy \(m>2\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
b) Để hàm số \(y=(4-n)x+2017\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) thì hệ số góc \(a<0\)
Tức là \(4-n<0\Leftrightarrow n>4\)
Vậy \(n>4\) thì hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
Bài 3: Xác định các hệ số a, b để hai hàm số sau: \(y=ax+(b+3)\) và \(y=(4-a)x+(b+10)\)
a) Vuông góc
b) Song song
c) Trùng nhau
Hướng dẫn:
Để các hàm số trên là hàm số bậc nhất, trước hết hệ số góc khác 0
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\neq 0\\ a\neq 4 \end{matrix}\right.\)
a) Để hai hàm số vuông góc với nhau, ta có:
\(a(4-a)=-1\Leftrightarrow a^2-4a-1=0\)
\(\Leftrightarrow a=2+\sqrt{5}\) hoặc \(a=2-\sqrt{5}\) thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.
b) Để hai hàm số song song với nhau, ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a=4-a\\ b+3\neq b+10 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ 0.b\neq 7 \end{matrix}\right.\)
Vậy \(a=2\) thì hai đường thẳng song song với nhau.
c) Để hai hàm số trùng nhau, ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a=4-a\\ b+3=b+10 \end{matrix}\right.\)
Không thể làm cho \(b+3=b+10\) nên hai đường thẳng này không thể trùng nhau với mọi hệ số a, b.
Bài 4: Vẽ các đồ thị sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ
\(y=x+2\)
\(y=2x-1\)
\(y=3-x\)
Chứng tỏ rằng tam giác tạo bởi 3 điểm là 3 tọa độ giao nhau của 3 đường thẳng trên là một tam giác vuông.
Hãy dùng đồ thị kiểm chứng lại.
Hướng dẫn:
Gọi đồ thị \(y=x+2\) là \(d_1\), \(y=2x-1\) là \(d_2\), \(y=3-x\) là \(d_3\)
Hàm số \(d_1\) qua \(A(0;2);B(1;3)\)
Hàm số \(d_2\) qua \(C(0;-1);D(2;3)\)
Hàm số \(d_3\) qua \(E(0;3);F(3;0)\)
Vẽ đồ thị:
Dễ thấy bằng đồ thị, Tam giác MNP vuông tại N.
Vì N là giao điểm của \(d_1\) và \(d_3\)
Ta có tích hệ số góc của \(d_1\) và \(d_3\) là \(1.(-1)=-1\)
Bài 5: Vẽ đường thẳng \(y=6-x\) trên mặt phẳng tọa độ.
Chứng tỏ đường thẳng tạo với hai trục tọa độ và gốc tọa độ thành một tam giác vuông cân. Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông cân ấy.
Hướng dẫn:
Đường thẳng \(y=6-x\) đi qua các điểm \(A(1;5), B(2;4)\)
Chúng ta tìm điểm cắt trục tung của đường thẳng đó là điểm \(C(0;6)\)
Điểm cắt trục hoành là điểm \(D(6;0)\)
Ta có độ lớn đại số của \(OC=OD=6(dvdd)\)
Vậy tam giác OCD vuông cân tại O.
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông cân OCD, ta tìm được \(CD=\sqrt{OD^2+OC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}(dvdd)\)
Vậy, Chu vi của tam giác OCD là \(OC+OD+CD=12+6\sqrt{2}(dvdd)\)
Diện tích tam giác OCD là \(\frac{1}{2}OD.OC=\frac{1}{2}.6.6=18(dvdt)\)
Nội dung bài học đã giới thiệu đến các em quy tắc và tính chất của phép Ôn tập chương Hàm số bậc nhất. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 2 Bài 6 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 2 Bài 6 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 2 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho hàm số bậc nhất \(y=ax+3\). Xác định hệ số góc a biết hàm số qua điểm \(A(2;2)\)
Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB có \(A(2;1);B(1;3)\) có phương trình là:
Phương trình đường thằng có thể phù hợp với đồ thị sau là:
Cho hai đường thẳng \(y=mx+4\) và \(y=(m-1)x+3\)
Giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc với nhau là:
Không vẽ đồ thị, hãy cho biết đa giác được tạo bởi 4 đường thẳng sau là hình gì?
\(d_1:y=2x+1;d_2:y=2x-3;d_3: y=\frac{-1}{2}x+6;d_4:y=\frac{-1}{2}x-1\)
Với giá trị nào của m thì ba hàm số sau đây chỉ có 2 giao điểm?
\(d_1: y=2x-3; d_2: y=2x+m; d_3: y=5x-m^2\)
a. Với những giá trị nào của m thì hàm số y = (m + 6)x – 7 đồng biến?
b. Với những giá trị nào của k thì hàm số y = (-k + 9)x – 7 nghịch biến?
Với những giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số:
y = 12x + (5 – m) và y = 3x + (3 + m)
cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Tìm giá trị của a để hai đường thẳng:
y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau
Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng sau trùng nhau?
y = kx + (m – 2)
y = (5 – k)x + (4 – m)
Cho đường thẳng y = (1 – 4m)x + m – 2 (d)
a. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ?
b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn? Một góc tù?
c. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng 3/2
d. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ bằng 1/2
Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ≠ 2). (d)
Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2), B(3; -4);
b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - √2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 + √2.
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 1/2x - 3/2;
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = (-3)/2x + 1/2;
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x – 3.
a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
y = 3x + 6; (1) y = 2x + 4 (2)
y = x + 2; (3) y = 1/2x + 1. (4)
b) Gọi giao điểm của các đường thẳng (1), (2), (3), (4) với trục là A và với trục tung lần lượt là B1, B2, B3, B4 ta có (B1 Ax) = α1; ∠(B2 Ax) = α2; ∠(B3 Ax) = α3; ∠(B4 Ax) = α4. Tính các góc α1, α2, α3, α4.
(Hướng dẫn: Dùng máy tính bỏ túi CASIO fx – 220 hoặc CASIO fx – 500A hoặc CASIO fx – 500MS… Tính tgα1, tgα2, tgα3, tgα4 rồi tính ra các góc tương ứng).
c) Có nhận xét gì về độ dốc của các đường thẳng (1), (2), (3) và (4) ?
a) Cho các điểm M(-1; -2), N(-2; -4), P(2; -3), Q(3; -4,5). Tìm tọa độ của các điểm M’, N’, P’, Q’ lần lượt đối xứng với các điểm M, N, P, Q qua trục Ox.
b) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:
y = |x|;
y = |x + 1|.
c) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của các hàm số y = |x| và y = |x + 1|.
Từ đó, suy ra phương trình |x| = |x + 1| có nghiệm duy nhất.
Cho các hàm số:
y = 2x – 2 (d1)
y = - (4/3).x – 2 (d2)
y = (1/3).x + 3 (d3)
a. Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d3) với (d1) và (d2) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của A, B.
c. Tính khoảng cách AB.
Cho hàm số \(y = ax + b (a ≠ 0).\)
a) Khi nào thì hàm số đồng biến?
b) Khi nào thì hàm số nghịch biến?
Khi nào thì hai đường thẳng \(y = ax + b \,( a ≠ 0)\) và \(y = a'x + b' \,(a' ≠ 0)\) cắt nhau? Song song với nhau? Trùng nhau?
a) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất \(y = (m – 1)x + 3\) đồng biến?
b) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất \(y = (5 – k)x + 1\) nghịch biến?
Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số \(y = 2x + (3 + m)\) và \(y = 3x + (5 – m)\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Tìm giá trị của a để hai đường thẳng \(y = (a – 1)x + 2 \,\,\,(a ≠ 1)\) và \(y = (3 – a)x + 1 \,\,\,(a ≠ 3)\) song song với nhau.
Xác định k và m để hai đường thẳng sau đây trùng nhau:
\(y = kx + (m – 2)\,\,\, (k ≠ 0);\)
\(y = (5 – k)x + (4 – m)\,\,\, (k ≠ 5)\).
Cho hai hàm số bậc nhất \(y = \left( {k + 1} \right)x + 3\) và \(y = \left( {3 - 2k} \right)x + 1\).
a) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau?
b) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau?
c) Hai đường thẳng nói trên có thể trùng nhau được không? Vì sao?
a) Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
y = 0,5x + 2 (1);
y = 5 – 2x (2)
b) Gọi giao điểm của các đường thẳng y = 0,5x + 2 và y = 5 – 2x với trục hoành theo thứ tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C.
Tìm tọa độ của các điểm A, B, C
c) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC và BC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
d) Tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1) và (2) với trục Ox (làm tròn đến phút).
a) Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
y = 2x (1);
y = 0,5x (2);
y = -x + 6 (3)
b) Gọi các giao điểm của đường thẳng có phương trình (3) với hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của hai điểm A và B.
c) Tính các góc của tam giác OAB.
Hướng dẫn câu c)
Tính OA, OB rồi chứng tỏ tam giác OAB là tam giác cân.
Tính \(\widehat {AOB} = \widehat {AOx} - \widehat {BOx}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho biểu thức E = \(\dfrac{\left(X+2007\right)\left(X+2008\right)}{X}\) với X > 0
Tìm giá trị của X để biểu thức E đạt GTNN và tìm GTNN đó?
Câu trả lời của bạn
\(E=\dfrac{\left(X+2007\right)\left(X+2008\right)}{X}=\dfrac{X^2+4015X+4030056}{X}\)
\(=X+\dfrac{4030056}{X}+4015\) \(\ge2\sqrt{X.\dfrac{4030056}{X}}+4015\)\(=2\sqrt{4030056}+4015\).
Vậy GTNN của \(E=2\sqrt{4030056}+4015\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(X=\dfrac{4030056}{X}\) hay \(X=\sqrt{4030056}\).
Tìm các cặp số nguyên dương a,b sao cho:
a3-b3+3(a2-b2)+3(a-b)=(a+1)(b+1)+25
Câu trả lời của bạn
Đặt a - b = x; a + b + ab + 1 = y thì ta có phương trình ban đầu trở thành.
x(x2 + 3y) = y + 25
Tới đây thì đơn giản rồi
chờ a, b, c là các số dương thỏa mãn abc=1. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
\(A=\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Xét hiệu:
\(a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0\forall a,b>0 \)
\(\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+1=a^3+b^3+abc\geq ab(a+b)+abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+1\geq ab(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(A=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Tìm x, y, z thoả mãn điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
ĐK:\(x,y,z\ge \frac{1}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2x+2y+2z-\sqrt{4x-1}-\sqrt{4y-1}-\sqrt{4z-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x-1-2\sqrt{4x-1}+1\right)+\left(4y-1-2\sqrt{4y-1}+1\right)+\left(4z-1-2\sqrt{4z-1}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
Dễ thấy: \(VT\ge0\forall x,y,z\)
\("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4x-1}=1\\\sqrt{4y-1}=1\\\sqrt{4z-1}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
Cho PT x^2 - 2mx + 2m - 1 = 0
Tìm m để A = 2.(x12 + x22) - 5x1x2 đạt GTNN
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Điều kiện: \(\Delta'=m^2-(2m-1)\geq 0\Leftrightarrow (m-1)^2\geq 0\)
(luôn đúng với mọi số thực m)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(A=2(x_1^2+x_2^2)-5x_1x_2\)
\(=2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]-5x_1x_2\)
\(=2(x_1+x_2)^2-9x_1x_2\)
\(=8m^2-9(2m-1)=8m^2-18m+9\)
\(=8\left(m-\frac{9}{8}\right)^2-\frac{9}{8}\)
Thấy rằng \((m-\frac{9}{8})^2\geq 0\forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow A\geq \frac{-9}{8}\)
Vậy A đạt min khi \((m-\frac{9}{8})^2=0\Leftrightarrow m=\frac{9}{8}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=\frac{9}{8}\)
Tìm x :
\(\dfrac{2x^2-1}{x}+\dfrac{5x}{2x^2-x-1}\)=-7
Các bạn giải giùm mik nha
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{2x^2-1}{x}+\dfrac{5x}{2x^2-x-1}=-7\)
ĐKXĐ :\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-\dfrac{1}{2}\\x\ne0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(2x^2-1\right)\left(2x^2-x-1\right)}{x\left(2x^2-x-1\right)}+\dfrac{5x}{x\left(2x^2-x-1\right)}=\dfrac{-7x\left(2x^2-x-1\right)}{x\left(2x^2-x-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-1\right)\left(2x^2-x-1\right)+5x^2=-7x\left(2x^2-x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^4+12x^3-6x^2-6x+1=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2+12x-6-\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+6\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)-6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^2+4+6\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)-6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^2+6\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)-2=0\)
Đặt \(2x-\dfrac{1}{x}=d\) .Phương trình trở thành :
\(d^2+6d-2=0\)
\(\Delta=36+8=44>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d_1=\dfrac{-6+\sqrt{44}}{2}=-3+\sqrt{11}\\d_2=\dfrac{-6-\sqrt{44}}{2}=-3-\sqrt{11}\end{matrix}\right.\)
Khi \(d=-3+\sqrt{11}\)
\(\Leftrightarrow2x-\dfrac{1}{x}=-3+\sqrt{11}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-1=-3x+\sqrt{11}x\)
\(\Leftrightarrow2x^2+\left(3-\sqrt{11}\right)x-1=0\)
Dùng máy tính casio để giải pt bậc 2 .
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=0,7906797064\\x_2=-0,6323673112\end{matrix}\right.\)
Khi \(d=-3-\sqrt{11}\)
\(\Leftrightarrow2x-\dfrac{1}{x}=-3-\sqrt{11}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+\left(3+\sqrt{11}\right)x-1=0\)
Dùng máy tính casio giải pt bậc 2
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=0,1510849117\\x_2=-3,309397307\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có 4 nghiệm .
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=0,7906797064\\x_2=0,6323673112\\x_3=0.1510849117\\x_4=-3,309397307\end{matrix}\right.\)
Trong cùng hệ trục tọa độ Oxy cho ba điểm A(2;4), B(-3;-1), C(-2;1). Chứng minh ba điểm A,B,C không thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
Ta có:
vt AB(Xb-Xa;Yb-Ya)=(-3-2;-1-4)=(-5;-5)
vt BC(Xc-Xb;Yc-Yb)=(-2+3;1+1)=(1;2)
vt CA(Xa-Xc;Ya-Yc)=(2+2;4-1)=(4;3)
vt AC(Xc-Xa;Yc-Ya)=(-2-2;1-4)=(-4;-3)
=>-5/-5 khác -4/-3 =>3 điểm A,B,C không thẳng hàng
tìm nghiệm nguyên
x^2-xy+y^2-4=0
Câu trả lời của bạn
\(x^2-xy+y^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2-4xy+4y^2-16=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2-4xy+y^2+3y^2-16=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2=16-3y^2\)
Vì vế trái luôn dương nên buộc \(16-3y^2\ge0\)
\(\Rightarrow y^2\le\dfrac{16}{3}\) mặt khác do \(y\)là số nguyên nên \(y^2\)là số chính phương
\(\Rightarrow y^2\le4\) \(\Rightarrow\left|y\right|\le2\Rightarrow-2\le y\le2\)
ta có bảng kết quả : (thay y vào phương trình để tìm x)
\(y\) | - 2 | -1 \(\) | 0 | 1 | 2 |
\(x\) | 0 | \(\varnothing\) | 2 | \(\varnothing\) | 0 |
vậy phương trình có các cặp nghiệm nguyên
\(\left(x;y\right)=\left(0;-2\right);\left(2;0\right);\left(0;2\right)\)
Cho parabol (P) : \(y=x^2\) và đờng thẳng (d) : \(y=\left(m+2\right)x-m+6\). Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương
Câu trả lời của bạn
PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
x2=(m+2)x-m+6
<=> x2-(m+2)x+m-6=0
\(\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(m+2\right)\right]^2-4.1.\left(m-6\right)=m^2+4m+4-4m+24=m^2+28>0\forall m\)
=> PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left[-\left(m+2\right)\right]}{1}=m+2\\P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-6}{1}=m-6\end{matrix}\right.\)
Để pt có hai nghiệm cùng dấu dương <=> \(\left\{{}\begin{matrix}S>0\\P>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2>0\\m-6>0\end{matrix}\right.\Rightarrow m>6\)
Vậy m > 6 thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
tìm các số tự nhiên x,y,z sao cho:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\)
Câu trả lời của bạn
Không mất tính tq giả sử \(x\ge y\ge z\)
\(\Rightarrow2=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le\dfrac{3}{x}\Rightarrow x\le1\left(x\in N\right)\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\text{(loại)}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow2=1+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\Rightarrow\dfrac{y+z}{yz}=1\)
\(\Rightarrow y+z-yz-1=-1\)
\(\Rightarrow\left(1-z\right)\left(y-1\right)=-1\)\(\Rightarrow y=z=2\)
Giải hệ sau trên tập Z+ :\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=ky\\y+1=mx\end{matrix}\right.\) với k,m \(\in\) Z+.
Câu trả lời của bạn
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=ky\\y+1=mx\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x-y=ky-mx\Leftrightarrow\left(m+1\right)x-\left(k+1\right)y=0\)
Với \(k,m\in Z^+\Rightarrow x=y=0\)
cho A=\(\dfrac{\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}}{\sqrt{1+\dfrac{81}{x^2}-\dfrac{18}{x}}}\) với x>18
tìm x để A có giá trị nguyên
Câu trả lời của bạn
\(A=\dfrac{\sqrt{x-9+6\sqrt{x-9}+9}+\sqrt{x-9-6\sqrt{x-9}+9}}{\sqrt{\left(1-\dfrac{9}{x}\right)^2}}\)
\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x-9}+3\right)+|3-\sqrt{x-9}|}{|1-\dfrac{9}{x}|}\) cũng khas dễ hiểu nếu a nguyên thì 3<=\(\sqrt{x-9}\)
\(A=\dfrac{2x\sqrt{x-9}}{x-9}=\dfrac{2x}{\sqrt{x-9}}\) đến đây khá dễ rồi bạn nhỉ
Cho Q=\(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)
a) Tìm điều kiện có nghĩa của Q
b) Rút gon Q
c) Tìm x để Q=\(\dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
a) \(đkxđ:x\ge0;x\ne1;x\ne4\)
b) \(Q=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{-1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
c) ta có : \(Q=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{-1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=-2\Leftrightarrow x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2=-2\)
\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2+2=0\Leftrightarrow x-3\sqrt{x}+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2-2.\dfrac{3}{2}.\sqrt{x}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}=0\) ta có : \(\left(\sqrt{x}-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\) với mọi \(x\ge0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\ge\dfrac{7}{4}>0\) với mọi \(x\ge0\)
vậy không có giá trị của \(x\) để \(Q=\dfrac{1}{2}\)
cho x,y,z > 0 thỏa mãn \(xy+yz+zx=3\)
Tìm max của \(P=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+3}}+\dfrac{z}{\sqrt{z^2+3}}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Thay $3=xy+yz+xz$ vào biểu thức:
\(P=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+xz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+xy+yz+xz}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+xy+yz+xz}}\)
hay \(P=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+y}+\frac{z}{x+z}\right)\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Giải hệ {\(x^2+y^2+xy+1=13y^2\)
\(xy+x+1=7y\)
Câu trả lời của bạn
cho mình hỏi, cái pt 1 sao VT cũng có y^2
VP cũng có y^2. hay là nhầm đề nhỉ
Tìm x,y,z \(\in\) N thỏa mãn : \(\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
\(\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\) (bình phương hai vế)
\(\Leftrightarrow 2(\sqrt{yz}-\sqrt{3})=x-(y+z)\)
Đặt \(x-(y+z)=a\in \mathbb{Z}\)
\(\Rightarrow 2(\sqrt{yz}-\sqrt{3})=a\) (*)
\(\Leftrightarrow 4(yz+3-2\sqrt{3yz})=a^2\)
\(\Leftrightarrow 8\sqrt{3yz}=4(yz+3)-a^2\in\mathbb{Z}\)
Do đó, \(\sqrt{3yz}\in \mathbb{Z}\). Điều này kéo theo \(yz=3k^2\) với \(k\in\mathbb{Z}\)
Thay vào (*)
\(2(\sqrt{3k^2}-\sqrt{3})=a\Leftrightarrow 2\sqrt{3}(|k|-1)=a\)\(\in\mathbb{Z}\)
Ta thấy \(2(|k|-1)\in\mathbb{Z}; \sqrt{3}\) là một số vô tỷ và tích của chúng là một số nguyên, điều này chỉ có thể xảy ra khi \(|k|-1=0\Leftrightarrow |k|=1\)
\(\Rightarrow yz=3\)
Từ đây suy ra \((y,z)=(1,3)\) hoặc \((y,z)=(3,1)\)
Thay vào pt ban đầu ta tìm được \(x=4\)
Vậy \((x,y,z)=(4;1;3);(4;3;1)\)
Tìm các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:
\(\left(x^2+1\right)\left(y^2+3\right)\left(z^2+5\right)=8\sqrt{15}xyz\)
Câu trả lời của bạn
x^2+1≥2x
y^2+3≥2.√3y
z^2+5≥2.√5z
x,y,z>0<=>
VT≥2.2√3.2√5xyz=8√15xyz
khi
x=1
y=√3
z=√5
Bằng phép toán chứng minh ba đường thẳng:
(D1):y=-\(\dfrac{1}{2}+2;\left(D_2\right):y=x+5;\left(D_3\right):y=-1,5x\)
dồng quy tại điểm M. Xác định tọa độ điểm M.
Giup em bai này với ạ.
Câu trả lời của bạn
Ta có pt hoành độ giao điểm (d1) VÀ (d2):
-\(\dfrac{1}{2}\)x+2 = x+5 \(\Leftrightarrow\)-\(\dfrac{3}{2}\)x=3 \(\Leftrightarrow\) x= -2
thay x=-2 vào (d1) ta có: y= -\(\dfrac{1}{2}\).(-2)+2 \(\Leftrightarrow\)y=3
\(\Rightarrow\) M(-2;3) (1)
thay tọa độ điểm M vào (d3) ta có:
3=(-1,5).(-2) \(\Leftrightarrow\)3=3 ( đúng)
\(\Rightarrow\) M \(\in\)(d3) (2)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)(d1),(d2),(d3) đồng quy tại M(-2;3)
Với những giá trị nào của m thì các hàm số
y =2x+(3+m) và y =3x+(5-m) cắt nhau tại một điểm trên
trục hoành?
Câu trả lời của bạn
Hai đồ thị hàm số luôn cắt nhau vì \(2\ne3\)
Xét hàm số y=2x+(3+m) có với y = 0 thì \(x=-\dfrac{m+3}{2}\)
=> Đồ thị hàm số y=2x+(3+m) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ \(\left(-\dfrac{m+3}{2};0\right)\)
Xét hàm số y = 3x+(5-m) có với y =0 thì \(x=\dfrac{m-5}{3}\)
=> Đồ thị hàm số y=3x+(5-m) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ \(\left(\dfrac{m-5}{3};0\right)\)
Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì
\(-\dfrac{m+3}{2}=\dfrac{m-5}{3}\\ \Leftrightarrow-3m-9=2m-10\\ \Leftrightarrow5m=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{5}\)
năm ngoái , hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20 % so với nam ngoái. do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm ngoái, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Câu trả lời của bạn
Gọi số thóc đơn vị thứ nhất và thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x; y (tấn ), điều kiện .
Theo giả thiết ta có phương trình (1)
Năm nay, số thóc của hai đơn vị là ( tấn ), điều kiện x,y > 0
Theo giả thiết ta có phương trình x + y = 600 ( 1 )
Năm nay, số thóc của 2 đơn vị là 1,1x : 1,2y ( tấn )
Theo giả thiết ta có phương trình 1,1x + 1,2y = 685 tấn ( 2 )
x + y = 600
Ta có hệ phương trình { 1,1x + 1,2y = 685
Giải hệ phương trình có nghiệm { x = 350 ; y = 250
=> Số thóc đơn vị thứ nhất và thứ 2 thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là 350 tấn, 250 tấn.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *