Như bài học trước, chúng ta đã được tìm hiểu về các phương pháp giải toán bằng cách lập hệ phương trình rồi tìm ra bài toán, hôm nay cũng ta sẽ đi phần tiếp theo, phần này chúng ta sẽ nhấn mạnh và đi chuyên sâu hơn về các dạng bài tập mới lạ hơn.
Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Dạng toán chuyển động
Dạng toán kết hợp các đại lượng hình học
Dạng toán làm việc chung 1 tập thể, làm việc cá nhân
Dạng toán nước chảy
Dạng toán tìm số
Dạng toán kết hợp vật lý, hóa học
...
Bài 1: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 2m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc của vật 1 là \(x (m/s)(x>0)\)
Gọi vận tốc của vật 2 là \(y(m/s)(y>0)\)
Vì sau 20s hai vật chuyển động được quãng đường lần lượt là \(20x\) và \(20y\)
Chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây gặp nhau nên ta có phương trình \(20x-20y=20\pi\)
Sau 4 giây hai vật chuyển động được quãng đường lần lượt là \(4x\) và \(4y\)
Chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây gặp nhau nên ta có phương trình \(4x+4y=20\pi\)
Vì vậy, ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} 20x-20y=20\pi\\ 4x+4y=20\pi \end{matrix}\right.\)
Giải hệ ta tìm ra \(\left\{\begin{matrix} x=3\pi\\ y=2\pi \end{matrix}\right.\)
Bài 2: Một người dự định đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu người đó tăng tốc thêm \(10km/h\) thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu giảm vận tốc đi \(10km/h\) thì đến muộn hơn B là 2 giờ. Tính quãng đường AB.
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc dự định là \(x(km/h)(x>0)\)
Gọi thời gian dự định là \(y(h)(y>0)\)
Chúng ta cần tính quãng đường AB chính là \(x.y\)
Theo đề: Nếu người đó tăng tốc thêm \(10km/h\) thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ:
\((x+10)(y-1)=xy\)
Nếu giảm vận tốc đi \(10km/h\) thì đến muộn hơn B là 2 giờ:
\((x-10)(y+2)=xy\)
Giải hệ 2 phương trình trên, ta được: \(\left\{\begin{matrix} x=30\\ y=4 \end{matrix}\right.\)
Vậy quãng đường AB là \(120km\)
Bài 3: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là \(250m\). Tính diện tích của thửa ruộng ấy biết rằng dài giảm 3 lần và rộng tăng 2 lần thì chu vi không đổi.
Hướng dẫn: Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng đó lần lượt là \(x,y(<0x
Theo đề, ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{250}{2}\\ 2x+\frac{y}{3}=\frac{250}{2} \end{matrix}\right.\)
Giải hệ ta được \(\left\{\begin{matrix} x=50\\ y=75 \end{matrix}\right.\)
Vậy diện tích thửa ruông là \(xy=50.75=3750(m^2)\)
Bài 1: Cho tam giác vuông, biết rằng tăng mỗi cạnh góc vuông lên \(2cm\) thì diện tích tăng lên \(17cm^2\). Nếu giảm lần lượt các cạnh góc vuông một cạnh \(3cm\), một cạnh \(1cm\) thì diện tích giảm đi \(11cm^2\). Tìm các cạnh của tam giác vuông đó.
Hướng dẫn: Gọi hai cạnh góc vuông là \(x,y(x\geq y>3)\)
Theo đề: tăng mỗi cạnh góc vuông lên \(2cm\) thì diện tích tăng lên \(17cm^2\), ta có phương trình:
\(\frac{1}{2}(x+2)(y+2)=\frac{1}{2}xy+17\)
Giảm lần lượt các cạnh góc vuông một cạnh \(3cm\), một cạnh \(1cm\) thì diện tích giảm đi \(11cm^2\), ta có phương trình:
\(\frac{1}{2}(x-3)(y-1)=\frac{1}{2}xy-11\)
Giải hệ hai phương trình ta có: \(\left\{\begin{matrix} x+y=15\\ x-3y=25 \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=5\\ y=10 \end{matrix}\right.\)
Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác đó là \(5;10;5\sqrt{5} (cm)\)
Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2, tích của hai chữ số đó lớn hơn tổng của chúng là 34.
Hướng dẫn: Gọi số cần tìm là \(\bar{ab}\), theo đề, ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a-b=2\\ ab=a+b+34 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ trên, ta tìm được số cần tìm là 86
Qua bài giảng Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo) này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 6để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ thì đầy bể. Mỗi giờ, lượng nước vòi I chảy bằng \(\frac{3}{2}\) lượng nước ở vòi II. Vậy mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20%. Vì vậy đã sản xuất được 945 chi tiết máy. Vậy trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 31 trang 22 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 32 trang 23 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 33 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 34 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 35 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 36 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 37 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 38 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 39 trang 25 SGK Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ thì đầy bể. Mỗi giờ, lượng nước vòi I chảy bằng \(\frac{3}{2}\) lượng nước ở vòi II. Vậy mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20%. Vì vậy đã sản xuất được 945 chi tiết máy. Vậy trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 3 và tích hai chữ số đó lớn hơn tổng hai chữ số là 17.
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 500m. Tính diện tích miếng đất biết rằng nếu giảm chiều dài 3 lần, tăng 2 lần chiều rộng thì chu vi không đổi:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị bé hơn chữ số hàng chục là 7, tổng bình phương của chữ số hàng chục và đơn vị là 65.
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tang mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2.
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở them vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp ?
(Bài toán cổ Ấn Độ). Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rubi ?
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 10 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bi mờ không đọc được (đánh dấu *):
Bài giải: Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.
Hai vật chuyển động đểu trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong 1 số ngày quy định đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành trước 1 ngày và còn chở thêm 10 tấn nữa
Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là \(x\) (cm/s) và \( y\) (cm/s) (điều kiện \(x > y > 0\)).
Quãng đường đi được của vật thứ nhất sau \(20\) giây là: \(20x\) (cm)
Quãng đường đi được của vật thứ hai sau \(20\) giây là: \(20y\) (cm)
Khi chuyển động cùng chiều, cứ \(20\) giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là sau 20 giây, vật thứ nhất (tức vật đi nhanh hơn) đi được nhiều hơn vật thứ hai đúng một vòng tròn.
Độ dài (chu vi) đường tròn đường kính \(20\) cm là: \( 20 \pi \) (cm).
Ta có phương trình: \(20x - 20y = 20 \pi\) (1)
Quãng đường đi được của vật thứ nhất sau \(4\) giây là: \(4x\) (cm)
Quãng đường đi được của vật thứ hai sau \(4\) giây là: \(4y\) (cm)
Khi chuyển động ngược chiều cứ \(4\) giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong \(4\) giây của hai vật là đúng \(1\) vòng.
Ta có phương trình: \(4x + 4y = 20π\). (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 20x - 20y = 20\pi & & \\ 4x + 4y = 20\pi & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} x - y = 1\pi & & \\ x + y = 5 \pi & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} x - y = 1\pi & & \\ 2x = 6 \pi & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y =x- 1\pi & & \\ x = 3 \pi & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y =3 \pi - 1\pi & & \\ x = 3 \pi & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y =2 \pi & & \\ x = 3 \pi & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Vậy vận tốc của hai vật là \(3 \pi \) cm/s, \(2 \pi \) cm/s.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(x\) (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên, \(y\) (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng thơm. (Điều kiện \(x > 0, y > 0\) ).
Số tiền mua \(9\) quả thanh yên là: \(9x\) (rupi)
Số tiền mua \(8\) quả táo rừng thơm là: \(8y\) (rupi)
Tổng số tiền là \(107\) rupi nên ta có:
\(9x+8y=107\)
Số tiền mua \(7\) quả thanh yên là \(7x\) (rupi)
Số tiền mua \(7\) quả táo rừng thơm là: \(7y\) (rupi)
Tổng số tiền là \(91\) rupi nên ta có:
\(7x+7y=91\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 9x + 8y =107 & & \\ 7x + 7y = 91& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 63x + 56y =749 & & \\ 56x + 56y = 728 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 63x + 56y =749 & & \\ 7x = 21 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 56y =749 - 63x & & \\ x = 3 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 56y =749 - 63.3 & & \\ x = 3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 56y =560 & & \\ x = 3 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y =10 & & \\ x = 3 & & \end{matrix} (thỏa\ mãn) \right.\)
Vậy, giá 1 quả thanh yên là \(3\) rupi; giá 1 quả táo rừng thơm là \(10\) rupi.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(x\) là số luống rau ban đầu, \(y\) là số cây của mỗi luống ban đầu. Điều kiện \(x > 4, y > 3, x, y \in N\).
Do đó số cây toàn vườn là: \(xy\) (cây)
* Nếu tăng \(8\) luống thì số luống rau là: \(x+8\) (luống)
Vì mỗi luống ít hơn \(3\) cây nên số cây ở một luống là: \(y-3\) (cây)
Suy ra số cây toàn vườn lúc này là: \((x+8)(y-3)\) (cây)
Theo đề bài, số cây toàn vườn ít đi \(54\) cây, ta có phương trình:
\((x + 8)(y - 3) = xy - 54\)
\(\Leftrightarrow xy + 8y-3x -24 = xy - 54\)
\(\Leftrightarrow xy+8y-3x-xy=-54+24 \)
\(\Leftrightarrow -3x+8y=-30\)
\(\Leftrightarrow 3x-8y=30\) (1)
* Nếu giảm đi \(4\) luống thì số luống là: \(x-4\) (luống)
Vì mỗi luống tăng thêm \(2\) cây nên số cây ở một luống là: \(y+2\) (cây)
Suy ra số cây toàn vườn lúc này là: \((x-4)(y+2)\) (cây)
Theo đề bài, số cây toàn vườn tăng \(32\) cây, nên ta có phương trình:
\((x - 4)(y + 2) = xy + 32 \)
\(\Leftrightarrow xy- 4y+2x-8=xy+32\)
\(\Leftrightarrow xy- 4y+2x-xy=8+32\)
\(\Leftrightarrow 2x-4y=40 \) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ 2x-4y= 40 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ 4x-8y= 80 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ -x= -50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8y=3x- 30 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8y=3.50- 30 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8y=120 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=15 & & \\ x= 50 & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng: \(50 . 15 = 750\) (cây)
Câu trả lời của bạn
Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là: \(x\) giờ, người thứ hai hoàn thành công việc một mình là \(y\) giờ. Điều kiện \(x > 16, y > 16\).
Trong \(1\) giờ người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc, người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{y}\) công việc.
Do đó cả hai người cùng làm chung thì trong 1 giờ làm được: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) công việc.
Theo đề bài, hai người làm chung trong \(16\) giờ thì xong nên trong \(1\) giờ hai người làm được: \(\dfrac{1}{16}\) công việc.
Nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{16}\) (1).
Trong \(3\) giờ, người thứ nhất làm được: \(3. \dfrac{1}{x}\) công việc.
Trong \(6\) giờ người thứ hai làm được: \(6. \dfrac{1}{y}\) công việc.
Theo đề bài, nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được \(25\) %\(=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}\) công việc.
Nên ta có phương trình: \(3. \dfrac{1}{x} + 6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\) (2)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{16} & & \\ 3.\dfrac{1}{x} + 6. \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\).
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\ \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\) với \(a > 0,\ b> 0.\)
Hệ đã cho trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{1}{16} & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a =\dfrac{1}{16} -b & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3{\left(\dfrac{1}{16} -b \right)}+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3.\dfrac{1}{16} -3b+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3b= \dfrac{1}{4} -\dfrac{3}{16}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3b=\dfrac{1}{16} & & \end{matrix}\right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}- \dfrac{1}{48} & & \\ b=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{24} & & \\ b=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn) \right.\)
Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{24} & & \\ \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =24 & & \\ y=48 & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong \(24\) giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong \(48\) giờ.
Câu trả lời của bạn
Đổi \(4\dfrac{4}{5}\) giờ \(=\dfrac{5.4+4}{5}\) giờ \(=\dfrac{24}{5}\) giờ
Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể \((x > \dfrac{24}{5})\).
\(y\) (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể \((y > \dfrac{24}{5})\).
Trong \(1\) giờ vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể.
Suy ra trong \(1\) giờ, cả hai vòi chảy được: \( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) (bể)
Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy đầy bể sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ = \(\dfrac{24}{5}\) giờ nên trong \(1\) giờ cả hai vòi cùng chảy được \(\dfrac{5}{24}\) bể.
Ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}= \dfrac{5}{24}\) (1)
Trong \(9\) giờ, vòi thứ nhất chảy được \(9.\dfrac{1}{x}\) bể.
Trong \(\dfrac{6}{5}\) giờ cả hai vòi chảy được \(\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}\) bể.
Theo đề bài, vòi thứ nhất chảy \(9h\) sau đó mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\dfrac{6}{5}\) giờ đầy bể nên ta có phương trình:
\(9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}=1\)
\( \Leftrightarrow 9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\) \( \Leftrightarrow {\left(9+\dfrac{6}{5}\right)} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{51}{5}.\dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\) \( \Leftrightarrow 51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} & & \\ 51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5 & & \end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\ \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\) với \(a > 0,\ b> 0.\)
Hệ đã cho trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{5}{24} & & \\ 51a+ 6b=5 & & \end{matrix}\right.\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6a + 6b = \dfrac{5}{4}\\
51a + 6b = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
51a + 6b - \left( {6a + 6b} \right) = 5 - \dfrac{5}{4}\\
6a + 6b = \dfrac{5}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
45a = \dfrac{{15}}{4}\\
a + b = \dfrac{5}{{24}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
\dfrac{1}{{12}} + b = \dfrac{5}{{24}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
b = \dfrac{5}{{24}} - \dfrac{1}{{12}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
b = \dfrac{1}{8}
\end{array} \right.\left( {\,thỏa\,mãn} \right)
\end{array}\)
Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12} & & \\ \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =12 & & \\ y=8 & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau \(8\) giờ bể sẽ đầy.
Câu trả lời của bạn
Gọi x là số phần công việc làm trong 1 ngày của đội A
y là số phần công việc làm trong 1 ngày của đội B (x;y>0)
Một ngày cả hai đội làm được \(\dfrac {1}{24}\) công việc nên ta có phương trình:
\(x + y = \dfrac {1}{24}\)
Mỗi ngày phần việc của đội A gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình
\(x=1,5y\)
Do đó, ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = \dfrac{1}{{24}}\\
x = 1,5y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1,5y\\
1,5y + y = \dfrac{1}{{24}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1,5y\\
2,5y = \dfrac{1}{{24}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{{60}}\\
x = 1,5.\dfrac{1}{{60}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{{60}}\\
x = \dfrac{1}{{40}}
\end{array} \right.\left( {tmđk} \right)
\end{array}\)
Trong 1 ngày, đội A làm được \(\dfrac{1}{{40}}\) công việc nên đội A làm 1 mình sẽ hoàn thành công việc trong 40 ngày
Trong 1 ngày, đội B làm được \(\dfrac{1}{{60}}\) công việc nên đội B làm 1 mình sẽ hoàn thành công việc trong 60 ngày
Nhận xét:
Ở cách giải này thì chúng ta không cần đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình.
Câu trả lời của bạn
Gọi tuổi của tôi hiện nay là \(x\) (tuổi), điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)
Tổng số tuổi của tôi và của em tôi năm nay bằng \(26\) nên tuổi của em tôi hiện nay là \(26 – x\) (tuổi)
Giả sử số năm phải thêm là \(y\) (năm) (điều kiện: \(y \in {\mathbb{N}^*})\) để tổng số tuổi của chúng tôi bằng 5 lần tuổi của tôi hiện nay.
Vì sau \(y\) năm tổng số tuổi của chúng tôi gấp \(5\) lần tuổi của tôi hiện nay nên ta có phương trình:
\(\left( {x + y} \right) + \left( {26 - x + y} \right) = 5x\)
Tuổi của tôi sau \(y\) năm gấp \(3\) lần tuổi của em tôi hiện nay nên ta có phương trình:
\(x + y = 3\left( {26 - x} \right)\)
Khi đó ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {x + y} \right) + \left( {26 - x + y} \right) = 5x} \cr
{x + y = 3\left( {26 - x} \right)} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5x - 2y = 26} \cr
{4x + y = 78} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5x - 2y = 26} \cr
{8x + 2y = 156} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{13x = 182} \cr
{4x + y = 78} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 14} \cr
{4.14 + y = 78} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 14} \cr
{y = 22} \cr} } \right. \cr} \)
Ta thấy \(x = 14; y = 22\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy hiện nay tuổi của tôi là \(14\) tuổi, tuổi của em tôi là \(26 – 14 = 12\) (tuổi).
Câu trả lời của bạn
Gọi số thợ cần thiết để làm xong việc là \(x\) (người), thời gian cần thiết để làm xong việc là \(y\) (ngày)
Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*},y > 0\)
Số ngày công để hoàn thành công việc là \(xy\) (ngày)
Nếu giảm \(3\) người thì thời gian tăng thêm \(6\) ngày, ta có phương trình:
\(\left( {x - 3} \right)\left( {y + 6} \right) = xy\)
Nếu tăng \(2\) người thì thời gian làm giảm \(2\) ngày, ta có phương trình:
\(\left( {x + 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {x - 3} \right)\left( {y + 6} \right) = xy} \cr
{\left( {x + 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{xy + 6x - 3y - 18 = xy} \cr
{xy - 2x + 2y - 4 = xy} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x - y = 6} \cr
{ - x + y = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 8} \cr
{ - x + y = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 8} \cr
{y = 10} \cr} } \right. \cr} \)
Ta thấy \(x = 8; y = 10\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy theo quy định cần có \(8\) người thợ và làm trong \(10\) ngày.
Câu trả lời của bạn
Gọi vận tốc của xe khách là \(x (km/h)\), vận tốc của xe hàng là \(y (km/h)\)
Điều kiện: \(x > y > 0.\)
Đổi \(24\) phút \( = \displaystyle{2 \over 5}\) giờ
Sau khi xe khách đi được \(24\) phút \( = \displaystyle{2 \over 5}\) giờ, xe hàng đi được \(36 + 24 = 60\) phút = \(1\) giờ thì xe khách gặp xe hàng mà hai xe đi ngược chiều nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng khoảng cách giữa ga Sài Gòn và ga Dầu Giây, ta có phương trình:
\(\displaystyle{2 \over 5}x + y = 65\)
Hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội thì sau \(13\) giờ gặp nhau nên đến khi gặp nhau, xe khách đã đi quãng đường nhiều hơn quãng đường của xe hàng là \(65km\), do đó ta có phương trình:
\(13x - 13y = 65\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\displaystyle{2 \over 5}x + y = 65} \cr
{13x - 13y = 65} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 325} \cr
{x - y = 5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 325} \cr
{2x - 2y = 10} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{7y = 315} \cr
{x - y = 5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 45} \cr
{x - 45 = 5} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 45} \cr
{x = 50} \cr} } \right. \cr} \)
Ta thấy \(x = 50; y = 45\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy vận tốc của xe khách là \(50 km/h\), vận tốc của xe hàng là \(45 km/h.\)
Câu trả lời của bạn
Gọi vận tốc của bác Toàn là \(x (km/h)\), vận tốc của cô Ba Ngần là \(y (km/h)\)
Điều kiện: \(x > 0; y > 0\)
Đổi \(1h30'=1,5h,\,1h15'=\dfrac{5}{4}h\)
Theo đề bài bác Toàn đi được \(1\) giờ \(30\) phút, cô Ba Ngần đi được \(2\) giờ thì gặp nhau. Mà hai người đi ngược chiều nhau nên tổng quãng đường hai người đi được là \(38km\), ta có phương trình: \(1,5x + 2y = 38\)
Quãng đường bác Toàn đi trong \(1\) giờ \(15\) phút hay \( \displaystyle{5 \over 4}\) giờ là \( \displaystyle{5 \over 4}x (km)\)
Quãng đường cô Ba Ngần đi trong \(1\) giờ \(15\) phút hay \( \displaystyle{5 \over 4}\) giờ là \( \displaystyle{5 \over 4}y (km)\)
Sau \(1\) giờ \(15\) phút, hai người còn cách nhau \(10,5 km\) nên tổng quãng đường hai người đi được là \(38-10,5=27,5\) km, ta có phương trình:
\( \displaystyle{5 \over 4}x + {5 \over 4}y = 27,5\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{1,5x + 2y = 38} \cr
{ \displaystyle{5 \over 4}x + {5 \over 4}y = 27,5} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x + 4y = 76} \cr
{5x + 5y = 110} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{15x + 20y = 380} \cr
{15x + 15y = 330} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5y = 50} \cr
{5x + 5y = 110} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 10} \cr
{5x + 5.10 = 110} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 10} \cr
{x = 12} \cr} } \right. \text{(thỏa mãn)} \cr} \)
Vậy vận tốc của bác Toàn là \(12 km/h\), vận tốc của cô Ba Ngần đi \(10 km/h.\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử không kể thuế VAT người đó phải trả \(x\) triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, \(y\) triệu đồng cho loại hàng thứ hai. (Điều kiện: \(x,\ y > 0\) )
*Số tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ nhất là:
\(10\)%. \(x =\dfrac{10}{100}.x=\dfrac{1}{10}x\) (triệu đồng)
Tổng số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế) là:
\(x+ \dfrac{1}{10}x=\dfrac{11}{10}x\) (triệu đồng)
Số tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ hai là:
\(8\)%. \(y =\dfrac{8}{100}.y=\dfrac{2}{25}y\) (triệu đồng)
Tổng số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế) là:
\(y+\dfrac{2}{25}y=\dfrac{27}{25}y\) (triệu đồng)
Theo đề bài, tổng số tiền phải trả lúc này là \(2,17\) triệu đồng, nên ta có phương trình:
\(\dfrac{11}{10}x\) + \(\dfrac{27}{25}y\) \(= 2,17 \Leftrightarrow 1,1x + 1,08y = 2,17\) (1)
* Số tiền mua cả hai loại hàng khi chưa có thuế là: \(x+y\) (triệu đồng)
Số tiền thuế phải trả cho cả hai loại hàng với mức thuế \(9\)% là:
\(9\)%. \((x+y)=\dfrac{9}{100}.(x+y)\)
Tổng số tiền phải trả (kể cả thuế), là:
\( (x+y) + \dfrac{9}{100}.(x+y)=\dfrac{109}{100}(x+y)\)
Theo đề bài, tổng số tiền phải trả lúc này là: \(2,18\) triệu đồng, nên ta có phương trình:
\(\dfrac{109}{100}(x+y)=2,18 \Leftrightarrow x+y=2\) (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 1,1x + 1,08y = 2,17 & & \\ x + y = 2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 2-y & & \\ 1,1(2-y) +1,08y= 2,17 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2,2 - 1,1y+1,08y=2,17 & & \\ x=2-y & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0,02y=2,2-2,17 & & \\ x=2-y & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0,02y=0,03 & & \\ x=2-y & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1,5 & & \\ x=2-y\ (3) & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1,5 & & \\ x=2-1,5 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1,5 & & \\ x=0,5\ & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Vậy số tiền người đó phải trả cho loại thứ nhất là \(0,5\) triệu đồng khi không có thuế, loại thứ hai là \(1,5\) triều đồng khi không có thuế.
Câu trả lời của bạn
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là: \(x\) phút, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: \(y\) phút. (Điều kiện \(x > 80, y > 80\) ).
Trong \(1\) phút vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể.
Nên trong \(1\) phút cả hai vòi chảy được \(\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}\) (bể).
Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy thì sau \(1\) giờ \(20\) phút = \(80\) phút thì đầy bể nên trong \(1\) phút cả hai vòi chảy được: \(\dfrac{1}{80}\) (bể).
Do đó ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{80}\) (1)
Trong \(10\) phút vòi thứ nhất chảy được \(10.\dfrac{1}{x}\) bể, trong \(12\) phút vòi thứ hai chảy được \(12. \dfrac{1}{y}\) bể thì được \(\dfrac{2}{15}\) bể, ta có phương trình:
\(10. \dfrac{1}{x} + 12. \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{15}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{80}& & \\ 10. \dfrac{1}{x} + 12. \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x} =a & & \\ \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\) ; (\(a,\ b \ne 0\) )
Hệ đã cho trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a+ b = \dfrac{1}{80}& & \\ 10. a + 12. b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10a+ 10b = \dfrac{10}{80}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10a+ 10b = \dfrac{1}{8}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b = \dfrac{1}{120}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ 10a = \dfrac{2}{15}-12b & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ 10a = \dfrac{2}{15}-12.\dfrac{1}{240} & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ a = \dfrac{1}{120} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Suy ra \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{120} & & \\ \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{240} & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 120 & & \\ y=240 & & \end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong \(120\) phút (2 giờ) thì đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong \(240\) phút (4 giờ) thì đầy bể.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Gọi số tuổi của người con là x (x thuộc N*, tuổi)
Số tuổi của người cha là y (y thuộc N*, tuổi)
Tổng tuổi là 45 => x+y =45 (1)
Tuổi cha nhiều hơn 4 lần tuổi con 15 => y+15=4x (2)
từ 1 và 2 ta có hệ
x+y=45
y+15=4x
Giải ra được tuổi con là 12. tuổi bố là 33
Câu trả lời của bạn
CR=31,2m
CD=38,8m
Diện tích=1249,36m2
Nửa chu vi:140/2=70m
=>a+b=70
theo bài ra:
3b-2a=16
hay -2a+3b=16
nếu có máy tính thì: Mode 5 (1)
a b
1 1 1
2 -2 3
=>a=194/5 (m)
=>b=156/5 (m)
Câu trả lời của bạn
đội 1 36 ngày
đội 2 18 ngày
có 2 ô tô khởi hành cùng lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 35 km. Nếu đi ngược chiều hai xe gặp nhau sau 5 giờ. tìm vận tốc mỗi xe biết xe đi từ A nhanh hơn xe kia 10 km mỗi giờ
Câu trả lời của bạn
bạn ơi giải như sau : Gọi vận tốc xe a là x (đk) => b là x-10 sau 5 h gặp nhau vậy ta có pt: 5x + 5(x-10)=35 => x=8.5km
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
đề bài phải cho rõ hơn chứ
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *