Làm quen với khái niệm Phương trình bậc nhất hai ẩn và cách giải các dạng bài tập.
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức có dạng \(ax+by=c\), trong đó a,b,c là các số đã biết (\(a \neq 0\) hoặc \(b \neq 0\))
Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax+by=c\) luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng \(ax+by=c\), kí hiệu là \((d)\)
Nếu \(a \neq 0\) và \(b \neq 0\) thì \((d)\) là đồ thị của hàm số bậc nhất \(y=\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}\)
Bài 1: Tìm hai nghiệm của của phương trình \(x+2y=1\).
Hướng dẫn: Lần lượt cho \(y=0\) và \(y=1\) ta được \(x=1\) và \(x=-1\) nên \((1;0)\) và \((-1;1)\) là hai nghiệm của phương trình \(x+2y=1\).
Bài 2: Cặp số \((1;1)\) có phải là nghiệm của phương trình \(x+y=1\) không?
Hướng dẫn: Ta có \(1+1=2 \neq 1\) nên \((1;1)\) không là nghiệm của phương trình \(x+y=1\).
Bài 3: Cho hai cặp số \((1;2)\) và \((0;1)\). Hỏi cặp số nào là nghiệm của phương trình \(2x+3y=8\) ?
Hướng dẫn: Ta có: \(2.1+3.2=8\) và \(2.0+3.1=3 \neq 8\) nên \((1;2)\) là nghiệm của phương trình \(2x+3y=8\)
2.2. Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho phương trình \((m-2)x+(m-1)y=1\) (m là tham số). Chứng minh rằng đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình này luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Hướng dẫn: Gọi (d) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \((m-2)x+(m-1)y=1\) thì (d): \((m-2)x+(m-1)y=1\). Giả sử (d) luôn đi qua \(M(x_o;y_o)\) với mọi m
Khi đó \((m-2)x_o+(m-1)y_o=1\) với mọi m
Suy ra \((x_o+y_o)m-(2x_o+y_o+1)=0\) với mọi m
\(<=>\left\{\begin{matrix} x_o+y_o=0\\ 2x_o+y_o+1=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x_o=-1\\ y_o=1 \end{matrix}\right.\). Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định \(M(-1;1)\).
Bài 2: Tìm các điểm nằm trên đường thẳng \(8x+9y=-79\), có hoành độ và tung độ là các số nguyên và nằm bên trong các vuông phần tư III.
Hướng dẫn: Ta cần tìm nghiệm nguyên âm của phương trình 8x+9y=-79. Rút x từ phương trình ta được:
\(x=\frac{-9y-79}{8}=-y-10+\frac{1-y}{8}\)
Đặt \(\frac{1-y}{8}=k (k \in \mathbb{Z})\) thì \(y=1-8k\). Từ đó tính được \(x=9k-11\)
Giải điều kiện \(\left\{\begin{matrix} 9k-11<0\\ 1-8k<0 \end{matrix}\right.<=>\frac{1}{8}k=1\) (Do \(k \in \mathbb{Z}\)). Vậy có một điểm duy nhất phải tìm là \((-2;-7)\).
Qua bài giảng Phương trình bậc nhất hai ẩn này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình \(x-2y=1\)?
Cặp số nào sau đây không là nghiệm của phương trình \(2x+y=3\)?
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 1 trang 7 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 2 trang 7 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 3 trang 7 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 1 trang 5 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 2 trang 5 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 3 trang 5 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 4 trang 6 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 5 trang 6 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 6 trang 6 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 7 trang 6 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 1.1 trang 6 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 1.2 trang 6 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình \(x-2y=1\)?
Cặp số nào sau đây không là nghiệm của phương trình \(2x+y=3\)?
Cho phương trình \((2m+3)x+(m+5)y=1-4m\) (m là tham số). Hỏi phương trình luôn có nghiệm là bao nhiêu với mọi m?
Cho phương trình \((m+2)x-my=-1\) (m là tham số). Hỏi phương trình luôn có nghiệm là bao nhiêu với mọi m?
Đường thẳng \((d): ax+by=6\) (với \(a>0,b>0\)) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9. Tìm tích ab.
Trong các cặp số \((-2; 1),(0;2); (-1; 0), (1,5; 3)\) và \((4; -3)\), cặp số nào là nghiệm của phương trình:
a) \(5x + 4y = 8\) b) \(3x + 5y = -3\)
Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a) \(3x - y = 2\) b) \(x + 5y = 3\)
c) \(4x - 3y = -1\) d) \(x +5y = 0\)
e) \(4x + 0y = -2\) f) \(0x + 2y = 5\)
Cho hai phương trình \(x + 2y = 4\) và \(x - y = 1\). Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết tọa độ của nó là nghiệm của các phương trình nào.
Cho các cặp số và các phương trình sau. Hãy dùng mũi tên (như trong hình vẽ) chỉ rõ mỗi cặp số là nghiệm của những phương trình nào:
Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình sau:
\(a)\) \(2x - y = 3\)
\(b)\) \(x + 2y = 4\)
\(c)\) \(3x - 2y = 6\)
\(d)\) \(2x + 3y = 5\)
\(e)\) \(0x + 5y = - 10\)
\(f)\) \( - 4x + 0y = - 12\)
Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm giá trị của m để:
a) Điểm M(1 ; 0) thuộc đường thẳng mx - 5y = 7
b) Điểm N(0 ; -3) thuộc đường thẳng 2,5x + my = -21
c) Điểm P(5; -3) thuộc đường thẳng mx + 2y = -1
d) Điểm P(5; -3) thuộc đường thẳng 3x – my = 6.
e) Điểm Q(0,5; -3) thuộc đường thẳng mx + 0y = 17,5
f) Điểm S(4; 0,3) thuộc đường thẳng 0x + my = 1,5
g) Điểm A(2; -3) thuộc đường thẳng (m – 1)x + (m + 1)y = 2m + 1
Phương trình nào sau đây xác định 1 hàm số dạng y = ax + b?
a) 5x – y = 7 c) 3x + 5y = 10
b) 0x + 3y = -1 d) 6x – 0y = 18
Phải chọn \(a\) và \(b\) như thế nào để phương trình \(ax + by = c\) xác định một hàm số bậc nhất của biến \(x\)?
Vẽ mỗi cặp đường thẳng sau trong cùng 1 mặt phẳng tọa độ rồi tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng đó
a) 2x + y = 1 và 4x – 2y = -10
b) 0,5x + 0,25y = 0,15 và \( - {1 \over 2}x + {1 \over 6}y = - {3 \over 2}\)
c) 4x + 5y = 20 và 0,8x + y = 4
d) 4x + 5y = 20 và 2x + 2,5y = 5
Giải thích vì sao khi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm chung của hai phương trình ấy.
Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng \(3x – 2y = 3:\)
\(A(1 ; 3);\) \( B(2 ; 3);\)
\(C(3 ; 3);\) \(D(4 ; 3)?\)
Trong mỗi trường hợp sau, hãy xác định đường thẳng \(ax + by = c\) đi qua hai điểm \(M\) và \(N\) cho trước
\(a) M (0 ; -1), N (3 ; 0)\)
\(b) M (0 ; 3), N (-1 ; 0)\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
tìm max min \(\sqrt{6-x}+\sqrt{x+3}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $A$.
\(A^2=(\sqrt{6-x}+\sqrt{x+3})^2=6-x+x+3+2\sqrt{(6-x)(x+3)}\)
\(A^2=9+2\sqrt{(6-x)(x+3)}\)
Thấy rằng \(\sqrt{(6-x)(x+3)}\geq 0, \forall x\in [-3;6]\)
Do đó: \(A^2=9+2\sqrt{(6-x)(x+3)}\geq 9\)
Kết hợp với $A$ không âm suy ra \(A\geq 3\)
Vậy \(A_{\min}=3\Leftrightarrow (6-x)(x+3)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=6\\ x=-3\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(\sqrt{6-x}+\sqrt{x+3})^2\leq (6-x+x+3)(1+1)\)
\(\Leftrightarrow A^2\leq 9.2=18\Rightarrow A\leq \sqrt{18}\)
Vậy \(A_{\max}=\sqrt{18}\). Dấu bằng xảy ra khi \(6-x=x+3\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
giải phương trình
\(\dfrac{9}{x^2}+\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+9}}=1\)
Câu trả lời của bạn
t=căn
tìm min A\(=\dfrac{5x^2-12x+8}{\left(x-1\right)^2}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
ĐK: \(x\neq 1\)
Ta có:
\(A=\frac{5x^2-12x+8}{(x-1)^2}=\frac{5(x^2-2x+1)-2x+3}{(x-1)^2}\)
\(=\frac{5(x-1)^2-2(x-1)+1}{(x-1)^2}\)
\(=5-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}=\left(\frac{1}{x-1}-1\right)^2+4\)
Ta thấy \(\left(\frac{1}{x-1}-1\right)^2\geq 0\forall x\neq 1\)
\(\Rightarrow A\geq 4\). Vậy \(A_{\min}=4\Leftrightarrow \frac{1}{x-1}=1\Leftrightarrow x=2\)
Cho x,y>0 thỏa mãn x+y≤2. Tim Min P=\(\dfrac{20}{x^2+y^2}+\dfrac{11}{xy}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(P=\dfrac{20}{x^2+y^2}+\dfrac{20}{2xy}+\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT C.B.S
\(\Rightarrow20\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge20.\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge20\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=1\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge1\)
Cộng hai BĐT trên lại \(\Rightarrow P\ge21\) => MinP=21 khi x=y=1
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{3}< x\le\dfrac{1}{2}\\y\ge1\end{matrix}\right.\). Tìm Min \(P=x^2+y^2+\dfrac{x^2y^2}{\left(\left(4x-1\right)y-x\right)^2}\)
Câu trả lời của bạn
@Ace Legona
@Akai Haruma
CMR: hệ phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất với mọi a, tìm nghiệm đó ax-y=2 và x+ay=3
Câu trả lời của bạn
..
1)Tìm m để phương trình :2x2+(2m-1) x+m-1=0 có 2 nghiệm thỏa -1<x1 <x2<1
Câu trả lời của bạn
△= (2m-1)2-4(m-1)
=4m2-4m+1 -4m +1
= 4m2- 8m +2 ≥ 0 ∀m
=> vi ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m+1\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
Tìm MIN:
\(G=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}\right)+\dfrac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\)
Câu trả lời của bạn
Theo Cô si:\(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}\right)\ge\dfrac{1}{2}.2.\sqrt{x^8y^8}hay\ge x^4y^4\)
tương tự có \(\dfrac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)\ge\dfrac{x^4y^4}{2}\)
Dấu = xảy ra ⇔ x= \(\pm y\)
Khi đó G = \(\dfrac{3}{2}x^4y^4-1-2x^2y^2-x^4y^4=\dfrac{1}{2}\left(x^4y^4-4x^2y^2+\text{4}\right)-3\)
G min = -3 khi \(x^4y^4-4x^2y^2+4=0\Leftrightarrow x^2y^2-2=0\) mà x=+-y suy ra x^4 =2 hay x=\(\pm\sqrt[4]{2}\)
Vậy có 4 cặp nghiệm thỏa mãn (x,y)=(\(\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2}\))\(\left(\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2}\right),\left(-\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2}\right),\left(-\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2}\right)\)
Cho a,b>0
Chứng minh: a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)
Câu trả lời của bạn
Xét \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a, b)
\(\Leftrightarrow\) đpcm
giải pt bậc 2 một ẩn:
a,\(\left(1+\sqrt{2}\right)\)x^2 \(-x-\sqrt{2}\)=0
Câu trả lời của bạn
\(\left(1+\sqrt{2}\right)x^2-x-\sqrt{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\sqrt{2}\right)x^2-x-\sqrt{2}x+\sqrt{2}x-\sqrt{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\sqrt{2}\right)x^2-x\left(1+\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\sqrt{2}\right)x\left(x-1\right)+\sqrt{2}\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+\sqrt{2}x+\sqrt{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Pt nghiệm nguyên :
\(x^2+\left(x+1\right)^2=y^4+\left(y+1\right)^4\)
Câu trả lời của bạn
\(x^2+\left(x+1\right)^2=y^4+\left(y+1\right)^4\) (1)
\(\Leftrightarrow2x^2+2x+1=2y^4+4y^3+6y^2+4y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+x=y^4+2y^3+3y^2+2y\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+y+1\right)^2-x^2=1+x\)
hay \(\left(x+1\right)^2-\left(y^2+y+1\right)^2=x\)
* Nếu x > 0 thì
\(x^2< \left(y^2+y+1\right)^2< \left(x+1\right)^2\)
=> (1) không có no nguyên (loại)
* Nếu x < - 1 thì
\(x^2>\left(y^2+y+1\right)^2>\left(x+1\right)^2\)
=> (1) không có no nguyên (loại)
* Nếu x = 0 hoặc x = - 1 thì
\(\left(1\right)\Leftrightarrow y^2+y+1=\pm1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-1\end{matrix}\right.\) (nhận)
Vậy . . .
Tìm Min : f(x ) = ( x2 + 4x + 4) / x ( x > 0)
Câu trả lời của bạn
\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+4x+4}{x}=\dfrac{x\left(x+4\right)}{x}+\dfrac{4}{x}=x+\dfrac{4}{x}+4\left(x>0\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(x+\dfrac{4}{x}\) ≥ \(2\sqrt{x.\dfrac{4}{x}}=2\sqrt{4}=4\)
⇔ \(x+\dfrac{4}{x}+4\) ≥ \(4+4=8\)
⇒ \(f\left(x\right)_{MIN}=8."="\) xảy ra khi : \(x=2\)
Cho PT: x2-2(m+1)x+2m-2=0 (x là ẩn số)
a) CMR: PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi 2 nghiệm của PT là x1, x2. Tính theo m giá trị của biểu thức:
E=(x1)2+2(m+1)x2+2m-2
Câu trả lời của bạn
\(x^2-2\left(m+1\right)x+2m-2=0\) với x là ẩn số
a) Ta có : \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-1\left(2m-2\right)\)
= \(m^2+2m+1-2m+2\)
= \(m^2+3\) > 0 Với \(\forall m\in R\)
Vì \(\Delta'>0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt .
Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\)
Chứng minh : \(\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\dfrac{zx}{Z+x+2y}}\le\dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a;b;c>0\end{matrix}\right.\)
Và \(\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}+\dfrac{bc}{\sqrt{b^2+c^2+2a^2}}+\dfrac{ca}{\sqrt{c^2+a^2+2b^2}}\le\dfrac{1}{2}\)
Ta có:\(\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}=\dfrac{2ab}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(a^2+b^2+2c^2\right)}}\)
\(\le\dfrac{2ab}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{bc+ac}{a+b}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=y=z=\dfrac{1}{9}\)
Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong 18 ngày xong công việc. Nếu đội một làm 6 ngày ,sao đó đội hai làm tiếp 8 ngày nữa thì được 40% công việc. Hỏi mội đội làm mình thì bao lâu xong công việc?
GIÚP MK VỚI Ạ !
Câu trả lời của bạn
Gọi thời gian để đội 1 làm 1 mình hết công việc là x(ngày)
" đội 2 " y(ngày)
Điều kiện: x>0 và y>0
Trong 1 ngày thì đội 1 làm đc \(\dfrac{1}{x}\) công việc
Trong 1 ngày thì đội 2 làm đc \(\dfrac{1}{y}\) công việc
Hai đội cùng làm thì trong 18 ngày sẽ xong việc (gt)
=> Hai đội cùng làm 1 ngày thì hết \(\dfrac{1}{18}\) công việc
Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{18}\) (1)
Khi đội 1 làm 6 ngày, đội 2 làm tiếp 8 ngày thì đc 40% công việc (gt)
=> 6(\(\dfrac{1}{x}\)) + 8(\(\dfrac{1}{y}\)) = 40% (2)
Từ (1) và (2) ta có hpt:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{18}\\6\left(\dfrac{1}{x}\right)+8\left(\dfrac{1}{y}\right)=40\%=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{45}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{30}\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=45\left(n\right)\\y=30\left(n\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy đội 1 làm 1 mình thì 45 ngày sẽ hết công việc
đội 2 làm 1 mình thì 30 ngày sẽ hết công việc
tìm min của \(-\sqrt{xy}\) biết \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\)
Câu trả lời của bạn
ta có : \(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}\ge\sqrt{\sqrt{xy}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{4}\ge\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{4}\le-\sqrt{xy}\) \(\Leftrightarrow-\sqrt{xy}\ge\dfrac{-\left(4\right)^2}{4}=-4\)
vậy min của \(-\sqrt{xy}\) là \(-4\) dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}=\sqrt{y}=2\Leftrightarrow x=y=4\)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2-xy+y2=2x-y
GIÚP MÌNH VS Ạ !!
Câu trả lời của bạn
\(PT\Leftrightarrow2x^2-2xy+2y^2-4x+2y=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2xy+2y^2-4x+2y+5=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=5=0^2+1^2+2^2\)
Tự xét tự lm tiếp
Cho x,y,z dương thỏa mãn
\(\dfrac{16}{x+24}+\dfrac{25}{y+16}+\dfrac{9}{z+4}\) ≤1
Tìm min \(x+y+z+\dfrac{1}{x+y+z}\)
Câu trả lời của bạn
mình k ghi lại đề nữa ta có
\(1\ge\dfrac{4^2}{x+24}+\dfrac{5^2}{y+16}+\dfrac{3^2}{z+4}\ge\dfrac{\left(4+5+3\right)^2}{x+y+z+24+16+4}=\dfrac{12^2}{x+y+z+44}\)
=>x+y+z+44>=12^2=144=> x+y+z=100
đặt x+y+z=a(a>=100)
\(x+y+z+\dfrac{1}{x+y+z}=a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{10000}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{9999a}{10000}\ge\dfrac{2}{100}+\dfrac{9999a}{10000}\)
do a>=100 nên
\(a+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{100}+\dfrac{9999}{100}=\dfrac{10001}{100}\) khi a= 100 hay x+y+z=100
Cho \(a^2+b^2+c^2=3\) với \(a,b,c\) dương
Tìm Min \(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{x}+\dfrac{c^3}{a}\)
Câu trả lời của bạn
Cauchy-Schwarz
\(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{c^3}{b}=\dfrac{a^4}{ac}+\dfrac{b^4}{ab}+\dfrac{c^4}{bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=3\)
Cho a,b,c > 0 và \(a+b+c\le\dfrac{3}{2}\). Tìm Min của:
\(A=a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a+\dfrac{1}{4a}\text{ ≥}2\sqrt{a.\dfrac{1}{4a}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)
\(b+\dfrac{1}{4b}\text{ ≥}2\sqrt{b.\dfrac{1}{4b}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)
\(c+\dfrac{1}{4c}\text{ ≥}2\sqrt{c.\dfrac{1}{4c}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)
⇒ \(a+b+c+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{ ≥}3\)
⇔ \(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\text{ ≥}3+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{ ≥ }3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{a+b+c}\text{ ≥}3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{15}{2}\) ⇒ \(A_{MIN}=\dfrac{15}{2}."="\text{⇔}a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *