Sau khi kết thúc tất cả bài học chương trình Giải tích 12, bài ôn tập cuối năm sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ chương trình đã học. Từ đó sẽ có định hướng ôn tập và rèn luyện nhằm hướng đến kì thi THPT Quốc gia mà ở đó chương trình Toán 12 luôn chiếm tỉ trọng cao nhất về điểm số. Hy vọng các bảng tổng kết nội dung sau sẽ phần nào giúp được các em trong quá trình ôn tập, chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cáo trong các kì thi.
Sau khi kết thúc tất cả bài học chương trình Giải tích 12, bài ôn tập cuối năm sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ chương trình đã học. Từ đó sẽ có định hướng ôn tập và rèn luyện nhằm hướng đến kì thi THPT Quốc gia mà ở đó chương trình Toán 12 luôn chiếm tỉ trọng cao nhất về điểm số. Hy vọng các bảng tổng kết nội dung sau sẽ phần nào giúp được các em trong quá trình ôn tập, chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cáo trong các kì thi.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập cuối năm - Toán 12để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1\) có ba cực trị.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập cuối năm - Toán 12 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 10 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 10 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 11 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 12 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 13 trang 148 SGK Giải tích 12
Bài tập 14 trang 148 SGK Giải tích 12
Bài tập 15 trang 148 SGK Giải tích 12
Bài tập 16 trang 148 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 211 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 211 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 211 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 8 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 9 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 215 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 215 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 215 SGK Toán 12 NC
Bài tập 29 trang 215 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 215 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 216 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 216 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 216 SGK Toán 12 NC
Bài tập 34 trang 216 SGK Toán 12 NC
Bài tập 35 trang 216 SGK Toán 12 NC
Bài tập 36 trang 217 SGK Toán 12 NC
Bài tập 37 trang 217 SGK Toán 12 NC
Bài tập 38 trang 217 SGK Toán 12 NC
Bài tập 1 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 2 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 3 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 4 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 5 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 6 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 7 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 8 trang 217 SBT Toán 12
Bài tập 9 trang 217 SBT Toán 12
Bài tập 10 trang 217 SBT Toán 12
Bài tập 11 trang 217 SBT Toán 12
Bài tập 12 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 13 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 14 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 15 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 16 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 17 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 18 trang 219 SBT Toán 12
Bài tập 19 trang 219 SBT Toán 12
Bài tập 20 trang 219 SBT Toán 12
Bài tập 21 trang 219 SBT Toán 12
Bài tập 22 trang 219 SBT Toán 12
Bài tập 23 trang 220 SBT Toán 12
Bài tập 24 trang 220 SBT Toán 12
Bài tập 25 trang 220 SBT Toán 12
Bài tập 26 trang 220 SBT Toán 12
Bài tập 27 trang 220 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1\) có ba cực trị.
Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({5^{3x - 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - {x^2}}}.\)
Cho \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b.\) Biểu diễn \({\log _3}135\) theo a và b.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;1] Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 1 \right) = - 1.\) Tính \(I = \int_0^1 {f'\left( x \right)} dx.\)
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=3x, y=x, x=0 và x=1 quanh trục Ox.
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = (2 + i)( - 1 + i){(2i + 1)^2}\)
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1.\) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
Định nghĩa sự đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của một hàm số trên một khoảng.
Phát biểu các điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) đơn điệu trên một khoảng.
Phát biểu các điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) có cực trị (cực đại, cực tiểu) tại điểm x0.
Nêu sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Nêu định nghĩa và các tính chất cơ bản của logarit.
Phát biểu các định lí về quy tắc logarit, công thức đổi cơ số của logarit.
Nêu tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit, mối liên hệ giữa đồ thị các hàm số mũ và hàm số logarit cùng cơ số.
Nêu định nghĩa và các phương pháp tính nguyên hàm.
Nêu định nghĩa và các phương pháp tính tích phân.
Nhắc lại các định nghĩa số phức, số phức liên hợp, môđun của số phức. Biểu diễn hình học của số phức.
Cho hàm số y = ax3 + ax2 + bx + 1
a) Tìm a và b để đồ thị hàm số đi qua A(1;2) và B(-2; -1)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.
c) Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:
\(s(t)=\frac{1}{4}t^4-t^3+\frac{t^2}{2}-3t\)
trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét.
a) Tính v(2), a(2) biết v(t), a(t) lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyển động đã cho.
b) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0.
Cho hàm số y = x4 + ax2 + b
a) Tính a, b để hàm số có cực trị bẳng \(\frac{3}{2}\) khi x = 1.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \(a=-\frac{1}{2}\), b= 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.
Cho hàm số \(y=\frac{x-2}{x+m-1}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2;
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ \(a\neq -1.\)
Cho hàm số \(y=\frac{2}{2-x}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị hàm số y = x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 1 trên đoạn \(\left [ -2;\frac{5}{2} \right ]\).
b) f(x) = x2 lnx trên đoạn [1; e].
c) f(x) = x e-x trên nữa khoảng \([0;+\infty )\).
d) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn \(\left [ 0; \frac{3}{2}\pi \right ]\).
Giải các phương trình sau:
a) \(13^{2x+1}-13^x-12=0\)
b) \((3^x+2^x)(3^x+3.2^x)=8.6^x\)
c) \(log_{\sqrt{3}}(x-2)log_5x = 2.log_3(x-2)\)
d) \(log^2_2x - 5 log_2x + 6 = 0\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \(\frac{2^x}{3^x-2^x}\leq 2\)
b) \(\left ( \frac{1}{2} \right )^{log_2(x^2-1)}>1\)
c) \(log^2x + 3logx \geq 4\)
d) \(\frac{1-log_4x}{1+log_2x}\leq \frac{1}{4}\)
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
a) \(\int_{1}^{e^4}\sqrt{x}lnx dx\)
b) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{xdx}{sin^2x}\)
c) \(\int_{0}^{\pi }(\pi -x)sinxdx\)
d) \(\int_{-1}^{0 }(2x+3)e^{-x}dx\)
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{24}}tan \left ( \frac{\pi }{3}-4x \right )dx\) (đặt \(u=cos\left ( \frac{\pi }{3}-4x \right )\))
b) \(\int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9+25x^2}\) (đặt \(x=\frac{3}{5}tant\))
c) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^3xcos^4xdx\) (đặt u = cosx)
d) \(\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{1+tanx}}{cos^2x}dx\) (đặt \(u=\sqrt{1+tanx}\))
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(3x^2+2x-1=0\) help me
Câu trả lời của bạn
3x2+x-3x-1=0
x(3x+1)-(3x+1)=0
(3x+1)(x+1)=0
=Vậy S={-1,1/2}
Em làm bài này không chắc lắm! Nếu sai thì em xin lỗi anh Hoàng nha! Chưa thấy ai làm em làm đó nha!!!
Bài làm:
\(3x^2+2x-1=0\\ < =>x^2+2x^2+2x+1-2=0\\ < =>\left(x^2+2x+1\right)+\left(2x^2-2\right)=0\\ < =>\left(x+1\right)^2+2\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\\ < =>\left(x+1\right)\left(x+1+2\left(x-1\right)\right)=0\\ < =>\left(x+1\right)\left(x+1+2x-2\right)=0\\ < =>\left(x+1\right)\left(3x-1\right)=0\\ =>\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\3x-1=0\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
An và Bình cùng chơi lăn vòng , vòng của An có bán kính 6dm , vòng của Bình có bán kính 4dm .Vòng của An lăn từ điểm A đến điểm B hết 210 vòng .Hỏi vòng của Bình lăn từ điểm A đến điểm B hết bao nhiêu vòng ?
Câu trả lời của bạn
AB=2*pi*6*210=2520pi dm
Vòng của bình lăn (2520pi)/(8pi)=315 vòng
1vòng lăn = 1 chu vi dt
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 9x - m.3x+1 + 3m2 - 75 = 0 có hai nghiệp phân biệt . Hỏi S có bao nhiêu phân tử ?
A .8
B .4
C .19
D . 5
( giúp mình giải chi tiết với nhé )
Câu trả lời của bạn
Rút gọn:
a. \(\sqrt{3\text{± }2\sqrt{2}}\)
b.\(\sqrt{8\text{± }2\sqrt{7}}\)
Câu trả lời của bạn
Giải:
a.\(\sqrt{3\text{± }2\sqrt{2}}=\sqrt{2\text{± }2\sqrt{2.1+1}}=\sqrt{\left(2\sqrt{2\text{± }1}\right)^2}=\sqrt{2\text{± }1}\)
b.\(\sqrt{8\text{± }2\sqrt{7}}=\sqrt{7\text{± }2\sqrt{7.1+1}}=\sqrt{\left(\sqrt{7\text{± }1}\right)^2}=\sqrt{7\text{± }1}\)
Mk nghĩ z! Chúc bn hc tốt!
Tìm GTNN của biểu thức:
\(A=x^2-3x+5\) với \(x\text{≥ }2\)
Câu trả lời của bạn
Mk tl cx k chắc lm nhé! Cs thể tham khảo 1 số câu tl của các bn #!
\(A=x^2-3x+5=\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)+5-\dfrac{9}{4}\)\(=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\text{ ≥}\dfrac{11}{4}\)
=> GTNN của A là \(\dfrac{11}{4}\)khi \(x=\dfrac{3}{2}\).
Có 100 triệu muốn gửi tiết kiệm 3 năm .Ban lựa chọn để gửi tiền vào ngân hàng A và B.Bạn sẽ chọn ngân hàng nào vì sao
a)Ngân hàng A lai trả theo năm và lai suất 8%/năm
b)Ngân hàng B lai trả theo năm và được cong dồn vào tiền vốn lai suất 7,5% một năm
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Với cách tính lãi suất của ngân hàng A thì sau $3$ năm bạn sẽ thu được cả vốn lẫn lãi là:
\(100+3.100.\frac{8}{100}=124\) (triệu)
Với cách tính lãi suất (kép) của ngân hàng B thì sau $3$ năm sẽ thu được cả vốn lẫn lãi là:
\(100(1+\frac{7,5}{100})^3\approx 124,23\) (triệu)
Do đó chọn ngân hàng B là lựa chọn tốt hơn.
cho hình chóp SABC có SA,SB,SC tạo với đáy góc 60 độ , biết BC =a ,góc BAC =45 độ , tính khoảng cách từ S đến ABC
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Kẻ $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$
Vì $SA,SB,SC$ tạo với đáy các góc đều bằng $60^0$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Gọi $R$ là độ dài bán kính đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
\(S_{ABC}=\frac{\sin \widehat{BAC}.AB.AC}{2}=\frac{\sin 45^0.AB.AC}{2}=\frac{AB.AC}{2\sqrt{2}}\)
Mà: \(S_{ABC}=\frac{AB.BC.AC}{4R}\Rightarrow \frac{AB.AC}{2\sqrt{2}}=\frac{AB.AC.a}{4R}\)
\(\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{2}}{2}\) hay \(AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Khi đó:
\(SH=\tan \widehat{SAH}.AH=\tan 60.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ toạ độác đường thẳng:
\(d_1:x+y+3=0\)
\(d_2:x-y-4=0\)
\(d_3:x-2y=0\)
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng \(d_3\) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng \(d_1\) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng \(d_2\)
Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{26}\) trong khai triển nhị thứ Niutơn của \(\left(\dfrac{1}{x^4}+x^7\right)^n\), biết rằng \(C^1_{2n+1}+C_{2n+1}^2+....+C_{2n+1}=2^{20}-1\)
( n nguyên dương, \(C_n^k\) là tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu trả lời của bạn
1/ Vì M thuộc \(d_3\) nên ta có tọa độ của M là: \(M\left(2a;a\right)\)
Khoản cách từ M đến \(d_1\) là:
\(d\left(M,d_1\right)=\dfrac{\left|2a+a+3\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|3a+3\right|}{\sqrt{2}}\)
Khoản cách từ M đến \(d_2\) là:
\(d\left(M,d_2\right)=\dfrac{\left|2a-a-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|a-4\right|}{\sqrt{2}}\)
Theo đề bài ta có:
\(\dfrac{\left|3a+3\right|}{\sqrt{2}}=2.\dfrac{\left|a-4\right|}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left|3a+3\right|=2.\left|a-4\right|\)
\(\Leftrightarrow a^2+10a-11=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-11\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;1\right)\\M\left(-22;-11\right)\end{matrix}\right.\)
Mã câu hỏi 45068 và 45118 đều có dạng như nhau sao phần lời giải lại khác nhau nhỉ?
Câu trả lời của bạn
Không có gì ạ.
Câu 45068 bị sai, cảm ơn em đã góp ý nhé!
Giải phương trình \(\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2)\) trên tập só thực.
Câu trả lời của bạn
Điều kiện \(x\geq -2\). Phương trình cho tương ứng với
\(\frac{(x-2)(x-4)}{x^2-2x+3}=\frac{(x+1)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=2\\ \frac{x+4}{x^2-2x+3}=\frac{x+1}{\sqrt{x+2}-2} \end{matrix}\) (1)
Ta có (1) \(\Leftrightarrow (x+4)(\sqrt{x+2}+2)=(x+1)(x^2-2x+3)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}+2)\left [ (\sqrt{x+2})^2+2\right ]=\left [ (x-1) +2\right ]\left [ (x-1)^2+2 \right ]\) (2)
Xét hàm số \(f(x)=(t+2)(t^2+2).\)
Ta có \(f'(t)=3t^2+4t+2\) suy ra \(f'(t)> 0, \forall t\epsilon R\), nên f(t) đồng biến trên R.
Do đó (2) \(\Leftrightarrow f(\sqrt{x+2})=f(x+1)\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=x-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ x^2-3x-1=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\)
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 2; \(x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\)
Cho hàm số \(\small y=x^3-3x^2+1\) có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = x – 2.
Câu trả lời của bạn
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
Tập xác định: D = R
Ta có \(y'=3x^2-6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\)
\(\lim_{x\rightarrow \pm \infty }y=\pm \infty\)
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
Bảng biến thiên
Từ đó suy ra
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt giá trị cực đại tại x = 0; yCĐ= y (0) = 1
Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại x = 2, yCT = y(2) = -3
Đồ thị hàm số.
Điểm uốn của đồ thị
\(y''=6x-6\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow 1(1;-2)\) là điểm uốn của đồ thị
Đồ thị (C) cắt trục tung tại điểm A(0;1)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là
\(x^3-3x^2+1=x-2\Leftrightarrow x^3-3x^2+3=0\Leftrightarrow (x-3)(x^2-1)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=3\\ x=1\\ x=-1 \end{matrix}\)
Suy ra giao điểm là A(3;1), B(1;-1), C(-1;-3)
Phương trình tiếp tuyến tại A(3;1) là y = 9x – 26
Phương trình tiếp tuyến tại B(1; -1) là y = -3x + 2
Phương trình tiếp tuyến tại C(-1;-3) là y = 9x + 6
KL: Các phương trình tiếp tuyến là: y = 9x – 26; y = 9x + 6; y = -3x + 2
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = 3. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^{3}+b^{3}}{3a^{2}-4ab+11b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{3b^{2}-4bc+11c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{3c^{2}-4ac+11a^{2}}\geq \frac{3}{5}\)
Câu trả lời của bạn
=35
Ta xét hàm số: \(f(t)=\frac{t^{3}+1}{3t^{2}-4t+11};t\in (0;3]\) ta có \(f'(t)=\frac{3t^{4}-8t^{3}+33t^{2}-6t+4}{(3t^{2}-4t+11)^{2}}\)
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
=> Xét \(f'(1)=\frac{13}{50}\)
Có phương trình tiếp tuyến tại t = 1 là: \(y(t)=\frac{13}{50}t-\frac{3}{50}\)
Nhận thấy:
\(f(t)-y(t)=\frac{t^{3}+1}{3t^{2}-4t+11}-\frac{13}{50}t+\frac{3}{50}\)
\(\frac{-(t-1)^{2}(11t+81)}{50(3t^{2}-4t+11)}\geq 0,\forall t\in (0;3]\)
\(\Rightarrow \frac{t^{3}+1}{3t^{2}-4t+11}\geq \frac{13}{50}t-\frac{3}{50},\forall t\in (0;3]\)
\(t=\frac{a}{b}\Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{3a^{2}-4ab+11b^{2}}\geq \frac{13a-3b}{50}\)
\(t=c\Rightarrow \frac{b^{3}+c^{3}}{3b^{2}-4bc+11c^{2}}\geq \frac{13b-3c}{50}\)
\(t=\frac{a}{b}\Rightarrow \frac{c^{3}+a^{3}}{3c^{2}-4ac+11a^{2}}\geq \frac{13c-3a}{50}\)
\(\Rightarrow VT\geq \frac{1}{5}(a+b+c)=\frac{3}{5}\)
=> Điều phải chứng minh.
Giải hệ phương trình: \(\small \left\{\begin{matrix} x^2+6y-4=\sqrt{2(1-y)(x^3+1)}\\ (3-x)\sqrt{2-x}-2y\sqrt{2y-1}=0 \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\small \left\{\begin{matrix} x^2+6y-4=\sqrt{2(1-y)(x^3+1)}\\ (3-x)\sqrt{2-x}-2y\sqrt{2y-1}=0 \end{matrix}\right.\)
+ ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x\leq 2\\ y\geq \frac{1}{2}\\ (1-y)(x^3+1)\geq 0 \end{matrix}\right.\)
+ Ta có: \((3-x)\sqrt{2-x}-2y\sqrt{2y-1}=0\Leftrightarrow \left [ 1+(2-x) \right ]\sqrt{2-x}=\left [ 1+(2y-1) \right ]\sqrt{2y-1}\)
+ Xét hàm số \(f(t)=(1+t^2)t=t^3+t\)
\(f'(t)=3t^2+1> 0\forall t\in R\). Hàm số tăng trên R.
+ Mà \(f(\sqrt{2-x})=f(\sqrt{2y-1})\Leftrightarrow \sqrt{2-x}=\sqrt{2y-1}\)
\(\Leftrightarrow 2-x=2y-1\Leftrightarrow 2y=3-x\)
+Với 2y = 3 – x, thay vào phương trình (1) ta có:
\(x^2+6y-4=\sqrt{2(1-y)(x^3+1)}\Leftrightarrow x^2+3(3-x)-4=\sqrt{(2(3-x))(x^3+1)}\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+5=\sqrt{(x-1)(x^3+1)}\)
\(\Leftrightarrow 3(x^2-x+1)-2(x^2-1)=\sqrt{(x^2-1)(x^2-x+1)}\)
\(\Leftrightarrow 3-\frac{2(x^2-1)}{x^2-x+1}=\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2-x+1}}\)
\(\Leftrightarrow x=2\)
+ So ĐK, kết luận nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=2\\ y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn \(\sqrt{1+2a^{2}}+\sqrt{1+2b^{2}}+\sqrt{1+2c^{2}}=5\)
Chứng minh rằng \(4\sqrt{2}a^{3}+b^{6}+c^{6}\leq 64\)
Câu trả lời của bạn
Với 2 số không âm A, B ta chứng minh: \(\sqrt{1+A}+\sqrt{1+B}\geq 1+\sqrt{1+A+B} (1)\)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow 2+A+B+2\sqrt{(1+A)(1+B)}\geq 2+A+B+2\sqrt{1+A+B}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{1+A+B+AB}\geq \sqrt{1+A+B}\) luôn đúng
Dấu đẳng thức xảy ra khi A = 0 hoặc B = 0
Áp dụng (1) ta có \(5=\sqrt{1+2a^{2}}+\sqrt{1+2b^{2}}+\sqrt{1+2c^{2}}\geq 1+\sqrt{1+2a^{2}+2b^{2}}+\sqrt{1+2c^{2}}\geq 2+\sqrt{1+2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}\)
Suy ra \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 4\) hay \(b^{2}+c^{2}\leq 4-a^{2}\) (2)
Khi đó \(4\sqrt{2}a^{3}+b^{6}+c^{6}\leq 4\sqrt{2}a^{3}+(b^{2}+c^{2})^{3}\)
Từ (2) và do a, b, c không âm ta có \(0\leq a\leq 2\)
xét hàm số \(f(a)=4\sqrt{2}a^{3}+(4-a^{2})^{3}\) trên [0;2]. Ta có:
\(f'(a)=12\sqrt{2}a^{2}-6a(4-a^{2})^{2}=6a(a-\sqrt{2})\left [ a(6-a^{2})+\sqrt{2}(8-a^{2}) \right ]\)
Với \(a\in \left [ 0;2 \right ],f'(a)=0\Leftrightarrow a=0;a=\sqrt{2}\)
Có \(f(0)=64;f(\sqrt{2})=24;f(2)=32\sqrt{2}\) suy ra \(f(a)\leq 64;\) với \(\forall a\in \left [ 0;2 \right ]\)
Vậy \(4\sqrt{2}a^{3}+b^{6}+c^{6}\leq 64.\) Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = 0, c = 2 hoặc a = c = 0, b = 2.
Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-2}\). Tìm các điểm thuộc trục Oy để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.
Câu trả lời của bạn
- Gọi M(0;m) thuộc Oy
- Đường thẳng (\(\Delta\)) qua M có dạng y = kx + m
- (\(\Delta\)) tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x+1}{x-2} =kx+m \ \ (1) \\ \frac{-3}{(x-2)^2}=k \ (2) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\) có nghiệm
- Thế (2) và (1) ta có: \(\frac{x+1}{x-2}=\frac{-3x}{(x-2)^2}+m\)
\(\Leftrightarrow f(x)=(1-m)x^2+(4m+2)x-2-4m=0 \ \ \ (3) \ \ (x\neq 2)\)
- Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt với (C) \(\Leftrightarrow\) pt (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 1\\ (2m+1)^2+(1-m)(2+4m)> 0\\ f(2)\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 1\\ 6m+3> 0\\ 6\neq 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 1\\ m> -\frac{1}{2} \end{matrix}\right. \ \ (*)\)
Gọi x1, x2 là nghiệm pt (3) , tọa độ các tiếp điểm là \((x_1;y_1),(x_2;y_2)\) và \(y_1=\frac{x_1+1}{x_1-2}; y_2=\frac{x_2+1}{x_2-2}\)
Theo Viet \(x_1+x_2=\frac{4m+2}{m-1};x_1.x_2=\frac{2+4m}{m-1}\)
- Hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox \(\Leftrightarrow y_1.y_2< 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{x_1+1}{x_1-2}.\frac{x_2+1}{x_2-2}<0\Leftrightarrow \frac{x_1.x_2+x_1+x_2+1}{x_1.x_2-2(x_1+x_2)+4}< 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\frac{2+4m}{m-1}+\frac{4m+2}{m-1}+1}{\frac{2+4m}{m-1}.\frac{4m+2}{m-1}+4}< 0\Leftrightarrow \frac{3+9m}{-6}< 0\Leftrightarrow m> -\frac{1}{3}\)
- So với điều kiện (*), ta có giá trị cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} m>-\frac{1}{3}\\ m\neq 1 \end{matrix}\right.\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: \(y=\frac{2x+1}{x+2}\)
b. Tìm m để đồ thị hàm số \(y=-x^3+3mx^2+m\) có đường thẳng nối các điểm cực trị cắt đường tròn (C): x2 + y2 +2x +2y – 1 = 0 theo một dây có độ dài lớn nhất.
Câu trả lời của bạn
a)
+ Tập xác định D= R\{-2}
Ta có: \(y'=\frac{3}{(x+2)}^2> 0,\forall x\in D\)
+ Giới hạn; tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }y=2;\lim_{x\rightarrow -2^- }y=+\infty,\lim_{x\rightarrow -2^+ }y=-\infty\)
Tiệm cận: TCĐ: x = -2; TCN: y = 2
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -2), (-2;+\infty)\) .Hàm số không có cực trị.
+ Đồ thị
b)
+ Ta có \(y=-3x^2+6mx=0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=2m \end{matrix}\)
Hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow m\neq 0\)
Với \(m\neq 0\) các điểm cực trị là A(0;m); B( 2; 4m3 +m)
+ Đường thẳng ( d) qua các điểm cực trị A, B là : y = 2m2x + m
+ Đường thẳng qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số cắt đường tròn (C) có tâm I ( -1; -1) theo một dây cung có độ dài lớn nhất \(\Leftrightarrow\) \(m=1; \ m=\frac{1}{2}\) thỏa mãn \(m\neq 0\)
Giải hệ phương trình sau:
\(\left\{\begin{matrix} 2y^{3}+12y^{2}+25y+18=92x+9\sqrt{x+4}\\ \sqrt{3x+1}+3x^{2}-14x-8=\sqrt{6-4y-y^{2}} \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
ty
Đk: \(\left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x\geq -\frac{1}{3}\\6-4y-y^{2}\geq 0 \end{matrix}\right.\)
Xét phương trình \(2y^{3}+12y^{2}+25y+18=(2x+9)\sqrt{x+4}\; \; \; (1)\)
\(2y^{3}+12y^{2}+25y+18=(2x+9)\sqrt{x+4}\)
\(\Leftrightarrow 2(y+2)^{3}+(y+2)=2(x+4)\sqrt{x+4}+\sqrt{x+4}\)
\(f(t)=2t^{3}+t\Leftrightarrow f'(t)=6t^{2}+1> 0\)
\((1)\Leftrightarrow f(y+2)=f(\sqrt{x+4})\Leftrightarrow y+2=\sqrt{x+4}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq -2\\x=4y+y^{2} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y^{3}+12y^{2}+25y+18=(2x+9)\sqrt{x+4}\\\sqrt{3x+1}+3x^{2}-14x-8=\sqrt{6-4y-y^{2}} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=4y+y^{2}\\\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=4y+y^{2}\\(\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^{2}-14x-5=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=4y+y^{2}\\\frac{3(x-5)}{(\sqrt{3x+1}-4)}+\frac{x-5}{(\sqrt{6-x-1})}+(3x+1)=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4y+y^{2}\\(x-5)\left [ \frac{3}{(\sqrt{3x+1}-4)}+\frac{1}{(\sqrt{6-x}-1)}+(3x+1) \right ]=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=5\\y=1 \end{matrix}\right.\)
\(\frac{3}{(\sqrt{3x+1}-4)}+\frac{1}{(\sqrt{6-x}-1)}+(3x+1)> 0,\forall x\geq -\frac{1}{3}\)
Vậy hệ có nghiệm x = 5; y = 1
Cho a, b, c ≥ 1 là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của:
\(P=(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\)
Câu trả lời của bạn
Không mất tổng quát có thể giả sử \(a\geq b\geq c\). Suy ra \(6 = a +b + c \geq c+c+c\) . Suy ra \(c\geq 2;a+b\geq 4\)
Ta chứng minh bất đẳng thức \((a^2+2)(b^2+2)\leq (\left ( \frac{a+b}{2} \right )^2+2)^2\)
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
\(a^2+b^2+2a^2+2b^2\leq \frac{(a+b)^4}{16}+(a+b)^2\Leftrightarrow 16(a-b)^2\leq (a+b)^4-16a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow 16(a-b)^2\leq (a^2-b^2)^2+4ab(a-b)^2\)
\(\Leftrightarrow 16(a-b)^2\leq (a-b)^2\left [ (a+b)^2+4ab \right ]\)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng bởi vì \((a+b)^2\geq 4^2=16\)
Đặt \(x=\frac{a+b}{2}\) ta có:
\((a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\leq (x^2+2)^2(c^2+2)=(x^2+2)^2((6-2x)^2+2)\)
Vì \(c\geq 1\) nên ta có \(2x+c=6\Rightarrow x\leq \frac{5}{2}\)
Hơn nữa \(2x=a+b\geq 4\) nên ta có \(x\in \left [ 2;\frac{5}{4} \right ]\)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của
\(\small f(x)=(x^2+2)^2\left [ (6-2x)^2+2 \right ]=4x^6-24x^5+54x^4-96x^3+168x^2-96x+152\) trên \(\small \left [ 2;\frac{5}{2} \right ]\)
\(\small f'(x)=12(x^2+2)(x-2)(x^2-3x+1)\) và \(\small f'(x)< 0,\forall x\in (2;\frac{5}{2})\)
Nhưng f(2) = 216 nên f(x) đạt GTLN bằng 216, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Vậy ta có \(\small (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\leq 216\), hay P đạt GTLN bằng 216, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a =b = c = 2.
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix}x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x-2=0 \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+2=0 \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x-2=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)\\x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+2=0\; \; \; (2) \end{matrix}\right.\)
Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} 1-x^{2}\geq 0\\2y-y^{2}\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1\leq x\leq 1\\0\leq y\leq 2 \end{matrix}\right.\)
Đặt \(t=x+1\Rightarrow t\in \left [ 0;2 \right ];\) ta có \((1)\Leftrightarrow t^{3}-3t^{2}=y^{3}-3y^{2}\).
Hàm số \(f(u)=u^{3}-3u^{2}\) nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
\((1)\Leftrightarrow y=t\Leftrightarrow y=x+1\)
\(\Rightarrow (2)\Leftrightarrow x^{2}-2\sqrt{1-x^{2}}+2=0\)
Đặt \(v=\sqrt{1-x^{2}}\Rightarrow v\in \left [ 0;1 \right ]\Rightarrow (2)\Leftrightarrow v^{2}+2v-1=2\)
\(\Leftrightarrow v^{2}+2v-3=0\Leftrightarrow \bigg\lbrack\begin{matrix} v=1\; \; \; \; \; \; (t/m)\\v=-3\; \; \; \; \; (loai) \end{matrix}\)
Với v = 1 ta có x = 0 => y = 1. Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (0;1)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *