Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được xem là nội dung trọng tâm quan trọng bậc nhất trong chương trình phổ thông, thể hiện rõ nhất cho điều đó là trong các kì thi THPT QG môn Toán đây luôn là phần chiếm tỉ lệ điểm số cao nhất. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức đã được học, ôn tập một số dạng toán điển hình và phương pháp giải, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, từng bước chinh phục các bài toán khó hơn.
Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\).
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y'}\neq 0\\ \Delta '_{y'}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y''=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.
Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:
Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với những câu hỏi củng cố từ cơ bản đến nâng cao. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 12 Ôn tập chương 1 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 Giải tích lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 10 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 12 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.75 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.76 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.77 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.78 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.79 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.80 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.81 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.82 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.83 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.84 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.85 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.86 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.87 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.88 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.89 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.90 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.91 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.92 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.93 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.94 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.95 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 1.96 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 69 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 70 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 71 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 72 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 73 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 74 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 75 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 76 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 77 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 78 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 80 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 81 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 82 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 83 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 84 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 85 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 86 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 87 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 88 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 89 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 90 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 91 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 92 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 93 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 94 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 95 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 96 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 97 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 98 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 99 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 100 trang 67 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \cos 2x + 4\cos x + 1.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}m{x^2}\) có điểm cực đại x1 điểm cực tiểu x2 sao cho \(- 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2.\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1].
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
\(\begin{array}{l}
a)y = \sqrt {3x + 1} \\
b)y = \sqrt {4x - {x^2}} \\
c)y = x + \sqrt x \\
d)y = x - \sqrt x
\end{array}\)
Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích V cho trước. Tìm bán kính đáy r và chiều cao của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.
Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn: Có thể áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác: Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích của nó là: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) (p là nửa chu vi của tam giác.)
Cho hàm số: \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + {{17} \over 3}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Cho hàm số f(x) = x3 + px + q
a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu.
b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: x3 + px + q = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt.
c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: 4p3 + 27q2 < 0
Cho hàm số: f(x) = x3 − 3x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.
c) Gọi (dm) là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (dm) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.
Cho hàm số: \(y = {x^4} - (m + 1){x^2} + m\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Cho hàm số f(x) = x4 − x2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số y=|f(x)|
Cho hàm số: \(y = \frac{{x - 4m}}{{2(mx - 1)}}\).(Hm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.
b) Chứng minh rằng với mọi \(m \ne \pm \frac{1}{2}\), các đường cong (Hm) đều đi qua hai điểm cố định A và B.
c) Chứng minh rằng tích các hệ số góc của tiếp tuyến với (Hm) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2 − x + 1 và đồ thị (H) của hàm số \(y = \frac{1}{{x + 1}}\)
b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.
c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).
Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + \frac{3}{4}\)
(A) Đồng biến trên khoảng (−2;3)
(B) Nghịch biến trên khoảng (−2;3)
(C) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)
(D) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)
Hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^5} - 15{x^4} + 10{x^3} - 22\)
(A) Nghịch biến trên R;
(B) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\);
(C) Đồng biến trên khoảng R;
(D) Nghịch biến trên khoảng (0;1).
Hàm số \(y = \sin x - x\)
(A) Đồng biến trên R.
(B) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
(C) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
(D) Nghịch biến trên R.
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 11\)
(A) Nhận điểm x = -1 làm điểm cực tiểu;
(B) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại;
(C) Nhận điểm x = 1 làm điểm cực đại;
(D) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.
Hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} - 5\)
(A) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.
(B) Nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại
(C) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại
(D) Nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu.
Số điểm cực trị của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) là
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) 2
Số điểm cực trị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\) là
(A) 0
(B) 2
(C) 1
(D) 3
Hàm số f có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right)\).
Số điểm cực trị của hàm số là:
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) 3
Hàm số \(y = x - \sin 2x + 3\)
(A) Nhận điểm \(x = - \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực tiểu.
(B) Nhận điểm \(x = \frac{\pi }{2}\) làm điểm cực đại.
(C) Nhận điểm \(x = - \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực đại.
(D) Nhận điểm \(x = - \frac{\pi }{2}\) làm điểm cực tiểu.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2\).
+) Với \(a = 1,y' = 2x + 1\;\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \( - \dfrac{1}{2}\).
Hàm số không luôn luôn đồng biến.
+) Với \(a \ne 1\) thì với mọi \(x\) mà tại đó \(y' \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
{a^2} - \left( {a - 1} \right)\left( {3a - 2} \right) \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
{a^2} - 3{a^2} + 3a + 2a - 2 \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
- 2{a^2} + 5a - 2 \le 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow a \ge 2\)
(khi \(a = 2\) thì \(y' = 0\;\) chỉ tại \(x = - 2\))
Vậy với \(a \ge 2\) hàm số luôn luôn đồng biến.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = - 3({m^2} + 5m){x^2} + 12mx + 6\)
Hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y'\) không đổi dấu.
Ta xét các trường hợp:
+) \({m^2} + 5m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 5\end{array} \right.\)
- Với \(m = 0\) thì \(y' = 6 > 0\) nên hàm số luôn đồng biến (thỏa mãn)
- Với \(m = - 5\) thì \(y' = - 60x + 6\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \(\dfrac{1}{{10}}\) nên hàm số không đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) (loại).
+) Với \({m^2} + 5m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne - 5\end{array} \right.\).
Khi đó, \(y'\) không đổi dấu nếu \(\Delta ' = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m) \le 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 36{m^2} + 18{m^2} + 90m \le 0\\
\Leftrightarrow 54{m^2} + 90m \le 0
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 3{m^2} + 5m \le 0\)\( \Leftrightarrow - \dfrac{5}{3} \le m \le 0\)
Kết hợp với \(m\ne 0\) ta được \( - \frac{5}{3} \le m < 0\)
Với \( - \frac{5}{3} \le m < 0\) thì \({m^2} + 5m < 0\) nên \( - 3({m^2} + 5m) > 0\)
Do đó \(y' > 0\) và hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Kết hợp với m = 0 ở trên ta được \( - \dfrac{5}{3} \le m \le 0\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = - 2{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
\(y' > 0 \Leftrightarrow x < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(f(x) = 3{x^5} + 15x - 8\) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.
Mà \(f(0) = - 8 < 0,f(1) = 10 > 0\)\( \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\) nên tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in (0;1)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\), tức là phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.
Mà hàm số đồng biến trên R nên điểm này là duy nhất.
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất (đpcm).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 4{x^3} + 6x = 2x\left( {2{x^2} + 3} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Do \(a = 1 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và không có điểm cực đại.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {2x + m + 1} \right)\left( {2 - x} \right) + \left[ {{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1} \right]}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{ - {x^2} + 4x + 2m + 1}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(D\) nếu và chỉ nếu \(y' \le 0,\forall x \in D\) và chỉ bằng \(0\) tại hữu hạn điểm.
Dễ thấy \(y' = 0\) tại tối đa hai điểm nên ta cần \(y' \le 0,\forall x \ne 2\)
\( \Leftrightarrow - {x^2} + 4x + 2m + 1 \le 0,\forall x \ne 2\) \( \Leftrightarrow \Delta ' = 4 + 2m + 1 \le 0\) \( \Leftrightarrow m \le - \dfrac{5}{2}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).
Ta có: \(y' = \dfrac{{1.3 - 1.\left( { - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{5}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 3\)
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\) hay hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Chọn A.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({x^2} + 2x + 3\) \( = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\) \( = {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2\)
\( \Rightarrow \dfrac{4}{{{x^2} + 2x + 3}} \le \dfrac{4}{2} = 2\) \( \Rightarrow y \le 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\).
Vậy \(\max y = 2\) khi \(x = - 1\).
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\{x^2} + x + 4 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy đồ thị hàm số có \(1\) điểm chung duy nhất với trục hoành.
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} \Leftrightarrow x + 1\) (1)
ĐK: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\)
\( (1)\Rightarrow {x^2} - 2x - 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = {x^2} - x - 2\) \( \Leftrightarrow - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\left( {TM} \right)\).
Với \(x = - 1\) thì \(y = 0\).
Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( { - 1;0} \right)\).
A. Hàm số \(y = {x^3} - 5\) có hai cực trị.
B. Hàm số \(y = \dfrac{{{x^4}}}{4} + 3{x^2} - 5\) luôn đồng biến.
C. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 2}}{{5 - x}}\) là \(y = - 3\).
D. Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x + 7}}\) có hai tiệm cận đứng.
Câu trả lời của bạn
Đáp án A: Xét hàm \(y = {x^3} - 5\) có \(y' = 3{x^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
A sai.
Đáp án B: Xét hàm \(y = \dfrac{{{x^4}}}{4} + 3{x^2} - 5\) là hàm đa thức bậc bốn trùng phương nên không thể xảy ra trường hợp luôn đồng biến.
B sai.
Đáp án C: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 2}}{{5 - x}}\) có TCN \(y = - 3\).
C đúng.
Đáp án D: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x + 7}}\) không có TCĐ vì \({x^2} + x + 7 > 0,\forall x\).
D sai.
Chọn C.
Câu trả lời của bạn
Xét hàm \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6mx = 6x\left( {x + m} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - m\end{array} \right.\)
+) Nếu \(m = 0\) thì \(y' = 6{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
+) Nếu \(m \ne 0\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Rightarrow \) Hàm số có hai điểm cực trị.
Đẻ phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) có một giao điểm duy nhất với trục hoành \( \Leftrightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\).
Ta có: \({x_1} = 0\) \( \Rightarrow {y_1} =2.0^3 +3m.0^2 -5= - 5\)
\({x_2} = - m\) \( \Rightarrow {y_2} = 2.(-m)^3+3m.(-m)^2-5\) \(=-2m^3+3m^3-5={m^3} - 5\).
\({y_1}.{y_2} = - 5\left( {{m^3} - 5} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^3} - 5 < 0 \Leftrightarrow m < \sqrt[3]{5}\).
Vậy \(m < \sqrt[3]{5}\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} - 3\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2mx = x(3x + 2m)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \dfrac{{2m}}{3}\end{array} \right.\)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình \(y' = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow - \dfrac{{2m}}{3} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + m{x^2} + x - 5\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) có:
\(f\left( 0 \right) = - 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên sẽ tồn tại ít nhất một giá trị \({x_0} > 0\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\).
Khi đó \(f\left( 0 \right).f\left( {{x_0}} \right) < 0\) nên tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left( {0;{x_0}} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\) hay \(x = c > 0\) là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).
Vậy phương trình luôn có nghiệm \(x = c > 0\) với mọi \(m\).
Câu trả lời của bạn
Xét hàm \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 5\) trên \(\mathbb{R}\) có:
\(y' = {x^2} - mx = x\left( {x - m} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\end{array} \right.\).
+) Nếu \(m = 0\) thì \(y' = {x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất.
+) Nếu \(m \ne 0\) thì hàm số có hai điểm cực trị là \({x_1} = 0,{x_2} = m\).
Khi đó \({y_1} = y\left( 0 \right) = \frac{1}{3}{.0^3} - \frac{1}{2}m{.0^2} - 5 = - 5\)
\({y_2} = y\left( m \right) = \frac{1}{3}.{m^3} - \frac{1}{2}m.{m^2} - 5\) \(= - \dfrac{1}{6}{m^3} - 5\).
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị sao cho \({y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\) hay \( - 5.\left( { - \dfrac{1}{6}{m^3} - 5} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}{m^3} + 5 > 0\) \( \Leftrightarrow {m^3} > - 30 \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{{ - 30}}\).
Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: \(\displaystyle y = - {x^3} + 2{x^2} - x - 7\)
Câu trả lời của bạn
* Xét hàm số: \(\displaystyle y = - {x^3} +2{x^2} - x - 7\)
Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)
Ta có: \(\displaystyle y' = - 3{x^2} + 4x - 1 \Rightarrow y' = 0\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}\)
Hàm số đồng biến \(\displaystyle \Leftrightarrow y' > 0\) \( \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 > 0\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 < 0 \\\Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x < 1.
\end{array}\)
Hàm số nghịch biến \(\displaystyle \Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 < 0\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < \dfrac{1}{3}
\end{array} \right..
\end{array}\)
Vậy hàm số đồng biến trong \(\displaystyle ({1 \over 3},1)\) và nghịch biến trong \(\displaystyle ( - \infty ,{1 \over 3}) \) và \(\displaystyle (1, + \infty ).\)
Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: \(\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}}\)
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số: \(\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}} = \dfrac{x-5}{-x+1}\)
Tập xác định: \(\displaystyle D = \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} \)
Ta có: \(\displaystyle y' = \dfrac{1.1-5.1}{(1-x)^2}= {{ - 4} \over {{{(1 - x)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)
Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng \(\displaystyle (-∞,1)\) và \(\displaystyle (1, +∞)\).
Hãy nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y= {x^4}-2{x^2} + 2.\)
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số: \(y= {x^4}-2{x^2} + 2\)
Có đạo hàm là: \(y’ = 4x^3– 4x \Rightarrow y' = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm 1
\end{array} \right..
\end{array}\)
Đạo hàm cấp hai: \(y’’ = 12x^2 – 4\)
Ta có: \(y’’(0) = -4 < 0 ⇒\) điểm \(x=0\) là điểm cực đại và \(y_{CĐ}=y(0)=2.\)
\(y’’(-1) = 8 > 0; \, y’’(1) = 8 > 0\)
\(⇒ x=1\) và \(x=-1\) là các điểm cực tiểu, \(y_{CT}= y( \pm 1)=1\).
Hãy nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các đường tiệm cận của hàm số: \(\displaystyle y = {{2x + 3} \over {2 - x}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x + 3}}{{2 - x}} = + \infty ;\) \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 3}}{{2 - x}} = - \infty \)
\(\displaystyle \Rightarrow x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 3}}{{2 - x}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 + \frac{3}{x}}}{{\frac{2}{x} - 1}} = - 2 \) \(\Rightarrow y = - 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *