Qua bài học các em sẽ nắm được hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} y = 0 \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 1 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1 + \sqrt 2 \\ {x^2} = 1 - \sqrt 2 (L) \end{array} \right. \Rightarrow x = \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } \end{array}.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
Cho: \(x = 0 \Rightarrow y = - 1;y = 0 \Rightarrow x = - 1\).
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em các hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.56 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.57 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.58 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.59 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.60 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.61 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.62 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.64 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.66 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.68 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.69 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.70 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.71 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.72 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.73 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.74 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 29 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 43 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 48 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 49 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 50 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 52 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 53 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 54 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 56 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 57 trang 55 SGK Toán 12 NC
Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 59 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 62 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 64 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 65 trang 58 SGK Toán 12 NC
Bài tập 66 trang 58 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi \(f(x)\) có bao nhiêu tiệm cận ngang?
Xác định a,b để hàm số \(y = \frac{{a - x}}{{x + b}}\) có đồ thị như hình vẽ:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số đường cong trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left |f(x) \right |=m\) có 4 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 6 nghiệm thực phân biệt.
Hình vẽ bên là đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đường cong dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({-x^3} + 3{x^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) có đồ thị (C). Hình bên là một phần của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( x \right)\) trong đó a, b, c là các hằng số thực. Có bao nhiêu biểu thức nhận giá trị dương trong các biểu thức sau \(ab,ac,3a + 3b + c\) và \(a - b + c.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) \(\small y = 2 + 3x - x^3\).
b) \(\small y = x^3 + 4x^2 + 4x\).
c) \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\).
d) \(\small y = -2x^3 + 5\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) \(\small y = -x^4 + 8x^2 - 1\).
b) \(\small y = x^4 - 2x^2 + 2\).
c) \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\).
d) \(\small y = -2x^2 - x^4 + 3\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
a) \(y=\frac{x+3}{x-1}\).
b) \(y=\frac{1-2x}{2x-4}\).
c) \(y=\frac{-x+2}{2x+1}\).
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).
b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).
c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(\small y = -x^3 + 3x + 1\)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m.
\(\small x^3 - 3x + m = 0.\)
Cho hàm số \(y=\frac{mx-1}{2x+m}\).
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt{2}).\)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
Cho hàm số \(y=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+m\).
a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;1)?
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).
Cho hàm số \(y=x^3+(m+3)x^2+1-m\) (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.
b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2.
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}\) (m là tham số) có đồ thị là (G).
a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0 ; -1).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
b) \(y = {x^3} - {x^2} + x\)
c) \(y = - {x^4} + 2{x^3} + 3\)
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số :
a) \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
b) \(y = \frac{{2 - x}}{{2x - 1}}.\)
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
a) \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại x = 1
b) \(y = - \frac{1}{3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1\) đạt cực đại tại x = −1
Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3\) có đúng một cực trị
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 5\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho;
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(y = - {x^3} + 3x + 1\)
b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C') của hàm số
\(y = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)
c) Dựa vào đồ thị (C'), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
\({(x + 1)^3} = 3x + m\)
d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C'), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{x}{9} + 1\)
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
a) \({(x - 1)^2} = 2|x - k|\)
b) \({(x + 1)^2}(2 - x) = k\)
Cho hàm số
\(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\) (1)
a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi
d) Xác định
Cho hàm số \(y = 2{x^4} - 4{x^2}\)(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Với giá trị nào của m, phương trình \({x^2}|{x^2} - 2| = m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Cho hàm số: \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \frac{9}{4}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.
c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: \(y = k - 2{x^2}\)
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức: \(\displaystyle {{ - x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}\).
Câu trả lời của bạn
Tập xác định : \(\displaystyle R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y' = {{ - 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - {1 \over 2}\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;{-1\over 2})\) và \(\displaystyle ({-1\over 2};+\infty)\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ - }} = - \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - {1 \over 2}\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = - {1 \over 2}\); tiệm cận ngang là: \(\displaystyle y = - {1 \over 2}\).
Bảng biến thiên :
* Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \(\displaystyle I( - {1 \over 2}; - {1 \over 2})\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao \(\displaystyle Ox\) tại: \(\displaystyle (2;0)\), \(\displaystyle Oy\) tại: \(\displaystyle (0;2)\)
Hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: \({x^3}-3{x^2} + 5 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số: \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\)
+) Tập xác định: \(D=R.\)
+) Sự biến thiên:
Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'=0\) \(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right..\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(- \infty ;0 \right)\) và \(\left( 2;+\infty \right)\); hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 2 \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.\)
+) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)
Bảng biến thiên:
+) Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm \(\left( 0;\ 5 \right).\)
Số nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\) và trục hoành.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: \(- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\) ;
Câu trả lời của bạn
\(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0.\)
Ta có: \(Pt\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2.\)
Xét hàm số: \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.\)
Tập xác định: \(D=R.\)
Ta có: \(y'=6{{x}^{2}}-6x\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6x=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=0.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1;\ {{y}_{CT}}=-1.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) và đường thẳng \(y=-2.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-2\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: \(2{x^2}-{x^4} = - 1\).
Câu trả lời của bạn
\(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.\)
Xét hàm số: \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.\)
Tập xác định: \(D=R.\)
Sự biến thiên: \(y'=4x-4{{x}^{3}}\Rightarrow y'=0\) \(\Leftrightarrow 4x-4{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right..\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ -1 \right)\) và \(\left( 0;\ 1 \right);\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1;\ \ {{y}_{CD}}=1.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\ {{y}_{CT}}=0.\)
Giới hạn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\) và đường thẳng \(y=-1.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-1\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\) tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = -x^3+ 3x + 1\).
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(y = -x^3+ 3x + 1\).
Tập xác định : \(\mathbb R\).
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y' = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1)\);
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;1)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\); \(y_{CĐ}=3\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\); \(y_{CT}=-1\)
- Giới hạn:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \(I(0;1)\) và nhận \(I\) làm tâm đối xứng.
Cho hàm số \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\). Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\).
Tập xác định: \(\displaystyle \mathbb R\backslash \left\{ {{{ - m} \over 2}} \right\}\) ;
Ta có: \(\displaystyle y' = {{{m^2} + 2} \over {{{(2x + m)}^2}}} > 0,\forall x \ne - {m \over 2}\)
Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Cho hàm số \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\). Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt2)\).
Câu trả lời của bạn
Tiệm cận đứng \(\displaystyle ∆\): \(\displaystyle x = - {m \over 2}\).
Vì \(\displaystyle A(-1 ; \sqrt2) ∈ ∆\) \(\displaystyle ⇔- {m \over 2}= -1 ⇔ m = 2\).
Cho hàm số \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
Câu trả lời của bạn
Với \(\displaystyle m = 2\) thì hàm số đã cho có phương trình là: \(\displaystyle y = {{2x - 1} \over {2x + 2}}\).
Tập xác đinh: \(\displaystyle D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)
* Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y' = {2.2+2 \over {{{(2x + 2)}^2}}}={6 \over {{{(2x + 2)}^2}}} > 0\) \(\forall x \in D\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;-1)\) và \(\displaystyle (-1;+\infty)\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \cr} \)
Tiệm cận đứng là \(\displaystyle x=-1\), tiệm cận ngang là: \(\displaystyle y=1\)
- Bảng biến thiên
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao \(\displaystyle Ox\) tại điểm \(\displaystyle ({1\over 2};0)\), giao \(\displaystyle Oy\) tại điểm \(\displaystyle (0;{-1\over 2})\).
Đồ thị hàm số nhận điểm \(\displaystyle I(-1;1)\) làm tâm đối xứng.
Cho hàm số y = \(\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{1}{2}x^{2}+m\). Với giá trị nào của tham số \(m\), đồ thị của hàm số đi qua điểm \((-1 ; 1)\) ?
Câu trả lời của bạn
Điểm \((-1 ; 1)\) thuộc đồ thị của hàm số \(⇔1=\dfrac{1}{4}(-1)^{4}+\dfrac{1}{2}(-1)^{2}+m\) \(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4}\).
Cho hàm số y = \(\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{1}{2}x^{2}+m\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số khi \(m = 1\).
Câu trả lời của bạn
Với \(m = 1\) \(\Rightarrow y=\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{1}{2}x^{2}+1\) .
Tập xác định:\(\mathbb R\).
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y'=x^{3}+x=x(x^{2}+1) \) \(\Rightarrow y' = 0 ⇔ x = 0\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=1\)
- Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty\), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty\)
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\).
Cho hàm số y = \(\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{1}{2}x^{2}+m\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có tung độ bằng \(\dfrac{7}{4}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số và có tung độ bằng \(\dfrac{7}{4}\) là: \(M\left( {{x_0}; \dfrac{7}{4}} \right)\).
Khi đó: \(\dfrac{1}{4}x_0^4 + \dfrac{1}{2}x_0^2 + 1 = \dfrac{7}{4}\) \( \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 + 4 = 7\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x_0^2 = 1\\x_0^2 = - 3\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M_1\left( {1;\dfrac{7}{4}} \right)\\M_2\left( { - 1;\;\dfrac{7}{4}} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M_1\) là: \(y = y'(1)(x - 1) + \dfrac{7}{4} ⇔ y = 2x -\dfrac{1}{4}\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M_2\) là: \(y= y'(-1)(x + 1)+ \dfrac{7}{4} \) \(⇔ y = -2x - \dfrac{1}{4}\)
Cho hàm số \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + 1 - m\) (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định \(m\) để hàm số có điểm cực đại là \(x=-1\).
Câu trả lời của bạn
\(y = {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 1 - m.\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x \Rightarrow y'' = 6x + 2\left( {m + 3} \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 1\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( -1 \right) = 0\\y''\left( -1 \right) < 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 2\left( {m + 3} \right) = 0\\ - 6 + 2\left( {m + 3} \right) < 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{3}{2}\\m < 0\end{array} \right. \Rightarrow m = - \dfrac{3}{2}.\)
Vậy \(m=-\dfrac{3}{2}.\) thì hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x=-1\).
Cho hàm số \(y=\frac{(m+1)x-2m+1}{x-1}\) (m là tham số) có đồ thị là \((G)\). Xác định \(m\) để đồ thị \((G)\) đi qua điểm \((0 ; -1)\).
Câu trả lời của bạn
Theo đề bài ta có \((0 ; -1) ∈ (G) \) \(⇔ -1=\dfrac{(m+1)\cdot 0-2m+1}{0-1}\) \( \Leftrightarrow - 1 = 2m - 1 \Leftrightarrow 2m = 0\) \(\Leftrightarrow m=0.\)
Xác định đỉnh \(I\) của parabol \((P)\) sau: \(y = 2{x^2} - 3x + 1\) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 3}}{{2.2}} = \frac{3}{4}\\
y\left( {\frac{3}{4}} \right) = 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - 3.\frac{3}{4} + 1 = - \frac{1}{8}
\end{array}\)
Đỉnh \(I\left( {{3 \over 4}; - {1 \over 8}} \right)\)
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo
\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X + {3 \over 4} \hfill \cr
y = Y - {1 \over 8} \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(Y - {1 \over 8} = 2{\left( {X + {3 \over 4}} \right)^2} - 3\left( {X + {3 \over 4}} \right) + 1 \) \(\Leftrightarrow Y = 2{X^2}\)
Chú ý:
Có thể tìm đỉnh cách khác như sau:
\(y' = 4x - 3\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\)
\(y\left( {{3 \over 4}} \right) = - {1 \over 8}\)
Đỉnh \(I\left( {{3 \over 4}; - {1 \over 8}} \right)\).
Xác định đỉnh \(I\) của parabol \((P)\) sau: \(y = 2{x^2} - 5\). Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{0}{{2.2}} = 0\\
y\left( 0 \right) = {2.0^2} - 5 = - 5
\end{array}\)
Đỉnh \(I\left( {0; - 5} \right)\)
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo
\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X \hfill \cr
y = Y - 5 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(Y - 5 = 2{X^2} - 5 \) \(\Leftrightarrow Y = 2{X^2}\).
Cách khác tìm đỉnh:
\(y' = 4x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;y\left( 0 \right) = - 5\)
Đỉnh \(I\left( {0; - 5} \right)\).
Xác định đỉnh \(I\) của parabol \((P)\) sau: \(y = {1 \over 2}{x^2} - x - 3\). Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 1}}{{2.\frac{1}{2}}} = 1\\
y\left( 1 \right) = \frac{1}{2}{.1^2} - 1 - 3 = - \frac{7}{2}
\end{array}\)
Đỉnh \(I\left( {1; - {7 \over 2}} \right)\)
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo
\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = 1 + X \hfill \cr
y = - {7 \over 2} + Y \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(Y - {7 \over 2} = {1 \over 2}{\left( {X + 1} \right)^2} - \left( {X + 1} \right) - 3 \) \(\Leftrightarrow Y = {1 \over 2}{X^2}\)
Cách tìm đỉnh khác:
\(y' = x - 1\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
\(y\left( 1 \right) = - {7 \over 2}\)
Đỉnh \(I\left( {1; - {7 \over 2}} \right)\).
Xác định đỉnh \(I\) của parabol \((P)\) sau: \(y = x - 4{x^2}\). Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}- \frac{b}{{2a}} = - \frac{1}{{2.\left( { - 4} \right)}} = \frac{1}{8}\\y\left( {\frac{1}{8}} \right) = \frac{1}{8} - 4.{\left( {\frac{1}{8}} \right)^2} = \frac{1}{{16}}\end{array}\)
Đỉnh \(I\left( {{1 \over 8};{1 \over {16}}} \right)\)
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo
\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X + {1 \over 8} \hfill \cr
y = Y + {1 \over {16}} \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(Y + {1 \over {16}} = X + {1 \over 8} - 4{\left( {X + {1 \over 8}} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow Y = - 4{X^2}\)
Cách khác tìm đỉnh:
\(y' = 1 - 8x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 8};y\left( {{1 \over 8}} \right) = {1 \over {16}}\)
Đỉnh \(I\left( {{1 \over 8};{1 \over {16}}} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Xác định điểm \(I\) thuộc đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm \(I\) là nghiệm của phương trình \(f''\left( x \right) = 0\).
Câu trả lời của bạn
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x;f''\left( x \right) = 6x - 6\)
\(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 1;f\left( 1 \right) = - 1\)
Vậy \(I\left( {1; - 1} \right)\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\). Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong \((C)\).
Câu trả lời của bạn
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) là
\(\left\{ \matrix{
x = X + 1 \hfill \cr
y = Y - 1 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(\eqalign{
& Y - 1 = {\left( {X + 1} \right)^3} - 3{\left( {X + 1} \right)^2} + 1 \cr
&= {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1 - 3{X^2} - 6X - 3 + 1 \cr& = {X^3} - 3X - 1\cr&\Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X \cr} \)
Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị \((C)\) của nó nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I\) đối với hệ tọa độ \(Oxy\). Chứng minh rằng trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) đường cong \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) đường cong \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
Câu trả lời của bạn
Phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I(1;-1)\) đối với hệ trục tọa độ \(Oxy\) là:
y - f(1) = f' (1)(x-1) với f’(1) = -3; f(1) = -1
hay \( y + 1 = - 3\left( {x - 1} \right) \) \(\Leftrightarrow y = - 3x + 2\)
Đặt \(g\left( x \right) = - 3x + 2\)
\(f\left( x \right) - g\left( x \right) \)\(= {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( { - 3x + 2} \right)\) \( = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}\)
Vì \(f\left( x \right) - g\left( x \right)<0\) với \(x<1\) và \(f\left( x \right) - g\left( x \right)>0\) với \(x>1\)
Do đó trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *