Qua bài học các em sẽ nắm được hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} y = 0 \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 1 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1 + \sqrt 2 \\ {x^2} = 1 - \sqrt 2 (L) \end{array} \right. \Rightarrow x = \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } \end{array}.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
Cho: \(x = 0 \Rightarrow y = - 1;y = 0 \Rightarrow x = - 1\).
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em các hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.56 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.57 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.58 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.59 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.60 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.61 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.62 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.64 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.66 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.68 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.69 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.70 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.71 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.72 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.73 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.74 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 29 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 43 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 48 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 49 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 50 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 52 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 53 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 54 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 56 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 57 trang 55 SGK Toán 12 NC
Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 59 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 62 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 64 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 65 trang 58 SGK Toán 12 NC
Bài tập 66 trang 58 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi \(f(x)\) có bao nhiêu tiệm cận ngang?
Xác định a,b để hàm số \(y = \frac{{a - x}}{{x + b}}\) có đồ thị như hình vẽ:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số đường cong trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left |f(x) \right |=m\) có 4 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 6 nghiệm thực phân biệt.
Hình vẽ bên là đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đường cong dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({-x^3} + 3{x^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) có đồ thị (C). Hình bên là một phần của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( x \right)\) trong đó a, b, c là các hằng số thực. Có bao nhiêu biểu thức nhận giá trị dương trong các biểu thức sau \(ab,ac,3a + 3b + c\) và \(a - b + c.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) \(\small y = 2 + 3x - x^3\).
b) \(\small y = x^3 + 4x^2 + 4x\).
c) \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\).
d) \(\small y = -2x^3 + 5\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) \(\small y = -x^4 + 8x^2 - 1\).
b) \(\small y = x^4 - 2x^2 + 2\).
c) \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\).
d) \(\small y = -2x^2 - x^4 + 3\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
a) \(y=\frac{x+3}{x-1}\).
b) \(y=\frac{1-2x}{2x-4}\).
c) \(y=\frac{-x+2}{2x+1}\).
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).
b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).
c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(\small y = -x^3 + 3x + 1\)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m.
\(\small x^3 - 3x + m = 0.\)
Cho hàm số \(y=\frac{mx-1}{2x+m}\).
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt{2}).\)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
Cho hàm số \(y=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+m\).
a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;1)?
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).
Cho hàm số \(y=x^3+(m+3)x^2+1-m\) (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.
b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2.
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}\) (m là tham số) có đồ thị là (G).
a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0 ; -1).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
b) \(y = {x^3} - {x^2} + x\)
c) \(y = - {x^4} + 2{x^3} + 3\)
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số :
a) \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
b) \(y = \frac{{2 - x}}{{2x - 1}}.\)
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
a) \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại x = 1
b) \(y = - \frac{1}{3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1\) đạt cực đại tại x = −1
Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3\) có đúng một cực trị
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 5\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho;
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(y = - {x^3} + 3x + 1\)
b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C') của hàm số
\(y = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)
c) Dựa vào đồ thị (C'), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
\({(x + 1)^3} = 3x + m\)
d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C'), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{x}{9} + 1\)
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
a) \({(x - 1)^2} = 2|x - k|\)
b) \({(x + 1)^2}(2 - x) = k\)
Cho hàm số
\(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\) (1)
a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi
d) Xác định
Cho hàm số \(y = 2{x^4} - 4{x^2}\)(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Với giá trị nào của m, phương trình \({x^2}|{x^2} - 2| = m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Cho hàm số: \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \frac{9}{4}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.
c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: \(y = k - 2{x^2}\)
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 4{x^3}-4x;y\left( { - 2} \right) = 8;\) \(y'\left( { - 2} \right) = - 24\).
Phương trình tiếp tuyến phải tìm là: \(y = y'\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + y\left( { - 2} \right)\) hay \(y = - 24\left( {x + 2} \right) + 8\) \( \Leftrightarrow y = - 24x - 40\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left( {m + 1} \right)\).
Hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} + 9\left( {m + 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - 2m + 1 + m + 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - m + 2} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - m + 2 > 0\)
Tam thức m2 - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì \({\Delta _m}\) = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0
Do đó phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy với \(\forall m \in \mathbb{R}\), hàm số đã cho luôn có cực trị.
Câu trả lời của bạn
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\) và \(y = x + 2\) là nghiệm của phương trình:
\(\dfrac{{2x + 1}}{{2x - 1}} = x + 2\) (1)
ĐK: \(2x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{2}\)
\((1) \Rightarrow 2x + 1 = \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow 2x + 1 = 2{x^2} + 3x - 2\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(TM) \Rightarrow y = 3\\x = - \dfrac{3}{2}(TM) \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng là \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).
Tất cả các giá trị ts m để bpt 42-(×+1)2×+1+m ≥0 với mọi x>0
Câu trả lời của bạn
Tìm x biết: (3x-1)2 = (x-1)2
Câu trả lời của bạn
`(3x - 1)^2 = (x - 1)^2`
`<=> (3x - 1)^2 - (x - 1)^2 = 0`
`<=> [(3x - 1) -(x - 1)].[(3x - 1) + (x - 1)] = 0`
`<=> [3x - 1 - x + 1].[3x - 1 + x - 1] = 0`
`<=> 2x.(4x - 2) = 0`
`<=> 4x.(2x - 1) = 0`
`<=> x = 0` hoặc `x = 1/2`
Hàm số f() đồng biến trên khoảng nào
Câu trả lời của bạn
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau \(y = {{{x^3}} \over 3} - {x^2} + x + 1\)
Câu trả lời của bạn
1.TXĐ: D = R.
2. Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr} \)
y’ = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.
Cho y’ = 0 ⇒ x = 1.
Bảng biến thiên
Vẽ đồ thị hàm số
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau \(y = -x^4+ 2x^2 + 3.\)
Câu trả lời của bạn
1.TXĐ: D = R.
2. Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr} \)
y’= -4x3 + 4x. Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = ±1.
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên: (-∞,-1), (0,1).
Hàm số nghịch biến trên: (-1,0), (1, +∞).
Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại x = -1 và x = 1.
Hàm số đạt cực tiểu bằng 3 tại x = 0.
Đồ thị
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = -x^3 + 3x^2 - 4\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: D = R.
Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x\to - \infty } y = + \infty \cr} \)
y’ = -3x2 + 6x. Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 2.
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng (0,2)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞,0), (2,+ ∞).
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại x = 2.
Hàm số đạt cực tiểu bằng -4 tại x = 0.
Vẽ đồ thị hàm số
Nhận xét: hai đồ thị đối xứng nhau qua Oy.
Hãy lấy một ví dụ về hàm số dạng \(y = ax^4 + bx^2 + c\) sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm.
Câu trả lời của bạn
Ví dụ hàm số y = x4
Có đạo hàm y’ = 4x3
Cho y’ = 0 thì x = 0.
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số sau \(y = x^2 + 2x – 3\); \(y = -x^2 – x + 2.\)
Câu trả lời của bạn
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
-x2 – x + 2 = x2 + 2x – 3
⇔ 2x2 + 3x – 5 = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -5/2.
Với x = 1 thì y = 0.
Với x = - 5/2 thì y = - 7/4
Vậy tọa độ giao điểm là (1, 0) và (-5/2, - 7/4).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\);
Câu trả lời của bạn
\(y=2+3x-{{x}^{3}}.\)
1) TXĐ: \(D=R.\)
2) Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:
Ta có: \(y'=3-3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3-3{{x}^{2}}=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)
Trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right),\ y'>0\) nên hàm số số đồng biến, trên khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right)\) có \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến.
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=1;\ \ {{y}_{CD}}=y\left( 1 \right)=4.\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1;\ \ {{y}_{CT}}=y\left( -1 \right)=0.\)
+) Giới hạn vô cực:
+) Bảng biến thiên:
+) Đồ thị:
Ta có: \(2+3x-{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)
Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm \(\left( 2;\ 0 \right)\) và \(\left( -1;\ 0 \right).\)
Ta có: \(y''=-6x\); \(y''=0 ⇔ x=0\). Với \(x=0\) ta có \(y=2\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(I(0;2)\) làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ \(x=-2\) suy ra \(y=4\).
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\);
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 8x + 4\).
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right).\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), giá trị cực đại \(y\)cđ = \(y(-2) = 0\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{32}{27}.\)
Giới hạn:
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0\) hoặc \(x=-2\) nên tọa độ các giao điểm là \((0;0)\) và \((-2;0)\).
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y''=6x+8;\)\(\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\)
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5\).
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(y=-2x^3+5\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = -6x^2≤ 0, ∀x\).
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\).
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn:
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Tính đối xứng: \(y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0\).
Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn \(I(0;5)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;5)\), đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).\)
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: \(y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1\);
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: \(D=\mathbb R\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(y' =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4)\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;2)\); nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) và \(2;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \(x=-2\) và \(x=2\); \(y_{CĐ}=y(\pm 2)=15\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=-1\)
- Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - \infty \)
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: \(y= {x^4} - 2{x^2} + 2\).
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: \(D=\mathbb R\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(y' =4x^3- 4x = 4x(x^2- 1)\);
\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm 1
\end{array} \right..\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((0;1)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1\); \(y_{CT}=y(\pm 1)=1\).
-Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;2)\)
Đồ thị
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: \(y = {1 \over 2}{x^4} + {x^2} - {3 \over 2}\).
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: \(D=\mathbb R\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(y' =2x^3+ 2x = 2x(x^2+1)\);
\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\); đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\).
-Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}={-3\over 2}\)
-Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \)
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((1;0)\); giao \(Oy\) tại \((0;{-3\over 2})\).
Đồ thị như hình bên.
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức: \(\displaystyle {{1 - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} - 4}}\),
Câu trả lời của bạn
Tập xác định : \(\displaystyle \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \);
* Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y' = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;2)\) và \(\displaystyle (2;+\infty)\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ - }} = + \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = - \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = 2\); tiệm cận ngang là:\(\displaystyle y = -1\).
Bảng biến thiên :
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(\displaystyle I(2;-1)\) lầm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: \(\displaystyle \left( {0; - {1 \over 4}} \right)\), trục hoành tại: \(\displaystyle \left( {{1 \over 2};0} \right)\)
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức: \(\displaystyle {{x + 3} \over {x - 1}}\),
Câu trả lời của bạn
Tập xác định : \(\displaystyle \mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\);
* Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y' = {{ - 4} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\) ;
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;1)\) và \(\displaystyle (1;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\); \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = 1\); tiệm cận ngang là: \(\displaystyle y = 1\).
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(\displaystyle I(1;1)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại:\(\displaystyle (0;-3)\), trục hoành tại \(\displaystyle (-3;0)\)
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: \(y = - 2{x^2} - {x^4} + 3\).
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: \(D=\mathbb R\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(y' = -4x - 4x^3= -4x(1 + x^2)\);
\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x\left( {1 + {x^2}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;0)\); nghịch biến trên khoảng: \((0;+\infty)\).
- Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=3\).
- Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = -\infty \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((1;0)\) và \((-1;0)\); giao \(Oy\) tại điểm \((0;3)\).
Đồ thị như hình bên.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *