Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.
M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)
Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
Khi đó :
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).
b) Hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3].\)
Lời giải:
a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
\(y'=3x^2-6x-9.\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
b) Xét hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\) xác định trên \((1;3].\)
\(y'=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)
\(y' = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right]\\ x = 1 - \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right] \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất \(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3]} y = 9\), Hàm số không có giá trị lớn nhất.
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\).
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
Lời giải:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
\({f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2\)
\({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).
Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3}\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = 1\)
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) xác định trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)
\({f^/}\left( x \right) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in\left [ -\frac{1}{2};1 \right ]\)
Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = - 3\)
Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = 0\); \(\mathop {min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = - 3\)
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2 = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\)
Đặt: \(t = {\cos ^2}x\) suy ra \(t \in \left[ { - 1;1} \right];\forall x \in \mathbb{R}\).
Xét hàm số: \(g\left( t \right) = - {t^2} - 2t + 3\) trên đoạn \([-1;1]\).
Ta có: \({g^/}\left( t \right) = - 2t - 2\)
\({g^/}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Tính: \(g\left( { - 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0\).
Vậy: \(\max f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 4\); \(\min f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 0\).
DapAnHay giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất, trọng tâm bài học các em cần phải nắm được hai phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Để kiểm tra xem đã nắm được bài học hay chưa, cũng như rèn luyện khả năng giải bài tập, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 3sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 23 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.34 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.35 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.36 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.37 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.38 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.39 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.40 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.41 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.42 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.43 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.44 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.45 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.46 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 16 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 24 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 24 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp, các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \log _2^2x - 4{\log _2}x + 1\) trên đoạn [1;8].
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0?
GTLN của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên khoảng (0;4) đạt được
GTLN của hàm số y=-x2+4x+7 đạt được khi x bằng:
GTLN của hàm số \(y = {\sin ^2}x - \sqrt 3 \cos x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
GTNN của hàm số \(y = x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\).
b) \(y = x^4 - 3x^2 + 2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\).
c) \(y =\frac{ (2-x)}{(1-x)}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\).
d) \(y =\sqrt{(5-4x)}\) trên đoạn \([-1;1]\).
Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{4}{1+x^2}\).
b) \(y=4x^3-3x^4\).
Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \left | x \right |\);
b) \(y = x+\frac{4}{x} ( x > 0)\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {25 - {x^2}} \) trên đoạn
b) \(f\left( x \right) = |{x^2} - 3x + 2|\) trên đoạn
c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\);
d) \(f\left( x \right) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{x}{{4 + {x^2}}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\);
b) \(y = \frac{1}{{\cos x}}\) trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\);
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x + \frac{9}{x}\) trên đoạn [2;4].
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật
Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 5\) trên đoạn [0;3] bằng:
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 0
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) trên đoạn [-4;3] bằng:
A. - 5
B. 0
C. 7
D. - 12
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn [0;2] bằng:
A. \(\frac{1}{3}\) và 3
B. \(\frac{3}{2}\) và -1
C. 2 và -3
D. \(\frac{1}{2}\) và 5
Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.
A. 13 và 0
B. \(\frac{{13}}{2}\) và \( - \frac{{13}}{2}\)
C. 15 và 2
D. 30 và 15
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) là:
A. 1
B. \(\frac{4}{3}\)
C. \(\frac{5}{3}\)
D. 0
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x + \cos x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là:
A. 1
B. \(2\sqrt 2 \)
C. \( - \sqrt 2 \)
D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn [-2; 3]
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn [-4; 0]
c) \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\)
d) \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn [2; 4]
e) \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\) trên đoạn [0; 1]
f) \(f\left( x \right) = x - \frac{1}{x}\) trên đoạn (0; 2]
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho \(a,b,c>0, a^2+b^2+c^2=1\). Tìm GTNN \(T=a+b+c+\frac{1}{abc}\)
Câu trả lời của bạn
\(0\leq \sqrt[3]{abc}\leq \frac{a+b+c}{3}\)
\(0 <abc\leq \bigg(\frac{a+b+c}{3}\bigg)^3\)
\(\frac{1}{abc}\geq \frac{27}{(a+b+c)^3}\)
\(T\geq a+b+c+\frac{27}{(a+b+c)^3}\)
Đặt t = a+b+c, tìm đk t
\((a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)=3\)
\(1<(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\)
Vậy \(1<t^2\leq 3\Rightarrow 1<t\leq \sqrt{3} \ (do \ t>0)\)
Xét hàm số \(f(t)=t+\frac{27}{t^3}\) trên \((1;\sqrt{3})\)
\(f'(t)=0\Leftrightarrow \frac{81}{t^4}=1\Leftrightarrow t^4=81 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=3\notin (1;\sqrt{3}]\\ t=-3\notin (1;\sqrt{3}] \end{matrix}\)
\(GTNN \ T =4\sqrt{3} \ khi \ t= \sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Giải sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng BĐT Côsi
\(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{a^2}{(b+c)^2+\frac{5}{4}(b+c)^2}=\frac{4a^2}{9(b+c)^2}\)
Tương tự
\(\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}=\frac{4b^2}{9(c+a)^2}\)
\(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}\geq \frac{4}{9} \left ( \frac{a^2}{(b+c)^2}+\frac{b^2}{(c+a)^2} \right )\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a} \right )\)
\(=\frac{2}{9}\left ( \frac{a^2+b^2+c(a+b)^2}{ab+c(a+b)+c^2} \right ) \geq \frac{2}{9}\left ( \frac{\frac{(a+b)^2}{2}+c(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c^2} \right )^2\)
\(=\frac{2}{9}\left ( \frac{2(a+b)^2+4c(a+b)}{(a+b)^2+4c(a+b)+4c^2} \right )^2\)
Vì \(a+b+c=1\Leftrightarrow a+b=1-c\) nên ta có
\(P\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{2(1-c)^2+4c(1-c)}{(1-c)^2+4c(1-c)+4c^2} \right )^2 -\frac{3}{4}(1-c)^2\)
\(=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+1})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2 \ \ (1)\)
Xét há số
\(f(c)=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+1})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2,c\in (0;1)\)
\(f'(c)=\frac{16}{9}(1-\frac{2}{c+1}).\frac{2}{(c+1)^2}-\frac{3}{2}(c-1)\)
\(f'(c)=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(f(c)\geq -\frac{1}{9},\forall c\in (0;1)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(P\geq -\frac{1}{9}\), dấu bằng xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(-\frac{1}{9}\)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{16}{x + y + z}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz}\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(a = \frac{x}{y};\ b = \frac{y}{z};\ c = \frac{z}{x}\) ta có a, b, c > 0; abc = 1 và P = (a - 1)(b - 1)(c - 1)
Giả thiết trở thành a + b + c + ab + bc + ca = 13 (1)
Vì a, b, c > 0; abc = 1 nên trong 3 số a, b, c có tồn tại một số, giả sử a có tính chất \(0 < a \leq 1\)
Từ (1) và abc = 1, ta có \(b+c = \frac{13-a-\frac{1}{a}}{1+a}\)
suy ra \(P = a+b+c-ab-bc-ca = 2(a+b+c)-13 = \frac{2a^3 - 13a^2 + 13a - 2}{a^2 + a}\)
Xét \(f(a)= \frac{2a^3 - 13a^2 + 13a - 2}{a^2 + a}\) trên (0; 1]
ta có \(f'(a)= \frac{2(a^4 + 2a^3 - 13a^2 + 2a + 1)}{a^2(a + 1)^2} = \frac{2(a^2 - 3a + 1)(a^2+5a+1)}{a^2(a+1)^2} = 0\) \(\Leftrightarrow a = \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\)
Lập bảng biến thiên của f(a) trên (0; 1] thu được \(f(a) \leq f\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right ) = \sqrt{5}\)
Do vậy \(P \leq \sqrt{5}\). Khi \(x = \frac{3-\sqrt{5}}{2};\ y = 1;\ z =\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) thì \(P = \sqrt{5}\)
Vậy GTLN của P là \(\sqrt{5}\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hàm số \(f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\)
a) Cho khoảng đơn điệu của hàm số
b) Cho \(-1\leq a; b\leq 3\). Tìm GTLN, GTNN của \(T=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{3-a}+\sqrt{3-b}\)
Câu trả lời của bạn
a)
TXĐ: [-1;3]
\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{3-x}\Leftrightarrow x+1=3-x\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Khoảng đồng biến (-1;1)
Khoảng nghịch biến (1;3)
b) Từ a) với \(-1\leq x\leq 3\) ta có
\(2\leq \sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\leq 2\sqrt{2}\)
Áp dụng\(-1\leq a,b\leq 3\) ta có
\(2\leq \sqrt{a+1}+\sqrt{3-a}\leq 2\sqrt{2}\)
\(2\leq \sqrt{b+1}+\sqrt{3-b}\leq 2\sqrt{2}\)
\(4\leq T \leq 4\sqrt{2}\)
\(GTLN \ T =4\sqrt{2} \ khi \ a = b=1\)
\(GTNN \ T = 4 \ khi \ a , b\in \left \{ -1;3 \right \}\)
Tìm tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
\(\left\{\begin{matrix} x^2-xy-2x+y+1=\sqrt{y+1}-\sqrt{x}\\ \sqrt{2x^2-my}=y+1+\sqrt{x-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
* Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ y\geq -1\\ 2x^2-my\geq 0 \end{matrix}\right.\)
* Biến đổi PT(1) tương đương với
\((x-y-1)(x-1+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y+1}})=0\) (1)'
Vì \(x\geq 1;y\geq -1\) nên \(x-1+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y+1}}>0\) do đó
\((1)'\Leftrightarrow x-y-1=0\Leftrightarrow y=x-1\) thay vào PT(2) ta được
\(\sqrt{2x^2-mx+m}=x+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \sqrt{2(x-1)^2+2+4(x-1)-m(x-1)}\)
\(=x-1+1+\sqrt{x-1}\)
do x = 1 không là nghiệm nên chia 2 vế cho \(\sqrt{x-1}\) ta được
\(\sqrt{2(x-1+\frac{1}{x-1}+2)-m}=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+1\)
Đặt \(t=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}},t>0\Rightarrow x-1+\frac{1}{x-1}=t^2-2\) PT trên trở thành
\(\sqrt{2t^2-m}=t+1\Leftrightarrow t^2-2t-1=m \ (*)\)
Nhận xét:
+ Với \(x\geq 1\Rightarrow t\in [2;+\infty )\)
+) Hệ pt đã cho có nghiệm (x; y) khi và chỉ khi pt(*) có nghiệm \(t\in [2;+\infty )\)
* Xét hàm số \(g(t)=t^2-2t-1\) với \(t\in [2;+\infty )\)
\(g'(t)=2t-2>0,\forall t\in [2;+\infty )\)
Bảng biến thiên
*Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị m cần tìm là \(m\geq -1\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
\(f(x)=\frac{2sinx-cosx}{2sinx+2cosx+4}\) trên đoạn \([0;\frac{\pi}{2}]\)
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(f(x)=\frac{2sinx-cosx}{2sinx+2cosx+4}\) liên tục trên đoạn \(\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]\)
Ta có \(f'(x)=\frac{6+4sinx+8cosx}{(2sinx+2cosx+4)^2}>0,\forall x\in\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]\)
Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên đoạn \(\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]\)
Do đo\(\underset{x\in\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]}{min}f(x)=f(0)=-\frac{1}{6}; \underset{x\in\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]}{max}f(x)=f(\frac{\pi}{2})=\frac{1}{3}\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=-x^3+3x^2\)
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: R
Chiều biến thiên: Ta có
\(y'=-3x^2+6x;y=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\)
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty ;0);(2;+\infty )\) đồng biến trên (0;2).
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ yCĐ = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ yCT = 0
Giới hạn: Ta có \(\lim_{x\rightarrow -\infty }=+\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }=-\infty\)
Bảng biến thiên
Đồ thị: Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ và cắt Ox tại điểm A(3;0) , nhận điểm
uốn I (1;2) làm tâm đối xứng.
Cho a, b, c là các số dương thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(F=\frac{1}{3a+4b+4\sqrt{ac}}+\frac{1}{3a+2b+6\sqrt[3]{abc}}-\frac{1}{\sqrt{7(a+b+c)}}\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
\(2.\sqrt{a.(4c)}\leq a+4c\)
\(3.\sqrt[3]{a.(2b).(4c)}\leq a+2b+4c\)
\(\Rightarrow F\geq \frac{1}{2(a+b+c)}-\frac{1}{\sqrt{7(a+b+c)}}\)
Đặt \(t=\sqrt{7(a+b+c)}, t>0\Rightarrow F\geq \frac{7}{2t^2}-\frac{1}{t}=g(t)\)
Ta có \(g'(t)=\frac{t-7}{t^3},g'(t)=0\Leftrightarrow t=7\)
*Lập bảng biến thiên suy ra \(g(t)\geq g(7)=-\frac{1}{14}\Rightarrow F\geq -\frac{1}{14}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} a=2b=4c\\ \sqrt{7(a+b+c)}=7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4\\ b=2\\ c=1 \end{matrix}\right.\)
Vậy \(MinF=-\frac{1}{14}\)
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn \(x+2y+z^2=2xy+1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{2x}{x^2+4(y^2+1)}+\frac{2y}{x+2(y+z)}-\frac{x+2y}{18z}\)
Câu trả lời của bạn
\(x^2+4y^2+4\geq 4xy+4=2(x+2y+z^2-1)+4\)
\(=2(x+2y)+2(z^2+1)\geq 2(x+2y+2z)\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{2x}{2(x+2y+2z)}+\frac{2y}{x+2y+2z}-\frac{x+2y}{18z}\)
\(=\frac{x+2y}{x+2y+2z}-\frac{x+2y}{18z}=\frac{t}{t+2}-\frac{t}{18}=f(t)\)
Với \(t=\frac{x+2y}{z}>0.f'(t)=\frac{2}{(t+2)^2}-\frac{1}{18}=\frac{36-(t+2)^2}{18 (t+2)^2},f'(t)=0\Leftrightarrow t=4\)
Suy ra \(maxP=\frac{4}{9}\) khi x = 2, y = 1, z = 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
\(f(x)=x-2\sqrt{x^2+3}\) trên đoạn [-1;2]
Câu trả lời của bạn
Hàm số liên tục trên đoạn [-1;2].
\(f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}-2x}{\sqrt{x^2+3}}\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+3}=2x\Leftrightarrow x^2+3=4x^2\) & \(x\geq 0\Leftrightarrow x=1\)
\(f(-1)=-5;f(1)=-3;f(2)=2-2\sqrt{7}\Rightarrow\) min f(x) = - 5 tại x = -1 và max =-3 tại x = 1
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{(1+a)^2(1+b)^2}{1+c^2}+\frac{(1+b)^2(1+c)^2}{1+a^2}+ \frac{(1+c)^2(1+a)^2}{1+b^2}\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
\((1+a)^2(1+b)^2=[(1+ab)+(a+b)]^2\geq 4(1+ab)(a+b)\)
\(=4[a(1+b^2)+b(1+a^2)]\)
\(\Rightarrow P\geq 4\left [ \underbrace{ \frac{a(1+b^2)+b(1+a^2)}{1+c^2} +\frac{b(1+c^2)+c(1+b^2)}{1+a^2} +\frac{c(1+a^2)+a(1+c^2)}{1+b^2}} _{M} \right ]\)
Sử dụng bđt AM-GM một lần nữa, ta có
\(M=\sum_{cyc}\frac{a(1+b^2)}{1+c^2}+\sum_{cyc}\frac{b(1+a^2)}{1+c^2}\)
\(=\sum_{cyc}a.\left ( \frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+b^2} \right )\geq 2\sum_{cyc} a= 6\)
Suy ra \(P\geq 4,M\geq 24\) . Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi a=b=c=1
Vậy \(minP=24\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn \(x+y+z^2=xy+2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{2x}{x^2+y^2+6}+\frac{y}{x+y+2z}-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{4\sqrt{2z}}\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
\(x^2+y^2+6\geq 2xy+6=2(x+y+z^2-2)+6=2(x+y+z^2+1)\geq 2(x+y+2z)\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{x^2+y^2+6}\leq \frac{2x}{2(x+y+2z)}=\frac{x}{x+y+2z}\)
\(\sqrt{x^2+y^2}\geq \frac{x+y}{\sqrt{2}}\Rightarrow -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{4\sqrt{2z}} \leq -\frac{x+y}{8z}\)
Khi đó
\(P\leq \frac{x}{x+y+2z}+\frac{y}{x+y+2z}-\frac{x+y}{8z}=\frac{x+y}{x+y+2z} -\frac{x+y}{8z}\)
\(\frac{\frac{x+y}{z}}{\frac{x+y}{z}+2}-\frac{1}{8}.\frac{x+y}{z}=\frac{t}{t+2}-\frac{t}{8 }=f(t)\), với \(\frac{x+y}{z}>0\)
Xét \(\frac{t}{t+2}-\frac{t}{8}\) với t > 0
\(f'(t)=\frac{2}{(t+2)^2}-\frac{1}{8}=\frac{16-(t+2)^2}{8(t+2)^2},f'(t)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t>0\\ (t+2)^2=16 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=2\)
Ta có:
Suy ra \(f(t)\leq f(2)=\frac{1}{4}\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{\begin{matrix} x+y=2z\\ x=y,z=1\\ x+y+z^2=xy+2\\ x,y,z>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{1}{4}\)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 và a + b >2c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(a+b)}\)
Câu trả lời của bạn
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t=x+y+z>0\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{2}(a+b)^2\leq (a^2+b^2)\) với a = x + y và b = z
ta có
\(\frac{1}{2}(x+y+z)^2\leq (x+y)^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}t^2\leq \frac{3}{2}+t\Leftrightarrow t^2-2t-3\leq 0\Leftrightarrow -1\leq t\leq 3\)
Vậy \(0< t\leq 3\)
Áp dụng BĐT Bu-nhia-cốp-xki có
\((x+y+z)^2=(x+\sqrt{2}.\frac{y}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}.\frac{z}{\sqrt{3}})^2\leq (1+2+3)(x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3})\)
\(=6x^2+3y^2+2z^2\)
\(\Rightarrow \frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}\geq \frac{(x+y+z)^2}{8}=\frac{t^2}{8}\)
Áp dụng BĐT: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b},\forall a,b> 0 \Rightarrow \frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}\geq \frac{12}{x+y+z+1}= \frac{12}{t+1}\)
Vậy \(P\geq \frac{t^2}{8}+\frac{12}{t+1}\)
Xét hàm số \(f(t)=\frac{t^2}{8}+\frac{12}{t+2},t\in (0;3]=D\)
\(f'(t)=\frac{t}{4}-\frac{12}{(t+1)^2}=\frac{t(t+1)^2-48}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3]\Rightarrow f(t)\) nghịch biến trên D
Hàm số f(t) đạt GTNN tại t = 3 ⇒ \(min f(t)=f(3)=\frac{33}{8}\)
Vậy \(P\geq \frac{33}{8}\)
Dấu đẳng thức khi và chỉ khi đồng thời có: \(x+y=z, x+z=y+1,\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{33}{8} \ khi \ x=\frac{1}{2}, y=1,z=\frac{3}{2}\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2+2z^2\geq 2(1-xy)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(P=5(x^2+y^2+z^2)-(x+y+\sqrt{2}z)^2-\sqrt{\frac{(x+y)^2+2z^2}{2}}\)
Câu trả lời của bạn
Từ \((x-y)^2+(\sqrt{2}x-z)^2+(\sqrt{2}y-z)^2\geq 0\)
Suy ra
\((x+y+\sqrt{2}z)^2\leq 4(x^2+y^2+z^2)(1)\)
Mặt khác
\(\sqrt{\frac{(x+y)^2+2z^2}{2}}\leq \sqrt{\frac{2(x^2+y^2)+2z^2}{2}}= \sqrt{x^2+y^2+z^2} \ \ (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(P\geq x^2+y^2+z^2-\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Lại đặt \(t=x^2+y^2+z^2,t\geq \frac{(x+y)^2+2z^2}{2}\geq 1\) (do (*))
Ta được \(P\geq t-\sqrt{t}\)
Xét hàm số \(f(t)=t-\sqrt{t}\) với \(t\geq 1\)
Ta có \(f'(t)=1-\frac{1}{2\sqrt{t}}>0\) với mọi \(t\geq 1\), nên hàm số f(t) đồng biến trên \([1;+\infty )\)
Suy ra \(f(t)\geq f(1)=0\Rightarrow P\geq 0\)
Do đó GTNN của P là 0, đạt được khi
\(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=1\\ x=y=\frac{z}{\sqrt{2}}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=\frac{1}{2}\\ z=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.\)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x\geq y\geq z\geq 0\\ x^2+y^2+z^2=3 \end{matrix}\right.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=2xy+8yz+5zx+\frac{10}{x+y+z}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(P=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)+6yz+3zx-3+\frac{10}{x+y+z}\)
\(P=(x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3+3z(2y+x)\)
Đặt
\(M=3z(2y+x)\Rightarrow P=(x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3+M\)
Ta có: \(M\geq 0 \ \ (1). Do \ x\geq y\geq z\geq 0\)
Theo Cauchy:
\(\sqrt{3z(2y+x)}\leq \frac{3z(2y+x)}{2}=\frac{2z+2y+x+z}{2}\leq \frac{2z+2y+x+x}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3z(2y+x)}\leq x+y+z\Leftrightarrow \sqrt{M}\leq x+y+z \Leftrightarrow M\leq (x+y+z)^2 \ \ (2)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(0\leq M\leq (x+y+z)^2\)
Suy ra: \((x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3\leq P\leq 2(x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3\)
Đặt t = x + y + z
Ta có:
\(t^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geq x^2+y^2+z^2=3\Leftrightarrow t^2\geq 3\Leftrightarrow t\geqslant \sqrt{3}\)
Mặt khác ta có:
\(xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow t^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\leq 3(x^2+y^2+z^2)=9\Leftrightarrow t\leq 3\)
Suy ra \(\sqrt{3}\leq t\leq 3\)
Do đó ta có:
\(t^2+\frac{10}{t}-3\leq P\leq 2t^2+\frac{10}{t}-3\) với \(t\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Xét hàm số: \(f(t)=t^2+\frac{10}{t}-3\) với \(t\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Ta có: \(f'(t)=2t-\frac{10}{t^2}=\frac{2(t^3-5)}{t^2}>0;\forall \in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến trên đoạn \(\left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Do đó ta có: \(P\geq f(t)\geq f(\sqrt{3})=\frac{10}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow MinP=\frac{10}{\sqrt{3}}\) đạt được khi \(x=\sqrt{3};y=z=0\)
Xét hàm số: \(g(t)=2t^2+\frac{10}{t}-3\)với \(t\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Ta có: \(g'(t)=4t-\frac{10}{t^2}=\frac{2(2t^3-5)}{t^2}> 0;\forall \in\) \(\left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Suy ra hàm số g(t) luôn đồng biến trên đoạn \(\left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Do đó ta có: \(P\leq g(t)\leq g(3)=\frac{55}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{55}{3}\) đạt được khi x = y = z = 1
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{ab+\sqrt{a^4+4a^2b^2}}{3b^2+a^2}+\frac{bc+\sqrt{b^4+4b^2c^2}}{3c^2+b^2}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(A=\frac{ab+\sqrt{a^4+4a^2b^2}}{3b^2+a^2};B=\frac{bc+\sqrt{b^4+4b^2c^2}}{3c^2+b^2}\)
Xét \(A=\frac{ab+\sqrt{a^4+4a^2b^2}}{3b^2+a^2}=\frac{\frac{b}{a}+\sqrt{1+4(\frac{b}{a})^2}}{3(\frac{b}{a})^2+1}\)
Đặt \(t=\frac{b}{a}>0\rightarrow A=\frac{t+\sqrt{1+4t^2}}{2t^2+1}= \frac{3t^2+1}{(3t^2+1)\sqrt{1+4t^2}-t}=\frac{1}{\sqrt{1+4t^2}-t}\)
\(f(t)=\sqrt{1+4t^2}-t\) trên \((0;+\infty )\)
\(f'(t)=\frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}}-1\rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
\(\underset{(0;+\infty )}{Min f(t)}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(t=\frac{1}{2\sqrt{3}}\rightarrow MaxA=\frac{2}{\sqrt{3}}\) khi \(a=2\sqrt{3}b\)
Tương tự \(MaxB=\frac{2}{\sqrt{3}}\) khi \(b=2\sqrt{3}c\)
Suy ra \(Max P =\frac{4}{\sqrt{3}}\) khi \(\left\{\begin{matrix} a=2\sqrt{3}b\\ b=2\sqrt{3}c\\ abc=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\sqrt{3}\\ b=1\\ c=\frac{1}{2\sqrt{3}} \end{matrix}\right.\)
Cứu với mọi người!
Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f(x)=\frac{2}{x}+\frac{x}{2}+1\) trên [1;3]
Câu trả lời của bạn
+ Hàm số f(x) xác định và liên tục trên [1;3]
\(f'(x)=\frac{-2}{x^2}+\frac{1}{2}=\frac{x^2-4}{2x^2}\)
\(f'(x)=0\rightarrow x^2-4=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=2 \in [1;3]\\ x=-2 \notin [1;3] \end{matrix}\)
Ta có
\(f(1)=\frac{7}{2};f(3)=\frac{19}{6};f(2)=3\)
\(\underset{[1;3]}{Max}f(x)=\frac{7}{2}\) khi x = 1
\(\underset{[1;3]}{Min}f(x)=3\) khi x = 2
Vậy
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 khi x = 2
+ Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\frac{7}{2}\) khi x = 1
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện \(x^4+y^4+5x^2y^2-2x^2-3y^2+2=0\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{2015x^2-3x^2y^2+2016y^2}{x^2+y^2+1}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(x^4+y^4+5x^2y^2-2x^2-3y^2+2=0\Leftrightarrow (x^2+y^2)^2-3(x^2+y^2)+2=-x^2-3x^2y^2\)
Ta thấy \(-x^2-3x^2y^2\leq 0\) với mọi số thức x, y
Đặt \(t=x^2+y^2\) thì ta có \(t^2-3t+2\leq 0\Leftrightarrow 1\leq t\leq 2\)
Ta có \(P=\frac{t^2+2013t+2}{t+1},t\in [1;2]\)
Xét hàm số \(f(t)=\frac{t^2+2013t+2}{t+1},t\in [1;2]\)
Suy ra \(f(t)=\frac{t^2+2t+2011}{(t+1)^2}\)
Ta có \(f'(t)>0,\forall t\in [1;2]\) Suy ra f(t) liên tục, đồng biến trên đoạn [1;2]
Vậy giá trị lớn nhất của P là 1344 khi \(\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=\sqrt{2} \end{matrix}\right. \ or \ \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-\sqrt{2} \end{matrix}\right.\)
Help me!
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\sqrt{x^2+y^2-2x+1}+\sqrt{x^2+4y^2+2x+1}+3x(3x-4y)+\frac{20y^2-9y+42}{5}\)
Câu trả lời của bạn
Viết lại \(P=\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(-x-1)^2+(2y)^2}+(3x-2y)^2-\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}\)
Đặt \(\vec{u}=(x-1;y);\vec{v}=(-x-1;2y)\Rightarrow \vec{u}+\vec{v}=(-2;3y)\)
Có \(\left | \vec{u} \right |+\left |\vec{v} \right |\geq \left | \vec{u}+\vec{v} \right |= \sqrt{4+9y^2}\) dấu"=" khi 2 vecto cùng hướng và \((3x-2y)^2\geq 0\) ; dấu "=" khi 3x = 2y
Khi đó \(P\geq \sqrt{4+9y^2}-\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}\)
Xét hàm \(f(y)= \sqrt{4+9y^2}-\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}/R\)
Có \(f'(y)=\frac{9(5y-\sqrt{4+9y^2})}{5\sqrt{4+9y^2}};f'(y)=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\)
Lập BBT, suy ra \(minf=f(\frac{1}{2})=10\)
Suy ra \(minP = 10 \ khi \ y= \frac{1}{2} ; x= \frac{1}{3}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *