Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.
M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)
Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
Khi đó :
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).
b) Hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3].\)
Lời giải:
a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
\(y'=3x^2-6x-9.\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
b) Xét hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\) xác định trên \((1;3].\)
\(y'=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)
\(y' = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right]\\ x = 1 - \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right] \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất \(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3]} y = 9\), Hàm số không có giá trị lớn nhất.
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\).
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
Lời giải:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
\({f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2\)
\({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).
Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3}\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = 1\)
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) xác định trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)
\({f^/}\left( x \right) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in\left [ -\frac{1}{2};1 \right ]\)
Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = - 3\)
Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = 0\); \(\mathop {min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = - 3\)
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2 = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\)
Đặt: \(t = {\cos ^2}x\) suy ra \(t \in \left[ { - 1;1} \right];\forall x \in \mathbb{R}\).
Xét hàm số: \(g\left( t \right) = - {t^2} - 2t + 3\) trên đoạn \([-1;1]\).
Ta có: \({g^/}\left( t \right) = - 2t - 2\)
\({g^/}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Tính: \(g\left( { - 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0\).
Vậy: \(\max f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 4\); \(\min f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 0\).
DapAnHay giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất, trọng tâm bài học các em cần phải nắm được hai phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Để kiểm tra xem đã nắm được bài học hay chưa, cũng như rèn luyện khả năng giải bài tập, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 3sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 23 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.34 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.35 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.36 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.37 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.38 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.39 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.40 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.41 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.42 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.43 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.44 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.45 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.46 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 16 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 24 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 24 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp, các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \log _2^2x - 4{\log _2}x + 1\) trên đoạn [1;8].
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0?
GTLN của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên khoảng (0;4) đạt được
GTLN của hàm số y=-x2+4x+7 đạt được khi x bằng:
GTLN của hàm số \(y = {\sin ^2}x - \sqrt 3 \cos x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
GTNN của hàm số \(y = x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\).
b) \(y = x^4 - 3x^2 + 2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\).
c) \(y =\frac{ (2-x)}{(1-x)}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\).
d) \(y =\sqrt{(5-4x)}\) trên đoạn \([-1;1]\).
Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{4}{1+x^2}\).
b) \(y=4x^3-3x^4\).
Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \left | x \right |\);
b) \(y = x+\frac{4}{x} ( x > 0)\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {25 - {x^2}} \) trên đoạn
b) \(f\left( x \right) = |{x^2} - 3x + 2|\) trên đoạn
c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\);
d) \(f\left( x \right) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{x}{{4 + {x^2}}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\);
b) \(y = \frac{1}{{\cos x}}\) trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\);
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x + \frac{9}{x}\) trên đoạn [2;4].
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật
Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 5\) trên đoạn [0;3] bằng:
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 0
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) trên đoạn [-4;3] bằng:
A. - 5
B. 0
C. 7
D. - 12
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn [0;2] bằng:
A. \(\frac{1}{3}\) và 3
B. \(\frac{3}{2}\) và -1
C. 2 và -3
D. \(\frac{1}{2}\) và 5
Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.
A. 13 và 0
B. \(\frac{{13}}{2}\) và \( - \frac{{13}}{2}\)
C. 15 và 2
D. 30 và 15
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) là:
A. 1
B. \(\frac{4}{3}\)
C. \(\frac{5}{3}\)
D. 0
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x + \cos x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là:
A. 1
B. \(2\sqrt 2 \)
C. \( - \sqrt 2 \)
D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn [-2; 3]
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn [-4; 0]
c) \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\)
d) \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn [2; 4]
e) \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\) trên đoạn [0; 1]
f) \(f\left( x \right) = x - \frac{1}{x}\) trên đoạn (0; 2]
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=2x+\frac{3}{x}\) trên đoạn [2;5]
Câu trả lời của bạn
Ta có hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [2;5]
Đạo hàm \(f'(x)=2-\frac{3}{x^2}=\frac{2x^2-3}{x^2}\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\notin [2;5]\)
\(f'(2)=\frac{11}{2},f(5)=\frac{53}{5}\)
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn [2;5] lần lượt là \(\frac{53}{5}\) và \(\frac{11}{2}\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z\leq \frac{3}{2}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}+\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}\)
Câu trả lời của bạn
Biến đổi biểu thức P, ta có:
\(P=\frac{\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2}{y+\frac{1}{z}}+\frac{\left ( y+\frac{1}{z} \right )^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left ( z+\frac{1}{x} \right )^2}{x+\frac{1}{y}}\)
Chứng minh bất đẳng thức:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c \ (a,b,c>0)\) (1)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\frac{a^2}{b}+b\geq 2a,\frac{b^2}{c}+c\geq 2b,\frac{c^2}{a}+a\geq 2c\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\)
Sử dụng (1) ta suy ra:
\(P\geq \left ( x+\frac{1}{y} \right )+\left ( y+\frac{1}{z} \right )+\left ( z+\frac{1}{x} \right )=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=Q\)
Tiếp tục đánh giá Q, ta có: \(Q \geq 3\sqrt[3]{xyz}+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Đặt \(t=\sqrt[3]{xyz}\), ta có \(0<t=\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{x+y+z}{3}\leq \frac{1}{2}\)
Khi đó: \(Q\geq 3t+\frac{3}{t}=12t+\frac{3}{t}-9t=\frac{15}{2}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{15}{2}\) khi đạt \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Help me!
Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} + \sqrt{\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}}\)
Câu trả lời của bạn
\(P = \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} + \sqrt{\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}}\)
Bất đẳng thức phụ: Với 6 số dương bất kì x1, x2, x3, y1, y2, y3, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số, ta có:
\(\left [ \left ( \frac{x_1}{\sqrt{y_1}} \right )^2 + \left ( \frac{x_2}{\sqrt{y_2}} \right )^2 + \left ( \frac{x_3}{\sqrt{y_3}} \right )^2 \right ] \left [ (\sqrt{y_1})^2 + \sqrt{y_2})^2 + \sqrt{y_3})^2\right ] \geq \left ( \frac{x_1}{\sqrt{y_1}}.\sqrt{y_1} + \frac{x_2}{\sqrt{y_2}}.\sqrt{y_2} + \frac{x_3}{\sqrt{y_3}}.\sqrt{y_3}\right )\)
\(\Leftrightarrow \frac{x_{1}^{2}}{y_1} + \frac{x_{2}^{2}}{y_2} + \frac{x_{3}^{2}}{y_3} \geq \frac{(x_1 + x_2 + x_3)^2}{y_1 + y_2 + y_3}\ (^*)\)
Trở lại bài toán: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số dương, ta có:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}} = \sqrt{\frac{2a^2}{2a(b+c)}} \geq \sqrt{\frac{4.2a^2}{(2a+b+c)^2}} = 2\sqrt{2}.\frac{a}{2a+b+c} = 2\sqrt{2}.\frac{a^2}{2a^2+ab+ac}\)
Ta có hai bất đẳng thức tương tự, kết hợp áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq 2\sqrt{2}\left ( \frac{a^2}{2a^2+ab+bc} + \frac{b^2}{2b^2+bc+ba} + \frac{c^2}{2c^2+ca+cb} \right )\)
\(\geq 2\sqrt{2}.\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)} = \frac{\sqrt{2}.\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} +2 \right )}{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + 1}\)
Đặt \(t = \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ (t\geq 1)\), ta có \(P \geq \frac{\sqrt{2}(t+2)}{t+1}+\sqrt{2t}\)
Xét hàm số \(f(f) = \frac{\sqrt{2}(t+2)}{t+1}+\sqrt{2t}\) trên \([1; + \infty )\)
\(f'(t) = - \frac{\sqrt{2}}{(t+1)^2} + \frac{1}{\sqrt{2t}} = \frac{t^2+t+(\sqrt{t}-1)^2}{(t+1)^2\sqrt{2t}} > 0,\ \forall t \in [1; + \infty )\)
Hàm số \(f(t)\) đồng biến và liên tục trên \([1; + \infty )\), do đó: \(f(t) \geq f(1) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \Rightarrow P \geq \frac{5\sqrt{2}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.
Vậy GTNN của P là \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=(x-1)(y-1)(z-1)\)
Câu trả lời của bạn
Từ giả thiết ta có \(x < xyz\Rightarrow yz > 1\) tương tự cũng có: \(zx> 1,xy>1\)
Do đó có tối đa 1 trong 3 số x, y, z bé hơn 1.
TH1: Có đúng 1 số bé hơn 1, chẳng hạn: \(x<1;y\geq 1;z\geq 1\) khi đó \(P\leq 0\)
TH2: \(x\geq 1,y\geq 1,z\geq 1\)
Đặt \(x-1=a,y-1=b,z-1=c\) với a,b,c > 0
Giả thiết bài toán trở thành \(a+b+c+3=(a+1)(b+1)(c+1)\Leftrightarrow ab+bc+ca+abc=2\) (*)
Đặt \(\sqrt[3]{abc}\), ta có:
\(ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3t^2\)
Từ (*), (**) suy ra: \(t^3+3t^2\leq 2\)
\(\Leftrightarrow (t+1)(t+1+\sqrt{3})(t+1-\sqrt{3})\leq 0\Leftrightarrow t\leq \sqrt{3}-1\)
Do đó \(\sqrt[3]{abc}\leq \sqrt{3}-1\Leftrightarrow abc\leq (\sqrt{3}-1)^3\) hay \((x-1)(y-1)(z-1)\leq (\sqrt{3}-1)^3\)
Dấu bằng xảy ra khi: \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Vậy \(maxP=(\sqrt{3}-1)^3\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\left ( \frac{a+b+c}{2016} \right )^2\leq 4abc\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{ab}}\)
Câu trả lời của bạn
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có
\(P\leq \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{a\sqrt{bc}}}+\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{c\sqrt{ca}}}+\frac{\sqrt{c}}{2\sqrt{c\sqrt{ca}}}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt[4]{ab}}+ \frac{1}{\sqrt[4]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[4]{ca}} \right )\)
Với các số thực x, y, z, ta có \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\Leftrightarrow xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2\)
Do đó \(\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt[4]{ab}}+ \frac{1}{\sqrt[4]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[4]{ca}} \right )\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} +\frac{1}{\sqrt{c}}\right )\)
\(=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}\sqrt{ca}}{2\sqrt{abc}}\leq \frac{a+b+c}{2\sqrt{abc}}\)
Suy ra \(P\leq \frac{a+b+c}{2\sqrt{abc}}\)
Từ giả thiết, ta có \(a+b+c\leq 4032\sqrt{abc}\). Do đó \(P\leq 2016\)
Với \(a=b=c=\frac{1}{1344^2}\), ta có P = 2016. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2016.
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1)\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(z=min\left \{ x;y;z \right \}\). Đặt \(x+\frac{z}{2}=u;y+\frac{z}{2}=v\Rightarrow u>0;v>0\)
Ta có \(x^2+z^2\leq (x+\frac{z}{2})^2\Leftrightarrow \frac{3}{4}z^2-xz\leq 0\Leftrightarrow z(3a-4x)\leq 0\) luôn đúng
Vậy \(x^2+z^2\leq (x+\frac{z}{2})^2=u^2;y^2+z^2\leq v^2;x^2+y^2\leq u^2+v^2\)
Mà với u, v > 0 ta có \(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\geq \frac{4}{u+v}\) và \(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}\geq \frac{8}{(u+v)^2}\)
Vậy \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}\geq \frac{1}{u^2+v^2}+ \frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}=\)
\(\frac{1}{u^2+v^2}+\frac{1}{4}(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2})+\frac{3}{4}(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2})\)
\(\geq \frac{1}{u^2+v^2}+\frac{1}{2uv}+\frac{6}{(u+v)^2}\geq \frac{4}{(u+v)^2}+\frac{6}{(u+v)^2}=\frac{10}{(u+v)^2}=\frac{10}{(x+y+z)^2}\)
Mà
\((x+1)(y+1)(z+1)=xyz+(xy+xz+yz)+x+y+z+1=\)
\(xyz+x+y+z+2\geq x+y+z+2\)
Vậy \(P\geq \frac{10}{(x+y+z)^2}+\frac{5}{2}(x+y+z)+5\). Đặt \(x+y+z=t \ (t\geq \sqrt{3})\)
Xét \(f(t)=\frac{10}{t^2}+\frac{5}{2t}\) với \(t\geq \sqrt{3}\). Ta có \(f'(t)=-\frac{20}{t^3}+\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow t=2\)
Từ đó ta có: \(P\geq f(2)=10+\frac{5}{2}=\frac{25}{2}\)
Khi \(x=y=1;z=0\) thì \(P=\frac{25}{2}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{25}{2}\)
Help me!
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x\geq y\geq z\) và \(x+y+z=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\frac{x}{z}+xz\geq 2x, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{z}{y}+yz\geq 2z\)
Từ đó suy ra \(P=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y\geq 2z-yz+3y\)
\(=2(x+z)+y(x+y+z)-xz-yz=2(x+z)+y^2+x(y-z)\)
Do \(x>0\) và \(y\geq z\) nên \(x(y-z)\geq 0\). Từ đây kết hợp với trên ta được\(P=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y\geq 2(x+z)+y^2=2(3-y)+y^2=(y-1)^2+\geq 5\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x = y = z = 1
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x+ y+z\geq 2\) và \(x^2+y^2+2z^2=4\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{(x+y+z)^2}-\frac{2}{2x+y+\sqrt{8yz}}\)
Câu trả lời của bạn
+ Ta có \(4=x^2+y^2+2z^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{\frac{1}{2}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{1+1+\frac{1}{2}}=\frac{(x+y+z)^2}{\frac{5}{2}}\)
\(\Rightarrow 4.\frac{5}{4}\geq (x+y+z)^2\leq 10\Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{10}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow 2\leq t\leq \sqrt{10}\)
+ Ta có \(2x+y+\sqrt{8yz}=2x+y+2\sqrt{y.2z}\leq 2x+y+y+2z=2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2x+y+\sqrt{8yz}}\geq \frac{1}{2x+2y+2z}\Rightarrow \frac{-2}{2x+y+\sqrt{8yz}} \leq\) \(\frac{-2}{2x+2y+2z}=\frac{-1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{1}{(x+y+z)^2}-\frac{1}{x+y+z}\)
+ Xét hàm số
\(f(t)=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t},t\in [2;\sqrt{10}]\)
\(\Rightarrow f'(t)=\frac{t-2}{t^3}\geq 0\forall t\in [2;\sqrt{10}]\)
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên \([2;\sqrt{10}]\Rightarrow f(t)\leq f(\sqrt{10})=\frac{1-\sqrt{10}}{10}\)
+ Vậy \(MaxP=\frac{1-\sqrt{10}}{10}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=2z\\ x^2+y^2+2z^2=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=\frac{2\sqrt{10}}{5}\\ \\ z=\frac{\sqrt{10}}{5} \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn \(x + y + z = \frac{3}{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x^3 + y^3 + z^3 + x^2 y^2 z^2\).
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(x = \min \{ x, y, z\}\) suy ra \(x \in \left [ 0;\frac{1}{2} \right ]\)
Ta có \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)\)
\(\Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz + (x+y+z)[(x+y+z)^2 - 3(xy + yz + zx)]\)
\(= 3xyz + \frac{27}{8} - \frac{9(xy + yz + zx)}{2}\)
Ta có \(P = x^3 + y^3 + z^3 + x^2y^2z^2 = x^2y^2z^2 + 3xyz + \frac{27}{8} - \frac{9}{2}(xy + yz + zx)\)
\(= \left ( xyz - \frac{1}{8} \right )^2 - \frac{1}{64} + \frac{13}{4}xyz + \frac{27}{8} - \frac{9}{2}(xy + yz + zx)\) \(\geq \frac{215}{64} - \frac{9}{2}(xy + zx) - yz \left ( \frac{9}{2} - \frac{13}{4} \right )\)
Vì \(x \in \left [ 0; \frac{1}{2} \right ] \Rightarrow \frac{9}{2} - \frac{13}{4}x \geq 0 \Rightarrow -yz\left ( \frac{9}{2} - \frac{13}{4}x \right ) \geq \left ( \frac{y+z}{2} \right )^2 \left ( \frac{9}{2} - \frac{13}{4}x \right )\)
Suy ra \(P \geq \frac{215}{64} - \frac{9}{2}x \left (\frac{3}{2} - x \right ) - \frac{1}{4} \left (\frac{3}{2} - x \right )^2 \left (\frac{9}{2} - \frac{13}{4}x \right )\)
Xet\(f(x) = \frac{215}{64} - \frac{9}{2}x \left (\frac{3}{2} - x \right ) - \frac{1}{4} \left (\frac{3}{2} - x \right )^2 \left (\frac{9}{2} - \frac{13}{4}x \right ), x \in \left [ 0; \frac{1}{2} \right ]\)
Hàm số f(x) nghịch biến trên \(\left [ 0; \frac{1}{2} \right ] \Rightarrow f_{(x)} \geq f_{(\frac{1}{2})} = \frac{25}{64}\)
Vậy GTLN của P bằng \(\frac{25}{64}\) đạt khi \(x = y = z = \frac{1}{2}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho x, y, z > 0 và \(5(x^2 + y^2 + z^2) = 9(xy + 2yz + zx)\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{y^2 + z^2} - \frac{1}{(x+y+z)^3}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(y+z=t \ (t>0); \ y^2 + z^2 \geq \frac{t^2}{2}; \ yz \leq \frac{t^2}{4}\)
\(5(x^2 + y^2 + z^2) = 9(xy + 2yz + xz)\)
\(\Leftrightarrow 5x^2 + 5(y+z)^2 - 9x(y+z) = 28yz\)
\(\Leftrightarrow 5x^2 + 5t^2 - 9xt = 7t^2\)
\(\Leftrightarrow (5x+t)(x-2t) \leq 0\)
\(\Leftrightarrow x \leq 2t\)
\(P \leq \frac{2x}{t^2} - \frac{1}{27t^3} \leq \frac{4}{t} - \frac{1}{27t^3}\)
Xét hàm số \(f(t) = \frac{4}{t} - \frac{1}{27t^3}\) với t > 0
\(f'(t) = -\frac{4}{t^2} + \frac{1}{9t^4}\)
\(\left\{\begin{matrix} f'(t) = 0\\ t > 0 \ \ \ \ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow t = \frac{1}{6}\)
Lập bảng biến thiên từ đó suy ra GTLN của P bằng 16 đạt được tại \(x = \frac{1}{3};\ y = z = \frac{1}{12}\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn \(5(a^2 + b^2 + c^2) = 6(ab + bc + ca)\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt{2(a+b+c)} - (b^2 + c^2)\).
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(5a^2 + \frac{5}{2}(b^2+c^2) \leq 5a^2 + 5(b^2+c^2) = 6(ab+bc+ca) \leq 6a(b+c) + 6\frac{(b^2+c^2)}{4}\)
\(\Rightarrow 5a^2 - 6a(b+c) + (b+c)^2 \leq 0\)
\(\Rightarrow \frac{b+c}{5} \leq a \leq b+c\)
\(\Rightarrow a+b+c \leq 2(b+c)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b + c, b = c
Khi đó
\(P = \sqrt{2(a+b+c)} - (b^2+c^2) \leq \sqrt{4(b+c)} - \frac{1}{2}(b+c)^2 = 2\sqrt{b+c} - \frac{1}{2}(b+c)^2\)
Đặt \(t = \sqrt{b+c}\ (t \geq 0)\)
Ta có \(P = 2t - \frac{1}{2}t^4\)
Xét hàm số \(f(t) = 2t - \frac{1}{2}t^4\) trên \([0; + \infty )\)
\(f'(t) = 2-2t^3\)
\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
Bảng biến thiên
Từ BBT suy ra \(\max f(t) = \frac{3}{2}\) khi t = 1, do đó
\(\max P = \frac{3}{2}\) khi \(x = 1, b = c = \frac{1}{2}\)
Help me!
Các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = (x^2 - xy + y^2)(y^2 - yz + z^2)(z^2 - zx + x^2)\).
Câu trả lời của bạn
Không mất tính tổng quát, giả sử \(0 \leq z\leq y\leq x\leq 3\)
Khi đó có \(\left\{\begin{matrix} z(z-x) \leq 0\\ z(z-y) \leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z^2 - zx \leq 0\\ z^2 - yz \leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z^2 - zx + x^2 \leq x^2\\ z^2 - yz + y^2 \leq y^2 \end{matrix}\right.\)
Từ đó \(P \leq x^2y^2(x^2-xy+y^2) = x^2y^2[(x+y)^2 - 3xy] = x^2y^2(x+y)^2 - 3x^3y^3 \leq\)
\(\leq (xy)^2(x+y+z)^2 - 3(xy)^3 = 9(xy)^2 - 3(xy)^3\)
Ta có \(2\sqrt{xy} \leq x+y \leq x+y+z = 3 \Leftrightarrow xy \leq \frac{9}{4}\)
Đặt \(t = xy \Rightarrow 0 \leq t \leq \frac{9}{4}\)
Xét hàm số \(f(t) = 9t^2 - 3t^3\) với \(t \in \left [ 0; \frac{9}{4} \right ]\). Ta có \(f'(t) = 18t - 9t^2 = 0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 0\\ t = 2 \end{matrix}\)
Tính được \(f(0) = 0; f(2) = 12; f \left (\frac{9}{4} \right ) = \frac{729}{64}\) suy ra \(\underset{\left [ 0; \frac{9}{4} \right ]}{\max}\ f(t) = 12\)
Ta có \(P \leq f(t) \leq 12\)
Từ đó giá trị lớn nhất của P bằng 12. Đạt được chẳng hạn (x; y; z) = (0; 1; 2)
Cứu với mọi người!
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=5^{2x}+5^y\), biết rằng \(x\geq 0;y\geq 0\) và x + y = 1
Câu trả lời của bạn
Từ giả thiết và điều kiện của x, y ta có: \(y=1-x\) và \(0\leq x\leq 1\)
Ta có \(P=5^{2x}+5^y=5^{2x}+5^{1-x}\)
Đặt \(t=5^x,1\leq t\leq 5\). Ta có \(P=t^2+\frac{5}{t};P'=2t-\frac{5}{t^2};P'=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{\frac{5}{2}}\)
\(P(1)=6,P(5)=26,P(\sqrt[3]{\frac{5}{2}})=\left ( \sqrt[3]{\frac{5}{2}}\right )^2+5\sqrt[3]{\frac{5}{2}}\)
Ta có
\(P_{max}=26\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=0 \end{matrix}\right.\)
\(P_{min}=\left ( \sqrt[3]{\frac{5}{2}} \right )^2+5\sqrt[3]{\frac{5}{2}}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=log_5\sqrt[3]{\frac{5}{2}} \ \ \ \ \\\ \\ y=1-log_5\sqrt[3]{\frac{5}{2}} \end{matrix}\right.\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x > y, (x + z)(y + z) = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{1}{(x-y)^2} + \frac{4}{(x+z)^2} + \frac{4}{(y+z)^2}\)
Câu trả lời của bạn
\(a = x + z \Rightarrow y + z = \frac{1}{a}\)
\(x > y \Rightarrow x + z > y + z \Rightarrow a > \frac{1}{a} \Rightarrow a > 1\)
\(x- y = x + z - (y + z) = \frac{a^2 - 1}{a}\)
Thay vào P được:
\(P = \frac{a^2}{(a^2 - 1)^2} + \frac{4}{a^2} + 4a^2\)
\(P = \frac{a^2}{(a^2 - 1)^2} + 3a^2 + \frac{4}{a^2} + a^2 \geq \frac{a^2}{(a^2 - 1)^2} + 3a^2 + 4\)
Xét \(f'(t) = \frac{t}{(t-1)^2} + 3t + 4; t = a^2 > 1\)
\(f'(t) = \frac{-t-1}{(t-1)^3} + 3; f'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{3t^3 + 9t^2 + 8t - 4}{(t-1)^3} = 0 \Leftrightarrow t = 2; (t>1)\)
\(\underset{t>1}{Min} f(t) = 12\). Vậy \(Min \ P = 12\) khi \(x + z = \sqrt{2}; y + z = x -y = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: \((a+c)(b+c)=4c^2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(P=\frac{4a}{(b+c)}+\frac{4b}{(a+c)}-\frac{2ab}{c^2}+\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}\)
Câu trả lời của bạn
Từ giả thiết ta có: \(\left ( \frac{a}{c}+1 \right )\left ( \frac{b}{c}+1 \right )=4\)
\(P=\frac{4a}{(b+c)} + \frac{4b}{(a+c)} - \frac{2ab}{c^2}+\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}\)
\(= \frac{4 \frac{a}{c}}{ \frac{b}{c}+1} + \frac{4 \frac{b}{c}}{ \frac{a}{c}+1}-2\frac{a}{c}.\frac{b}{c}+\sqrt{\left ( \frac{a}{c} \right )^2+ \left ( \frac{b}{c} \right )^2}\)
Đặt \(\frac{a}{c}=x;\frac{b}{c}=y\Rightarrow x,y>0\) và \((x+1)(y+1)=4\Leftrightarrow x+y+xy=3\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0< xy\leq 1\\ x+y\leq 2 \end{matrix}\right.\)
\(P=\frac{4x}{y+1}+\frac{4y}{x+1}-2xy+\sqrt{x^2+y^2}=7-5xy+\sqrt{(xy^2)-8xy+9}\)
\(=7- 5t - \sqrt{t^2 - 8t + 9} = f(t)\)
Với \(t=xy,0< t\leq 1\)
ta có \(f'(t)=-5+\frac{t-4}{\sqrt{t^2-8t+9}}<0\) với \(0< t\leq 1\)
suy ra hàm f(t) nghịch biến trên (0;1].
\(MinP=Minf(t)=f(1)=2-\sqrt{2}\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho a, b, c là 3 số thực dương và thỏa 21ab + 2bc + 8ca \(\leq 12\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow x,y,z>0\)
\(2x+8y+21z\leq 12xyz\) và \(S=x+2y+3z\)
\(2x+8y+21z\leq 12xyz\Rightarrow z(12xy-21)\geq 2x+8y\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z\geq \frac{2x+8y}{12xy-21}\\ \\ 12xy-21>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z\geq \frac{2x+8y}{12xy-21}\\ x> \frac{7}{4y} \end{matrix}\right.\)
Ta có: \(S\geq x+2y+\frac{2x+8y}{4xy-7}\)
Xét hàm số \(f(x)=x+2y+\frac{2x+8y}{4xy-7}\) trên \(\left ( \frac{7}{4y};+\infty \right )\)
\(f'(x)=1-\frac{14+32y^2}{(4xy-7)^2}=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{4y}+\frac{\sqrt{32y^2+14}}{4y}\in \left ( \frac{7}{4y};+\infty \right )\)
Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x) ta có:
\(S\geq f(x)\geq f\left ( \frac{7}{4y}+\frac{\sqrt{32y^2+14}}{4y} \right )=2y+\frac{9}{4y}+\frac{\sqrt{32y^2+14}}{4y}\)
Xét hàm số \(g(y)=2y+\frac{9}{4y}+\frac{\sqrt{32y^2+14}}{4y}\) trên \((0;+\infty )\)
\(g'(y)=\frac{(8y^2-9)\sqrt{32y^2+14}-28}{4y^2\sqrt{32y^2+14}}=0\Leftrightarrow y=\frac{5}{4}\in(0;+\infty )\)
Lập bảng biến thiên cho hàm số z = g(y) ta có:
\(S\geq g(y)\geq g\left ( \frac{5}{4} \right )=\frac{15}{2}\)
Vậy \(minS=\frac{15}{2}\) khi \(a=\frac{1}{3},b=\frac{4}{5}, c =\frac{3}{2}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=17(a+b+c)-2ab\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=a+b+c+243\left ( \frac{3}{\sqrt{2a+67}} +\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\right )\)
Câu trả lời của bạn
\(a^2+b^2+c^2=17(a+b+c)-2ab\Leftrightarrow (a+b)^2+c^2=17(a+b+c)\)
\((a+b+c)^2=\left [ (a+b)+c \right ]^2\leq 2\left [ (a+b)^2+c^2 \right ]\)
\(\left [ (a+b)^2+c^2 \right ]\geq \frac{1}{2}(a+b+c)^2\Leftrightarrow 17(a+b+c)\geq \frac{1}{2}(a+b+c)^2\)
\(0< a+b+c\leq 34\)
Áp dụng bđt cô si:
\((2a+67)+81\geq 2\sqrt{(2a+67)81}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2a+67}}\geq \frac{9}{a+74}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{2a+67}}\geq \frac{27}{a+74}\)
Áp dụng bđt cô si:
\((b+c)+27+27\geq 3\sqrt[3]{(b+c)27.27}=27\sqrt[3]{b+c}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\geq \frac{27}{b+c+54}\)
\(\frac{3}{\sqrt{2a+67}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\geq \frac{27}{a+74}+\frac{27}{b+c+54}\geq \frac{27.4}{a+b+c+128}\)
\(P\geq a+b+c+\frac{234.27.4}{a+b+c+128}=t+\frac{162^2}{t+128};0< t=a+b+c\leq 34\)
Xét hàm số \(f(t)=t+\frac{162^2}{t+128};t\in (0;34]\)
\(f'(t)=1-\frac{162^2}{(t+128)^2}=\frac{(t-34)(t+290)}{(t+128)^2}\)
\(f'(t)=1-\frac{162^2}{(t+128)^2}=\frac{(t-34)(t+290)}{(t+128)^2}\leq 0;\forall t\in (0;34]\)
Hàm số f(t) nghịch biến trên (0;34] nên f(t) đạt GTNN bằng 196 khi t = 34
Dấu bằng xảy ra khi
\(\left\{\begin{matrix} a+b+c+=34\\ a+b=c\\ b+c=27\\ a+74=b+c+54 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=7\\ b=10\\ c=17 \end{matrix}\right.\)
Vậy MinP =196 khi a =7, b= 10, c =17
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=(x-2)e^x\) trên đoạn [0;2]
Câu trả lời của bạn
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [0;2] và \(f'(x)=(x-1)e^x\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\) (thỏa mãn )
\(f(0)=-2;f(1)=-e;f(2)=0\)
Vậy Giá trị lớn nhất của hàm số là 0 khi x = 2
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -e khi x = 1
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\frac{9}{x-1}\) trên đoạn [2;5]
Câu trả lời của bạn
Ta có \(y'=1-\frac{9}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2}\)
\(y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-2 \ (L)\\ x=4 \end{matrix}\)
Ta có}
\(y(2)=11;y(4)=7;y(5)=\frac{29}{4}\)
Vậy \(\underset{[2;5]}{min}y=7\) khi x = 4; \(\underset{[2;5]}{max}y=11\) khi x =2
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{bc}{\sqrt{3a+bc}} + \frac{ca}{\sqrt{3b+ca}} + \frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\)
Câu trả lời của bạn
Vì a + b + c = 3 ta có \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}} = \frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c) + bc}} = \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \leq \frac{bc}{2} \bigg (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} \bigg)\)
Vì theo BĐT Cô-Si: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} \geq \frac{2}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\), dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c
Tương tự \(\frac{ca}{\sqrt{3b+ca}} \leq \frac{ca}{2} \bigg (\frac{1}{b+a}+\frac{1}{b+c}\bigg )\) và \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}} \leq \frac{ab}{2} \bigg (\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\bigg )\)
Suy ra \(P \leq \frac{bc+ca}{2(a+b)} + \frac{ab+bc}{2(c+a)} + \frac{ab+ca}{2(b+c)} = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = \(\frac{3}{2}\) khi a = b = c = 1
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *