Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.
M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)
Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
Khi đó :
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).
b) Hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3].\)
Lời giải:
a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
\(y'=3x^2-6x-9.\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
b) Xét hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\) xác định trên \((1;3].\)
\(y'=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)
\(y' = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right]\\ x = 1 - \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right] \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất \(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3]} y = 9\), Hàm số không có giá trị lớn nhất.
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\).
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
Lời giải:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
\({f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2\)
\({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).
Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3}\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = 1\)
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) xác định trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)
\({f^/}\left( x \right) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in\left [ -\frac{1}{2};1 \right ]\)
Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = - 3\)
Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = 0\); \(\mathop {min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = - 3\)
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2 = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\)
Đặt: \(t = {\cos ^2}x\) suy ra \(t \in \left[ { - 1;1} \right];\forall x \in \mathbb{R}\).
Xét hàm số: \(g\left( t \right) = - {t^2} - 2t + 3\) trên đoạn \([-1;1]\).
Ta có: \({g^/}\left( t \right) = - 2t - 2\)
\({g^/}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Tính: \(g\left( { - 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0\).
Vậy: \(\max f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 4\); \(\min f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 0\).
DapAnHay giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất, trọng tâm bài học các em cần phải nắm được hai phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Để kiểm tra xem đã nắm được bài học hay chưa, cũng như rèn luyện khả năng giải bài tập, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 3sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 23 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.34 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.35 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.36 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.37 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.38 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.39 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.40 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.41 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.42 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.43 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.44 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.45 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.46 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 16 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 24 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 24 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp, các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \log _2^2x - 4{\log _2}x + 1\) trên đoạn [1;8].
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0?
GTLN của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên khoảng (0;4) đạt được
GTLN của hàm số y=-x2+4x+7 đạt được khi x bằng:
GTLN của hàm số \(y = {\sin ^2}x - \sqrt 3 \cos x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
GTNN của hàm số \(y = x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\).
b) \(y = x^4 - 3x^2 + 2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\).
c) \(y =\frac{ (2-x)}{(1-x)}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\).
d) \(y =\sqrt{(5-4x)}\) trên đoạn \([-1;1]\).
Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{4}{1+x^2}\).
b) \(y=4x^3-3x^4\).
Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \left | x \right |\);
b) \(y = x+\frac{4}{x} ( x > 0)\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {25 - {x^2}} \) trên đoạn
b) \(f\left( x \right) = |{x^2} - 3x + 2|\) trên đoạn
c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\);
d) \(f\left( x \right) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{x}{{4 + {x^2}}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\);
b) \(y = \frac{1}{{\cos x}}\) trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\);
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x + \frac{9}{x}\) trên đoạn [2;4].
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật
Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 5\) trên đoạn [0;3] bằng:
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 0
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) trên đoạn [-4;3] bằng:
A. - 5
B. 0
C. 7
D. - 12
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn [0;2] bằng:
A. \(\frac{1}{3}\) và 3
B. \(\frac{3}{2}\) và -1
C. 2 và -3
D. \(\frac{1}{2}\) và 5
Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.
A. 13 và 0
B. \(\frac{{13}}{2}\) và \( - \frac{{13}}{2}\)
C. 15 và 2
D. 30 và 15
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) là:
A. 1
B. \(\frac{4}{3}\)
C. \(\frac{5}{3}\)
D. 0
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x + \cos x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là:
A. 1
B. \(2\sqrt 2 \)
C. \( - \sqrt 2 \)
D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn [-2; 3]
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn [-4; 0]
c) \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\)
d) \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn [2; 4]
e) \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\) trên đoạn [0; 1]
f) \(f\left( x \right) = x - \frac{1}{x}\) trên đoạn (0; 2]
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{8x^2+4xz+5z^2}=4x+y+2z\) và \(x\in [0;5]\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\sqrt{2z+21-xy}-\sqrt{x+z+10-xy}\)
Câu trả lời của bạn
Với mọi x, y, z ta có
\(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}=\sqrt{(2x+y)^2+(x-y)^2}\geq \sqrt{(2x+y)^2}\)
\(=\left | 2x+y \right |\geq 2x+y\)
\(\sqrt{8x^2+4xz+5z^2}=\sqrt{4(x+z)^2+(z-2x)^2}\geq \sqrt{4(x+z)^2}\)
\(=2\left | x+z \right |\geq 2(x+z)\)
Suy ra \(VT\geq 4x+y+2z\)
Gt \(\Leftrightarrow\) Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ z=2x\\ x\geq 0 \end{matrix}\right.\)
Thay vào biểu thức ta có \(P=\sqrt{-x^2+4x+21}-\sqrt{-x^2+3x+10}=f(x)\) liên tục trên [0;5]
Có \(f'(x)=\frac{2-x}{\sqrt{-x^2+4x+21}}-\frac{3-2x}{2\sqrt{-x^2+3x+10}}\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)
Ta có \(f'(0)=\sqrt{21}-\sqrt{10};f(\frac{1}{3})=\sqrt{2};f(5)=4\)
Vậy
\(maxP=4\) khi x = y = 5; z = 10
\(minP=\sqrt{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{3};z=\frac{2}{3}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho các số thực a, b, c thuộc \(\left [ 4;6 \right ]\) và thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=15\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+30abc+180}{ab+bc+ac}-\frac{1}{20}abc\)
Câu trả lời của bạn
\(P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+30abc+180}{ab+bc+ac}-\frac{1}{20}abc\)
\((ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2a^2bc+2abc^2\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 +30abc\)
Do đó:
\(P=\frac{(ab+bc+ca)^2+180}{ab+bc+ca}-\frac{1}{20}abc\)
Biến đổi các đại lượng khác của bài toán theo đại lượng:
\(t=ab+bc+ca\)
Thứ nhất:
\((a-4)(b-4)(c-4)\geqslant 0\Leftrightarrow (ab-4a-4b+16)(c-4)\geqslant 0\)
\(\Leftrightarrow abc-4ac-4bc+a6c-4ab+16a+16b-64\geqslant 0\)
\(\Leftrightarrow abc-4t+16(a+b+c)-64\geq 0 \Leftrightarrow abc-4t+176\geq 0\)
\(\Leftrightarrow abc\geq 4t-176\Leftrightarrow -abc\leq -4t+176\)
Suy ra:
\(P=\frac{(ab+bc+ca)^2+180}{ab+bc+ac}-\frac{1}{20}abc\leq \frac{t^2+180}{t}-\frac{1}{5}t+\frac{44}{5}\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{4}{5}t+\frac{180}{t}+\frac{44}{5}\)
Thứ hai:
\((a-6)(b-6)(c-6)\leq 0\Leftrightarrow (ab-6a-6b+36)(c-6)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-6ac-6bc+36c-6ab+36a+36b-216\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-6t+36(a+b+c)-216\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-6t+324\leq 0\Leftrightarrow abc\leq 6t-324\)
Kết hợp: \(\left\{\begin{matrix} abc\geq 4t-176 \\ abc\leq 6t-324 \end{matrix}\right. \Rightarrow 4t-176\leq 6t-324\Rightarrow 2t\geq 148\Rightarrow t\geq 74\)
Thứ ba:
\(15^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca)\)
\(=\frac{1}{2}(a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca)+3(ab+bc+ca)\)
\(=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 & \end{bmatrix} +3t\geq 3t\)
Suy ra: \(t\leq 75\)
Xét hàm số:
\(f(t)=\frac{4}{5}t+\frac{180}{t}+\frac{44}{5},t\in\begin{bmatrix} 74;75 \end{bmatrix}\)
\(f'(t)=\frac{4}{5}-\frac{180}{t^2}=\frac{4t^2-900}{5t^2}\)
\(f'(t)=0 \Rightarrow t=\pm 15\)
Suy ra \(f'(t)\leq 0,t\in\begin{bmatrix} 15;16 \end{bmatrix}\)
Do đó hàm \(f(t)\) nghịch biến trên \(\begin{bmatrix} 15;16 \end{bmatrix}\)
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là:
\(f(15)=\frac{4}{5}.15+\frac{180}{15}+\frac{44}{5}=35\)
P=35 Khi a=4, b=5, c=6 Hoặc các hoán vị của (4,5,6)
Tìm số thực m lớn nhất sao cho tồn tại các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
\(x+y+z=4\) và \(x^3+y^3+z^3+8(xy^2+yz^2+zx^2)=m\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn yêu cầu bài toán đặt ra
Không mất tính tổng quát ta giả sử y nằm giữa x và z. Kết hợp với giả thiết ta có
\(0\leq y\leq 2\) và \(x(y-x)(y-z)\leq 0\)
Từ đây ta được \(xy^2+yz^2+zx^2\leq y(x+z)^2\)
Mặt khác, do x, z không âm nên \(x^3+z^3\leq (x+z)^3\)
Do đó
\(m\leq (x+z)^3+y^2+8y(x+z)^2=(4-y)^3+y^3+8y(4-y)^2\)\(=8y^3-52y^2+80y+64\)
Xét hàm số
\(f(y)=8y^3-52y^2+80y+64,0\leq y\leq 2\).
Ta có
\(f'(y)=24x^2-104y+80=8(3y^2+13y+10)\)
\(f'(y)=0,0\leq y\leq 2\Leftrightarrow y=1\)
Ta có \(f(0)=64,f(1)=100,f(2)=80\)
Suy ra \(f(y)\leq f(1)=100,\forall y\in\) [0; 2].
Từ (1) và (2) ta được m \(\leq\) 100.
Khi x = 0, y = 1, z = 3 ta có dấu đẳng thức.
Vậy số m lớn nhất cần tìm là 100.
Help me!
Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2x + 3y \(\leq\) 7 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=2xy+y+\sqrt{5(x^2+y^2)}-24\sqrt[3]{8(x+y)-(x^2+y^2+3)}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(6(x+1)(y+1)=(2x+2)(3y+3)\leq \left ( \frac{2x+2+3y+3}{2} \right )^2\leq 36\)
\(\Rightarrow x+y+xy\leq 5\)
Ta có \(5(x^2+y^2)\geq (2x+y)^2\Rightarrow \sqrt{5(x^2+y^2)}\geq 2x+y\) và
\((x+y-3)^2=x^2+y^2+9+2xy-6x-6y\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 2(x+y+xy+3)-8(x+y)-(x^2+y^2+3)\)
Suy ra \(P\geq 2(xy+x+y)-24\sqrt[3]{2(x+y+xy+3)}\)
Đặt \(t=x+y+xy;t\in (0;5],P\geq f(t)=2t-24\sqrt[3]{2t+6}\)
Ta có \(f'(t)=2-\frac{24.2}{3\sqrt[3]{(2t+6)^2}}=2\frac{\sqrt[3]{(2t+6)^2}-8}{\sqrt[3]{(2t+6)^2}} <0,\forall t\in (0;5]\)
\(\Rightarrow\) hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng (0;5].
Suy ra minf(t) = f(5) = 10\(-48\sqrt[3]{2}\)
Vậy \(min P=10-48\sqrt[3]{2}, \ khi \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=1 \end{matrix}\right.\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a^3+b^3=c^3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=(a^2+b^2-x^2)\left [ \frac{1}{(a-c)^2} +\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{a^2+b^2} \right ]\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(P=(a^2+b^2-c^2)\left [ \frac{1}{(a-c)^2}+\frac{1}{(b-c)^2} \right ]-\frac{c^2}{a^2+b^2}+1\)
Do \(a^3+b^3=c^3\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=1 \Rightarrow 0< \frac{a}{c}< 1;0< \frac{b}{c}< 1\)
Do đó \(1=\left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2< \left ( \frac{a}{c} \right )^2 +\left ( \frac{b}{c} \right )^2\Rightarrow a^2+b^2-c^2>0 \ (1)\)
Theo BĐT Cô Si: \(\frac{1}{(a-c)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq 2\sqrt{\frac{1}{(a-c)^2}.\frac{1}{(b-c)^2}} =\frac{2}{(c-a)(c-b)}>0 \ (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(P\geq \frac{2(a^2+b^2-c^2)}{(c-a)(c-b)}-\frac{c^2}{a^2+b^2}+1 \ (1)\)
Đặt \(x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c};t=x+y\). Ta có \(x^3+y^3=1\)
Dễ thấy \(x^3+y^3=(x+y)\left [ \frac{1}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2 \right ]\geq \frac{1}{4 }(x+y)^3\Rightarrow x+y\leq \sqrt[3]{4}\)và \((x+y)^3>x^3+y^3=1\Rightarrow x+y>1\) nên \(t\in (1;\sqrt[3]{4}]\)
Ta có \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\Rightarrow 1=t^3-3txy\Rightarrow xy=\frac{t^3-1}{3t}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=\frac{t^3+2}{3t}\). Từ (3) suy ra:
\(P\geq \frac{2(x^2+y^2-1)}{(1-x)(1-y)}-\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(=\frac{2(t+2)(t-1)^2}{(t-1)^3}-\frac{3t}{t^3+2}+1=\frac{2(t+2)}{t-1}-\frac{3t}{t^3+2}+1\)
Xét hàm số \(f(t)=\frac{2(t+2)}{t-1}-\frac{3t}{t^3+2}+1;t\in (1;\sqrt[3]{4}]\)
\(f'(t)=\frac{-6}{(t-1)^2}+\frac{6t^3}{(t^3+2)^2}=\frac{6\left [ (t-1)^2(t^3-1)-(t^3+2)^2 \right ]}{(t-1)^2(t^3+2)^2}<0\)
(Vì \(t\in (1;\sqrt[3]{4})\Rightarrow (t-1)^2(t^3-1)\leq 3(\sqrt[3]{4}-1)^2<2(t^3+2)^2>2)\)
Suy ra \(\underset{(1;\sqrt[3]{4}]}{min}f(t)=f(\sqrt[3]{4})=\frac{5\sqrt[3]{4}+6}{2(\sqrt[3]{4}-1)}\)
Từ đó ta có \(minP=\frac{5\sqrt[3]{4}+6}{2(\sqrt[3]{4}-1)}\) khi a = b = \(a=b=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}c\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \(a^4+b^4+\frac{1}{ab}\leq ab+2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\frac{2}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}-\frac{3}{1+2ab}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t =ab \Rightarrow t > 0\)
Theo đề cho: \(a^4+b^4+\frac{1}{ab}\leq ab+2\geq 2a^2b^2+\frac{1}{ab}\)
\(\Rightarrow t+2\geq 2t^2+\frac{1}{t}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq t\leq 1\)
Với \(a> 0,b> 0,ab \leq 1\) ta có:
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\leq \frac{2}{1+ab}(*)\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+a)^2(1+b^2)(1+ab)}\leq 0\) (đúng)
Do đó \(M\leq \frac{4}{1+ab}-\frac{3}{1+2ab}\)
Xét hàm số \(g(t)=\frac{4}{1+t}-\frac{3}{1+2t},\frac{1}{2}\leq t\leq 1\Rightarrow \underset{[\frac{1}{2};1]}{max} g(t)=g(\frac{1}{2})=\frac{7}{6}\)
Vậy giá trị lớn nhất của M là \(\frac{7}{6}\) khi a = b = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(ab\geq 1;c(a+b+c)\geq 3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{b+2c}{1+a}+\frac{a+2c}{1+b}+6ln(a+b+2c)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(P+2=\frac{a+b+2c+1}{1+a}+\frac{a+b+2c+1}{1+b}+6ln(a+b+2c)\)
\(=(a+b+2c+1)\left ( \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} \right )+6ln(a+b+2c)\)
Ta chứng minh được các BĐT quen thuộc sau:
+ \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} \geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}(1)\)
+ \(\sqrt{ab}\leq \frac{ab+1}{2} (2)\)
Thật vậy,
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} \geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow (2+a+b)(1+ \sqrt{ab})\geq 2(1+a)(1+b)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{ab}-1)^2\geq 0\) luôn đúng vì \(ab\geq 1\). Dấu “=” khi a=b hoặc ab=1
+ \(\sqrt{ab}\leq \frac{ab+1}{2}\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)^2\geq 0\). Dấu “=” khi ab=1.
Do đó, \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} \geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\geq \frac{2}{1+\frac{ab+1}{2}}=\frac{4}{3+ab}\)
\(\geq \frac{4}{ab+bc+ca+c^2}=\frac{4}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{16}{(a+b+2c)^2}\)
+ Đặt t = a + b + 2c, t < 0 ta có
\(P+2\geq f(t)=\frac{16(t+1)}{t^2}+6lnt,t>0\)
\(f'(t)=\frac{6}{t}-\frac{16(t+2)}{t^3}=\frac{6t^2-16t-32}{t^3}=\frac{(t-4)(6t+8)}{t^3}\)
Lập BBT của hàm f(t) trên khoảng (0; \(+\infty\)), ta được
Vậy, GTNN của P là 3+6ln4 khi a = b = c =1.
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện \(\frac{4a}{b}\left ( 1+\frac{2c}{b}\right )+\frac{b}{a}\left ( 1+\frac{c}{a} \right ) =6\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{bc}{(a(b+2c))}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab}{c(2a+b)}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(x=\frac{2}{a},y=\frac{4}{b},z=\frac{1}{c} (x,y,z>0)\)
Điều kiện đã cho trở thành:
\(\frac{x^3+y^3}{xyz}+2\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )=6(*)\)
Ta có: \(x^3+y^3\geq \frac{(x+y)^3}{4}\) và \((x+y)^2\geq 4xy\)
Do đó: \(\frac{x^3+y^3}{xyz}\geq \frac{(x+y)^3}{4xyz}\geq \frac{4(xy(x+y))}{4xyz}=\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\) nên \(6=\frac{x^3+y^3}{xyz}+2\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )\geq \frac{x+y}{z}+4\Rightarrow 0< \frac{x+y}{z}\leq 2\)
Ta có:
\(P=\frac{x}{y+2z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{4z}{x+y}= \frac{x^2}{xy+2zx}+\frac{y^2}{2yz+xy}+\frac{4z}{x+y}\)
\(\geq \frac{(x+y)^2}{2xy+2z(x+y)}+\frac{4z}{x+y}\geq \frac{(x+y)^2}{\frac{(x+y)^2}{2}+2z(x+y )}+\frac{4z}{x+y}\)
\(=\frac{2(x+y)}{x+y+4z}+\frac{4z}{x+y}\)
Suy ra \(P\geq \frac{2\frac{x+y}{z}}{\frac{x+y}{z}+4}+\frac{4}{\frac{x+y}{z}}\)
Đặt \(t=\frac{x+y}{z},0< t\leq 2\)
Ta có \(P\geq \frac{2t}{t+4}+\frac{4}{t}\)
Xét hàm số \(f(t)=\frac{2t}{t+4}+\frac{4}{t}(0<t\leq 2)\)
\(f'(t)=\frac{4t^2-8t-16}{t^2(t+4)^2}<0,\forall t\in (0;2]\Rightarrow\) f(t) nghịch biến trên (0;2]
Suy ra \(P\geq f(t)\geq f(2)=\frac{8}{3}\)
\(P=\frac{8}{3}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ \frac{x+y}{z}=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow 2a=b=4c\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{8}{3}\), khi 2a = b = 4c
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=(x^2-2).e^{2x}\) trên đoạn [-1;2]
Câu trả lời của bạn
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn \([-1;2],f'(x)=2(x^2+x-2)e^{2x}\)
\(\left\{\begin{matrix} f'(x)=0\\ x\in (-1;2) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+x-2=0\\ x\in (-1;2) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\)
\(f(1)=-e^2,f(-1)=-\frac{1}{e^2},f(2)=2e^4\)
GTLN của f(x) trên đoạn [–1 ; 2] bằng 2e4 , khi x = 2, GTLN của f(x) trên đoạn [–1 ; 2] bằng – e2 , khi x = 1.
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: \(a+b+c=0;a^2+b^2+c^2=6\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F=a^2b^2c^2\)
Câu trả lời của bạn
Từ gt ta có:
\(\left\{\begin{matrix} b+c=-a\\ bc=a^2-3 \end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm khi \(a^2\geq 4(a^2-3)\Leftrightarrow a^2\leq 4\Rightarrow a^2\in [0;4]\)
\(F=a^2b^2c^2=a^2(a^2-3)^2=t^3-6t^2+9t,t=a^2\in [0;4]\)
\(F'_t=3t^2-12t+9;F'_t=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=1\in [0;4]\\ t=3\in [0;4] \end{matrix}\)
\(F(0)=F(3)=0;F(1)=F(4)=4\)
Suy ra max F = 4 khi (a;b;c)= (2; -1; -1) hoặc các hoán vị hoặc (a;b;c) =(- 2;1;1)hoặc các hoán vị.
Help me!
Cho các số thực x, y thỏa mãn \(x+y-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1}\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S=(x+y)^2-\sqrt{9-x-y}+\frac{1}{x+y}\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x\geq 2;y\geq -1;0< x+y\leq 9\)
Ta có \(0\leq x+y-1=\sqrt{2}.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{y+1}\leq \sqrt{3(x+y-1)}\)
\(\Rightarrow (x+y-1)^2\leq 3(y-1)\)
\(\Rightarrow 0\leq x+y-1\leq 3\Leftrightarrow 1\leq x+y\leq 4\)
Đặt \(t=x+y,t\in [1;4]\), ta có \(S=t^2-\sqrt{9-t}+\frac{1}{\sqrt{t}}\)
\(S'=2t+\frac{1}{2\sqrt{9-t}}-\frac{1}{2t\sqrt{t}}>0,\forall t\in [1;4]\)
Vậy S(t) đồng biến trên [1;4].
Suy ra
\(S_{max}=S(4)=4^2-\sqrt{9-4}+\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{33-2\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow x=4;y=0\)
\(S_{min}=S(1)=2-2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=2;y=-1\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(x=min\left \{ x,y,z \right \}\) suy ra \(x\in [0;1]\)
Ta có \(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]+3xyz\)
\(=27-9(xy+yz+zx)+3xyz\)
Ta có \(P=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2=27-9(xy+yz+zx)+3xyz+x^2y^2z^2\)
\(=(xyz-1)^2-1+27+5xyz-9(xy+yz+zx)\geq 26+5xyz-9(xy+yz+zx)\)
\(=26-9(xy+zx)-yz(9-5x)\)
Vì \(x\in [0;1]\) nên \((9-5x)>0\Rightarrow -yz(9-5x)\geq -\left ( \frac{y+z}{2} \right )^2(9-5x)=-\left ( \frac{3-x}{2} \right )^2(9-5x)\)
Suy ra \(P\geq 26-9x(3-x)-\left ( \frac{3-x}{2} \right )^2(9-5x)=\frac{5x^3-3x^2-9x+23}{4}\)
Xét hàm số \(f(x)=\frac{5x^3-3x^2-9x+23}{4}\) trên [0;1]
Ta có \(f'(x)=\frac{15x^2-6x-9}{4}\leq 0 \ \forall x\in [0;1]\)
Nên hàm số nghịch biến trên \([0;1]\Rightarrow f(x)\geq f(1)=4\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4, đạt được khi x = y = z = 1
Help me!
Các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=(x^2-xy+y^2)(y^2-yz+z^2)(z^2-zx+x^2)\)
Câu trả lời của bạn
Không mất tính tổng quát, giả sử \(0\leq z\leq y\leq x\leq 3\)
Khi đó có \(\left\{\begin{matrix} z(z-x)\leq 0\\ z(z-y)\leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z^2-zx\leq 0\\ z^2-yz\leq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z^2-zx+x^2\leq x^2\\ z^2-yz+y^2\leq y^2 \end{matrix}\right.\)
Từ đó \(P\leq x^2y^2(x^2-xy+y^2)=x^2y^2\left [ (x+y)^2-3xy \right ]=x^2y^2(x+y)^2-3x^3y^3\)
\(\leq (xy)^2(x+y+z)^2-3(xy)^3=9(xy)^2-3(xy)^3\)
Ta có \(2\sqrt{xy}\leq x+y\leq x+y+z=3\Leftrightarrow xy\leq \frac{9}{4}\)
Đặt \(t=xy\Rightarrow 0\leq t\leq\frac{9}{4}\)
Xét hàm số \(f(t)=9t^2-3t^3\)với \(t\in \left [ 0;\frac{9}{4} \right ]\). Ta có \(f'(t)=18t-9t^2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=0\\ t=2 \end{matrix}\)
Tính được \(f(0)=0;f(2)=12;f(\frac{9}{4})=\frac{729}{64}\) suy ra \(\underset{[0;\frac{9}{4}]}{max}f(t)=12\)
Ta có \(P\leq f(t)\leq 12\)
Từ đó giá trị lớn nhất của P bằng 12. Đạt được chẳng hạn (x;y;z) = (0;1;2)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;9] và \(x \geq y, x \geq z\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{y}{10y-x}+\frac{1}{2}\left ( \frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x} \right )\)
Câu trả lời của bạn
Với a,b thỏa mãn ab \(\geq\) 1 ta có bất đẳng thức
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)
Thật vậy: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{ab}-1)\geq 0\) đúng
Do ab \(\geq\) 1 Dấu bất đẳng thức xẩy ra khi a = b hoặc ab = 1
Áp dụng bất đẳng thức trên
\(P=\frac{1}{10-\frac{x}{y}}+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+ \frac{x}{y}} \right )\geq \frac{1}{10-\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}\)
Đặt \(\sqrt{\frac{x}{y}}=t\in t\in [1;3]\)
Xét hàm số \(f(t)=\frac{1}{10-t^2}+\frac{1}{1+t}\) trên [1;3]
\(f'(t)=\frac{2t}{(10-t^2)^2}-\frac{1}{(1+t)^2};f'(t)=0\Leftrightarrow t^4-2t^3-24t^2-2t+100=0\)
\(\Leftrightarrow (t-2)(t^3-24t-50)=0\Leftrightarrow t=2 \ do \ t^3-24t-50<0\forall t\in [1;3]\)
BBT
Suy ra \(P_{min}=\frac{1}{2}\) khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} x=4y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{z}{y}=\frac{x}{z}\\ \frac{x}{y}=1 \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4y \\ z=2y \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x-1}{2x-1}\) trên đoạn [2;4]
Câu trả lời của bạn
Hàm số liên tục trên đoạn [2;4]
Ta có \(y'=\frac{1}{(2x-1)^2}>0,\forall x\in [2;4]\)
Có \(y(2)=\frac{1}{3};y(4)=\frac{3}{7}\)
Vậy
\(\underset{[2;4]}{max}y=\frac{3}{4}\) khi x = 4
\(\underset{[2;4]}{min}y=\frac{1}{3}\) khi x=2
Help me!
Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(M=\frac{3a^4+3b^4+25c^3+2}{(a+b+c)^3}\)
Câu trả lời của bạn
- Áp dụng BĐT Cô - Si ta có: \(2a^4+(a^4+1)\geq 2a^4+2a^2\geq 4a^3\) hay \(3a^4+1\geq 4a^3\)
- Tương tự \(3b^4+1\geq 4b^3\Rightarrow M\geq \frac{4a^3+4b^3+25c^3}{(a+b+c)^3}\)
Mà \((a-b)^2(a+b)\geq 0\Rightarrow 4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3\)
\(\Rightarrow M\frac{(a+b)^3+25c^3}{(a+b+c)^3}=\left ( \frac{a+b}{a+b+c} \right )^3+25\left ( \frac{c}{a+b+c} \right )^3\)
\(=\left ( 1-\frac{c}{a+b+c} \right )^3+25\left ( \frac{c}{a+b+c} \right )^3\)
Đặt \(t=\frac{c}{a+b+c}(0< t< 1)\)
Xét hàm số \(f(t)=(1-t)^3+25t^3 \ (0<t<1)\)
có \(f'(t)=-3[(1-t)^2-(5t)^2],f'(t)=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=\frac{1}{6}\\ \\ t=-\frac{1}{4} \end{matrix}\)
Bảng biến thiên
Vậy \(Min(t)=f(\frac{1}{6})=\frac{25}{36}\) khi \(t=\frac{1}{3}\) hay \(Min(t)=\frac{25}{36} \ a=b=1,c=\frac{2}{5}\)
Cứu với mọi người!
Tìm GTLN- GTNN của hàm số \(y=\sqrt{4-x^2}+x\)
Câu trả lời của bạn
Tập xác định D=[-2;2], \(f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}+1\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}+1=0\Leftrightarrow \sqrt{4-x^2}=x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4-x^2=x^2 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\)
Ta có \(f(\sqrt{2})=2\sqrt{2};f(2)=2;f(-2)=-2,f(3)=7\)
Vậy \(\underset{[-2;2]}{Max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
\(\underset{[-2;2]}{Min}=-2\) khi x = -2
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a, b, c \(\in\) [1; 2] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
\(P=\frac{2(ab+bc+ca)}{2(2a+b+c)}+\frac{8}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)
Câu trả lời của bạn
Vì \(a,b,c\in [1;2]\) nên ta có \((a-1)(b-2)(c-2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow abc+2(2a+b+c)\geq 2(b+c)a+bc+4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 1 hoặc b = 2 hoặc c = 2
Do đó và do \(a\geq 1\) nên ta có
\(P=\frac{2(ab+bc+ca)}{2(2a+b+c)+abc}+\frac{8}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)
\(\leq \frac{2(ab+bc+ca)}{2a(b+c)+bc+4}+\frac{8}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)
\(=\frac{2a(b+c)+bc+4+bc+4}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)
\(=1+\frac{bc+4}{2a(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)
\(\leq 1+\frac{bc+4}{2(b+c)+bc+4}-\frac{b+c+4}{\sqrt{bc}+1}\)
\(\leq 1+\frac{bc+4}{bc+4\sqrt{bc}+4}-\frac{2\sqrt{bc}+4}{\sqrt{bc}+1}\)
Đặt \(t=\sqrt{bc}\in [1;2]\)
Xét hàm số \(f(t)=1+\frac{t^2+4}{(t+2)^2}-\frac{2t+4}{t+1}\) trên [1;2]
\(f'(t)=\frac{4t-8}{(t+2)^2}+\frac{2}{(t+1)^2}\geq -\frac{4}{27}+\frac{2}{9}>0\)
nên f(t) liên tục và đồng biến trên [1;2]
Suy ra \(P\leq f(t)\leq f(2)=-\frac{7}{6}\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(P=-\frac{7}{6}\) khi a = 1, b = c =2
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
\(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{a^2}{(b+c)^2+\frac{5}{4}(b+c)^2}=\frac{4a^2}{9(b+c)^2}\). Tương tự, ta có
\(\frac{b^2}{(c+a)^2}+5ca\geq \frac{4b^2}{9(c+a)^2}\)
Suy ra \(\frac{b^2}{(c+a)^2}+5ca\geq \frac{4b^2}{9(c+a)^2}\geq \frac{4}{9}\left ( \frac{\frac{(a+b)^2}{2}+c(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c^2} \right )^2\)
\(=\frac{9}{2}\left ( \frac{2(a+b)^3+4c(a+b)}{(a+b)^2+4c(a+b)+4c^2} \right )^2\)
Vì a + b+ c=1 ⇔ a + b = 1- c nên
\(P\geq \frac{2}{9} \left (\frac{2(1-c)^2+4c(1-c)^2}{(1-c)^2+4c(1-c)+4c^2} \right )-\frac{3}{4}(1-c)^2=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+1})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
Xét hàm số \(f(c)=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+1})^2\) với \(c\in (0;1)\)
Ta có \(f'(c)=0\Leftrightarrow \frac{16}{9}(1-\frac{2}{c+1}).\frac{2}{(c+1)^2}-\frac{3}{2}(c-1)\)
\(f'(c)=0\Leftrightarrow (c-1)(64-(3c+3)^3)=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(f(c)\geq -\frac{1}{9}\) với mọi \(c\in (0;1)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(P\geq -\frac{1}{9}\), dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x-2+\frac{4}{x-1}\) trên [2;4]
Câu trả lời của bạn
Ta có f(x) liên tục trên đoạn \([2;4],f'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\)
Với \(x\in (2;4),f'(x)=0\Leftrightarrow x=3\)
Ta có: \(f(x)=4,f(3)=3,f(4)=\frac{10}{3}\)
Vậy \(\underset{[2;4]}{min}f(x)=3\) tại x = 3
\(\underset{[2;4]}{max}f(x)=4\) tại x= 2
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *