Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến tính góc, chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng vectơ.
Cho \(\vec u\) và \(\vec v\) là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v\). Khi đó ta gọi góc \(\widehat {BAC}(0 \le \widehat {BAC} \le {180^0})\) là góc giữa hai vecto vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\), kí hiệu là \(\left ( \vec u ;\vec v \right )\). Ta có: \(\left ( \vec u ;\vec v \right )=\widehat {BAC}\).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) đều khác vectơ-không là một số được kí hiệu là \(\vec u .\vec v\) xác dịnh bởi:
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )\)
Nếu \(\vec u= \vec0\) hoặc \(\vec v= \vec0\) thì ta quy ước \(\vec u.\vec v=0.\)
Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c\) trong không gian và với mọi số k ta có:
Xác định góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng \(c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )\) theo công thức: \(c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v ) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right|}}\).
Vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ \(\overrightarrow a\) song song hoặc trùng với đường thẳng d.
Nếu \(\overrightarrow a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ \(k\overrightarrow a\) với \(k \ne 0\) cũng là một vectơ chỉ phương của d.
Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định được nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a\) của d.
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với a và b.
Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. Ta kí hiệu là: \(b \bot a\) hoặc \(a \bot b.\)
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:
a) \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} .\)
c) \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\).
a) Vì EG // AC nên góc giữa \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG}\) cũng bằng góc giữa \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {AC}\)
Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {45^0}.\)
b) Vì AB // DG nên góc giữa \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\) cũng bằng góc giữa \(\overrightarrow {DC}\) và \(\overrightarrow {DH}\)
Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right) = {45^0}.\)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB =SC và có \(\widehat {{\rm{ASB}}} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}.\)
Chứng minh rằng: \(SA \bot BC, SB\bot AC, SC \bot AB.\)
Xét các tích vô hướng: \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} .\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .(\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} ) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \\ = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} - \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \end{array}\)
Theo giá thuyết: \(\left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right|\)
Và: \(c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} = c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\)
Vậy: \(SA \bot BC.\)
Chứng minh tương tự ta có: \(SB\bot AC, SC \bot AB.\)
Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ}\)
Và: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ}\)
Do đó: \(2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\)
Vậy: \(2.\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right).\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\)
Hay \(\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\) Tức là: \(PQ \bot AB.\)
Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}.\).
a) Chứng minh rằng AB vuông góc CD.
b) Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \(AB \bot IJ.\)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos BAD - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos BAC \end{array}\)
Mặt khác ta có: \(AB = AC = AD,\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\)
Nên: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos BAD - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos BAC = 0\)
Vậy AB vuông góc với CD.
b) ) Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
Do đó:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|\cos {{60}^0} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|\cos {{60}^0}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{a^2} - {a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right) = 0 \end{array}\)
Vậy AB và IJ vuông góc nhau.
Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến tính góc, chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng vectơ.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai ?
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Giả sử tam giác AB'C và A'DC' đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D là góc:
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) thì \(AB \bot CD,AC \bot BD,AD \bot BC\) . Điều ngược lại có đúng không?
Sau đây là lời giải:
Bước 1: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0 \Leftrightarrow AC \bot BD\)
Bước 2: Chứng minh tương tự, từ \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) ta được \(AD \bot BC\)
và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) ta được \(AB \bot CD\)
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương.
Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở đâu?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 97 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 97 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 97 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 98 SGK Hình học 11
Bài tập 5 trang 98 SGK Hình học 11
Bài tập 6 trang 98 SGK Hình học 11
Bài tập 7 trang 98 SGK Hình học 11
Bài tập 8 trang 98 SGK Hình học 11
Bài tập 3.8 trang 138 SBT Hình học 11
Bài tập 3.9 trang 138 SBT Hình học 11
Bài tập 3.10 trang 138 SBT Hình học 11
Bài tập 3.11 trang 139 SBT Hình học 11
Bài tập 3.12 trang 139 SBT Hình học 11
Bài tập 3.13 trang 139 SBT Hình học 11
Bài tập 3.14 trang 139 SBT Hình học 11
Bài tập 3.15 trang 139 SBT Hình học 11
Bài tập 7 trang 95 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 8 trang 95 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 9 trang 96 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 10 trang 96 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 11 trang 96 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai ?
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Giả sử tam giác AB'C và A'DC' đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D là góc:
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) thì \(AB \bot CD,AC \bot BD,AD \bot BC\) . Điều ngược lại có đúng không?
Sau đây là lời giải:
Bước 1: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0 \Leftrightarrow AC \bot BD\)
Bước 2: Chứng minh tương tự, từ \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) ta được \(AD \bot BC\)
và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) ta được \(AB \bot CD\)
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương.
Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở đâu?
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AC và C’D’ bằng:
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; góc BAC = góc BAD = 600. Hãy chứng mình AB ⊥ CD.
Một bạn chứng mình qua các bước sau:
Bước 1. \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \)
Bước 2. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right)\)
Bước 3.
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos {60^ \circ } - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos {60^ \circ } = 0\)
Bước 4. Suy ra AB ⊥ CD
Theo em. Lời giải trên sai từ:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 600.
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 600.
Đường thẳng B’C vuông góc với đường thẳng:
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; góc BAC bằng góc BAD bằng 600. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD
Góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) bằng:
Cho tứ diện ABCD. Nếu AB ⊥CD, AC ⊥ BD và BC ⊥ AD thì:
Cho vecto \(\overrightarrow n \ne 0\) và hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Nếu vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thì \(\overrightarrow n \), \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \):
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:
a) \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{EG};\) b) và c) và
Cho hình tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.\)
b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ DB thì AD ⊥ BC.
a) Trong không gian nếu có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?
b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đương thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và A'B'C' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, B'C, C'A, Chứng minh rắng:
a) AB ⊥ CC';
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có \(\widehat{ABC}= \widehat{BSC}=\widehat{CSA}.\) Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'D' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O'. Chứng minh rằng AB ⊥ OO' và tứ giác CDD'C' là hình chữ nhật.
Cho S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}.\)
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.\) Chứng minh rằng:
a) AB ⊥ CD;
b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN ⊥ AB và MN ⊥ CD.
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow {GD} .\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} .\overrightarrow {GC} = 0\)
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD và có MN = PQ . Chứng minh rằng AB ⊥ CD
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và \(BC = a\sqrt 2 \). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {SC} \).
Cho hình chóp A.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và \(BC = a\sqrt 2 \). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Chứng minh rằng một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thằng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy còn được gọi là hình hộp thoi). Chứng minh rằng AC ⊥ B'D'
Cho hình hộp thoi ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a và \(\widehat {ABC} = \widehat {B'BA} = \widehat {B'BC} = {60^0}\). Chứng minh tứ giác A'B'CD là hình vuông.
Cho tứ diện ABCD trong đó AB ⊥ AC, AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau.
Mỗi khẳng định sau có đúng không ?
a. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
b. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
a. Cho vecto \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \) và hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thì ba vecto \(\overrightarrow n \), \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) không đồng phẳng.
b. Chứng minh rằng ba vecto cùng vuông góc với vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại có đúng không ?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A. Nếu a // b và b // c thì a //c.
B. Nếu a vuông góc với b ; b vuông góc với c thì a // c.
C. Cho a // b. Nếu a vuông góc với c thì b vuông góc với c.
D. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích vô hướng của hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng đó bằng 0.
Câu trả lời của bạn
+ Nếu a vuông góc với b ; b vuông góc với c thì chưa chắc a song song với c. Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Có AB vuông góc AD ; AB vuông góc với AA’ nhưng AD vuông góc với AA’.
+ Chú ý: Trong không gian quan hệ song song vẫn được bảo toàn:
Nếu a // b, b // c thì a // c.
Chọn B
Câu trả lời của bạn
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có SA vuông góc AD
a) Cm CD vuông góc SD
b) Cm CB vuông góc SB
c) Cho AH vuông góc SD, AK vuông góc SB. Cm SC vuông góc HK
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
a) \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BC}\)
b) \(\overrightarrow {CH}\) và \(\overrightarrow {AC}\)
Câu trả lời của bạn
Tứ diện ABCD đều có các mặt là tam giác đều.
a) Góc giữa \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BC}\) là góc \(\alpha \) và \(\alpha = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)
b) Góc giữa \(\overrightarrow {CH}\) và \(\overrightarrow {AC}\) là góc \(\beta \)
H là trung điểm cạnh AB của tam giác đều ABC nên CH vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên CH ⊥ AB
Xét tam giác vuông ACH tại H có \(\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = {90^0} \) \(\Rightarrow \widehat {ACH} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)
Nên \(\beta = {180^0} - {30^0} = {150^0}\)
Câu trả lời của bạn
Góc giữa AB và B’C’ = góc giữa AB và BC (vì B’C’//BC)
⇒ Góc giữa AB và B’C’ = \(\widehat {ABC} = {90^0}\)
Câu trả lời của bạn
Góc giữa AC và B’C’ = góc giữa AC và BC (vì B’C’//BC)
⇒ Góc giữa AC và B’C’ = \(\widehat {ACB} = {45^0}\)
Câu trả lời của bạn
Trường hợp cắt nhau: hai cạnh liền nhau của bàn, hai cạnh liền nhau của cửa số.
Trường hợp chéo nhau: bóng đèn tuyp trên tường tạo ra 1 đường thẳng vuông góc với cạnh của mặt tường bên cạnh.
Câu trả lời của bạn
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})\)
\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).\)
Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\) \( + \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\) \( + \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) \( + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \)
\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) \( + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)
\( = 0 + 0 + 0 = 0 \)
Câu trả lời của bạn
Góc giữa A’C’ và B’C = góc giữa AC và B’C (vì A’C’//AC)
ΔACB’ đều vì AC = B’C = AB’ (đường chéo của các hình vuông bằng nhau)
⇒ Góc giữa A’C’ và B’C = \(\widehat {ACB'} = {60^0}\)
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AB là AD, A’D’, BC, B’C’, AA’, BB’, CC’, DD’.
Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AC là BD, B’D’, AA’, BB’, CC’, DD’.
Câu trả lời của bạn
\(a\) và \(b\) chưa chắc song song vì có thể cắt nhau, chéo nhau hay vuông góc.
Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB và BC cùng vuông góc với BB’ nhưng AB và BC cắt nhau tại B, nghĩa là chúng không song song.
Câu trả lời của bạn
\(a\) và \(c\) chưa chắc vuông góc, chẳng hạn chúng có thể song song.
Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB và A’B’ cùng vuông góc với AA’ nhưng AB//A'B' chứ không vuông góc.
Câu trả lời của bạn
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A\) \(=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\cos^{2}A}\)
\(=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|} \right )^{2}}\)
\( = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - A{B^2}A{C^2}.\dfrac{{{{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}}{{{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}^2}.{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}^2}}}} \)
\( = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - A{B^2}.A{C^2}.\dfrac{{{{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}} \)
\(=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}.\)
1 Cho hình chóp tam giác đều SABC có SA = a AB = a căn 3 tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp
2 cho hình chóp tứ giác đều SABCD có SA = 2a AB = a tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp
Câu trả lời của bạn
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥⊥(ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, đáy lớn AB, AB=2a, AD=CD=a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC và E là trung điểm của AB
a, CMR: (SCD)⊥(SAD) và AH ⊥(SBC)
b, Biết góc giữa 2 mp (SCD) và (ABCD) bằng 300. Tính góc giữa 2 mp (SAD) và (SCE)?
Câu trả lời của bạn
I don't know
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Gọi I là trung điểm của AD nên suy ra SI⊥AD⇒SI⊥(ABCD) và SI=a√32
Kẻ Ax∥BD. Do đó d(BD;SA)=d(BD;(SAx))=d(D;(SAx))=2d(I;(SAx))
(vì DI∩(SAx)=A và IA=12DA)
Kẻ IE⊥Ax, kẻ IK⊥SE(1) ta có:
{Ax⊥SIAx⊥IE⇒Ax⊥(SIE)⇒Ax⊥IK(2)
Từ (1) và (2) ⇒IK⊥(SAx). Khi đó d(I;(SAx))=IK
Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta dễ dàng chứng minh được ΔIAE=ΔIDF(ch−gn) ⇒IE=IF=AO2=a√24
Tam giác vuông SIE, có IK=SI.IE√SI2+IE2=a√2114
Vậy d(BD;SA)=2IK=a√217.
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *