Cho tứ diện ABCD trong đó AB ⊥ AC, AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau.
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ} \,\,\,\left( 1 \right)\\
\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} \,\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)
Cộng từng vế (1) và (2) ta có:
\(2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \)
Suy ra \(2\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\) hay \(\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\), tức là \(PQ \bot AB\).
-- Mod Toán 11