Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD và có MN = PQ . Chứng minh rằng AB ⊥ CD
Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\)
Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d \). Ta có:
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right)\)
\(\overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QA} + \overrightarrow {AP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right)\)
Theo giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l}
MN = PQ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {QP} ^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right)^2}\\
\Leftrightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow d - \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow b .\overrightarrow c - \overrightarrow b .\overrightarrow d \\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow b .\overrightarrow d - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow b .\left( {\overrightarrow d - \overrightarrow c } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \Leftrightarrow AB \bot CD
\end{array}\)
-- Mod Toán 11