Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các khái niệm Vectơ trong không gian, phương pháp chứng minh ba vectơ đồng phẳng. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến vectơ trong không gian.
Nếu ABCD là hình bình hành thì: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}.\)
Cho ba điểm A, B, C bất kì thì \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}\).
Quy tắc ba điểm với phép trừ vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} ..\)
Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ thì \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}}\).
Cho vectơ \(\vec a\) và một số thực \(k \ne 0\) ta được vectơ \(k \vec a\) có các tính chất sau:
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\vec a, \vec b\)cùng phương là có một số thực k để \(\overrightarrow a = k.\overrightarrow b.\)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Hãy nêu tên các vecto bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ.
Theo tính chất hình lăng trụ ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} ;\,\,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {B'C'} ;\,\,\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A'} \\ \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA} ;\,\,\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {CB} ;\,\,\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AC} \\ \overrightarrow {{\rm{AA'}}} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = - \overrightarrow {{\rm{A'A}}} = - \overrightarrow {B'B} = - \overrightarrow {C'C} . \end{array}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\).
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {SO} \\ \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CO} = \overrightarrow {SO} \\ \Rightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} (1) \end{array}\)
Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {{\rm{SB}}} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} (2)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\).
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {MD}\) và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho \(\overrightarrow {NB} = - 3\overrightarrow {NC}\). Chứng tỏ rằng \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN}\) đồng phẳng.
Theo giả thiết ta có: \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {MD} \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MD}\) và \(\overrightarrow {{\rm{NB}}} = - 3\overrightarrow {NC}\)
Mà: \(\overrightarrow {{\rm{MN}}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN}\)
và \(\overrightarrow {{\rm{MN}}} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} (1)\)
\(\Rightarrow 3\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MD} + 3\overrightarrow {DC} + 3\overrightarrow {CN} (2)\)
\(\begin{array}{l} (1) + (2) \Rightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BN} + 3\overrightarrow {CN} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MA} + \frac{3}{4}\overrightarrow {MD} \end{array}\)
Hệ thức trên chứng tỏ: \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN}\) đồng phẳng.
Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các khái niệm Vectơ trong không gian, phương pháp chứng minh ba vectơ đồng phẳng. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến vectơ trong không gian.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt \(\overrightarrow {SA} = \overrightarrow a ;\overrightarrow {SB} = \overrightarrow b ;\overrightarrow {SC} = \overrightarrow c ;\overrightarrow {SD} = \overrightarrow d \). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa "G là trọng tâm tứ diện ABCD khi \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)". Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 91 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 91 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 91 SGK Hình học 11
Bài tập 5 trang 92 SGK Hình học 11
Bài tập 6 trang 92 SGK Hình học 11
Bài tập 7 trang 92 SGK Hình học 11
Bài tập 8 trang 92 SGK Hình học 11
Bài tập 9 trang 92 SGK Hình học 11
Bài tập 10 trang 92 SGK Hình học 11
Bài tập 3.1 trang 129 SBT Hình học 11
Bài tập 3.2 trang 129 SBT Hình học 11
Bài tập 3.3 trang 129 SBT Hình học 11
Bài tập 3.4 trang 130 SBT Hình học 11
Bài tập 3.5 trang 130 SBT Hình học 11
Bài tập 3.6 trang 130 SBT Hình học 11
Bài tập 3.7 trang 130 SBT Hình học 11
Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 2 trang 91 SGK Toán 11 NC
Bài tập 3 trang 91 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 4 trang 91 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 5 trang 91 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 6 trang 91 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt \(\overrightarrow {SA} = \overrightarrow a ;\overrightarrow {SB} = \overrightarrow b ;\overrightarrow {SC} = \overrightarrow c ;\overrightarrow {SD} = \overrightarrow d \). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa "G là trọng tâm tứ diện ABCD khi \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)". Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy hai điểm P và Q lần lượt thuộc AD và BC sao cho \(\overrightarrow {PA} = m\overrightarrow {PD} \) và \(\overrightarrow {QP} = m\overrightarrow {QC} \), với m khác 1. Vecto \(\overrightarrow {MP}\) bằng:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với G là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \). Vecto \(\overrightarrow {B'C} \) bằng:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA. Vecto \(\overrightarrow {MN} \) cùng với hai vecto nào sau đây là ba vecto đồng phẳng?
Ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng nếu?
Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm và các điểm M, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD, AC, BD. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \) bằng
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Số đo góc giữa \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {SA} \) bằng:
Cho tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, AB = 2a, CD = 2b và EF = 2c. M là một điểm bất kì. MA2 + MB2 bằng:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.
Trong không gian cho tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với mọi điểm O.
b. Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \), trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Đây nữa ạ
bài 2
câu b tự làm nha bn
Cho tứ diện ABCD, biết BD vuông góc với AC và CD vuông góc với AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.
Câu trả lời của bạn
(Vẽ hình: A là đỉnh của tứ diện, BCD là đáy của tứ diện)
+ Trên mặt phẳng đáy BCD kẻ các đường cao của tam giác BCD là BE, CF, DK.Ba đường cao gặp nhau tại H.
+ Xét mặt phẳng ABE
CD vuông góc BE
CD vuông góc AB
=> CD vuông góc với mặt phẳng ABE => CD vuông góc với AH (1)
+ Xét mặt phẳng ACF
BD vuông góc AC
BD vuông góc CF
=> BD vuông góc với mặt phẳng ACF => BD vuông góc với AH (2)
+ Từ (1) và (2) => AH vuông góc BCD
=> AH vuông góc với BC
Mà BC vuông góc với DK
=> BC vuông góc với mp ADK => BC vuông góc với AD
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(\frac{a\sqrt{5}}{2}\).Gọi O là tâm hình vuông ABCD và M là trung điểm SC.
a) CM (MBD) vuông góc với (SAC)
b)Góc (SA,(ABCD))=?
c)Góc ((MBD),(ABCD))=?
d)Góc ((SAB),(ABCD))=?
mọi người giúp em câu b với c nhé, cảm ơn mọi người nhiều
Câu trả lời của bạn
Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD) là AO nên góc giữa SA và (ABCD) là \(\widehat{SAO}\)
Xét \(\Delta SAO\left(\perp O\right)\) ta có : \(SA=\frac{a\sqrt{5}}{2};AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\)
\(\cos\widehat{SAO}=\frac{AO}{SA}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\)
c. Xét \(\Delta SOC\) có : \(\begin{cases}SO\perp BD\\OC\perp BD\end{cases}\) nên \(\left(SOC\right)\perp BD\) mà \(OM\subset\left(SOC\right)\Rightarrow OM\perp BD\)
xét : \(\left(MBD\right)\cap\left(ABCD\right)=BD\)
Trong (MBD) có \(OM\perp BD\)
Trong (ABCD) có \(OC\perp BD\)
Vậy góc giữa (MBD) và (ABCD) là \(\widehat{MOC}\)
Ta có : \(\Delta SAC\) đồng dạng với \(\Delta MOC\) (vì \(CM=\frac{1}{2}CS;CO=\frac{1}{2}CA\))nên \(\widehat{MOC}=\widehat{SAC}\)
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos(AB,DM) bằng:
Câu trả lời của bạn
thanks bạn :)
là \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\) bạn nhé, sử dụng công thức thôi
Các bạn giúp mình vs nha. Tks nhìu lun.
1/ 4x2- 8( 2x- 3)
Câu trả lời của bạn
\(4x^2-8(2x-3)\\=4x^2-16x+24\\=4(x^2-4x+6) \)
chả bt đề bắt j nên làm đại
Trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho hình bình hành \(A_1B_1C_1D_1\). Về một phía đối với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) ta dựng hình bình hành \(A_2B_2C_2D_2\). Trên các đoạn \(A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2,D_1D_2\) ta lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho :
\(\dfrac{AA_1}{AA_2}=\dfrac{BB_1}{BB_2}=\dfrac{CC_1}{CC_2}=\dfrac{DD_1}{DD_2}=3\)
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành ?
Câu trả lời của bạn
Lấy điểm O cố định rồi đặt \(\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{a_1};\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{b_1};\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{c_1};\overrightarrow{OD_1}=\overrightarrow{d_1}\)
Điều kiện cần và đủ để tứ giác \(A_1B_1C_1D_1\) là hình bình hành là :
\(\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{c_1}=\overrightarrow{b_1}+\overrightarrow{d_1}\) (1)
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
<=> Tứ giác ABCD là hình bình hành
Cho hình lăng trị tứ giác ABC.A'B'C'D'. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA', BB',CC', DD' lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ :
a) Cùng phương với \(\overrightarrow{IA}\)
b) Cùng hướng với \(\overrightarrow{IA}\)
c) Ngược hướng với \(\overrightarrow{IA}\)
Câu trả lời của bạn
a) Các véctơ cùng phương với là: , , , , , , .
b) Các véctơ cùng hướng với là: , , .
c) Các véctơ ngược hướng với là: , , , .
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *