Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \)
Giả sử bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành ta có:
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \) (với O là điểm bất kì)
Ngược lại, giả sử ta có hệ thức:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD}
\end{array}\)
Vì A, B, C, D không thẳng hàng nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
-- Mod Toán 11