Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho
\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BD}} = k\left( {k > 0} \right)\)
Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} \) đồng phẳng.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AP} } \right) + \left( {\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BP} } \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) - \underbrace {\left( {\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} } \right)}_{\overrightarrow 0 }} \right] = \frac{1}{2}.\frac{1}{k}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} } \right)
\end{array}\)
Vì \(\overrightarrow {AC} = \frac{1}{k}\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BD} = \frac{1}{k}\overrightarrow {BN} \), đồng thời \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PN} \) nên \(\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{{2k}}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right)\) (vì \(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} = \overrightarrow 0 \))
Suy ra \(\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{{2k}}\overrightarrow {PM} + \frac{1}{{2k}}\overrightarrow {PN} \)
Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} \) đồng phẳng.
-- Mod Toán 11