Như các bài học trước, chúng ta đã được tìm hiểu về mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình bậc hai, bài học hôm nay, chúng ta sẽ làm quen với các dạng toán, biến đổi để phương trình đã cho thành phương trình bậc hai, và dùng kiến thức đã học giải quyết bài toán.
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)
Đây không phải là phương trình bậc hai, nhưng ta có thể đưa về dạng phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Cụ thể là: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\) lúc đó phương trình trở thành \(at^2+bt+c=0\), chúng ta tiến hành giải phương trình bậc hai rồi so điều kiện, trả về ẩn x của bài toán ban đầu.
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:
Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....
Bài 1: Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-8x^2+7=0\)
Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-8t+7=0\)
Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được:
\(t=1\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm 1\)
\(t=7\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{7}\)
Bài 2: Giải phương trình sau: \(\frac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}\)
Hướng dẫn: Điều kiện: \(x\neq \pm 3\)
Với điều kiện trên, phương trình trở thành: \(x^2-3x+6=x+3\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)
\(x=1\)(nhận)
\(x=3\)(loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\)
Bài 3: Giải phương trình tích sau: \((x-3)(x^4+3x^2+2)=0\)
Hướng dẫn: Với bài toán trên, ta suy ra:
\(x-3=0(1)\) hoặc \(x^4+3x^2+2=0(2)\)
Giải (1) \(\Rightarrow x=3\)
Giải (2), ta thấy rằng đây là một phương trình trùng phương, tiến hành đặt \(t=x^2(t\geq 0)\)
pt (2) trở thành \(t^2+3t+2=0\)
\(t=-1\) (loại)
\(t=-2\) (loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=3\)
Bài 1: Giải phương trình: \((x^2+2x-5)^2=(x^2-x+5)^2\)
Hướng dẫn: Ta sử dụng hằng đẳng thức \(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)
\((x^2+2x-5)^2=(x^2-x+5)^2\)
\(\Leftrightarrow (x^2+2x-5+x^2-x+5)(x^2+2x-5-x^2+x-5)=0\)
\(\Leftrightarrow (2x^2+x)(3x-10)=0\)
Giải các phương trình cơ bản, ta dễ dàng suy ra
\(x=0\) hoặc \(x=-\frac{1}{2}\) hoặc \(x=\frac{10}{3}\)
Bài 2: Giải phương trình \(2x+\sqrt{x}=8-11\sqrt{x}\)
Hướng dẫn: Điều kiện:\(x\geq 0\)
Khi đó, ta đặt \(t=\sqrt{x}(t\geq 0)\)
Phương trình trở thành: \(2t^2+t=8-11t\Leftrightarrow 2t^2+12t-8=0\Leftrightarrow t^2+6t-4=0\)
Giải phương trình bậc hai ẩn t, ta được:
\(t=-3+\sqrt{13}\) (nhận)\(\Rightarrow x=(-3+\sqrt{13})^2=22-6\sqrt{13}\)
\(t=-3-\sqrt{13}\) (loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=22-6\sqrt{13}\)
Qua bài giảng Phương trình quy về phương trình bậc hai này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 7để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Phương trình trùng phương \(ax^4+bx^2+c=0(a\neq 0)\) có tối đa mấy nghiệm thực:
Nghiệm của phương trình \(x^4+5x^2-6=0\) là:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 34 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 35 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 36 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 38 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 39 trang 57 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 40 trang 57 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 45 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 46 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 47 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 48 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 49 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 50 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 7.1 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 7.2 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 7.3 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Phương trình trùng phương \(ax^4+bx^2+c=0(a\neq 0)\) có tối đa mấy nghiệm thực:
Nghiệm của phương trình \(x^4+5x^2-6=0\) là:
Cho phương trình \(x^3+x^2\sqrt{3}-x\sqrt{5}=0\).Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng:
Nghiệm của phương trình \(\frac{14}{x^2-9}=1-\frac{1}{3-x}\) là:
Gọi \(x_1; x_2\) là nghiệm của phương trình \(2017x^2-2016x-2018=0\)
Không giải phương trình, hãy tính \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)
Giải các phương trình trùng phương:
a) \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
b) \(2x^4 - 3x^2 - 2 = 0\)
c) \(3x^4 + 10x^2 + 3 = 0\)
Giải các phương trình:
a) \(\small \frac{(x+ 3)(x-3)}{3}+ 2 = x(1 - x)\)
b) \(\frac{x+ 2}{x-5}+ 3 =\frac{6}{2-x}\)
c) \(\small \frac{4}{x+1}=\frac{-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)}\)
Giải các phương trình:
a) \((3x^2 -5x + 1)(x^2 - 4) = 0\)
b) \((2x^2 + x - 4)^2 - (2x - 1)^2 = 0\)
Giải phương trình trùng phương:
a) \(9x^4 - 10x^2 + 1 = 0\)
b) \(5x^4 + 2x^2 - 16 = 10 - x^2\)
c) \(0,3x^4 + 1,8x^2 + 1,5 = 0\)
d) \(2x^2 + 1 =\frac{1}{x^{2}}-4\)
Giải các phương trình:
a) \((x - 3)^2 + (x + 4)^2 = 23 - 3x\)
b) \(x^3 + 2x^2 - (x - 3)^2 = (x - 1)(x^2- 2)\)
c) \((x - 1)^3 + 0,5x^2 = x(x^2 + 1,5)\)
d) \(\small \frac{x(x - 7)}{3} - 1 =\frac{x}{2}-\frac{x-4}{3}\)
e) \(\frac{14}{x^{2}-9}= 1 -\frac{1}{3-x}\)
f) \(\frac{2x}{x+1}=\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\)
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
a) \((3x^2 - 7x - 10)[2x^2 + (1 - \sqrt{5})x + \sqrt{5} - 3] = 0\)
b) \(x^3 + 3x^2- 2x - 6 = 0\)
c) \((x^2 - 1)(0,6x + 1) = 0,6x^2 + x\)
d) \((x^2 + 2x - 5)^2 = ( x^2 - x + 5)^2\)
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \(3(x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 1 = 0\)
b) \((x^2 - 4x + 2)^2 + x^2 - 4x - 4 = 0\)
c) \( x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x }+ 7\)
d) \(\frac{x}{x+ 1}-10 . \frac{x+1}{x}=3\)
Hướng dẫn: a) Đặt \(t = x^2 + x\), ta có phương trình \(3t^2 - 2t - 1 = 0\). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đằng thức \(t = x^2 + x\), ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.
d) Đặt \(\frac{x+1}{x}= t\) hoặc \(\frac{x}{x+ 1} = t\)
Giải các phương trình:
a) \({\left( {x + 2} \right)^2} - 3x - 5 = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\)
b) \({\left( {x - 1} \right)^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1\)
c) \(x\left( {{x^2} - 6} \right) - {\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3}\)
d) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x - 7} \right) = 12x - 23\)
Giải các phương trình:
a) \({{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\)
b) \({{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\)
c) \({{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\)
d) \({{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)
e) \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\)
f) \({{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) \(3{x^2} + 6{x^2} - 4x = 0\)
b) \({\left( {x + 1} \right)^3} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)
c) \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x - 1} \right)^2}\)
d) \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)
e) \({\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} - 10{x^3} - 15x = 0\)
f) \({x^3} - 5{x^2} - x + 5 = 0\)
Giải các phương trình trùng phương:
a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)
b) \({y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\)
c) \({z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\)
d) \(36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\)
e) \({1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0\)
f) \(\sqrt 3 {x^4} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} - 2 = 0\)
Chứng minh rằng khi \(a\) và \(c\) trái dấu thì phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.
Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\)
b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\)
c) \({\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0\)
d) \(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\)
e) \({{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0\)
f) \(x - \sqrt {x - 1} - 3 = 0\)
Giải các phương trình:
a) \(\displaystyle {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0\)
b) \(\displaystyle 5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\)
Cho phương trình \(x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\)
a) Giải phương trình khi \(m = 2\).
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
(Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)
Tìm giá trị của \(\displaystyle m\) để phương trình
\(\displaystyle \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0\)
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Giải phương trình đã cho sau: \(\left( {3{x^2} - 5x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\left( {3{x^2} - 5x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow {3x^2} - 5x + 1 = 0\) hoặc \({x^2} - 4 = 0\)
Giải phương trình \({3x^2} - 5x + 1 = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.3.1 = 13 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt {13} }}{6}\\x = \dfrac{{5 - \sqrt {13} }}{6}\end{array} \right.\)
Giải phương trình \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm \(x = \dfrac{{5 + \sqrt {13} }}{6};\)\(x = \dfrac{{5 - \sqrt {13} }}{6};\)\(x = 2;x = - 2.\)
Giải phương trình đã cho sau: \(\left( {2{x^2} + x - 4} \right)^2 - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}{\left( {2{x^2} + x - 4} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + x - 4 + 2x - 1} \right)\left( {2{x^2} + x - 4 - 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 3x - 5} \right)\left( {2{x^2} - x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} + 3x - 5 = 0\\2{x^2} - x - 3 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình \(2{x^2} + 3x - 5 = 0\) có \(a + b + c = 2 + 3 + \left( { - 5} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \(x = 1;x = \dfrac{{ - 5}}{2}\)
Phương trình \(2{x^2} - x - 3 = 0\) có \(a - b + c = 2 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \(x = - 1;x = \dfrac{3}{2}\)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm \(x = 1;x = \dfrac{{ - 5}}{2};x = - 1;x = \dfrac{3}{2}.\)
Giải phương trình đã cho sau: \(9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \({x^2} = t\,,t \ge 0\) ta có \(9{t^2} - 10t + 1 = 0\)
Phương trình này có \(a + b + c = 9 + \left( { - 10} \right) + 1 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {\,thỏa\,mãn} \right)\\t = \dfrac{1}{9}\left( {\,thỏa\,mãn} \right)\end{array} \right.\)
+ Với \(t = {t_1} = 1\) ta có \({x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
+ Với \(t = {t_2} = \dfrac{1}{9}\) ta có \({x^2} = \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\x = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt \(x = 1;x = - 1;x = \dfrac{1}{3};x = - \dfrac{1}{3}\).
Giải phương trình đã cho sau: \(5{x^4} + 2{x^2} - 16 = 10 - {x^2}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(5{x^4} + 2{x^2} - 16 = 10 - {x^2}\)\( \Leftrightarrow 5{x^4} + 3{x^2} - 26 = 0\)
Đặt \({x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình \(5{t^2} + 3t - 26 = 0\)
Ta có \(\Delta = {3^2} - 4.5.\left( { - 26} \right) = 529 > 0\)\( \Rightarrow \sqrt \Delta = 23\)
Phương trình có hai nghiệm \(t_1 = \dfrac{{ - 3 + 23}}{{2.5}} = 2\left( {\,thỏa \,mãn} \right);\) \(t_2 = \dfrac{{ - 3 - 23}}{{2.5}} = - \dfrac{{13}}{5}\left( \, loại \right)\)
Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \sqrt 2 ;x = - \sqrt 2 .\)
Giải phương trình đã cho sau: \(2{x^2} + 1 = \dfrac{1}{{{x^2}}} - 4\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện : \(x \ne 0.\)
Khử mẫu và biến đổi ta được
\(\begin{array}{l}2{x^4} + {x^2} = 1 - 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^4} + 5{x^2} - 1 = 0\end{array}\)
Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta có \(2{t^2} + 5t - 1 = 0\)
\(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2\left( { - 1} \right) = 33 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{4}\left( \,nhận \right)\\t = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{4}\left( \,loại \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{4} \)\(\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{\sqrt {33} - 5}}{4}\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {\dfrac{{\sqrt {33} - 5}}{4}} \\x = - \sqrt {\dfrac{{\sqrt {33} - 5}}{4}} \end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \pm \sqrt {\dfrac{{\sqrt {33} - 5}}{4}} \)
Giải phương trình đã cho sau: \(0,3{x^4} + 1,8{x^2} + 1,5 = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(0,3{x^4} + 1,8{x^2} + 1,5 = 0 \Leftrightarrow {x^4} + 6{x^2} + 5 = 0\)
Đặt \({x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình \({t^4} + 6{t^2} + 5 = 0\)
Nhận thấy phương trình này có \(a - b + c = 1 - 6 + 5 = 0\) nên nó có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = - 1\left( \,loại \right)\\t = - 5\left( \,loại \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Chú ý:
Ta cũng có thể nhận xét rằng vế trái bằng \({x^4} + 6{x^2} + 5 \ge 5\) còn vế phải bằng 0 nên phương trình vô nghiệm.
Hãy giải phương trình sau đây: \({x^3} + 2{x^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}{x^3} + 2{x^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} - {x^2} + 6x - 9 = {x^3} - 2x - {x^2} + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 9 = - {x^2} - 2x + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - 11 = 0\end{array}\)
Ta có \(\Delta ' = {4^2} - 2.\left( { - 11} \right) = 38 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 4 + \sqrt {38} }}{2}\\x = \dfrac{{ - 4 - \sqrt {38} }}{2}\end{array} \right.\)
Hãy giải phương trình sau đây: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {x + 4} \right)^2} = 23 - 3x\)
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {x + 4} \right)^2} = 23 - 3x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 9 + {x^2} + 8x + 16 + 3x - 23 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0\end{array}\)
Ta thấy \(\Delta = {5^2} - 4.2.2 = 9 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 3\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + 3}}{4} = - \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{{ - 5 - 3}}{4} = - 2\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = - \dfrac{1}{2};x = - 2.\)
Hãy giải phương trình sau đây: \({\left( {x - 1} \right)^3} + 0,5{x^2} = x\left( {{x^2} + 1,5} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^3} + 0,5{x^2} = x\left( {{x^2} + 1,5} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 0,5{x^2} = {x^3} + 1,5x\\ \Leftrightarrow - 2,5{x^2} + 3x - 1 - 1,5x = 0\\ \Leftrightarrow - 2,5{x^2} + 1,5x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 25{x^2} - 15x + 10 = 0\end{array}\)
\(\Delta = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.25.10 = - 775 < 0\)
Phương trình vô nghiệm.
Hãy giải phương trình sau đây: \(\dfrac{{x\left( {x - 7} \right)}}{3} - 1 = \dfrac{x}{2} = \dfrac{{x - 4}}{3}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x\left( {x - 7} \right)}}{3} - 1 = \dfrac{x}{2} - \dfrac{{x - 4}}{3}\\ \Leftrightarrow 2x\left( {x - 7} \right) - 6 = 3x - 2\left( {x - 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x - 6 = 3x - 2x + 8\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 15x - 14 = 0\end{array}\)
Ta có \(\Delta = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.2.\left( { - 14} \right) = 337 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{15 + \sqrt {337} }}{4}\\x = \dfrac{{15 - \sqrt {337} }}{4}\end{array} \right.\)
Hãy giải phương trình sau đây: \(\dfrac{{14}}{{{x^2} - 9}} = 1 - \dfrac{1}{{3 - x}}\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ne \left\{ { - 3;3} \right\}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}\dfrac{{14}}{{{x^2} - 9}} = 1 - \dfrac{1}{{3 - x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{14}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 14 = {x^2} - 9 + x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 20 = 0\end{array}\)
Phương trình trên có \(\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 20} \right) = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 9\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1 + 9}}{2} = 4\left( {TM} \right)\\x = \dfrac{{ - 1 - 9}}{2} = - 5\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x = 4;x = - 5.\)
Hãy giải phương trình sau đây: \(\dfrac{{2x}}{{x + 1}} = \dfrac{{{x^2} - x + 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}\)
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{{2x}}{{x + 1}} = \dfrac{{{x^2} - x + 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}\)
Điều kiện: \(x \ne - 1\)và \(x \ne 4\)
Khử mẫu ta được
\(\begin{array}{l}2{x^2} - 8x = {x^2} - x + 8\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 8 = 0\end{array}\)
Vì \(a - b + c = 1 - \left( { - 7} \right) + \left( { - 8} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 8\end{array} \right..\)
Vì \(x = - 1\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình đã cho có nghiệm \(x = 8.\)
Hãy giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: \(\left( {3{x^2} - 7x - 10} \right)\left[ {2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 - 3} \right] = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\left( {3{x^2} - 7x - 10} \right)\left[ {2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 - 3} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} - 7x - 10 = 0\,\\2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 - 3 = 0\end{array} \right.\)
Giải phương trình \(3{x^2} - 7x - 10 = 0\) (1).
Ta có \(a - b + c = 3 - \left( { - 7} \right) + \left( { - 10} \right) = 0\) nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x = - 1;x = 10.\)
Giải phương trình \(2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 - 3 = 0\) (2)
Ta thấy \(a + b + c = 2 + 1 - \sqrt 5 + \sqrt 5 - 3 = 0\) nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \(x = 1;x = \dfrac{{\sqrt 5 - 3}}{2}\)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghệm \(x = - 1;x = 10;x = 1;x = \dfrac{{\sqrt 5 - 3}}{2}.\)
Hãy giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: \({x^3} + 3{x^2} - 2x - 6 = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} - 2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\x = - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm \(x = \sqrt 2 ;x = - \sqrt 2 ;x = - 3\)
Hãy giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {0,6x + 1} \right) = 0,6{x^2} + x\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {0,6x + 1} \right) = 0,6{x^2} + x\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {0,6x + 1} \right) = x\left( {0,6x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {0,6x + 1} \right) - x\left( {0,6x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {0,6x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0,6x + 1 = 0\\{x^2} - x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5}}{3}\\{x^2} - x - 1 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình (*) có \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1\left( { - 1} \right) = 5 > 0\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \(x = - \dfrac{5}{3};x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2};x = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\)
Hãy giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: \({\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} - {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x - 5 + {x^2} - x + 5} \right)\left( {{x^2} + 2x - 5 - {x^2} + x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + x} \right)\left( {3x - 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 1 = 0\\3x - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có ba nghiệm \(x = 0;x = - \dfrac{1}{2};x = \dfrac{{10}}{3}\)
Hãy giải phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn phụ: \(3{\left( {{x^2} + x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + x} \right) - 1 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = {x^2} + x\) ta có \(3{t^2} - 2t - 1 = 0\)
Vì phương trình \(3{t^2} - 2t - 1 = 0\) có \(a + b + c = 3 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \({t_1} = 1;{t_2} = - \dfrac{1}{3}\)
+ Với \({t_1} = 1\) ta có \({x^2} + x = 1\) hay \({x^2} + x - 1 = 0\) có \(\Delta = {1^2} + 4.1.1 = 5 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\)
+ Với \({t_2} = - \dfrac{1}{3}\)ta có \({x^2} + x = - \dfrac{1}{3}\) hay \(3{x^2} + 3x + 1 = 0\)
\(\Delta = {3^2} - 4.3.1 = - 3 < 0\) nên phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\) .
Hãy giải phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn phụ: \(\dfrac{x}{{x + 1}} - 10.\dfrac{{x + 1}}{x} = 3\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\)
Đặt \(\dfrac{x}{{x + 1}} = t \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{x} = \dfrac{1}{t}\) , ta có \(t - 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t - 10 = 0\)
Phương trình trên có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 49 > 0 \)\(\Rightarrow \sqrt \Delta = 7\) nên có hai nghiệm \({t_1} = \dfrac{{3 + 7}}{2} = 5;\) \({t_2} = \dfrac{{3 - 7}}{2} = - 2\)
+ Với \({t_1} = 5\) ta có \(\dfrac{x}{{x + 1}} = 5\)
Khử mẫu thức ta được \(5x + 5 = x \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{4}\left( {TM} \right)\)
+ Với \({t_2} = - 2\) ta có \(\dfrac{x}{{x + 1}} = - 2\)
Khử mẫu thức và biến đổi ta được \(x = - 2x - 2 \Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = - \dfrac{5}{4};x = - \dfrac{2}{3}.\)
Hãy giải phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn phụ: \(x - \sqrt x = 5\sqrt x + 7\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện : \(x \ge 0\)
\(x - \sqrt x = 5\sqrt x + 7 \)\(\Leftrightarrow x - 6\sqrt x - 7 = 0\)
Đặt \(\sqrt x = t\,,t \ge 0\) ta có \({t^2} - 6t - 7 = 0\) có \(a - b + c = 1 - \left( { - 6} \right) + \left( { - 7} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \({t_1} = - 1;\) \({t_2} = 7\)
Vì \(t \ge 0\) nên \({t_1} = - 1\) bị loại
Với \({t_2} = 7\) ta có \(\sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49\,\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 49.\)
Hãy giải phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn phụ: \({\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x - 4 = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x + 2 - 6 = 0\end{array}\)
Đặt \(t = {x^2} - 4x + 2\) ta có \({t^2} + t - 6 = 0\) có \(\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 25 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5\) nên có hai nghiệm \({t_1} = \dfrac{{ - 1 + 5}}{2} = 2;\) \({t_2} = \dfrac{{ - 1 - 5}}{2} = - 3\)
+ Với \({t_1} = 2\) ta có \({x^2} - 4x + 2 = 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \)\(\Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)
+ Với \({t_2} = - 3\)ta có \({x^2} - 4x + 2 = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.5 = - 4 < 0\) nên phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 0;x = 4.\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *