Giải các phương trình:
a) \(\displaystyle {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0\)
b) \(\displaystyle 5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\)
Hướng dẫn giải
- Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.
- Giải phương trình mới tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện.
- Giải phương trình ẩn \(x\) ứng với từng nghiệm trên và kết luận.
Lời giải chi tiết
a)
\(\displaystyle \eqalign{
& {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right]^2} + 2.x\left( {x - 1} \right) - 3 = 0 \cr} \)
Đặt \(\displaystyle x\left( {x - 1} \right) = t\)
Ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} + 2t - 3 = 0\) có \(\displaystyle 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \) \(\displaystyle \Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3\)
Với \(t_1=1\) ta có:
\(\displaystyle x\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 1 + 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)
Với \(t_2=-3\) ta có: \(\displaystyle x\left( {x - 1} \right) = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0\)
\(\displaystyle \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.3 = 1 - 12\) \( = - 11 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm:
\(\displaystyle {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \(\displaystyle 5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\).
Điều kiện \(\displaystyle 3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 5 - \sqrt {3 - 2x} = 3 - 2x\)
Đặt \(\displaystyle \sqrt {3 - 2x} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình:
\(\displaystyle 5 - t = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} + t - 5 = 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 1 + 20 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {t_1} = {{ - 1 + \sqrt {21} } \over {2.1}} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr
& {t_2} = {{ - 1 - \sqrt {21} } \over {2.1}} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \cr} \)
\(\displaystyle {t_2} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} < 0\) loại
\(\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {3 - 2x} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr
& \Rightarrow 3 - 2x = {{21 - 2\sqrt {21} + 1} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow 12 - 8x = 22 - 2\sqrt {21} \cr
& \Leftrightarrow 8x = 12 - 22 + 2\sqrt {21} \cr
& \Rightarrow x = {{2\left( {\sqrt {21} - 5} \right)} \over 8} = {{\sqrt {21} - 5} \over 4} \cr} \)
Phương trình có \(1\) nghiệm:
\(\displaystyle x = {{\sqrt {21} - 5} \over 4}\)
-- Mod Toán 9