Như các bài học trước, chúng ta đã được tìm hiểu về mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình bậc hai, bài học hôm nay, chúng ta sẽ làm quen với các dạng toán, biến đổi để phương trình đã cho thành phương trình bậc hai, và dùng kiến thức đã học giải quyết bài toán.
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)
Đây không phải là phương trình bậc hai, nhưng ta có thể đưa về dạng phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Cụ thể là: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\) lúc đó phương trình trở thành \(at^2+bt+c=0\), chúng ta tiến hành giải phương trình bậc hai rồi so điều kiện, trả về ẩn x của bài toán ban đầu.
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:
Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....
Bài 1: Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-8x^2+7=0\)
Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-8t+7=0\)
Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được:
\(t=1\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm 1\)
\(t=7\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{7}\)
Bài 2: Giải phương trình sau: \(\frac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}\)
Hướng dẫn: Điều kiện: \(x\neq \pm 3\)
Với điều kiện trên, phương trình trở thành: \(x^2-3x+6=x+3\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)
\(x=1\)(nhận)
\(x=3\)(loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\)
Bài 3: Giải phương trình tích sau: \((x-3)(x^4+3x^2+2)=0\)
Hướng dẫn: Với bài toán trên, ta suy ra:
\(x-3=0(1)\) hoặc \(x^4+3x^2+2=0(2)\)
Giải (1) \(\Rightarrow x=3\)
Giải (2), ta thấy rằng đây là một phương trình trùng phương, tiến hành đặt \(t=x^2(t\geq 0)\)
pt (2) trở thành \(t^2+3t+2=0\)
\(t=-1\) (loại)
\(t=-2\) (loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=3\)
Bài 1: Giải phương trình: \((x^2+2x-5)^2=(x^2-x+5)^2\)
Hướng dẫn: Ta sử dụng hằng đẳng thức \(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)
\((x^2+2x-5)^2=(x^2-x+5)^2\)
\(\Leftrightarrow (x^2+2x-5+x^2-x+5)(x^2+2x-5-x^2+x-5)=0\)
\(\Leftrightarrow (2x^2+x)(3x-10)=0\)
Giải các phương trình cơ bản, ta dễ dàng suy ra
\(x=0\) hoặc \(x=-\frac{1}{2}\) hoặc \(x=\frac{10}{3}\)
Bài 2: Giải phương trình \(2x+\sqrt{x}=8-11\sqrt{x}\)
Hướng dẫn: Điều kiện:\(x\geq 0\)
Khi đó, ta đặt \(t=\sqrt{x}(t\geq 0)\)
Phương trình trở thành: \(2t^2+t=8-11t\Leftrightarrow 2t^2+12t-8=0\Leftrightarrow t^2+6t-4=0\)
Giải phương trình bậc hai ẩn t, ta được:
\(t=-3+\sqrt{13}\) (nhận)\(\Rightarrow x=(-3+\sqrt{13})^2=22-6\sqrt{13}\)
\(t=-3-\sqrt{13}\) (loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=22-6\sqrt{13}\)
Qua bài giảng Phương trình quy về phương trình bậc hai này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 7để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Phương trình trùng phương \(ax^4+bx^2+c=0(a\neq 0)\) có tối đa mấy nghiệm thực:
Nghiệm của phương trình \(x^4+5x^2-6=0\) là:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 34 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 35 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 36 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 38 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 39 trang 57 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 40 trang 57 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 45 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 46 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 47 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 48 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 49 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 50 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 7.1 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 7.2 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 7.3 trang 60 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Phương trình trùng phương \(ax^4+bx^2+c=0(a\neq 0)\) có tối đa mấy nghiệm thực:
Nghiệm của phương trình \(x^4+5x^2-6=0\) là:
Cho phương trình \(x^3+x^2\sqrt{3}-x\sqrt{5}=0\).Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng:
Nghiệm của phương trình \(\frac{14}{x^2-9}=1-\frac{1}{3-x}\) là:
Gọi \(x_1; x_2\) là nghiệm của phương trình \(2017x^2-2016x-2018=0\)
Không giải phương trình, hãy tính \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)
Giải các phương trình trùng phương:
a) \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
b) \(2x^4 - 3x^2 - 2 = 0\)
c) \(3x^4 + 10x^2 + 3 = 0\)
Giải các phương trình:
a) \(\small \frac{(x+ 3)(x-3)}{3}+ 2 = x(1 - x)\)
b) \(\frac{x+ 2}{x-5}+ 3 =\frac{6}{2-x}\)
c) \(\small \frac{4}{x+1}=\frac{-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)}\)
Giải các phương trình:
a) \((3x^2 -5x + 1)(x^2 - 4) = 0\)
b) \((2x^2 + x - 4)^2 - (2x - 1)^2 = 0\)
Giải phương trình trùng phương:
a) \(9x^4 - 10x^2 + 1 = 0\)
b) \(5x^4 + 2x^2 - 16 = 10 - x^2\)
c) \(0,3x^4 + 1,8x^2 + 1,5 = 0\)
d) \(2x^2 + 1 =\frac{1}{x^{2}}-4\)
Giải các phương trình:
a) \((x - 3)^2 + (x + 4)^2 = 23 - 3x\)
b) \(x^3 + 2x^2 - (x - 3)^2 = (x - 1)(x^2- 2)\)
c) \((x - 1)^3 + 0,5x^2 = x(x^2 + 1,5)\)
d) \(\small \frac{x(x - 7)}{3} - 1 =\frac{x}{2}-\frac{x-4}{3}\)
e) \(\frac{14}{x^{2}-9}= 1 -\frac{1}{3-x}\)
f) \(\frac{2x}{x+1}=\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\)
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
a) \((3x^2 - 7x - 10)[2x^2 + (1 - \sqrt{5})x + \sqrt{5} - 3] = 0\)
b) \(x^3 + 3x^2- 2x - 6 = 0\)
c) \((x^2 - 1)(0,6x + 1) = 0,6x^2 + x\)
d) \((x^2 + 2x - 5)^2 = ( x^2 - x + 5)^2\)
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \(3(x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 1 = 0\)
b) \((x^2 - 4x + 2)^2 + x^2 - 4x - 4 = 0\)
c) \( x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x }+ 7\)
d) \(\frac{x}{x+ 1}-10 . \frac{x+1}{x}=3\)
Hướng dẫn: a) Đặt \(t = x^2 + x\), ta có phương trình \(3t^2 - 2t - 1 = 0\). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đằng thức \(t = x^2 + x\), ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.
d) Đặt \(\frac{x+1}{x}= t\) hoặc \(\frac{x}{x+ 1} = t\)
Giải các phương trình:
a) \({\left( {x + 2} \right)^2} - 3x - 5 = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\)
b) \({\left( {x - 1} \right)^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1\)
c) \(x\left( {{x^2} - 6} \right) - {\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3}\)
d) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x - 7} \right) = 12x - 23\)
Giải các phương trình:
a) \({{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\)
b) \({{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\)
c) \({{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\)
d) \({{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)
e) \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\)
f) \({{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) \(3{x^2} + 6{x^2} - 4x = 0\)
b) \({\left( {x + 1} \right)^3} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)
c) \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x - 1} \right)^2}\)
d) \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)
e) \({\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} - 10{x^3} - 15x = 0\)
f) \({x^3} - 5{x^2} - x + 5 = 0\)
Giải các phương trình trùng phương:
a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)
b) \({y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\)
c) \({z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\)
d) \(36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\)
e) \({1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0\)
f) \(\sqrt 3 {x^4} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} - 2 = 0\)
Chứng minh rằng khi \(a\) và \(c\) trái dấu thì phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.
Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\)
b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\)
c) \({\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0\)
d) \(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\)
e) \({{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0\)
f) \(x - \sqrt {x - 1} - 3 = 0\)
Giải các phương trình:
a) \(\displaystyle {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0\)
b) \(\displaystyle 5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\)
Cho phương trình \(x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\)
a) Giải phương trình khi \(m = 2\).
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
(Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)
Tìm giá trị của \(\displaystyle m\) để phương trình
\(\displaystyle \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0\)
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Giải phương trình :
\(\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x^2}=2\sqrt{x-x^2}\)
Câu trả lời của bạn
ĐK:\(\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x^2}=2\sqrt{x-x^2}\)
Đặt \(\sqrt{2x-1}=a; \sqrt{1-2x^2}=b(a,b\geq 0)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=2x-1+1-2x^2=2(x-x^2)\)
PT trở thành:
\(a+b=2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
\(\Rightarrow (a+b)^2=4.\frac{a^2+b^2}{2}=2(a^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab=2(a^2+b^2)\)
\(\Rightarrow 2ab=a^2+b^2\Rightarrow (a-b)^2=0\Rightarrow a=b\)
\(\Rightarrow a^2=b^2\)
Hay \(2x-1=1-2x^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pm \sqrt{5}-1}{2}\)
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra \(x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
Khi nào \(\sqrt{x}\) > \(x\)
Câu trả lời của bạn
Khi 0<x<1 Vì khi đó x có dạng \(\dfrac{1}{y}\)(y>1) hoặc \(\dfrac{u}{v}\)(v>u)
Ví dụ : 1/2>1/4
Bài 1: Cho 2 số dương a ,b thoả mãn a+b\(\leq \)2\(\sqrt{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứ P=\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\ge\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
dấu = xảy ra <=> a=b=\(\sqrt{2}\)
Cho biểu thức \(A=\dfrac{2mx-5}{x^2+n^2}\). Tìm giá trị của m và n để biểu thức A có giá trị nhỏ nhất là -9 và giá trị lớn nhất là 4.
Câu trả lời của bạn
\(-9\le A\le4\)
\(\dfrac{2mx-5}{x^2+n^2}\ge-9\Leftrightarrow2mx-5\ge-9\left(x^2+n^2\right)\)
<=>. 9x^2 +2mx +9n^2 -5 >=0
\(\Delta\le0\Leftrightarrow m^2-9\left(9n^2-5\right)\le0\)<=> m^2 -(9n)^2 +9.5 <=0 (a)
\(\dfrac{2mx-5}{x^2+n^2}\le4\Leftrightarrow2mx-5\le4\left(x^2+n^2\right)\)
<=>4x^2 -2mx +4n^2 +5 >=0
delta(x) <=0 <=>m^2 -4(4n^2 +5) <=0 <=> m^2 -(4n)^2 -4.5 <=0 (b)
đẳng thức xẩy ra m;n thỏa mãn hệ
m^2 -(9n)^2 +9.5 =0(1)
m^2 -(4n)^2 -4.5 =0 (2)
<=> [(9n) -(4n)][(9n) +(4n)]=4.5+9.5
<=> 5.13n^2 =13.5
<=>n^2 =1 => m^2 =9^2 -9.5 =9.4 =(2.3)^2
các cặp số m;n thảo mãn
(m;n) =(6;1);(-6;1);(6;-1);(6;1)
1) cho x+2y=4 Tìm a, Max của M với M= xy
b, Min của N với N= x2 +y2
2, Cho a, b \(\ge\)0 . CMR a, \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\)\(\ge\)\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{^{ }2}\)
b. \(\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)
c., a3 + b3 \(\ge\) ab(a+b)
mọi người ơi mn giúp mk với mk đg cần gấp ạ
Câu trả lời của bạn
2)a)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
c)\(a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\\ \Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
b)\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+b^3+3a^b+3ab^2\\ \Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)
Cho pt : x2-2mx+m-2=0 (1) (x là ẩn số)
a/ CM pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
b/ định m để 2 nghiệm x1,x2 của pt (1) thỏa mãn:
(1+x1)(2-x2)+(1+x2)(2-x1)=x12+x22+2
Câu trả lời của bạn
\(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2+2\)
\(\Leftrightarrow2-\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=\left(x_1+x_2\right)^2\)
bạn thay vào là được, còn câu a dễ rồi
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{x}.\) với 0<x<1
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky với $x>0; 1-x> 0$ ta có:
\(\left(\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\right)[(1-x)+x]\geq (\sqrt{2}+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{1-x+x}=(\sqrt{2}+1)^2\)
Vậy \(y_{\min}=(\sqrt{2}+1)^2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{2}}{1-x}=\frac{1}{x}\Rightarrow x=\sqrt{2}-1\)
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Cho biết AB = 15cm, AD = 20cm, các đg chéo AC và BD vuông góc vs nhau ở O. Tính:
a, Độ dài các đoạn thẳng OB và OD;
b, Độ dài đoạn thẳng AC;
c, Diện tích hình thang ABCD
giúp e vs mấy bác :((
Câu trả lời của bạn
Tham khảo: Câu hỏi của Thành An - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Giả sử x1, x2 lla nghiệm của PT : \(3x^2-cx+2c-1=0\).Tính theo c giá trị :\(\dfrac{1}{x_1^3}+\dfrac{1}{x_2^3}\)
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{1}{x_1^3}+\dfrac{1}{x_2^3}=\dfrac{x_2^3+x_1^3}{\left(x_1\cdot x_2\right)^3}=\dfrac{\left(x_2+x_1\right)\left(x_2-x_1\cdot x_2+x_1\right)}{\left(x_1\cdot x_2\right)^3}\)(1)
Có x1; x2 là nghiệm của PT nên theo định lý Viet ta có
\(x_1+x_2=\dfrac{c}{3}\\ x_1\cdot x_2=\dfrac{2c-1}{3}\)
Thay vao (1) ta duoc
\(\dfrac{\dfrac{c}{3}\cdot\left(\dfrac{c}{3}-\dfrac{2c-1}{3}\right)}{\left(\dfrac{2c-1}{3}\right)^3}=\dfrac{\dfrac{c\left(1-c\right)}{9}}{\dfrac{\left(2c-1\right)^3}{9}}=\dfrac{c\left(1-c\right)}{\left(2c-1\right)^3}\)
Cho hai số thực x,y thỏa mãn
(x+\(\sqrt{x^2+2011}\))(y+\(\sqrt{y^2+2011}\))=2011
Tính x+y
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Sử dụng liên hợp
Dễ thấy \(x\neq \sqrt{x^2+2011}; y\neq \sqrt{y^2+2011}\)
PT ban đầu: \((x+\sqrt{x^2+2011})(y+\sqrt{y^2+2011})=2011(*)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2-(x^2+2011)}{x-\sqrt{x^2+2011}}.\frac{y^2-(y^2+2011)}{y-\sqrt{y^2+2011}}=2011\)
\(\Leftrightarrow \frac{2011^2}{(x-\sqrt{x^2+2011})(y-\sqrt{y^2+2011})}=2011\)
\(\Rightarrow (x-\sqrt{x^2+2011})(y-\sqrt{y^2+2011})=2011(**)\)
Lấy \((*)-(**)\) thu được:
\(2x\sqrt{y^2+2011}+2y\sqrt{y^2+2011}=0\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{y^2+2011}=-y\sqrt{x^2+2011}(***)\)
Bình phương hai vế:
\(x^2(y^2+2011)=y^2(x^2+2011)\)
\(\Leftrightarrow 2011x^2=2011y^2\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y=0\\ x-y=0\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào $(***)$ suy ra ngay $x=y=0$ suy ra \(x+y=0\)
Tóm lại trong mọi TH thì $x+y=0$
Cho \(y=3x^2+6x+5\) với mọi x thuộc R
a)Tìm GTNN của hàm số
b)C/m hàm số đồng biến với mọi x > -1 và nghịch biến với mọi x<-1
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
a) Ta thấy:
\(y=3x^2+6x+5=3(x^2+2x+1)+2\)
\(=3(x+1)^2+2\)
Vì \((x+1)^2\ge 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow y\geq 3.0+2=2\)
Vậy GTNN của $y$ là $2$ tại \((x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)
b)
Xét \(x_1,x_2\in\mathbb{R}|x_1,x_2>-1\). Giả sử \(x_1>x_2\)
Khi đó:
\(y(x_1)-y(x_2)=3x_1^2+6x_1+5-(3x_2^2+6x_2+5)\)
\(=3(x_1^2-x_2^2)+6(x_1-x_2)\)
\(=3(x_1+x_2)(x_1-x_2)+6(x_1-x_2)\)
\(=3(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)\)
Vì \(x_1>x_2>-1\Rightarrow x_1-x_2>0; x_1+x_2+2>0\)
Do đó: \(y(x_1)-y(x_2)=3(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)>0\Rightarrow y(x_1)>y(x_2)\)
Với mọi \(x_1>x_2>-1\in\mathbb{R}\) thì \(y(x_1)>y(x_2)\) nên hàm số đồng biến với mọi $x>-1$
Chứng minh nghịch biến hoàn toàn tương tự, ta chỉ cần chỉ ra \(y(x_1)< y(x_2)\) theo cách trên là được.
Tìm (x;y) thuộc N* Thỏa mãn: \(4x^2=3+y^2\)
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(4x^2=3+y^2\)
\(\Leftrightarrow4x^2-y^2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)=3\)
Mà \(Ư\left(3\right)=\left(-3;-1;1;3\right)\)
Từ đó ta có hệ phương trình sau :
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\2x+y=3\end{matrix}\right.\)
Giải hệ ta được \(x=y=1\) .
Vậy \(x=1\) và \(y=1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=\(\dfrac{x^{2+}x+1}{\left(x-1\right)^2}\)
Câu trả lời của bạn
Giải:
\(A=\dfrac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{4\left(x^2+x+1\right)}{4\left(x-1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{4x^2+4x+4}{4\left(x-1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{3x^2+x^2+6x-2x+3+1}{4\left(x-1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\left(3x^2+6x+3\right)+\left(x^2-2x+1\right)}{4\left(x-1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{3\left(x+1\right)^2+\left(x-1\right)^2}{4\left(x-1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{3\left(x+1\right)^2}{4\left(x-1\right)^2}+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{4\left(x-1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{3\left(x+1\right)^2}{4\left(x-1\right)^2}+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow A_{Min}=\dfrac{1}{4}\)
\("="\Leftrightarrow x=-1\)
Vậy ...
giai pt
\(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-5}=x-1\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-5}=x-1\) (ĐK: \(x\ge\sqrt{5}\) )
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+7-16}{\sqrt{x^2+7}+4}-\dfrac{x^2-5-4}{\sqrt{x^2-5}+2}-\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+7}+4}-\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2-5}+2}-1\right)=0\)
Dễ thấy: \(\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+7}+4}-\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2-5}+2}-1\ne0\)
\(\Leftrightarrow x=3\left(TM\right)\)
Cho x và y thỏa mãn \(x^2+y^2=7\). Tìm giá trị lớn nhất của \(x^2+2y^2+2x-4\).
Câu trả lời của bạn
Giải:
Đặt:
\(A=x^2+2y^2+2x-4\)
\(\Leftrightarrow A=2x^2-x^2+2y^2+2x-1-3\)
\(\Leftrightarrow A=2x^2+2y^2-x^2+2x-1-3\)
\(\Leftrightarrow A=2\left(x^2+y^2\right)-\left(x^2-2x+1\right)-3\)
\(\Leftrightarrow A=14-\left(x-1\right)^2-3\)
\(\Leftrightarrow A=11-\left(x-1\right)^2\)
Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow11-\left(x-1\right)^2\le11\)
\(\Leftrightarrow A_{Max}=11\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)
Vậy ...
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, biết AH=14cm, \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\). Tính chu vi tam giác ABC
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\)
=> \(HC=4HB\)
Đặt HC = x ta có: => HB = 4x
\(AH^2=HB.HC\)
hay \(14^2=4x.x\)
=> 196 = 4x2
=> x = 7
=> HB = 4x = 4.7 = 28
Ta có: BC = HB + HC = 7 + 28 = 35
Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H ta có:
\(AH^2+HC^2=AC^2\)
=> AC = \(7\sqrt{5}\) cm
Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H ta có:
\(AB^2=AH^2+BH^2=14^2+28^2=980\)
=> AB = \(14\sqrt{5}cm\)
Chu vi tam giác ABC:
AB +AC+BC= \(14\sqrt{5}+7\sqrt{5}+35=35+21\sqrt{5}\)
Cho các số x,y,z > 1 thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = \(\dfrac{y-2}{x^2}+\dfrac{z-2}{y^2}+\dfrac{x-2}{z^2}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có:
\(P=\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}\)
\(P=\frac{(x-1)+(y-1)}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{(y-1)+(z-1)}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{(x-1)+(z-1)}{z^2}-\frac{1}{z}\)
\(P=(x-1)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)+(y-1)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+(z-1)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{2}{xz}; \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}; \frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{2}{yz}\)
Kết hợp với \(x-1,y-1,z-1>0\) theo đkđb thì:
\(P\geq \frac{2(x-1)}{xz}+\frac{2(y-1)}{xy}+\frac{2(z-1)}{yz}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{2(x+y+z)}{xyz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\)
\(\Leftrightarrow P\geq \frac{xy+yz+xz}{xyz}-2(*)\)
Ta có một hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\)
Mà \(x+y+z=xyz\Rightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3x^2y^2z^2\)
\(\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \sqrt{3}(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow P\geq \sqrt{3}-2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
tính
a. \(\sqrt{200}-\sqrt{32}+\sqrt{72}-\sqrt{162}\)
b. \(\sqrt{63}+\sqrt{175}+\sqrt{112}\)
Câu trả lời của bạn
Câu a : \(\sqrt{200}-\sqrt{32}+\sqrt{72}-\sqrt{162}\)
\(=10\sqrt{2}-4\sqrt{2}+6\sqrt{2}-9\sqrt{2}\)
\(=3\sqrt{2}\)
Câu b : \(\sqrt{63}+\sqrt{175}+\sqrt{112}\)
\(=3\sqrt{7}+5\sqrt{7}+4\sqrt{7}\)
\(=12\sqrt{7}\)
Học tốt !!!!!!!!!!!!!
1. Tìm các số x, y, z:
\(x^2+y^3=z^4\)
2. Tìm \(\left(x;y\right);x\in N;y\in N\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{p}\) ( p là số nguyên tố )
Câu trả lời của bạn
câu 1 là số thực luôn á?
(hỏi thôi chứ nhìn bài này có vẻ khó ăn...đối với tớ)
Hộ mình với ạ
Giải các phương trình trùng phương : a, 4x4+x2-5=0
b, 3x4+4x2+1=0
Câu trả lời của bạn
a, 4t^2+t-5=0 suy ra t=1 suy ra x=+-1
bạn chỉ cần gọi x\(^2\)=t(t\(\ge\)0)
ta có p/trình mới có dạng: a.t\(^2\)+b.t+c=0
giải phương trình bậc hai theo cách tính \(\Delta\)=b\(^2\)-4.a.c và xét dấu\(\Delta\)
Nếu delta nhỏ hơn 0 => pt vô nghiệm => ko tìm đc t=> ko tìm đc x
Nếu delta bằng 0 => pt có nghiệm kép t\(_1\)=t\(_2\)=\(\dfrac{-b}{2a}\)(xét điều kiện của t)=> thay t=\(\dfrac{-b}{2a}\)vào x\(^2\)=t ta tính đc: x=\(\sqrt{\dfrac{-b}{2a}}\)
Nếu delta lớn hơn 0 => pt có 2 nghiệm phân biệt t\(_1\)= \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
t\(_2\)=\(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
thay từng TH của t vào x\(^2\)=t tìm x và kết luận.
Chúc bạn hoc tốt!
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *