Tìm hiểu một trong những phương pháp rất hiệu quả trong giải hệ phương trình nói chung và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nói riêng đó là phương pháp thế.
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ, ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ ban đầu.
Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới tương đương, trong đó có một phương trình một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn đó, từ đó tìm ẩn còn lại, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế \(\left\{\begin{matrix} x-2y=1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn: Ta có \(\left\{\begin{matrix} x-2y=1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ 2y+1+y=1 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ 3y=0 \end{matrix}\right.\) \(<=>\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=0 \end{matrix}\right.\)
Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương phép thế \(\left\{\begin{matrix} -x+2y=1\\ 2x-4y=-2 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn: Ta có \(\left\{\begin{matrix} -x+2y=1\\ 2x-4y=-2 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y-1\\ 2x-4y=-2 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y-1\\ 2(2y-1)-4y=-2 \end{matrix}\right.\) \(<=>\left\{\begin{matrix} x=2y-1\\ 0y=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y-1\\ y \in \mathbb{R} \end{matrix}\right.\)
Bài 3: Chứng minh hệ phương trình sau vô nghiệm \(\left\{\begin{matrix} x-3y=2\\ -3x+9y=0 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn: Ta có \(\left\{\begin{matrix} x-3y=2\\ -3x+9y=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=3y+2\\ -3x+9y=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=3y+2\\ -3(3y+2)+9y=0 \end{matrix}\right.\) \(<=>\left\{\begin{matrix} x=3y+2\\ 0x=6 \end{matrix}\right.\).
Do phương trình \(0x=6\) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm
Bài 1: Cho hệ phương trình với tham số a: \(\left\{\begin{matrix} (a+1)x-y=a+1\\ x+(a-1)y=2 \end{matrix}\right.\). Giải và biện luận hệ này.
Hướng dẫn: Ta có \(\left\{\begin{matrix} (a+1)x-y=a+1\\ x+(a-1)y=2 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} y=(a+1)x-(a+1)\\ x+(a-1)y=2 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} y=(a+1)x-(a+1)\\ x+(a-1)[(a+1)x-(a+1)]=2 \end{matrix}\right.\) \(<=> \left\{\begin{matrix} y=(a+1)x-(a+1)\\ a^2x=a^2+1 \end{matrix}\right.\)
Nếu \(a \neq 0\) thì hệ tương đương \(\left\{\begin{matrix} y=(a+1)x-(a+1)\\ x=\frac{a^2+1}{a^2} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} y=\frac{a+1}{a^2}\\ x=\frac{a^2+1}{a^2} \end{matrix}\right.\)
Nếu \(a=0\) thì hệ tương đương \(\left\{\begin{matrix} y=x-1\\ 0x=1 \end{matrix}\right.\). Do phương trình \(0x=1\) vô nghiêm nên hệ vô nghiệm.
Bài 2: Biết rằng đa thức \(P(x)\) chia hết cho \(x-a\) khi và chỉ khi \(P(a)=0\) (định lý Bezout). Tìm các giá trị a, b sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x-1\) và \(x-2\):
\(P(x)=ax^4+(a-1)x^3+bx^2+3x+1\)
Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có \(\left\{\begin{matrix} P(1)=0\\ P(2)=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} 2a+b=3\\ 24a+4b=1 \end{matrix}\right.\). Giải hệ này bằng phương pháp thế ta được \(\left\{\begin{matrix} a=\frac{13}{16}\\ b=\frac{-37}{8} \end{matrix}\right.\)
Qua bài giảng Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm nghiệm của hệ phương trình sau \(\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ 2x-y=1 \end{matrix}\right.\).
Tìm nghiệm của hệ phương trình sau \(\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ 2x-3y=1 \end{matrix}\right.\).
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 12 trang 15 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 13 trang 15 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 14 trang 15 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 15 trang 15 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 16 trang 16 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 17 trang 16 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 18 trang 16 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 19 trang 16 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 16 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 17 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 18 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 19 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 20 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 21 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 22 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 23 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 24 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 3.1 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 3.2 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tìm nghiệm của hệ phương trình sau \(\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ 2x-y=1 \end{matrix}\right.\).
Tìm nghiệm của hệ phương trình sau \(\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ 2x-3y=1 \end{matrix}\right.\).
Số nghiệm của hệ phương trình sau là bao nhiêu \(\left\{\begin{matrix} 2x-y=1\\ -4x+2y=-2 \end{matrix}\right.\) ?
Tìm các giá trị của a để hai hệ phương trình sau đây tương đương:
\(\left\{\begin{matrix} x+3y=5\\ 2x-3y=1 \end{matrix}\right. (I)\) và \(\left\{\begin{matrix} ax+y=1\\ x+y=3 \end{matrix}\right. (II)\)
Tìm các giá trị nguyên của m sao cho hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là các số dương
\(\left\{\begin{matrix} x-y=3\\ mx+y=3 \end{matrix}\right.\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \\ 4x - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}- \frac{y}{3} = 1& & \\ 5x - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\)
Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & \end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(a = -1\)
b) \(a = 0\)
c) \(a = 1\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\)
a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.\)
Có nghiệm là \((1; -2)\)
b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là \((\sqrt{2}-1; \sqrt{2})\)
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\)
Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\): \(P(x) = mx^3+(m-2)x^2-(3n-5)x-4n\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
\(a)\left\{ {\matrix{
{4x + 5y = 3} \cr
{x - 3y = 5} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{7x - 2y = 1} \cr
{3x + y = 6} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} \cr
{0,5x + 2,5y = 5,5} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 5 x - y = \sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \cr
{2\sqrt 3 x + 3\sqrt 5 y = 21} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{1,7x - 2y = 3,8} \cr
{2,1x + 5y = 0,4} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)x + y = 3 - \sqrt 5 } \cr
{ - x + 2y = 6 - 2\sqrt 5 } \cr} } \right.\)
Tìm giá trị của a và b:
a) Để hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{3ax - \left( {b + 1} \right)y = 93} \cr
{bx + 4ay = - 3} \cr} } \right.\)
có nghiệm là (x; y) = (1; -5);
b) Để hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{\left( {a - 2} \right)x + 5by = 25} \cr
{2ax - \left( {b - 2} \right)y = 5} \cr} } \right.\)
có nghiệm là (x; y) = (3; -1)
Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để hai đường thẳng
\(({d_1})\): \(\left( {3a - 1} \right)x + 2by = 56\)
và \(({d_2})\): \(\displaystyle {1 \over 2} ax - \left( {3b + 2} \right)y = 3\)
cắt nhau tại điểm \(M(2; -5).\)
Tìm a và b:
a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A (-5; 3), \(B\left( {{3 \over 2}; - 1} \right)\);
b) Để đường thẳng \(ax - 8y = b\) đi qua điểm M (9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): \(2x + 5y = 17,\) (d2): \(4x - 10y = 14\)
Tìm giá trị của m:
a) Để hai đường thẳng (d1): \(5x - 2y = 3,\) (d2): \(x + y = m\) cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Để hai đường thẳng (d1): \(mx + 3y = 10\), (d2): \(x - 2y = 4\) cắt nhau tại một điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
a) \(\left( {{d_1}} \right):5x - 2y = c\) và \(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2,\) biết rằng (d1) đi qua điểm A (5; -1) và (d2) đi qua điểm B(-7; 3);
b) \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = - 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):3x - by = 5,\) biết rằng (d1) đi qua điểm M(3; 9) và (d2) đi qua điểm N(-1; 2)
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x - 3} \right)\left( {2y + 5} \right) = \left( {2x + 7} \right)\left( {y - 1} \right)} \cr
{\left( {4x + 1} \right)\left( {3y - 6} \right) = \left( {6x - 1} \right)\left( {2y + 3} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + y} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {x + 1} \right) + 2xy} \cr
{\left( {y - x} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {y + x} \right)\left( {y - 2} \right) - 2xy} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {4 \over 5}} \cr
{{1 \over x} - {1 \over y} = {1 \over 5}} \cr} } \right.\)
b)
\(\left\{ {\matrix{
{{{15} \over x} - {7 \over y} = 9} \cr
{{4 \over x} + {9 \over y} = 35} \cr} } \right.\)
c)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} + {1 \over {x - y}} = {5 \over 8}} \cr
{{1 \over {x + y}} - {1 \over {x - y}} = - {3 \over 8}} \cr} } \right.\)
d)
\(\left\{ {\matrix{
{{4 \over {2x - 3y}} + {5 \over {3x + y}} = - 2} \cr
{{3 \over {3x + y}} - {5 \over {2x - 3y}} = 21} \cr} } \right.\)
e)
\(\left\{ {\matrix{
{{7 \over {x - y + 2}} - {5 \over {x + y - 1}} = 4,5} \cr
{{3 \over {x - y + 2}} + {2 \over {x + y - 1}} = 4} \cr} } \right.\)
Tìm \(a\) và \(b\) để hệ
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = 17} \cr
{3bx + ay = - 29} \cr} } \right.\)
có nghiệm là \((x; y) = (1; -4)\)
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{2x - y = 5} \cr
{\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + 2y - 5} \right) = 0} \cr} } \right.\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=3\\y+z+yz=1\\z+x+xz=1\end{matrix}\right.\). Giải hệ phương trình
Câu trả lời của bạn
\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy+1=4\\y+z+yz+1=2\\x+z+xz+1=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=2\\\left(x+1\right)\left(z+1\right)=2\end{matrix}\right.\)
Lấy \(\dfrac{pt\left(2\right)}{pt\left(3\right)}\Leftrightarrow\dfrac{y+1}{x+1}=1\)\(\Leftrightarrow y+1=x+1\)\(\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào \(pt(1)\)\(\Leftrightarrow x^2+2x=3\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=1\\x=y=-3\end{matrix}\right.\)
Thay vào \(pt\left(3\right)\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z+1+z=1\\z-3-3z=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\z=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy....
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\\\dfrac{2}{xy}-\dfrac{1}{z^2}=4\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=2\\2ab-c^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2-a-b\\2ab-\left(2-a-b\right)^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}}\left\{{}\begin{matrix}c=2-a-b\\2ab-4-a^2-b^2+4a+4a-2ab-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2-a-b\\\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\\z=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Giải hpt sau: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+2x+6}=y+1\\x^2+xy+y^2=7\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(y\ge-1\)
hpt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x+6=y^2+2y+1\\\dfrac{1}{4}\left[3\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\right]=7\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(x+y+2\right)=-5\\3\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2=28\end{matrix}\right.\)(1)
đặt \(\left\{{}\begin{matrix}t=x+y\\u=x-y\end{matrix}\right.\) hpt (1) trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}u\left(t+2\right)=-5\\3t^2+u^2=28\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=-1\\u=-5\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}t=3\\u=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\x-y=-5\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\x-y=-1\end{matrix}\right.\)
giải các hệ trên ta đc:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy.....
Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=3\\x-y-xy=5\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2+3xy=3\\\left(x-y\right)-xy=5\end{matrix}\right.\)
đặt A = (x - y )2 và B = xy
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A+3B=3\\A-B=5\end{matrix}\right.\)
......
Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-xy=1\\2x^2+5xy=3+4x\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
cộng vế pt (1) và (2), ta được:
\(3x^2+4xy+y^2=4+4x\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2-\left(x-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(3x+y-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-x-2\\y=2-3x\end{matrix}\right.\)
thay từng trường hợp vào pt (1) giải tiếp
Giải hệ phương trình x+y =2 và xy-z2=1
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có \(\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ xy=z^2+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow z^2+1=x(2-x)\)
\(\Leftrightarrow z^2+1+x^2-2x=0\)
\(\Leftrightarrow z^2+(x-1)^2=0\)
Nhận thấy \(z^2,(x-1)^2\geq 0\forall x,z\in\mathbb{R}\) nên \(z^2+(x-1)^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} z=0\\ x-1=0\leftrightarrow x=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y=1\)
Vậy \((x,y,z)=(1,1,0)\)
giải hệ sau
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\sqrt{y}+\left(y-1\right)\sqrt{x}=\sqrt{2xy}\\x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=xy\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
PT(1)⇔(x+2013−−−−−−−√−x+2012−−−−−−−√)+(x+2012−−−−−−−√−x+2011−−−−−−−√)PT(1)⇔(x+2013−x+2012)+(x+2012−x+2011)
=(y+2012−−−−−−−√−y+2011−−−−−−−√)+(z+2013−−−−−−−√−z+2012−−−−−−−√)=(y+2012−y+2011)+(z+2013−z+2012)
⇔1x+2012−−−−−−−√+x+2011−−−−−−−√+1 sqrtx+2013+x+2012−−−−−−−√⇔1x+2012+x+2011+1 sqrtx+2013+x+2012
=1y+2012−−−−−−−√+y+2011−−−−−−−√+1 sqrtz+2013+z+2012−−−−−−−√=1y+2012+y+2011+1 sqrtz+2013+z+2012
Giả sử: x≥y;x≥z, ta có:
1x+2012−−−−−−−√+x+2011−−−−−−−√≤1y+2012−−−−−−−√+y+2011−−−−−−−√1x+2012+x+2011≤1y+2012+y+2011
1x+2013−−−−−−−√+x+2012−−−−−−−√≤1z+2013−−−−−−−√+z+2012−−−−−−−√1x+2013+x+2012≤1z+2013+z+2012
⇒1x+2012−−−−−−−√+x+2011−−−−−−−√+1 sqrtx+2013+x+2012−−−−−−−√⇒1x+2012+x+2011+1 sqrtx+2013+x+2012
≤1y+2012−−−−−−−√+y+2011−−−−−−−√+1 sqrtz+2013+z+2012−−−−−−−√≤1y+2012+y+2011+1 sqrtz+2013+z+2012
Mà 1x+2012−−−−−−−√+x+2011−−−−−−−√+1x+2013−−−−−−−√+x+2012−−−−−−−√1x+2012+x+2011+1x+2013+x+2012
=1y+2012−−−−−−−√+y+2011−−−−−−−√+1 sqrtz+2013+z+2012−−−−−−−√=1y+2012+y+2011+1 sqrtz+2013+z+2012
⇒x=y=z⇒x=y=z
Đây là đề thi trên báo THTT phải không
Giải hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-2x^2y+x=y^3-2xy^2+y\\\sqrt{y-1}+\sqrt{5-y}=-x^2+2y+1\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
PT(1): \(x^3-2x^2y+x=y^3-2xy^2+y\)
\(\Leftrightarrow (x^3-y^3)-2xy(x-y)+(x-y)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-2xy(x-y)+(x-y)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2-xy+y^2+1)=0\)
Ta thấy:
\(x^2-xy+y^2+1=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}+1\geq 1>0\) với mọi số thực x,y
Do đó: \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào PT(2):
\(\sqrt{y-1}+\sqrt{5-y}=-y^2+2y+1\)
Xét: \(\text{VT}^2=4+2\sqrt{(y-1)(5-y)}\geq 4\) nên \(\text{VT}\geq 2\) hoặc \(\text{VT}\leq -2\). Mà vế trái luôn không âm nên:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq 2\)
Xét \(\text{VP}=-(y^2-2y+1)+2=2-(y-1)^2\leq 2\forall y\in\mathbb{R}\)
\(\text{VT}=\text{VP}\Leftrightarrow \text{VT}=\text{VP}=2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(y=1\)
Vậy \((x,y)=(1,1)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=7\left(x-y\right)\\x^2+xy+y^2=19\left(x-y\right)^2\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Nếu \(x=0\Rightarrow y=0\)
Nếu \(x\neq 0\). Đặt \(y=tx\).
\(\text{PT2}\Leftrightarrow x^2+tx^2+x^2t^2=19(x-tx)^2\)
\(\Leftrightarrow 1+t+t^2=19(1-t)^2\)
\(\Leftrightarrow 18t^2-39t+18=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{3}{2}\\t=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
TH1: \(t=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{3x}{2}\)
Thay vào PT (1)
\(x^2-\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x^2=7(x-\frac{3}{2}x)\)
\(\Leftrightarrow \frac{7}{4}x^2=\frac{-7}{2}x\Leftrightarrow x=-2\) (do \(x\neq 0\))
\(\Rightarrow y=-3\)
TH2: \(t=\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{2}{3}x\)
Xét tương tự như TH1 ta thu được \((x,y)=(3;2)\)
Vậy \((x,y)\in \left\{(0;0);(3;2);(-2;-3)\right\}\)
Giải hệ phương trình:
\(\begin{cases} x^{2}+y^{2}=2x^{2}y^{2}\\ (x+y)(1+xy)=4x^{2}y^{2} \end{cases}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{cases} x^{2}+y^{2}=2x^{2}y^{2}\\ (x+y)(1+xy)=4x^{2}y^{2} \end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} \dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}=2\\ \dfrac{(x+y)(1+xy)}{x^2y^2}=4 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} \dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}=2\\ (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(1+\dfrac{1}{xy})=4 \end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2-\dfrac{2}{xy}=2\\ (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(1+\dfrac{1}{xy})=4 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2-\dfrac{2}{xy}=2\\ (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(2+\dfrac{2}{xy})=8 \end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2-\dfrac{2}{xy}=2\\ (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2}{xy})=8 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\)
\(\begin{cases} (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2-\dfrac{2}{xy}=2\\ (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2}{xy})=8 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2-\dfrac{2}{xy}=2\\ (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^3=8 \end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2-\dfrac{2}{xy}=2\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} 4-\dfrac{2}{xy}=2\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} \dfrac{2}{xy}=2\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} {xy}=1\\ \dfrac{x+y}{xy}=2 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} {xy}=1\\ x+y=2 \end{cases}\) (1)
Từ (1),ta suy ra x và ý là 2 nghiệm của phương trình: \(X^2-2X+1=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(X-1\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow\) \(X=1\) \(\Leftrightarrow\) x=y=1
Vậy (x;y)=(1;1) là nghiệm của hệ phương trình
Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}xy+y^2+x=7y\\\dfrac{x}{y}\left(x+y\right)=12\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Nếu y=0\(\Rightarrow\)x=0(t/m)
Nếu y\(\ne0\)
HPT\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{x}{y}=7\\\dfrac{x}{y}\left(x+y\right)=12\end{matrix}\right.\)
Đặt x+y=a
\(\dfrac{x}{y}=b\)
HPT\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=7\\a.b=12\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=7-b\\a.b=12\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(7-b\right)b=12\Rightarrow7b-b^2=12\Rightarrow b^2-7b+12=0\)
\(\Rightarrow\left(b-3\right)\left(b-4\right)=0\)
Tự giải nốt nhé...
Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
\(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=xyz\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)=20\\\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)=32\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Dễ thấy các cặp (x,y) mà x - y = 0 hoặc x + y = 0 đều không là nghiệm của hệ phương trình.
Ta có:
\(\dfrac{\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}=\dfrac{32}{20}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}=\dfrac{8}{5}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+2xy+y^2}{x^2+y^2}=\dfrac{8}{5}\).
Suy ra \(5\left(x^2+2xy+y^2\right)=8\left(x^2+y^2\right)\) \(\Leftrightarrow3x^2-10xy+3y^2=0\). (*)
Nếu x = 0 thì \(3y^2=0\Leftrightarrow y=0\) (mâu thuẫn).
Vì vậy \(x\ne0\), chia hai vế của phương trình (*) cho \(x^2\) ta được:
\(3\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-10\dfrac{y}{x}+3=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{y}{x}=3\\\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\).
Th1 \(\dfrac{y}{x}=3\Leftrightarrow y=3x\).
Khi đó: \(\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(3x-x\right)\left(9x^2+x^2\right)=20\)\(\Leftrightarrow2x.10x^2=20\)\(\Leftrightarrow x=1\).
vậy \(x=1,y=3.1=3\).
Th2 \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{3}\) \(\Leftrightarrow x=3y\).
Khi đó: \(\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(3y-y\right)\left(9y^2+y^2\right)=20\)\(\Leftrightarrow2y.10y^2=20\)\(\Leftrightarrow y=1\).
vậy \(y=1,x=3.1=3\).
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^4=6x^2y^2-215\\xy\left(x^2+y^2\right)=-78\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\xy=b\end{matrix}\right.\)thì hệ trở thành
\(\left\{{}\begin{matrix}a^4=6b^2-215\\b\left(a^2-2b\right)=-78\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{-78}{b}+2b\right)^2=6b^2-215\left(1\right)\\a^2=\dfrac{-78}{b}+2b\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2b^4+97b^2-6084=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=6\\b=-6\end{matrix}\right.\)
Làm nốt nhé
giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=xy+1\\y^2=3\left(y-2x\right)\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Từ PT(2) suy ra \(y^2=3(y-2x)\Rightarrow 2x=y-\frac{y^2}{3}\)
Thay vào PT(1) ta có:
\(x^2=xy+1\)
\(\Leftrightarrow 4x^2-4xy-4=0\)
\(\Leftrightarrow (y-\frac{y^2}{3})^2-2y(y-\frac{y^2}{3})-4=0\)
\(\Leftrightarrow y^2+\frac{y^4}{9}-\frac{2y^3}{3}-2y^2+\frac{2y^3}{3}-4=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{y^4}{9}-y^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow y^4-9y^2-36=0\)
\(\Leftrightarrow (y^2-\frac{9}{2})^2=\frac{225}{4}\)
\(\Rightarrow \left [\begin{matrix} y^2-\frac{9}{2}=\frac{15}{2}\\ y^2-\frac{9}{2}=\frac{-15}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left [\begin{matrix} y^2=12\\ y^2=-3(l)\end{matrix}\right.\)
\(y^2=12\Rightarrow y=\pm 2\sqrt{3}\)
Có: \(2x=y-\frac{y^2}{3}=y-4\Rightarrow x=\frac{y}{2}-2\)
Nếu \(y=2\sqrt{3}\Rightarrow x=\sqrt{3}-2\)
Nếu \(y=-2\sqrt{3}\Rightarrow x=-\sqrt{3}-2\)
Vậy \((x,y)=(\sqrt{3}-2, 2\sqrt{3}); (-\sqrt{3}-2, -2\sqrt{3})\)
Giải hệ phương trình sau:\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+1=2y\\y^3+1=2x\end{matrix}\right.\)
Giúp mk vs ạ
Câu trả lời của bạn
(1)-(2) có: \(x^3-y^3=2\left(y-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-2\left(y-x\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\x^2+xy+y^2+2=0\end{matrix}\right.\)
1, x - y =0 => x = y
Thay vào (1) có: \(y^3+1=2y\Leftrightarrow y^3+1-2y=0\Leftrightarrow y^3-y-y+1=0\Leftrightarrow y\left(y^2-1\right)-\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y^2+y-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\\y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)2, \(x^2+xy+y^2+2=0\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2+2=0\)(vô nghiêm)
Vậy hệ PT có cặp nghiệm (x, y)=....
Giải hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=3\\-x+2y=1\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=3\\-x+2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=3\\-2x+4y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0x+0y=5\)
Phương trình vô nghiệm !
Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y^2-3xy-2x+4y=0\\\left(x^2-5\right)^2=2x-2y+5\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y^2-3xy-2x+4y=0\\\left(x^2-5\right)^2=2x-2y+5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)-\left(2xy-4y\right)-\left(xy-2y^2\right)=0\\\left(x^2-5\right)^2=2x-2y+5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x-2\right)-2y\left(x-2\right)-y\left(x-2y\right)=0\\\left(x^2-5\right)^2=2x-2y+5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(x-2y\right)-y\left(x-2y\right)=0\\\left(x^2-5\right)^2=2x-2y+5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y-2\right)\left(x-2y\right)=0\\x^4-10x^2+25=2x-2y+5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x-y-2=0\\x-2y=0\end{matrix}\right.\\x^4-10x^2+20-2x+2y=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\x^4-10x^2+20-2x+2\left(x-2\right)=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{x}{2}\\x^4-10x^2+20-2x+\dfrac{2x}{2}=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\x^4-10x^2+16=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{x}{2}\\x^4-10x^2-x+20=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\\left(x^2-8\right)\left(x^2-2\right)=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{x}{2}\\\left(x^2-x-5\right)\left(x^2+x-4\right)=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\\left[{}\begin{matrix}x^2=8\\x^2=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{x}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x^2-x-5=0\\x^2+x-4=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{8}\\x=-\sqrt{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{x}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}\\x=\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{x}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=\sqrt{8}-2\\x=\sqrt{8}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-\sqrt{8}-2\\x=-\sqrt{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=\sqrt{2}-2\\x=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-\sqrt{2}-2\\x=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{1+\sqrt{21}}{4}\\x=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right.\) (CÒN MỘT VÀI TRƯỜNG HỢP BÊN TRÊN MK KO VIẾT HẾT ĐƯỢC BẠN TỰ TÌM Y NHA)
giải hệ pt:\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x-y}=3\\\dfrac{2}{x+y}-\dfrac{3}{x-y}=1\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Đặt :
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}=u\\\dfrac{1}{x-y}=v\end{matrix}\right.\)
Ta có hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}u+v=3\\2u-3v=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2u+2v=6\\2u-3v=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow5v=5\Leftrightarrow v=1\)
Thay \(v=1\) vào phương trình thứ nhất ta đc :
\(u+1=3\Leftrightarrow u=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y}=2\\\dfrac{1}{x-y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\dfrac{1}{2}\\x-y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2y=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=-\dfrac{1}{4}\)
Thay \(y=-\dfrac{1}{4}\) vào phương trình thứ 2 ta được :
\(x+\dfrac{1}{4}=1\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{4}\\y=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
giải hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}xy=140\\5x-y=15\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
ta có: 5x - y =15 => y = 5x - 15
=> x.(5x - 15) = 140
=> 5x^2 - 15x -140 = 0
=> 5.(x^2 -3x -28) = 0
=> x^2 - 4x + 7x -28 = 0
=> x(x-4) +7.(x-4) = 0
=> (x+7).(x-4)=0
=> x= -7 hoặc x=4
Nếu x=-7 => y= -50
Nếu x=4 => y=5
vậy hệ phương trình có cặp nghiệm là: (x;y)=(-7;-50) hoặc( x;y) = ( 4;5)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *