Tìm hiểu một trong những phương pháp rất hiệu quả trong giải hệ phương trình nói chung và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nói riêng đó là phương pháp thế.
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ, ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ ban đầu.
Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới tương đương, trong đó có một phương trình một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn đó, từ đó tìm ẩn còn lại, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế \(\left\{\begin{matrix} x-2y=1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn: Ta có \(\left\{\begin{matrix} x-2y=1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ 2y+1+y=1 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ 3y=0 \end{matrix}\right.\) \(<=>\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=0 \end{matrix}\right.\)
Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương phép thế \(\left\{\begin{matrix} -x+2y=1\\ 2x-4y=-2 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn: Ta có \(\left\{\begin{matrix} -x+2y=1\\ 2x-4y=-2 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y-1\\ 2x-4y=-2 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y-1\\ 2(2y-1)-4y=-2 \end{matrix}\right.\) \(<=>\left\{\begin{matrix} x=2y-1\\ 0y=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=2y-1\\ y \in \mathbb{R} \end{matrix}\right.\)
Bài 3: Chứng minh hệ phương trình sau vô nghiệm \(\left\{\begin{matrix} x-3y=2\\ -3x+9y=0 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn: Ta có \(\left\{\begin{matrix} x-3y=2\\ -3x+9y=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=3y+2\\ -3x+9y=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x=3y+2\\ -3(3y+2)+9y=0 \end{matrix}\right.\) \(<=>\left\{\begin{matrix} x=3y+2\\ 0x=6 \end{matrix}\right.\).
Do phương trình \(0x=6\) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm
Bài 1: Cho hệ phương trình với tham số a: \(\left\{\begin{matrix} (a+1)x-y=a+1\\ x+(a-1)y=2 \end{matrix}\right.\). Giải và biện luận hệ này.
Hướng dẫn: Ta có \(\left\{\begin{matrix} (a+1)x-y=a+1\\ x+(a-1)y=2 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} y=(a+1)x-(a+1)\\ x+(a-1)y=2 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} y=(a+1)x-(a+1)\\ x+(a-1)[(a+1)x-(a+1)]=2 \end{matrix}\right.\) \(<=> \left\{\begin{matrix} y=(a+1)x-(a+1)\\ a^2x=a^2+1 \end{matrix}\right.\)
Nếu \(a \neq 0\) thì hệ tương đương \(\left\{\begin{matrix} y=(a+1)x-(a+1)\\ x=\frac{a^2+1}{a^2} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} y=\frac{a+1}{a^2}\\ x=\frac{a^2+1}{a^2} \end{matrix}\right.\)
Nếu \(a=0\) thì hệ tương đương \(\left\{\begin{matrix} y=x-1\\ 0x=1 \end{matrix}\right.\). Do phương trình \(0x=1\) vô nghiêm nên hệ vô nghiệm.
Bài 2: Biết rằng đa thức \(P(x)\) chia hết cho \(x-a\) khi và chỉ khi \(P(a)=0\) (định lý Bezout). Tìm các giá trị a, b sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x-1\) và \(x-2\):
\(P(x)=ax^4+(a-1)x^3+bx^2+3x+1\)
Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có \(\left\{\begin{matrix} P(1)=0\\ P(2)=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} 2a+b=3\\ 24a+4b=1 \end{matrix}\right.\). Giải hệ này bằng phương pháp thế ta được \(\left\{\begin{matrix} a=\frac{13}{16}\\ b=\frac{-37}{8} \end{matrix}\right.\)
Qua bài giảng Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm nghiệm của hệ phương trình sau \(\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ 2x-y=1 \end{matrix}\right.\).
Tìm nghiệm của hệ phương trình sau \(\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ 2x-3y=1 \end{matrix}\right.\).
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 12 trang 15 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 13 trang 15 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 14 trang 15 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 15 trang 15 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 16 trang 16 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 17 trang 16 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 18 trang 16 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 19 trang 16 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 16 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 17 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 18 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 19 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 20 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 21 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 22 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 23 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 24 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 3.1 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 3.2 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tìm nghiệm của hệ phương trình sau \(\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ 2x-y=1 \end{matrix}\right.\).
Tìm nghiệm của hệ phương trình sau \(\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ 2x-3y=1 \end{matrix}\right.\).
Số nghiệm của hệ phương trình sau là bao nhiêu \(\left\{\begin{matrix} 2x-y=1\\ -4x+2y=-2 \end{matrix}\right.\) ?
Tìm các giá trị của a để hai hệ phương trình sau đây tương đương:
\(\left\{\begin{matrix} x+3y=5\\ 2x-3y=1 \end{matrix}\right. (I)\) và \(\left\{\begin{matrix} ax+y=1\\ x+y=3 \end{matrix}\right. (II)\)
Tìm các giá trị nguyên của m sao cho hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là các số dương
\(\left\{\begin{matrix} x-y=3\\ mx+y=3 \end{matrix}\right.\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \\ 4x - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}- \frac{y}{3} = 1& & \\ 5x - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\)
Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & \end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(a = -1\)
b) \(a = 0\)
c) \(a = 1\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\)
a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.\)
Có nghiệm là \((1; -2)\)
b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là \((\sqrt{2}-1; \sqrt{2})\)
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\)
Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\): \(P(x) = mx^3+(m-2)x^2-(3n-5)x-4n\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
\(a)\left\{ {\matrix{
{4x + 5y = 3} \cr
{x - 3y = 5} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{7x - 2y = 1} \cr
{3x + y = 6} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} \cr
{0,5x + 2,5y = 5,5} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 5 x - y = \sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \cr
{2\sqrt 3 x + 3\sqrt 5 y = 21} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{1,7x - 2y = 3,8} \cr
{2,1x + 5y = 0,4} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)x + y = 3 - \sqrt 5 } \cr
{ - x + 2y = 6 - 2\sqrt 5 } \cr} } \right.\)
Tìm giá trị của a và b:
a) Để hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{3ax - \left( {b + 1} \right)y = 93} \cr
{bx + 4ay = - 3} \cr} } \right.\)
có nghiệm là (x; y) = (1; -5);
b) Để hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{\left( {a - 2} \right)x + 5by = 25} \cr
{2ax - \left( {b - 2} \right)y = 5} \cr} } \right.\)
có nghiệm là (x; y) = (3; -1)
Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để hai đường thẳng
\(({d_1})\): \(\left( {3a - 1} \right)x + 2by = 56\)
và \(({d_2})\): \(\displaystyle {1 \over 2} ax - \left( {3b + 2} \right)y = 3\)
cắt nhau tại điểm \(M(2; -5).\)
Tìm a và b:
a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A (-5; 3), \(B\left( {{3 \over 2}; - 1} \right)\);
b) Để đường thẳng \(ax - 8y = b\) đi qua điểm M (9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): \(2x + 5y = 17,\) (d2): \(4x - 10y = 14\)
Tìm giá trị của m:
a) Để hai đường thẳng (d1): \(5x - 2y = 3,\) (d2): \(x + y = m\) cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Để hai đường thẳng (d1): \(mx + 3y = 10\), (d2): \(x - 2y = 4\) cắt nhau tại một điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
a) \(\left( {{d_1}} \right):5x - 2y = c\) và \(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2,\) biết rằng (d1) đi qua điểm A (5; -1) và (d2) đi qua điểm B(-7; 3);
b) \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = - 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):3x - by = 5,\) biết rằng (d1) đi qua điểm M(3; 9) và (d2) đi qua điểm N(-1; 2)
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x - 3} \right)\left( {2y + 5} \right) = \left( {2x + 7} \right)\left( {y - 1} \right)} \cr
{\left( {4x + 1} \right)\left( {3y - 6} \right) = \left( {6x - 1} \right)\left( {2y + 3} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + y} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {x + 1} \right) + 2xy} \cr
{\left( {y - x} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {y + x} \right)\left( {y - 2} \right) - 2xy} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {4 \over 5}} \cr
{{1 \over x} - {1 \over y} = {1 \over 5}} \cr} } \right.\)
b)
\(\left\{ {\matrix{
{{{15} \over x} - {7 \over y} = 9} \cr
{{4 \over x} + {9 \over y} = 35} \cr} } \right.\)
c)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} + {1 \over {x - y}} = {5 \over 8}} \cr
{{1 \over {x + y}} - {1 \over {x - y}} = - {3 \over 8}} \cr} } \right.\)
d)
\(\left\{ {\matrix{
{{4 \over {2x - 3y}} + {5 \over {3x + y}} = - 2} \cr
{{3 \over {3x + y}} - {5 \over {2x - 3y}} = 21} \cr} } \right.\)
e)
\(\left\{ {\matrix{
{{7 \over {x - y + 2}} - {5 \over {x + y - 1}} = 4,5} \cr
{{3 \over {x - y + 2}} + {2 \over {x + y - 1}} = 4} \cr} } \right.\)
Tìm \(a\) và \(b\) để hệ
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = 17} \cr
{3bx + ay = - 29} \cr} } \right.\)
có nghiệm là \((x; y) = (1; -4)\)
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{2x - y = 5} \cr
{\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + 2y - 5} \right) = 0} \cr} } \right.\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Thế tọa độ A và B vào phương trình \(y = ax + b\), ta có hệ :
\(\left\{ \matrix{ a + b = 0 \hfill \cr 2a + b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ b = - a \hfill \cr 2a - a = 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ b = - a \hfill \cr a = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = - 1. \hfill \cr} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện : \(y\ne 0\). Hệ đươc đưa về dạng :
\(\left\{ \matrix{ 3x - y = 0 \hfill \cr x + y = 12 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 3x \hfill \cr x + 3x = 12 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 3x \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 9 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(( 3; 9).\)
Câu trả lời của bạn
Vì \((1; − 2)\) là nghiệm của hệ, nên thế \(x = 1; y = − 2\) vào hệ, ta được:
\(\left\{ \matrix{ a - 2b = - 5 \hfill \cr b + 2a = - 5 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 2b - 5 \hfill \cr b + 2\left( {2b - 5} \right) = - 5 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 2b - 5 \hfill \cr b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - 3 \hfill \cr b = 1. \hfill \cr} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{7x - 2y = 1} \cr
{3x + y = 6} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 3x + 6} \cr
{7x - 2\left( { - 3x + 6} \right) = 1} \cr} } \right.\cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 3x + 6} \cr
{13x = 13} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = - 3x + 6} \cr} } \right.\cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (1; 3)\).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4x + 5y = 3} \cr
{x - 3y = 5} \cr} } \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3y + 5} \cr
{4\left( {3y + 5} \right) + 5y = 3} \cr} } \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3y + 5} \cr
{17y = - 17} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3y + 5} \cr
{y = - 1} \cr} } \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (2; -1).\)
Câu trả lời của bạn
Từ (1) \(\Leftrightarrow x = 1 – my. \) Thế x vào phương trình (2), ta được :
\(m\left( {1 - my} \right) - 3my = 2m + 3\)
\(\Leftrightarrow - \left( {{m^2} + 3m} \right)y = m + 3\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {m^2} + 3m = 0 \hfill \cr m + 3 \ne 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m\left( {m + 3} \right) = 0 \hfill \cr m + 3 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = 0.\)
Câu trả lời của bạn
Từ (2) \( \Rightarrow y = - mx - 3.\) Thế y vào phương trình (1), ta được:
\(3x - 2\left( { - mx - 3} \right) = 6 \)
\(\Leftrightarrow x\left( {3 + 2m} \right) = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có vô số nghiệm
\( \Leftrightarrow 3 + 2m = 0 \Leftrightarrow m = - {3 \over 2}.\)
Chú ý : Có thể xét điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau.
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(\left\{ \matrix{ \sqrt {2x} + y = 1 \hfill \cr x - y = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = x - \sqrt 2 \hfill \cr \sqrt {2x} + y = 1 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = x - \sqrt 2 \hfill \cr \sqrt {2x} + x - \sqrt 2 = 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất : \(( 1; 1 - \sqrt 2 )\).
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(\left\{ \matrix{ \sqrt {2x} - \sqrt {3y} = 1 \hfill \cr x + \sqrt {3y} = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \sqrt {2x} - \sqrt {3y} = 1 \hfill \cr x = - \sqrt {3y} + \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \sqrt 2 \left( { - \sqrt {3y} + \sqrt 2 } \right) - \sqrt {3y} = 1 \hfill \cr x = - \sqrt {3y} + \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = {{\sqrt 6 - \sqrt 3 } \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất : \(\left( {1;{{\sqrt 6 - \sqrt 3 } \over 3}} \right).\)
Câu trả lời của bạn
Để cặp \((x; y) = (3; -1)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho, ta thay \(x = 3; y = -1\) vào hệ phương trình ta được:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {a - 2} \right).3 + 5b.\left( { - 1} \right) = 25\\
2a.3 - \left( {b - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a - 6 - 5b = 25\\
6a + b - 2 = 5
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3a - 5b = 31} \cr
{6a + b = 7} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 7 - 6a} \cr
{3a - 5\left( {7 - 6a} \right) = 31} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 7 - 6a} \cr
{33a = 66} \cr} } \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 7 - 6a} \cr
{a = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - 5} \cr
{a = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy \(a = 2\) và \(b = -5.\)
Câu trả lời của bạn
Hai đường thẳng \(({d_1})\): \(\left( {3a - 1} \right)x + 2by = 56\) và
\(({d_2})\): \(\displaystyle {1 \over 2}ax - \left( {3b + 2} \right)y = 3\) cắt nhau tại điểm \(M(2; -5)\) nên tọa độ của \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{\left( {3a - 1} \right)x + 2by = 56} \cr
{\displaystyle {1 \over 2}ax - \left( {3b + 2} \right)y = 3} \cr} } \right.\)
Thay \(x = 2\) và \(y = -5\) vào hệ phương trình ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2\left( {3a - 1} \right) + 2b\left( { - 5} \right) = 56} \cr
{\displaystyle {1 \over 2}a.2 - \left( {3b + 2} \right).\left( { - 5} \right) = 3} \cr} } \right.\cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a - 10b = 58} \cr
{a + 15b +10= 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3a - 5b = 29} \cr
{a + 15b = - 7} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 7 - 15b} \cr
{3\left( { - 7 - 15b} \right) - 5b = 29} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 7 - 15b} \cr
{ - 50b = 50} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 7 - 15b} \cr
{b = - 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 8} \cr
{b = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy \(a = 8; b = -1.\)
Câu trả lời của bạn
Để cặp \((x; y) = (1; -5)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho, ta thay \(x = 1; y = -5\) vào hệ phương trình ta được:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
3a.1 - \left( {b + 1} \right).\left( { - 5} \right) = 93\\
b.1 + 4a.\left( { - 5} \right) = - 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a + 5b + 5 = 93\\
b - 20a = - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3a + 5b = 88} \cr
{b - 20a = - 3} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a - 3} \cr
{3a + 5\left( {20a - 3} \right) = 88} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a - 3} \cr
{3a + 100a - 15 = 88} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a - 3} \cr
{103a = 103} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a - 3} \cr
{a = 1} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 17} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy \(a = 1\) và \(b = 17.\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\sqrt 5 x - y = \sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \cr
{2\sqrt 3 x + 3\sqrt 5 y = 21} \cr
} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)} \cr
{2\sqrt 3 x + 15\left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right) = 21} \cr} } \right.\cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)} \cr
{\left( {2\sqrt 3 + 15} \right)x = 6 + 15\sqrt 3 } \cr}} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = \displaystyle{{6 + 15\sqrt 3 } \over {2\sqrt 3 + 15}}} \cr} } \right.\cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)\\
x = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {2\sqrt 3 + 15} \right)}}{{2\sqrt 3 + 15}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)\\
x = \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \\
y = \sqrt 5 \left( {\sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 } \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \\
y = \sqrt 5
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x; y) = \left( {\sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right).\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} \cr
{0,5x + 2,5y = 5,5} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} \cr
{x + 5y = 11} \cr
} } \right.\cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 11 - 5y} \cr
{1,3\left( {11 - 5y} \right) + 4,2y = 12} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 11 - 5y} \cr
{ - 23y = - 23} \cr}} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 11 - 5y} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 6} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (6; 1)\).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{1,7x - 2y = 3,8} \cr
{2,1x + 5y = 0,4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{17x - 20y = 38} \cr
{21x + 50y = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle{{17x - 38} \over {20}}} \cr
{21x + 50.\displaystyle{{17x - 38} \over {20}} = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle{{17x - 38} \over {20}}} \cr
{42x + 85x - 190 = 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle {{17x - 38} \over {20}}} \cr
{127x = 198} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle{{17x - 38} \over {20}}} \cr
{x = \displaystyle{{198} \over {127}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle - {{73} \over {127}}} \cr
{x = \displaystyle{{198} \over {127}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: \((x; y) = \displaystyle \left( {{{198} \over {127}}; - {{73} \over {127}}} \right).\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0\)
Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) \((a \ne 0;b \ne 0)\)
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{15a - 7b = 9} \cr
{4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
\displaystyle{4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
\displaystyle{4a + 9.{{15a - 9} \over 7} = 35} \cr} } \right.\cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{28a + 135a - 81 = 245} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{163a = 326} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{a = 2} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3} \cr
{a = 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = 2} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle{1 \over 2}} \cr
{y = \displaystyle{1 \over 3}} \cr} } \right.\text {(thoả mãn)}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y)\) = \(\displaystyle \left( {{1 \over 2};{1 \over 3}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0.\)
Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) \((a \ne 0;b \ne 0)\)
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{4 \over 5}} \cr
{a - b = \displaystyle{1 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr
{a + b = \displaystyle{4 \over 5}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr
{b + \displaystyle{1 \over 5} + b = {4 \over 5}} \cr} } \right.\cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr
{2b = \displaystyle{3 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr
{b =\displaystyle {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over 2}} \cr
{b = \displaystyle {3 \over {10}}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr } \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over 2}} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
\displaystyle{y = {{10} \over 3}} \cr} } \text {(thoả mãn)} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \displaystyle\left( {2;{{10} \over 3}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Vì \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = -3\) đi qua điểm \(M (3; 9)\) nên \(a.3 + 2.9 = - 3 \Leftrightarrow 3a = - 21 \\ \Leftrightarrow a = - 7\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right): - 7x + 2y = - 3\)
Vì \(\left( {{d_2}} \right):3x - by = 5\) đi qua điểm \(N (-1; 2)\) nên \(3.\left( { - 1} \right) - b.2 = 5 \Leftrightarrow - 2b = 8 \\ \Leftrightarrow b = - 4\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):3x + 4y = 5\)
Tọa độ giao điểm của \(({d_1})\)và \(({d_2})\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 7x + 2y = - 3} \cr
{3x + 4y = 5} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr
{\displaystyle 3x + 4.{{7x - 3} \over 2} = 5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr
{17x = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr
{x = \displaystyle{{11} \over {17}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x =\displaystyle {{11} \over {17}}} \cr
{y = \displaystyle {{13} \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy tọa độ giao điểm của \(({d_1})\)và \(({d_2})\) là \(\displaystyle\left( {{{11} \over {17}};{{13} \over {17}}} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(({d_1})\): \(2x + 5y = 17,\)
\(({d_2})\): \(4x - 10y = 14\)
là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 17} \cr
{4x - 10y = 14} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 17} \cr
{2x - 5y = 7} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle{{7 + 5y} \over 2}} \cr
{ \displaystyle 2\left( {{{7 + 5y} \over 2}} \right) + 5y = 17} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle {{7 + 5y} \over 2}} \cr
{10y = 10} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle{{7 + 5y} \over 2}} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 6} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Do đó giao điểm của \(({d_1})\) và\(({d_2})\) là \(C(6; 1).\)
Vì \(M(9; -6)\) thuộc đường thẳng \(ax – 8y = b\) nên \(9a + 48 = b\)
Vì \(C(6; 1)\) thuộc đường thẳng \(ax – 8y = b\) nên \(6a – 8 = b\)
Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{9a + 48 = b} \cr
{6a - 8 = b} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr
{9a + 48 = 6a - 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr
{3a = - 56} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr
{a = \displaystyle - {{56} \over 3}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - 120} \cr
{a = \displaystyle - {{56} \over 3}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy \(a = \displaystyle - {{56} \over 3};b = - 120\).
Câu trả lời của bạn
Vì \(A(-5; 3)\) thuộc đường thẳng \(y = ax + b\) nên tọa độ của \(A\) thỏa mãn phương trình này, nghĩa là \(3 = -5a + b.\)
Vì \(B\displaystyle\left( {{3 \over 2}; - 1} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = ax + b\) nên \( - 1 = \displaystyle{3 \over 2}a + b \Leftrightarrow 3a + 2b = - 2\)
Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 5a + b = 3} \cr
{3a + 2b = - 2} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr
{3a + 2\left( {3 + 5a} \right) = - 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr
{3a +6+10a= - 2} \cr} } \right.\cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr
{13a = - 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr
{a = \displaystyle- {8 \over {13}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle- {1 \over {13}}} \cr
{a = \displaystyle- {8 \over {13}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy \(a = \displaystyle- {8 \over {13}};b = - {1 \over {13}}.\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *