Sau khi kết thúc tất cả bài học chương trình Giải tích 12, bài ôn tập cuối năm sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ chương trình đã học. Từ đó sẽ có định hướng ôn tập và rèn luyện nhằm hướng đến kì thi THPT Quốc gia mà ở đó chương trình Toán 12 luôn chiếm tỉ trọng cao nhất về điểm số. Hy vọng các bảng tổng kết nội dung sau sẽ phần nào giúp được các em trong quá trình ôn tập, chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cáo trong các kì thi.
Sau khi kết thúc tất cả bài học chương trình Giải tích 12, bài ôn tập cuối năm sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ chương trình đã học. Từ đó sẽ có định hướng ôn tập và rèn luyện nhằm hướng đến kì thi THPT Quốc gia mà ở đó chương trình Toán 12 luôn chiếm tỉ trọng cao nhất về điểm số. Hy vọng các bảng tổng kết nội dung sau sẽ phần nào giúp được các em trong quá trình ôn tập, chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cáo trong các kì thi.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập cuối năm - Toán 12để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1\) có ba cực trị.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập cuối năm - Toán 12 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 10 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 145 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 146 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 10 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 11 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 12 trang 147 SGK Giải tích 12
Bài tập 13 trang 148 SGK Giải tích 12
Bài tập 14 trang 148 SGK Giải tích 12
Bài tập 15 trang 148 SGK Giải tích 12
Bài tập 16 trang 148 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 211 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 211 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 211 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 8 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 9 trang 212 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 213 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 215 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 214 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 215 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 215 SGK Toán 12 NC
Bài tập 29 trang 215 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 215 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 216 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 216 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 216 SGK Toán 12 NC
Bài tập 34 trang 216 SGK Toán 12 NC
Bài tập 35 trang 216 SGK Toán 12 NC
Bài tập 36 trang 217 SGK Toán 12 NC
Bài tập 37 trang 217 SGK Toán 12 NC
Bài tập 38 trang 217 SGK Toán 12 NC
Bài tập 1 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 2 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 3 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 4 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 5 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 6 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 7 trang 216 SBT Toán 12
Bài tập 8 trang 217 SBT Toán 12
Bài tập 9 trang 217 SBT Toán 12
Bài tập 10 trang 217 SBT Toán 12
Bài tập 11 trang 217 SBT Toán 12
Bài tập 12 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 13 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 14 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 15 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 16 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 17 trang 218 SBT Toán 12
Bài tập 18 trang 219 SBT Toán 12
Bài tập 19 trang 219 SBT Toán 12
Bài tập 20 trang 219 SBT Toán 12
Bài tập 21 trang 219 SBT Toán 12
Bài tập 22 trang 219 SBT Toán 12
Bài tập 23 trang 220 SBT Toán 12
Bài tập 24 trang 220 SBT Toán 12
Bài tập 25 trang 220 SBT Toán 12
Bài tập 26 trang 220 SBT Toán 12
Bài tập 27 trang 220 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1\) có ba cực trị.
Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({5^{3x - 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - {x^2}}}.\)
Cho \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b.\) Biểu diễn \({\log _3}135\) theo a và b.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;1] Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 1 \right) = - 1.\) Tính \(I = \int_0^1 {f'\left( x \right)} dx.\)
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=3x, y=x, x=0 và x=1 quanh trục Ox.
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = (2 + i)( - 1 + i){(2i + 1)^2}\)
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1.\) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox:
a) y = x3 ; y = 1 và x = 3
b) \(y = {2 \over \pi }x;y = \sin x;x \in {\rm{[}}0;{\pi \over 2}{\rm{]}}\)
c) \(y = {x^\alpha },\alpha \in {N^*};y = 0;x = 0\) và x = 1
Chứng minh rằng:
a) \(i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{99}} + {i^{100}} = 0\)
b) \(\displaystyle {{(\sqrt 2 + i)(1 - i)(1 + i)} \over i} = 2 - 2\sqrt 2 i\)
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn các điều kiện:
a) |z – i| = 1
b) |2 + z| < |2 – z|
c) \(2 \le |z - 1 + 2i| < 3\)
Tính:
a) \(\displaystyle {{5 + 2i} \over {7 - i}}\)
b) \(\displaystyle {{3 - i} \over i} + {(5 - i)^2}\)
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 3x2 – 4x + 2 = 0
b) x2 – x + 9 = 0
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\matrix{{x + 2y = 1 + i} \cr {3x + iy = 2 - 3i} \cr} } \right.\)
Với những giá trị thực nào của x và y thì các số phức : \({z_1} = 9{y^2} - 4 - 10x{i^5}\) và \({z_2} = 8{y^2} + 20{i^{11}}\) là liên hợp của nhau?
Tìm môđun của các số phức sau:
a) \({z_1} = - 8 + {1 \over 2}i\)
b) \({z_2} = \sqrt 3 - \sqrt 7 i\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{a^4+a^2b^2}+\frac{1}{b^4+a^2b^2}+\frac{32}{(1+c)^3}\)
Câu trả lời của bạn
Từ điều kiện ta có \(a,b,c\in (0;1)\)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
\(\frac{1}{a^4+a^2b^2}+\frac{1}{b^4+a^2b^2}\geq \frac{1}{a^4+2a^2b^2+b^4}=\frac{4}{(a^2+b^2)^2}=\frac{4}{(1-c^2)^2}\)
Nên \(P\geq \frac{4}{(1-c^2)^2}+\frac{32}{(1+c^3)^3}\)
Xét hàm số \(f(c)= \frac{4}{(1-c^2)^2}+\frac{32}{(1+c^3)^3} \ \ c\in (0;1)\)
\(\Rightarrow f'(c)= \frac{16c}{(1-c^2)^2}-\frac{96}{(1+c^3)^3}=16.\frac{c(1+c)-6(1-c)^3}{(1-c)^3(1+c)^4}\)
\(=16.\frac{(2c-1)-(3x^2-7c+6)}{(1-c)^3(1+c)^4}\)
Ta có \(f'(c)=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{2}\)
Lập bảng biến thiên suy ra \(f(c)\geq f\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{448}{27}\)
Vậy \(Min (P)=\frac{448}{27}\Leftrightarrow a=b=\frac{\sqrt{6}}{4},c=\frac{1}{2}\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 3xy(1+\sqrt{9y^{2}+1})=\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\\x^{3}(9y^{2}+1)+4(x^{2}+1).\sqrt{x}=10 \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
:)
ĐK: \(x\geq 0\)
Nhận xét:
- Nếu x = 0 thì không thỏa mãn hệ PT
- Xét x > 0
\(PT(1)\Leftrightarrow 3y+3y\sqrt{9y^{2}+1}=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x}\)
\(\Leftrightarrow 3y+3y\sqrt{(3y)^{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{x}})^{2}+1}\; \; \; \; (3)\)
Từ (1) và x > 0 ta có y > 0. Xét hàm số \(f(t)=t+t.\sqrt{t^{2}+1},t> 0\).
Ta có \(f(t)=1+\sqrt{t^{2}+1}+\frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+1}}> 0.\) Suy ra f(t) luôn đồng biến trên \((0;+\infty )\)
\(PT(3)\Leftrightarrow f(3y)=f(\frac{1}{\sqrt{x}})\Leftrightarrow 3y=\frac{1}{\sqrt{x}}\)
Thế vào pt(2) ta được pt: \(x^{3}+x^{2}+4(x^{2}+1)\sqrt{x}=10\)
Đặt \(g(x)=x^{3}+x^{2}+4(x^{2}+1)\sqrt{x}-10,x> 0.\)
Ta có g'(x) > 0 với x > 0 suy ra g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)
Ta có g(1) = 0. Vậy pt g(x) có nghiệm duy nhất x = 1
Với x = 1 suy ra y = \(\frac{1}{3}\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \((1;\frac{1}{3})\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+x^2}(1+x-y)+1=y+xy-x^2 \ \ \ \ \(1)\\ 2x\sqrt{16y^2-13}-(3+2x)\sqrt{y^2+3x+2}=3-2x \ \ \(2) \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(16y^2-13\geq 0, y^2+3x+2\geq 0\)
\(\sqrt{1+x^2}(1+x-y)+1=y+xy-x^2\Leftrightarrow \sqrt{1+x^2}(1+x)-y\sqrt{1+x^2}+1+x^2\) = y + xy
\(\Leftrightarrow (\sqrt{1+x^2}-y)(1+x+\sqrt{1+x^2})=0\)
Vì \(1+x+\sqrt{1+x^2}> 0, \forall x\) nên \(\sqrt{1+x^2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ x^2+1=y^2 \end{matrix}\right.\)
Thay \(y^2=x^2+1\) vào (2) ta có
\(2x\sqrt{16x+3}-(3+2x)\sqrt{x^2+3x+3}+2x-3=0\)
hay \(4x\sqrt{16x+3}-2(3+2x)\sqrt{x^2+3x+3}+4x-6=0\)
\(\Leftrightarrow 4x\sqrt{16x+3} +8x=(3+2x)\sqrt{(2x+3)^2+3}+2(3+2x)\)
Dạng \(f(u)=f(v)\) với \(f(t)=2t+t\sqrt{t^2+3},u=4x, v=2x+3\)
Ta có
\(f'(t)=2+\frac{t}{\sqrt{3+t^2}}+\sqrt{3+t^2}> 0 \ \ \ \forall t,\) f là đồng biến trên
Do đó \(u=v\) tức là \(4x=2x+3\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\) suy ra \(y=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
Thử lại, ta có nghiệm của hệ là \(x=\frac{3}{2}, y=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
Cho a, b, c là độ dài của tam giác thỏa mãn \((a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=1\). Chứng minh rằng \((\frac{a+b+c}{3})^{5}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(x=a+b-c,y=b+c-a,z=c+a-b\Rightarrow x,y,z\geq 0;xyz=1\)
Ta có \(a=\frac{x+z}{2},b=\frac{x+y}{2},c=\frac{y+z}{2}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\((\frac{x+y+z}{3})^{5}\geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+xz}{6}\Leftrightarrow (\frac{x+y+z}{3})^{5}\geq \frac{(x+y+z)^{2}-(xy+yz+xz)}{6}\)
Theo Cô si ta có:
\(xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{(x+y+z)^{2}-(xy+yz+xz)}{6}\leq \frac{(x+y+z)^{2}-3}{6}\)
Ta cần chứng minh
\((\frac{x+y+z}{3})^{5}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{6}-\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow (\frac{x+y+z}{3})^{5}- \frac{(x+y+z)^{2}}{6}-\frac{1}{2}\geq 0\)
Đặt \(t=\frac{x+y+z}{3},\; do \; x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\Rightarrow t\geq 1\)
Xét hàm số:
\(f(t)=t^{5}-\frac{3}{2}t^{2}+\frac{1}{2},t\in [1;+\infty )\)
\(f(t)=5t^{4}-3t> 0\forall t\in [1;+\infty )\)
\(\Rightarrow f(t)\geq f(1)\; hay \; t^{5}-\frac{3}{2}t^{2}+\frac{1}{2}\geq 0\)
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra nếu x = y = z = 1 nên a = b = c = 1.
Giải phương trình \(\sqrt{x(x+7)}+\sqrt{(x+7)(x+17)}+\sqrt{(x+17)(x+24)}=12+17\sqrt{2}\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện \(\bigg \lbrack\begin{matrix} x\geq 0\\ x\leq -24 \end{matrix}\). Đặt \(t=x+12\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t\geq 12\\ t\leq -12 \end{matrix}\)
Phương trình trở thành: \(f(t)=\sqrt{(t-12)(t-5)}+=\sqrt{(t+5)(t-5)}+\sqrt{(t+12)(t-5)}\) \(=12+17\sqrt{12}\)
Suy ra f(t) = f(-t), do đó f(t) là hàm số của số chẵn trên tập \(D = (-\infty ; -12] \cup [12; +\infty )\) nên chỉ cần xét trên \([12; +\infty ).\)
Ta có: \(f'(t)=\frac{2t-17}{2\sqrt{(t-12)(t-5)}}+\frac{t}{\sqrt{(t+5)(t-5)}}+\frac{2t+17}{2\sqrt{(t+12)(t+5)}}> 0\), với mọi giá trị \(t \in (12;+\infty )\)
Suy ra f(t) đồng biến trên \((12;+\infty )\), nên \(f(t) = 12 + 17\sqrt{2}\) có nhiều nhất một nghiệm thuộc \([12; +\infty ).\)
Do f(t) là hàm số chẵn nên t = -13 là nghiệm duy nhất của phương trình trên \([12; +\infty ).\)
Vậy nghiệm của phương trình là x =1, x = -25.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *