Nội dung bài học tiếp tục giới thiệu đến các em một phép toán tiếp theo trên tập số phức đó là phép chia hai số phức. Cách làm cụ thể và những ví dụ minh họa sẽ được giới thiệu thông qua bài học này.
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)
(Nhân cả tử và mẫu với \(a - bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).
Với số phức \(z\ne0\) ta có:
Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 - 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).
Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)
Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \(\overline z = \frac{{53}}{{10}} - \frac{9}{{10}}i\).
Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}\).
Ta có:\(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.\)
Vậy môđun của số phức z là: \(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: \({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)
\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.\)
Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)
Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)
Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)
Khi đó: \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)\(\Leftrightarrow 2(\overline z - 1)(2 - i) = (3 + i)(\overline z + 2i)\)
\(\Leftrightarrow (\overline z - 1)(4 - 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)
\(\Leftrightarrow (1 - 3i)\overline z = 2i + 4\)
\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)
\(\Rightarrow z = \frac{{ - 1}}{5} - \frac{7}{5}i\).
Tính số phức sau: \(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)
Ta có: \(\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = - i.\)
Vậy: \({\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} = {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.\)
Nội dung bài học tiếp tục giới thiệu đến các em một phép toán tiếp theo trên tập số phức đó là phép chia hai số phức. Cách làm cụ thể và những ví dụ minh họa sẽ được giới thiệu thông qua bài học này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho số phức \(z= \frac{{1 - i}}{{1 + i}}\). Tính giá trị của \({z^{2016}}\).
Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\) ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\).
Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 138 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 138 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 138 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 138 SGK Giải tích 12
Bài tập 4.19 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.20 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.21 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.22 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.23 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.24 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.25 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.26 trang 204 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho số phức \(z= \frac{{1 - i}}{{1 + i}}\). Tính giá trị của \({z^{2016}}\).
Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\) ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\).
Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\)
Cho số phức \(z=x+yi\). Tìm phần ảo của số phức \(\frac{{\bar z + i}}{{iz - 1}}\).
Cho số phức \(z = - 3 - 4i.\) Tìm mô đun của số phức \(w = iz + \frac{{25}}{z}.\)
Số phức z thỏa \(z + 2\overline z = 3 - i\) có phần ảo bằng :
Số phức z thỏa mãn z(1 + 2i) + 1 - i = 2i là
Các số thực x, y thỏa mãn \(\frac{{x - 3}}{{3 + i}} + \frac{{y - 3}}{{3 - i}} = i\). Khi đó, tổng T = x+y bằng
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {2 + i} \right)z + \frac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i\). Môđun của số phức w = z + i + 1 là
Cho số phức \(z = \frac{{1 + 2i}}{{2 - i}}\). Phần thực và phần ảo của số phức \({\rm{w}} = \left( {z + 1} \right)\left( {z + 2} \right)\) là:
Thực hiện các phép chia sau:
a) \(\frac{2+i}{3-2i}\). b) \(\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\). c) \(\frac{5i}{2-3i}\). d) \(\frac{5-2i}{i}\).
Tìm nghịch đảo của số phức z, biết:
a) \(z = 1 + 2i\). b) \(\small z = \sqrt{2 }- 3i\).
c) \(\small z = i\). d)\(\small z = 5 + i\sqrt{3}\).
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\small 2i(3 + i)(2 + 4i)\). b) \(\frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\).
c) \(\small 3 + 2i + (6 + i)(5 + i)\). d) \(4 - 3i +\frac{5+4i}{3+6i}\).
Giải các phương trình sau:
a) \((3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\).
b) \(\small (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z\).
c) \(\frac{z}{4-3i}+ (2 - 3i) = 5 - 2i\).
Thực hiện các phép tính sau :
a) \(\frac{{(2 + i) + (1 + i)(4 - 3i)}}{{3 + 2i}}\)
b) \(\frac{{(3 - 4i)(1 + 2i)}}{{1 - 2i}} + 4 - 3i\)
Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({\left( {3 + 4i} \right)x = \left( {1 + 2i} \right)\left( {4 + i} \right)}\)
b) \({\left( {3 + 4i} \right)x = \left( {1 + 2i} \right)\left( {4 + i} \right)}\)
c) \({3x\left( {2 - i} \right) + 1 = 2ix\left( {1 + i} \right) + 3i}\)
Tìm nghịch đảo của số phức sau
a) \({\sqrt 2 - i\sqrt 3 }\)
b) \(i\)
c) \({\frac{{1 + i\sqrt 5 }}{{3 - 2i}}}\)
d) \({{{\left( {3 + i\sqrt 2 } \right)}^2}}\)
Giải phương trình sau trên tập số phức \(\left( {1 - i} \right)z + \left( {2 - i} \right) = 4 - 5i\)
Tìm các số phức \(2z + \bar z\) và \(\frac{{25i}}{z}\) biết rằng
Cho \(z \in C\). Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. \({\frac{1}{z} \in R \Leftrightarrow z \in R}\)
B. \({\frac{1}{z}}\) thuần ảo \(\Leftrightarrow z\) thuần ảo
C. \({\frac{1}{z} = \bar z \Leftrightarrow \left| z \right| = 1}\)
D. \({\left| {\frac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow z \in R}\)
Cho \(z = a + bi \in C\), biết \(\frac{z}{{\bar z}} \in R\). Kết luận nào sau đây đúng?
Cho \(z = a + bi \in C\), biết \(\frac{z}{{\bar z}}\) là một số thuần ảo. Kết luận nào sau đây đúng?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thoả mãn \((1+4i)z+3-i=4z-3i\)
Câu trả lời của bạn
\((1+4i)+3-i=4z-3i\Leftrightarrow (3-4i)=3+2i\Leftrightarrow z=\frac{3+2i}{3-4i}\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{1}{25}+\frac{18}{25}i\)
Phần thực của số phức z là \(\frac{1}{25}\) , phần ảo của số phức z là \(\frac{18}{25}\)
Help me!
Tìm môđun của z biết \(z+2-3i=4+2iz\)
Câu trả lời của bạn
\(z+2-3i=4+2iz\Leftrightarrow (1-2i)z=4+3i\Leftrightarrow z=\frac{4+3i}{1-2i}\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{(4+3i)(1+2i)}{5}=-\frac{1}{5}+\frac{11}{5}i\Rightarrow \left | z \right |=\frac{\sqrt{122}}{5}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
a. Cho số phức z = 3 - 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức: \(w=iz-\frac{1}{z}\)
b. Giải phương trình: \(log_2(2x-3)^2-2log_2x=4\)
Câu trả lời của bạn
1.
Cho số phức z = 3 - 2i.Tìm phần thực và phần ảo của số phức: \(w=iz-\frac{1}{z}\)
Ta có \(w=iz-\frac{1}{z}=i(3-2i)-\frac{1}{3-2i}=2+3i-\frac{3+2i}{13}\)
\(w=\frac{23}{13}+\frac{37}{13}i\)
Số phức w có phần thực \(\frac{23}{13}\), có phần ảo \(\frac{37}{13}\)
2.
Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x>0\\ (2x-3)^2>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ x\neq \frac{3}{2} \end{matrix}\right.\)
\((1)\Leftrightarrow log_2(2x-3)^2=2log_2x+log_216\)
\(\Rightarrow log_2(2x-3)^2=log_2x^2+log_2_16\)
\(\Leftrightarrow log_2(2x-3)^2=log_216x^2\)
\(\Leftrightarrow (2x-3)^2=16x^2\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 2x-3=4x\\ 2x-3=-4x \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=-\frac{3}{2}(l)\\ x=\frac{1}{2}(t/m) \end{matrix}\)
Kết hợp điều kiện kiểm tra lại vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{1}{2}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Giải phương trình \(log_2x=log_4(x+3)+1\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: x > 0
Với điều kiện trên, ta có: \(log_2x=log_4(x+3)+1\Leftrightarrow log_4x^2=log_4(4x+12)\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x-12=0\Leftrightarrow x=6(x>0)\)
Cho số phức z thỏa mãn \((1+2i)z-5-5i=0\). Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(w=\bar{z}+\frac{10}{z}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \((1+2i)z-5-5i=0\Leftrightarrow z=3-i\)
\(w=\bar{z}+\frac{10}{z}=3+i+\frac{10}{3-i}=6+2i\)
Do đó số phức w có phần thực là 6, phần ảo là 2.
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((1+i)\bar{z}-1-3i=0\) . Tìm phần ảo của số phức \(w=1-zi+\bar{z}\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(z=x+yi(x,y\in z)\Rightarrow \bar{z}=x-yi\)
Theo giả thiết, ta có \((1-i)(x-yi)-1-3i=0\Leftrightarrow (x+y-1)+(x-y-3)i=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right.\)
Suy ra z = 2 - i
Ta có \(w=1-(2-i)i+2+i=3+i^2-2i+i=2-i\)
Vậy Imw = -1
Cho số phức z thỏa mãn \(z +2\overline{z} = 2 - 4i\). Tìm môđun của số phức z.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(z = a + bi \ (a, b \in R) \Rightarrow \overline{z} = a - bi\)
Ta có:
\(z + 2\overline{z} = 2 - 4i \Leftrightarrow (a + bi) + 2(a - bi) = 2 - 4i\)
\(\Leftrightarrow 3a - bi = 2 - 4i\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a = 2 \ \ \\ -b = -4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a= \frac{2}{3}\\ b = 4 \end{matrix}\right. \Rightarrow z = \frac{2}{3} + 4i\)
Vậy \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{2\sqrt{37}}{3}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho số phức z thỏa mãn \((2+ i)z= 4 -3i\). Tìm môđun của số phức \(w=iz+2\bar{z}\)
Câu trả lời của bạn
\((2+ i)z =4 -3i \Leftrightarrow z =1 -2i\)
\(w =iz+ 2\bar{z}= i(1- 2i)+ 2(1+ 2i)= 4 +5i\)
Vậy \(\left | w \right |=\sqrt{41}\)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((2+3i)z+(4+i)\bar{z}=-(1+3i)^2\). Tìm phần thực và phần ảo của z.
Câu trả lời của bạn
+ Đặt \(z=a+bi(a,b\in R)\), ta có:
\((2+3i)z+(4+i)\bar{z}=-(1+3i)^2\Leftrightarrow (2+3i)(a+bi)+(4+i)(a-bi)=-(1+3i)^2\)
\(\Leftrightarrow (6a-2b)+(4a-2b)i=8-6i\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6a-2b=8\\ 4a-2b=-6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=7\\ b=17 \end{matrix}\right.\)
+ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 17.
Tìm môđun của số phức, biết rằng \((1-2i)z-\frac{9+7i}{3-i}=5-2i\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \((1-2i)z-\frac{9-7i}{3-i}=5-2i\Leftrightarrow (1-2i)z=7+i\)
\(\Leftrightarrow z= \frac{7+i}{1-2i}=1+3i\Rightarrow \left | z \right |=\sqrt{10}\)
Tìm \(z \in C\) thỏa mãn điệu kiện \(\frac{2+iz}{2+i}+\frac{\bar{z}+2i}{1+2i}=\frac{2}{5}\)
Câu trả lời của bạn
\(PT\Leftrightarrow (2+iz)(2-i)+(\bar{z}+2i)(1-2i)=2\)
Gọi \(z = a + bi(a,b\in R)\Rightarrow \bar{z}a-bi.\) Thay vào giải được \(z=a+\frac{a+3}{2}i(a\in R)\)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\bar{z}+(2-i)z=5-7i\) . Tìm môđun của số phức z.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(\small z=a+bi\Rightarrow \bar{z}=a-bi, \ (a,b\in \mathbb{R})\) . Đẳng thức đã cho tương đương \(\small (3a+b)+(-a+b)i=5-7i\)
Tìm được a = 3, b = -4. Vậy mô đun số phức z là 5.
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức \(\small (1+i)z=1+(1-i)z\) . Tìm phần thực, phần ảo của số phức z.
Câu trả lời của bạn
+ Biến đổi đẳng thức về được \(z=-\frac{1}{2}i\)
+ Kết luận: Phần thực là 0; phần ảo là \(-\frac{1}{2}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *