Nội dung bài học tiếp tục giới thiệu đến các em một phép toán tiếp theo trên tập số phức đó là phép chia hai số phức. Cách làm cụ thể và những ví dụ minh họa sẽ được giới thiệu thông qua bài học này.
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)
(Nhân cả tử và mẫu với \(a - bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).
Với số phức \(z\ne0\) ta có:
Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 - 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).
Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)
Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \(\overline z = \frac{{53}}{{10}} - \frac{9}{{10}}i\).
Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}\).
Ta có:\(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.\)
Vậy môđun của số phức z là: \(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: \({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)
\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.\)
Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)
Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)
Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)
Khi đó: \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)\(\Leftrightarrow 2(\overline z - 1)(2 - i) = (3 + i)(\overline z + 2i)\)
\(\Leftrightarrow (\overline z - 1)(4 - 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)
\(\Leftrightarrow (1 - 3i)\overline z = 2i + 4\)
\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)
\(\Rightarrow z = \frac{{ - 1}}{5} - \frac{7}{5}i\).
Tính số phức sau: \(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)
Ta có: \(\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = - i.\)
Vậy: \({\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} = {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.\)
Nội dung bài học tiếp tục giới thiệu đến các em một phép toán tiếp theo trên tập số phức đó là phép chia hai số phức. Cách làm cụ thể và những ví dụ minh họa sẽ được giới thiệu thông qua bài học này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho số phức \(z= \frac{{1 - i}}{{1 + i}}\). Tính giá trị của \({z^{2016}}\).
Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\) ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\).
Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 138 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 138 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 138 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 138 SGK Giải tích 12
Bài tập 4.19 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.20 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.21 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.22 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.23 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.24 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.25 trang 204 SBT Toán 12
Bài tập 4.26 trang 204 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho số phức \(z= \frac{{1 - i}}{{1 + i}}\). Tính giá trị của \({z^{2016}}\).
Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\) ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\).
Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\)
Cho số phức \(z=x+yi\). Tìm phần ảo của số phức \(\frac{{\bar z + i}}{{iz - 1}}\).
Cho số phức \(z = - 3 - 4i.\) Tìm mô đun của số phức \(w = iz + \frac{{25}}{z}.\)
Số phức z thỏa \(z + 2\overline z = 3 - i\) có phần ảo bằng :
Số phức z thỏa mãn z(1 + 2i) + 1 - i = 2i là
Các số thực x, y thỏa mãn \(\frac{{x - 3}}{{3 + i}} + \frac{{y - 3}}{{3 - i}} = i\). Khi đó, tổng T = x+y bằng
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {2 + i} \right)z + \frac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i\). Môđun của số phức w = z + i + 1 là
Cho số phức \(z = \frac{{1 + 2i}}{{2 - i}}\). Phần thực và phần ảo của số phức \({\rm{w}} = \left( {z + 1} \right)\left( {z + 2} \right)\) là:
Thực hiện các phép chia sau:
a) \(\frac{2+i}{3-2i}\). b) \(\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\). c) \(\frac{5i}{2-3i}\). d) \(\frac{5-2i}{i}\).
Tìm nghịch đảo của số phức z, biết:
a) \(z = 1 + 2i\). b) \(\small z = \sqrt{2 }- 3i\).
c) \(\small z = i\). d)\(\small z = 5 + i\sqrt{3}\).
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\small 2i(3 + i)(2 + 4i)\). b) \(\frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\).
c) \(\small 3 + 2i + (6 + i)(5 + i)\). d) \(4 - 3i +\frac{5+4i}{3+6i}\).
Giải các phương trình sau:
a) \((3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\).
b) \(\small (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z\).
c) \(\frac{z}{4-3i}+ (2 - 3i) = 5 - 2i\).
Thực hiện các phép tính sau :
a) \(\frac{{(2 + i) + (1 + i)(4 - 3i)}}{{3 + 2i}}\)
b) \(\frac{{(3 - 4i)(1 + 2i)}}{{1 - 2i}} + 4 - 3i\)
Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({\left( {3 + 4i} \right)x = \left( {1 + 2i} \right)\left( {4 + i} \right)}\)
b) \({\left( {3 + 4i} \right)x = \left( {1 + 2i} \right)\left( {4 + i} \right)}\)
c) \({3x\left( {2 - i} \right) + 1 = 2ix\left( {1 + i} \right) + 3i}\)
Tìm nghịch đảo của số phức sau
a) \({\sqrt 2 - i\sqrt 3 }\)
b) \(i\)
c) \({\frac{{1 + i\sqrt 5 }}{{3 - 2i}}}\)
d) \({{{\left( {3 + i\sqrt 2 } \right)}^2}}\)
Giải phương trình sau trên tập số phức \(\left( {1 - i} \right)z + \left( {2 - i} \right) = 4 - 5i\)
Tìm các số phức \(2z + \bar z\) và \(\frac{{25i}}{z}\) biết rằng
Cho \(z \in C\). Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. \({\frac{1}{z} \in R \Leftrightarrow z \in R}\)
B. \({\frac{1}{z}}\) thuần ảo \(\Leftrightarrow z\) thuần ảo
C. \({\frac{1}{z} = \bar z \Leftrightarrow \left| z \right| = 1}\)
D. \({\left| {\frac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow z \in R}\)
Cho \(z = a + bi \in C\), biết \(\frac{z}{{\bar z}} \in R\). Kết luận nào sau đây đúng?
Cho \(z = a + bi \in C\), biết \(\frac{z}{{\bar z}}\) là một số thuần ảo. Kết luận nào sau đây đúng?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A. \(\dfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}\)
B. \(\dfrac{1}{z}\) là thuần ảo \( \Leftrightarrow z\) là thuần ảo
C. \(\dfrac{1}{z} = \overline z \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)
D. \(\left| {\dfrac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}\)
Câu trả lời của bạn
Đáp án A: \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Do đó \(\dfrac{1}{z} \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow - \dfrac{b}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\) hay \(z = a \in \mathbb{R}\).
A đúng.
Đáp án B: \(\dfrac{1}{z}\) thuần ảo \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = 0\) hay \(z = bi\) thuần ảo.
B đúng.
Đáp án C: \(\dfrac{1}{z} = \overline z \Leftrightarrow \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}} = a - bi\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)
C đúng.
Đáp án D: \(\left| {\dfrac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {\dfrac{1}{z}} \right|^2} = {\left| z \right|^2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = {a^2} + {b^2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} = {a^2} + {b^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1\) hay \(\left| z \right| = 1\) chứ chưa kết luận được \(z \in \mathbb{R}\).
D sai.
Chọn D.
A. \(a = 0\)
B. \(b = 0\)
C. \(a = b\)
D. \(ab = 0\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overline z = a - bi\)
\( \Rightarrow \dfrac{z}{{\overline z }} = \dfrac{{a + bi}}{{a - bi}}\) \( = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {a + bi} \right)}}{{\left( {a - bi} \right)\left( {a + bi} \right)}}\) \( = \dfrac{{{a^2} - {b^2} + 2abi}}{{{a^2} + {b^2}}} \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow ab = 0\).
Chọn D.
A. \(a = 0\)
B. \(b = 0\)
C. \(a = b\)
D. \(a = b\) hoặc \(a = - b\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overline z = a - bi\)
\( \Rightarrow \dfrac{z}{{\overline z }} = \dfrac{{a + bi}}{{a - bi}}\) \( = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {a + bi} \right)}}{{\left( {a - bi} \right)\left( {a + bi} \right)}}\) \( = \dfrac{{{a^2} - {b^2} + 2abi}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
\(\dfrac{z}{{\overline z }}\) là số thuần ảo nếu và chỉ nếu \(\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = \pm b\).
Chọn D.
Câu trả lời của bạn
B
B
trả lời :
đáp án : B
Đáp án B
Đáp án B
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
;;;
Câu trả lời của bạn
Chứng tỏ đa thức sau ko có nghiệm :
f(x)=x^2-4x+2020
Câu trả lời của bạn
f(x)=x^2-4x+2020=x^2-2x-2x+4+2016=x(x-2)-2(x-2)+2016=(x-2)(x-2)+2016>0 với mọi x→f(x) vô nghiệm
Cho a là số thực dương và đặt
\(M_0=\left\{z\in C^+,\left|z+\frac{1}{z}\right|=a\right\}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(\left|z\right|\) khi \(z\in M_0\)
Câu trả lời của bạn
\(a^2=\left|z+\frac{1}{z}\right|^2=\left(z+\frac{1}{z}\right)\left(\overline{z}+\frac{1}{z}\right)=\left|z\right|^2+\frac{z^2+\overline{z}^2}{\left|z\right|^2}+\frac{1}{\left|z\right|^2}\)
\(=\frac{\left|z\right|^4+\left(z+\overline{z}\right)^2-2\left|z\right|^2+1}{\left|z\right|^2}\)
Do đó :
\(\left|z\right|^4-\left|z\right|^2\left(a^2+2\right)+1=-\left(z+\overline{z}\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow\left|z\right|^2\in\left[\frac{a^2+2-\sqrt{a^4+4a^2}}{2};\frac{a^2+2+\sqrt{a^4+4a^2}}{2}\right]\)
\(\Rightarrow\left|z\right|\in\left[\frac{-a+\sqrt{a^4+4a^2}}{2};\frac{a+\sqrt{a^4+4a^2}}{2}\right]\)
max \(\left|z\right|=\frac{a+\sqrt{a^4+4a^2}}{2}\)
min \(\left|z\right|=;\frac{a+\sqrt{a^4+4a^2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow z\in M,z=-\overline{z}\)
Tính :
\(z=\frac{\left(1-i\right)^{10}\left(\sqrt{3}+i\right)^5}{\left(-1-i\sqrt{3}\right)}\)
Câu trả lời của bạn
\(z=\frac{2^{10}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)^{10}.2^5\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^5}{2^{10}\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)^{10}}\)
\(=\frac{2^{10}\left(\cos\frac{35\pi}{3}+i\sin\frac{35\pi}{3}\right)\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)}{2^{10}\left(\cos\frac{40\pi}{3}+i\sin\frac{40\pi}{3}\right)}\)
\(=\frac{\cos\frac{55\pi}{3}+i\sin\frac{55\pi}{3}}{\cos\frac{40\pi}{3}+i\sin\frac{40\pi}{3}}=\cos5\pi+i\sin5\pi=-1\)
Tìm các số phức sao cho :
\(\left|z\right|=1,\left|\frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}\right|=1\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(z=\cos x+i\sin x,x\in\left[0,2\pi\right]\)
\(1=\left|\frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}\right|=\frac{\left|z^2+\overline{z}^2\right|}{\left|z\right|^2}\)
\(=\left|\cos2x+i\sin2x+\cos2x-i\sin2x\right|\)
\(=2\left|\cos2x\right|\)
Do đó : \(\cos2x=\frac{1}{2}\) hoặc \(\cos2x=-\frac{1}{2}\)
- Nếu \(\cos2x=\frac{1}{2}\)
thì : \(x_1=\frac{\pi}{6},x_2=\frac{5\pi}{6},x_3=\frac{7\pi}{6},x_4=\frac{11\pi}{6}\)
- Nếu \(\cos2x=-\frac{1}{2}\)
thì : \(x_5=\frac{\pi}{3},x_6=\frac{2\pi}{3},x_7=\frac{4\pi}{3},x_8=\frac{5\pi}{3}\)
Cho các số x,y,z là các số phức phân biệt sao cho \(y=tx+\left(1-t\right)z,t\in\left(0,1\right)\)
Chứng minh rằng :
\(\frac{\left|z\right|-\left|y\right|}{\left|z-y\right|}\ge\frac{\left|z\right|-\left|x\right|}{\left|z-x\right|}\ge\frac{\left|y\right|-\left|x\right|}{\left|y-x\right|}\)
Câu trả lời của bạn
Từ hệ thức :
\(y=tx+\left(1-t\right)z\)
Bất đẳng thức
\(\frac{\left|z\right|-\left|y\right|}{\left|z-y\right|}\ge\frac{\left|z\right|-\left|x\right|}{\left|z-x\right|}\)
Trở thành :
\(\left|z\right|-\left|y\right|\ge t\left(\left|z\right|-\left|x\right|\right)\)
hay
\(\left|y\right|\le\left(1-t\right)\left|z\right|+t\left|x\right|\)
Vận dụng bất đẳng thức tam giác cho
\(y=\left(1-t\right)x+tx\) ta có kết quả
Bất đẳng thức thứ hai, được chứng minh tương tự bởi
\(y=tx+\left(1-t\right)z\)
tương đương với :
\(y-x=\left(1-t\right)\left(z-x\right)\)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left(1-2i\right)z+\frac{1-3i}{1+i}=2-i\)
Tính môdun của z
Câu trả lời của bạn
\(\left(1-2i\right)z+\frac{1-3i}{1+i}=2-i\Leftrightarrow z=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i\)
\(\Rightarrow\left|z\right|=\sqrt{2}\)
\(f\left(x\right)=\left(\sqrt[3]{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{15}\) \(=\Sigma_{k=0}^{15}C^k_{15}x^{\frac{15-k}{3}}.x^{\frac{-k}{2}}.2^k\)
\(=\Sigma_{k=0}^{15}C^k_{15}.x^{5-\frac{5k}{2}}.2^k\)
\(\left(0\le k\le15,\right)k\in Z\)
Hệ số không chứa x ứng với k thỏa mãn : \(5-\frac{5k}{6}=0\Leftrightarrow k=6\) => Hệ số 320320
Tìm nghiệm phức \(\frac{\left|z\right|^4}{z^2}\)+\(\overline{z}\)=\(\frac{-200}{1-7i}\)
Câu trả lời của bạn
Xét riêng: \(\frac{\left|z\right|^4}{z^2}=\left(\frac{\left|z\right|^2}{z}\right)^2=\left(\left|z\right|^2\cdot\frac{\overline{z}}{\left|z\right|^2}\right)=\left(\overline{z}\right)^2=w\)
Thay w vào phương trình, ta có:
\(w^2+w+\frac{200}{1-7i}=0\\ \Delta=1-4\cdot\frac{200}{1-7i}=-15-112i\\ \Rightarrow\Delta=\left(7-8i\right)^2\)
Phương trình có 2 nghiệm là:
\(\left[\begin{matrix}w=-4+4i\\w=3-4i\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}z=-4-4i\\z=3+4i\end{matrix}\right.\)
Tìm số phức z thỏa mãn \(\frac{\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{z-\frac{1}{\overline{z}}}=i\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện \(z\ne0;\left|z\right|\ne1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\overline{z}\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{\left|z\right|^2-1}=i\Leftrightarrow\frac{\overline{z}\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{\left(\left|z\right|-1\right)\left(\left|z\right|+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\overline{z}\left(1+iz\right)=\left(\left|z\right|+1\right)i\)
\(\Leftrightarrow\overline{z}+i\left|z\right|^2=\left(\left|z\right|+1\right)i\) (*)
Giả sử \(z=x+yi,x,y\in R\), khi đó (*) trở thành :
\(x-yi+\left(x^2+y^2\right)i=\left(\sqrt{x^2+y^2}+1\right)i\)
\(\Leftrightarrow x+\left(x^2+y^2-\sqrt{x^2+y^2}-y-1\right)i=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x^2+y^2-\sqrt{x^2+y^2}-y-1=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y^2-\left|y\right|-y-1=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\\begin{cases}y=-1\\y=1+\sqrt{2}\end{cases}\end{cases}\)
Nếu \(x=0,y=1+\sqrt{2}\) thì \(z=\left(1+\sqrt{2}\right)i\) thỏa mãn điều kiện
Nếu \(x=0,y=-1\) thì \(z=-i\) , khi đó \(\left|z\right|=1\) không thỏa mãn điều kiện
Vậy số phức cần tìm là \(z=\left(1+\sqrt{2}\right)i\)
\(\overline{z}\) = \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{11}+\left(\frac{2i}{1+i}\right)^8\)
tìm modun của số phức \(\overline{z}\)+ iz
mọi người chỉ giùm mình bài này với
Câu trả lời của bạn
\(A=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{11}=\left(i\right)^{11}=i\cdot\left(i^2\right)^5=-i\)
\(B=\left(\frac{2i}{1+i}\right)^8=\left(1+i\right)^8=\left[\left(1+i\right)^2\right]^4=\left(2i\right)^4=16\)
\(\Rightarrow\overline{z}=16-i\Leftrightarrow z=16+i\)
Vậy \(\left|\overline{z}+iz\right|=\left|15+15i\right|=15\sqrt{2}\)
Giải phương trình sau trên tập số phức :
\(\left(1-i\right)z+\left(2-i\right)=4-5i\)
Câu trả lời của bạn
suy ra (1-i)z= (4-5i)-(2-i)
(1-i)z =2-4i
z= (2-4i)/(1-i)
z= 3-i
Chứng inh rằng :
a) \(\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\overline{\dfrac{z_1}{z_2}}\)
b) \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Đặt \(\frac{z_1}{z_2}=t\Rightarrow \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\overline{t}\)
Ta cần chứng minh \(\overline{t}=\frac{\overline{z_2t}}{\overline{z_2}}\Leftrightarrow \overline{t}\overline{z_2}=\overline{tz_2}\)
Đặt \(t=a+bi,z_2=c+di\). Bài toán tương đương với:
\((a-bi)(c-di)=\overline{(a+bi)(c+di)}\Leftrightarrow ac-bd-i(ad+bc)=ac-i(ad+bc)-bd\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
b)
Dựa vào phần a, ta có:
\(\text{VT}^2=\frac{z_1}{z_2}.\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{z_1}{z_2}.\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\frac{|z_1|^2}{|z_2|^2}=\text{VP}^2\)
\(\Rightarrow \text{VT}=\text{VP}\) (cùng dương)
Ta có đpcm
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *