Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được hai khái niệm quan trọng của Giải tích 12 Chương 1 Bài 2 là Cực đại và Cực tiểu, cùng với đó là điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến cực trị của hàm số.
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):
\(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\).
♦ Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)
b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)
Cách 1:
Cách 2:
b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)
Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx - 5\) có 2 cực trị
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(\: y = -x^3 + (m+3)x^2 - (m^2 + 2m)x - 2\) đạt cực đại tại \(x=2.\)
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 2 Cực trị của hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
Hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\) có duy nhất một điểm cực trị.
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 2sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.17 trang 15 SBT Toán 12
Bài tập 1.18 trang 15 SBT Toán 12
Bài tập 1.19 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.20 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.21 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.22 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.24 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.23 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.25 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.26 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.27 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.28 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.29 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.30 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.31 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.32 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.33 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 11 trang 16 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 17 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\) có duy nhất một điểm cực trị.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^4}\left( {x - 1} \right){\left( {2 - x} \right)^3}{\left( {x - 4} \right)^2}\). Hỏi hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Biết \(M\left( {0;5} \right),N\left( {2; - 11} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)= a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Tính giá trị của hàm số tại x=2.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) xác định trên [1;3]. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì M+m bằng :
Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + mx + 1\) đạt cực đại tại x=1
Tìm a, b, c sao cho hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có giá trị bằng 0 khi x=1 và đạt cực trị bằng 0 khi x=-1
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = x\left( {x - 7} \right){\left( {x + 12} \right)^3}\) . Điểm cực tiểu của hàm số là
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 10\).
b) \(y = x^4+ 2x^2 - 3\).
c) \(y = x + \frac{1}{x}\).
d) \(y = x^3(1 - x)^2\).
e) \(y = \sqrt {x^2-x+1}\).
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = x^4 - 2x^2 + 1\).
b) \(y=\sin {2x} - x\).
c) \(y = sinx + cosx\).
d) \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\).
Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt {\left| x \right|} \)
không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số \(y = x^3 - mx^2 - 2x + 1\) luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Tìm a và b để các cực trị của hàm số \(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\) đều là những số dương và \({x_0} = - \frac{5}{9}\) là điểm cực đại.
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\) đạt cực đại tại x = 2.
Tìm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = - 2{x^2} + 7x - 5\)
b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\)
c) \(y = {(x + 2)^2}{(x - 3)^3}\)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 8}}\)
b) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\)
c) \(y = \frac{{{x^2} + x - 5}}{{x + 1}}\)
d) \(y = \frac{{{{(x - 4)}^2}}}{{{x^2} - 2x + 5}}\,\)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = x - 6\sqrt[3]{{{x^2}}}\)
b) \(y = \left( {7 - x} \right)\sqrt[3]{{x + 5}}\)
c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {10 - {x^2}} }}\)
d) \(y = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 6} }}\)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
b)
c)
Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị:
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \({y = {x^2} - 2{x^2} + mx + 1}\) đạt cực tiểu tại
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
- 2x,\,\,\,\,x \ge 0\\
\sin \frac{x}{2},\,\,x < 0
\end{array} \right.\)
không có đạo hàm tại
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \frac{2}{3}} \right)x + 5\) có cực trị tại
Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị
\(y = \frac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\)
A. 0 | B. 1 | C. 2 | D. 3 |
Hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) có mấy điểm cực đại?
A. 0 | B. 1 | C. 2 | D. 3 |
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\) có cực trị:
A. | B. | C. | D. |
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2mx + 5}}{{x - m}}\) có cực trị.
A. \(m > \sqrt 5 \) | B. \(m < - \sqrt 5 \) |
C. \(m = \sqrt 5 \) | D. \( - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \) |
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu.
B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu.
C. Hàm số chỉ có một cực tiểu.
D. Hàm số chỉ có một cực đại.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Tìm cực trị của hàm số sau: \(\displaystyle y = {{x + 1} \over {{x^2} + 8}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ : R
\(y' = \frac{{\left( {x + 1} \right)'\left( {{x^2} + 8} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 8} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^2}}}\) \(= {{{x^2} + 8 - 2x(x + 1)} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}} = {{ - {x^2} - 2x + 8} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 2x + 8 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\), cực tiểu tại \(x = - 4\) và \({y_{CD}} = y(2) = {1 \over 4};{y_{CT}} = y( - 4) = - {1 \over 8}\)
Tìm cực trị của hàm số sau: \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: R
\(y' = 3{x^2} - 6x - 24 = 3({x^2} - 2x - 8)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr} \right.\)
\(y'' = 6x - 6\)
Vì \(y''( - 2) = 6.(-2)-6= - 18 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2\) và yCĐ = y(-2) = 35.
\(y''(4) =6.4-6= 18 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 4 \) và yCT = y(4) = -73.
Tìm cực trị của hàm số sau: \(y = {(x + 2)^2}{(x - 3)^3}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: R
\(y' = 2(x + 2){(x - 3)^3} + 3{(x + 2)^2}{(x - 3)^2} \)
\(= \left( {x + 2} \right){\left( {x - 3} \right)^2}\left[ {2\left( {x - 3} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \right] \) \(= \left( {x + 2} \right){\left( {x - 3} \right)^2}\left( {2x - 6 + 3x + 6} \right)\)
\(= 5x(x + 2){(x - 3)^2}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 0 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ đó suy ra yCĐ = y(-2) = 0 ; yCT = y(0) = -108.
Tìm cực trị của hàm số sau: \(\displaystyle y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x - 1}}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(y' = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \) \(= \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) \( = \frac{{2{x^2} - 4x + 2 - {x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) \( = {{{x^2} - 2x - 1} \over {{{(x - 1)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr
x = 1 + \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1 - \sqrt 2 \) và đạt cực tiểu tại \(x = 1 + \sqrt 2\) , ta có:
\({y_{CD}} = y(1 - \sqrt 2 ) = - 2\sqrt 2 ;\) \({y_{CT}} = y(1 + \sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 \).
Tìm cực trị của hàm số sau: \(\displaystyle y = {{{x^2} + x - 5} \over {x + 1}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: R\{-1}
\(y' = \frac{{\left( {{x^2} + x - 5} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 5} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \) \(= \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 5} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \) \( = \frac{{2{x^2} + 3x + 1 - {x^2} - x + 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \(= {{{x^2} + 2x + 6} \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\)
(vì \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 6 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 5 > 0\\
{\left( {x + 1} \right)^2} > 0,\forall x \ne - 1
\end{array} \right.\))
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { -1;+ \infty } \right)\) do đó không có cực trị.
Tìm cực trị của hàm số sau: \(\displaystyle y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}\).
Câu trả lời của bạn
\(y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}\)
Vì \({x^2}-2x + 5>0,\forall x\in R\) nên hàm số xác định trên \(R\).
\(y' = \frac{{\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} \right]'\left( {{x^2} - 2x + 5} \right) - {{\left( {x - 4} \right)}^2}\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}\) \(= {{2(x - 4)({x^2} - 2x + 5) - {{(x - 4)}^2}(2x - 2)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}} \) \( = \frac{{2\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} - 2x + 5} \right) - 2{{\left( {x - 4} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}} \) \(= \frac{{2\left( {x - 4} \right)\left[ {{x^2} - 2x + 5 - \left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right)} \right]}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}} \) \( = \frac{{2\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} - 2x + 5 - {x^2} + 5x - 4} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}\) \(= {{2(x - 4)(3x + 1)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}\)
\(y' = 0 \)
\(\Leftrightarrow 2\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x + 1 = 0\\
x - 4 = 0
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {1 \over 3} \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - {1 \over 3}\) , đạt cực tiểu tại \(x = 4\) và \({y_{CD}} = y( - {1 \over 3}) = {{13} \over 4};{y_{CT}} = y(4) = 0\)
Tìm cực trị của hàm số sau: \(y = x - 6\root 3 \of {{x^2}} \)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: R
\(\begin{array}{l}
y = x - 6{x^{\frac{2}{3}}}\\
y' = 1 - 6.\frac{2}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}} = 1 - 4.\frac{1}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}\\
= 1 - \frac{4}{{\sqrt[3]{x}}} = \frac{{\sqrt[3]{x} - 4}}{{\sqrt[3]{x}}}\\
y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x} - 4 = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt[3]{x} = 4 \Leftrightarrow x = 64
\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Vậy ta có yCĐ = y(0) = 0 và yCT = y(64) = -32.
Tìm cực trị của hàm số sau: \(y = (7 - x)\root 3 \of {x + 5}\)
Câu trả lời của bạn
Hàm số xác định trên \(R\).
\(\begin{array}{l}
y = \left( {7 - x} \right){\left( {x + 5} \right)^{\frac{1}{3}}}\\
y' = \left( {7 - x} \right)'{\left( {x + 5} \right)^{\frac{1}{3}}} + \left( {7 - x} \right)\left[ {{{\left( {x + 5} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right]'\\
= - {\left( {x + 5} \right)^{\frac{1}{3}}} + \left( {7 - x} \right).\frac{1}{3}{\left( {x + 5} \right)^{ - \frac{2}{3}}}
\end{array}\)
\(= - \root 3 \of {x + 5} + {{7 - x} \over {3\root 3 \of {{{(x + 5)}^2}} }} \) \( = \frac{{ - 3\left( {x + 5} \right) + 7 - x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}}} = \frac{{ - 4x - 8}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\)
Bảng biến thiên:
Vậy \({y_{CD}} = y( - 2) = 9\root 3 \of 3 \)
Tìm cực trị của hàm số sau: \(y = {x \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D=( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )\) .
\(y' = \frac{{\left( x \right)'.\sqrt {10 - {x^2}} - x.\left( {\sqrt {10 - {x^2}} } \right)'}}{{\left( {\sqrt {10 - {x^2}} } \right)'}}\)
\(= {{\sqrt {10 - {x^2}} + {{{x^2}} \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}} \over {10 - {x^2}}} \) \( = \frac{{\frac{{10 - {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {10 - {x^2}} }}}}{{10 - {x^2}}}\) \(= {{10} \over {(10 - {x^2})\sqrt {10 - {x^2}} }}\)
Vì \(y’ > 0\) với mọi \(x\in ( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )\) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.
Tìm cực trị của hàm số sau: \(y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = ( - \infty ; - \sqrt 6 ) \cup (\sqrt 6 ; + \infty )\)
\(\eqalign{
& y' = \frac{{\left( {{x^3}} \right)'\sqrt {{x^2} - 6} + {x^3}\left( {\sqrt {{x^2} - 6} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - 6} } \right)}^2}}}\cr &= {{3{x^2}\sqrt {{x^2} - 6} - {{{x^4}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}} \over {{x^2} - 6}} \cr
& = {{3{x^2}({x^2} - 6) - {x^4}} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }} \cr
& = \frac{{3{x^4} - 18{x^2} - {x^4}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} - 6} \right)}^3}} }} = \frac{{2{x^4} - 18{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} - 6} \right)}^3}} }}\cr &= {{2{x^2}({x^2} - 9)} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }} \cr} \)
\(y' = 0\)\(\Leftrightarrow 2{x^2}\left( {{x^2} - 9} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x^2 = 0\\
{x^2} - 9 = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \notin D\\
x = \pm 3 \in D
\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = -3\), đạt cực tiểu tại \(x =3\) và \({y_{CT}} = y(3) = 9\sqrt 3 ;\) \({y_{CD}} = y( - 3) = - 9\sqrt 3 \)
Tìm cực trị của hàm số sau: \(y = \sin 2x\).
Câu trả lời của bạn
\(y = \sin 2x\)
Hàm số có chu kỳ \(T = \pi \)
Xét hàm số \(y = \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , ta có:
\(y' = 2\cos 2x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)
Mà \( x\in [0;\pi] \Rightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} \hfill \cr
x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Lại có: \(y'' = - 4\sin 2x\);
\(y''\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - 4\sin \left( {2.\dfrac{\pi }{4}} \right) = - 4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) và \({y_{CD}} = y({\pi \over 4}) = 1\)
\(y''\left( {\dfrac{3\pi }{4}} \right) = - 4\sin \left( {2.\dfrac{3\pi }{4}} \right) = 4 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \dfrac{3\pi }{4}\) và \({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) = - 1\)
Vậy trên R ta có:
\({y_{CĐ}} = y({\pi \over 4} + k\pi ) = 1;\)
\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) = - 1,k \in Z\)
Tìm cực trị của hàm số sau: \(y = \cos x - \sin x\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số tuần hoàn chu kỳ \(\pi\) nên ta xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\).
Ta có: \(y' = - \sin x - \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin x = - \cos x\) \( \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
Do \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\).
Lại có \(y'' = - \cos x + \sin x\);
+) \(y''\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 < 0\) nên \(x = - \dfrac{\pi }{4}\) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \).
+) \(y''\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = - \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) + \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 2 > 0\) nên \(x = \dfrac{{3\pi }}{4}\) là điểm cực tiểu của hàm số và \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2 \).
Vậy trên \(\mathbb{R}\) thì \({x_{CD}} = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4} + k\pi } \right) = \sqrt 2 \); \({x_{CT}} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \) là điểm cực tiểu của hàm số và \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right) = - \sqrt 2 \)
Tìm cực trị của hàm số sau: \(y = {\sin ^2}x\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\)
Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \).
Ta xét hàm số \(y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\).
y′ = sin2x
\(y' = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\)
Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \pi \end{array} \right.\).
Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0,\pi } \right]\)
Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với \(k\) chẵn, đạt cực đại tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với \(k \) lẻ, và \({y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0\); \({y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi \over 2}) = 1(m \in Z)\).
Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau \(y = {x^3} - 2{x^2} + mx + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = R\)
\(y' = 3{x^2}-4x + m;\) \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}-4x + m = 0\)
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:
\(∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ m < {4 \over 3}\) (*)
Hàm số có cực trị tại \(x = 1\) thì:
\(y’(1) = 3 – 4 + m = 0 => m = 1\) (thỏa mãn điều kiện (*) )
Mặt khác, vì: \(y’’ = 6x – 4 => y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0\) nên tại \(x = 1\) hàm số đạt cực tiểu.
Vậy với \(m = 1\), hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 4mx + m\)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi \(y’\) đổi dấu trên \(R\).
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4mx + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 3m > 0\\
\Leftrightarrow m\left( {4m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi \(m < 0\) hoặc \(m > {3 \over 4}\).
Xác định m để hàm số sau: \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \dfrac{2}{3}} \right)x + 5\) có cực trị tại \(x = 1\). Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.
Câu trả lời của bạn
\(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \dfrac{2}{3}} \right)x + 5\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx + m - \dfrac{2}{3}\)
Hàm số có cực trị tại \(x = 1\)\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 3 - 2m + m - \dfrac{2}{3} = 0\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{3}\).
Thử lại, với \(m = \dfrac{7}{3}\) thì hàm số đã cho trở thành: \(y = {x^3} - \dfrac{7}{3}{x^2} + \dfrac{5}{3}x + 5\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} - \dfrac{{14}}{3}x + \dfrac{5}{3}\); \(y'' = 6x - \dfrac{{14}}{3}\)
Vì \(y''\left( 1 \right) = 6 - \dfrac{{14}}{3} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và \({y_{CT}} = y\left( 1 \right) = \dfrac{{16}}{3}\).
Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau không có cực trị: \(y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\), TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).
\(y' = \dfrac{{(2x + 2m)(x - m) - ({x^2} + 2mx - 3)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)
Hàm số không có cực trị nếu đạo hàm của nó không đổi dấu trên \(D\).
Xét \(g\left( x \right) = {x^2}-2mx-2{m^2} + 3\) là tam thức bậc hai hệ số \(a > 0\) nên nếu nó không đổi dấu với mọi \(x \ne m\) thì \(\Delta ' = {m^2} + 2{m^2} - 3 \le 0\)\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 1\).
Khi \(-1 < m < 1\) thì phương trình \(g\left( x \right) = 0\) vô nghiệm hay \(y' = 0\) vô nghiệm và \(y'\; > 0\) với mọi \(x \ne m\). Khi đó, hàm số không có cực trị.
Khi \(m = 1\) hoặc \(m = - 1\), hàm số đã cho trở thành \(y = x + 3\) (với \(x \ne 1\)) hoặc \(y = x-3\) (với\(x \ne - 1\)). Các hàm số này không có cực trị.
Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi \(-1 \le m \le 1\).
Chứng minh rằng hàm số: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x,\forall x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2},\forall x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x;x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2};x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) vì:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{ - 2x}}{x} = - 2\),
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2.\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{2}\)
Vì \( - 2 \ne \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\)
Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\) nên không có đạo hàm của hàm số tại \(x=0\).
Mặt khác, với \(x < 0\;\) thì \(y' = \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{2}\), với \(x > 0\) thì \(y' = - 2 < 0\)
Xét trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) ta có bảng biến thiên:
Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0\).
A. \(0\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(1\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 10x = x\left( {4{x^2} - 10} \right)\); \(y'' = 12{x^2} - 10\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\).
+) \(y''\left( 0 \right) = - 10 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\).
+) \(y''\left( { \pm \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}} \right) = 20 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\).
Vậy hàm số chỉ có \(1\) điểm cực đại.
Chọn D.
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {5 - x} \right) - {\left( {x + 1} \right)^3}\) \( = {\left( {x + 1} \right)^2}\left[ {3\left( {5 - x} \right) - x - 1} \right]\) \( = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {14 - 4x} \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\)
Ta thấy \(x = - 1\) là nghiệm bội hai nên \(y'\) không đổi dấu qua \(x = - 1\); \(x = \dfrac{7}{2}\) là nghiệm đơn nên \(y'\) đổi dấu qua \(x = \dfrac{7}{2}\).
Vậy hàm số chỉ có \(1\) điểm cực trị.
Cách khác:
Có thể lập bảng biến thiên như sau:
Chọn B.
1 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *