Tương tự với số thực, ta cũng có thể thực hiện các phép tính thông thường trên tập số phức. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em qui tắc cộng, trừ và nhân số phức. Các em cần nắm vững những qui tắc này để làm cơ sở cho việc giải những bài toán liên quan đến số phức.
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)
\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right).\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 - i\sqrt 2 \end{array}\)
Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).
Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)
Tìm số phức \(z\) biết \((2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.\)
Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a - bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:
\((2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i\)
\(\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b = 2\\ a + b - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.\)
Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right|=2.\)
Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i\)
\(\left| {z - 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.
Tương tự với số thực, ta cũng có thể thực hiện các phép tính thông thường trên tập số phức. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em qui tắc cộng, trừ và nhân số phức. Các em cần nắm vững những qui tắc này để làm cơ sở cho việc giải những bài toán liên quan đến số phức.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m - 2} \right) + \left( {{m^2} - 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0.
Cho số phức z, biết \(z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i\). Tìm phần ảo của số phức z.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 135 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 136 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 136 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 136 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 136 SGK Giải tích 12
Bài tập 4.8 trang 201 SBT Toán 12
Bài tập 4.9 trang 201 SBT Toán 12
Bài tập 4.10 trang 201 SBT Toán 12
Bài tập 4.11 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.12 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.13 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.14 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.15 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.16 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.17 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.18 trang 202 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m - 2} \right) + \left( {{m^2} - 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0.
Cho số phức z, biết \(z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i\). Tìm phần ảo của số phức z.
Cho số phức \(z=2–3i\). Tìm môđun của số phức \(\omega = 2z + \left( {1 + i} \right)\overline z\).
Tìm số phức z thỏa mãn \(z + z.\overline z = \frac{i}{2}\).
Phần thực và phần ảo của số phức z = (3 + 4i)(4 - 3i) + (2 - i)(3 + 2i) là
Cho hai số phức z1 = - 3 + 4i, z2 = 4 - 3i . Môđun của số phức z = z1 + z2 + z1. z2 là
Cho các số phức z1 = -1 + i, z2 = 1 - 2i, z3 = 1 + 2i . Giá trị của biểu thức T = |z1z2 + z2z3 + z3z1| là
Số phức z = (1 - i)3 bằng
Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z + i.\(\overline z \)= 2i . Khi đó tích z.i\(\overline z \) bằng
Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 - 5i) + (2 + 4i).
b) (-2 - 3i) + (-1 - 7i).
c) (4 + 3i) - (5 - 7i).
d) (2 - 3i) - ( 5 - 41).
Tính \(\small \alpha + \beta , \alpha - \beta\), biết:
a) \(\small \alpha = 3, \beta = 2 i\) b) \(\small \alpha = 1- 2i, \beta = 6i\)
c) \(\small \alpha = 5i, \beta = -7i\) d) \(\small \alpha = 15, \beta = 4 - 2i\)
Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 - 2i)(2 - 3i); b) (-1 + i)(3 + 7i);
c) 5(4 + 3i) d) (-2 - 5i).4i
Tính i3 , i4 , i5 .
Nêu cách tính in với n là một số tự nhiên tuỳ ý.
Thực hiện các phép tính :
a) \((2 + 4i)(3 - 5i) + 7(4 - 3i)\)
b) \((1 - 2i)2 - (2 - 3i)(3 + 2i)\)
Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({\left( {5 - 7i} \right) + \sqrt 3 x = \left( {2 - 5i} \right)\left( {1 + 3i} \right)}\)
b) \({\left( {5 - 7i} \right) + \sqrt 3 x = \left( {2 - 5i} \right)\left( {1 + 3i} \right)}\)
Tính các lũy thừa sau :
a) \({{{\left( {3 - 4i} \right)}^2}}\)
b) \({{{\left( {2 + 3i} \right)}^3}}\)
c) \({{{\left[ {\left( {4 + 5i} \right) - \left( {4 + 3i} \right)} \right]}^5}}\)
d) \({{{\left( {\sqrt 2 - i\sqrt 3 } \right)}^2}}\)
Tính
a) \({{{\left( {1 + i} \right)}^{2006}}}\)
b) \({{{\left( {1 - i} \right)}^{2006}}}\)
Cho \(z = a + bi\). Chứng minh rằng :
a) \({{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2} = 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}\)
b) \({{z^2} - {{\left( {\bar z} \right)}^2} = 4abi}\)
c) \({{z^2}.{{\left( {\bar z} \right)}^2} = {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}\)
Phân tích thành nhân tử trên tập hợp số phức :
a) \({{u^2} + {v^2}}\)
b) \({{u^4} - {v^4}}\)
Tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {1 - i\sqrt 3 } \right)^2}\)
a) Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i,{z^2} = 2 - 3i\). Xác định phần thực và phần ảo của số phức \({z_1} - 2{z_2}\)
b) Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 5i,{z_2} = 3 - 4i\). Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1.z2
Cho\(z \in C\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \({z + \bar z \in R}\)
B. \({z.\bar z \in R}\)
C. \({z - \bar z \in R}\)
D. \({{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2} \in R}\)
Cho n, k ∈ N , biết in = −1 . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A.
B.
C.
D.
Cho \({z_1};{z_2} \in C\). Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. \({z_1}.\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} .{z_2} \in R\)
B. \({z_1}.{z_2} + \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} \in R\)
C. \({z_1}.\overline {{z_2}} .\overline {{z_1}} .{z_2} \in R\)
D. \({z_1}.{z_2} - \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} \in R\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hãy nêu các tính chất của phép cộng và phép nhân số phức.
Câu trả lời của bạn
* Các tính chất của phép cộng:
- Giao hoán: \(z + z' = z' + z\)
- Kết hợp: \({z_1} + \left( {{z_2} + {z_3}} \right) \) \(= \left( {{z_1} + {z_2}} \right) + {z_3} = {z_1} + {z_2} + {z_3}\)
* Các tính chất của phép nhân:
- Giao hoán: \(z . z' = z' . z\)
- Kết hợp: \({z_1} . \left( {{z_2} . {z_3}} \right) \) \(= \left( {{z_1} . {z_2}} \right) . {z_3} = {z_1} . {z_2} . {z_3}\)
* Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: \({z_1}\left( {{z_2} + {z_3}} \right) = {z_1}{z_2} + {z_1}{z_3}\)
Tính \((3 + 2i)(2 + 3i).\)
Câu trả lời của bạn
\((3 + 2i)(2 + 3i)\) \( = 3.2 + 3.3i + 2i.2 + 2i.3i \) \(= 6 + 9i + 4i – 6 = 13i.\)
Thực hiện phép tính: \((3 - 5i) + (2 + 4i)\).
Câu trả lời của bạn
\((3 - 5i) + (2 + 4i) \) \(= (3 + 2) + (-5i + 4i) = 5 - i\)
Thực hiện phép tính: \((-2 - 3i) + (-1 - 7i)\).
Câu trả lời của bạn
\((-2 - 3i) + (-1 - 7i) \) \(= (-2 - 1) + (-3i - 7i) = -3 - 10i\)
Thực hiện phép tính: \((4 + 3i) - (5 - 7i)\).
Câu trả lời của bạn
\((4 + 3i) - (5 - 7i) \) \(= (4 - 5) + (3i + 7i) = -1 + 10i\)
Thực hiện phép tính: \((2 - 3i) - ( 5 - 4i)\).
Câu trả lời của bạn
\((2 - 3i) - ( 5 - 4i) \) \(= (2 - 5) + (-3i + 4i) = -3 + i\)
Tính \(α + β, α - β\), biết: \(α = 3, β = 2i\).
Câu trả lời của bạn
\(α + β = 3 + 2i\), \(α - β = 3 - 2i\)
Tính \(α + β, α - β\), biết: \(α = 1- 2i, β = 6i\).
Câu trả lời của bạn
\(α + β = 1 -2i+ 6i=1+4i\)
\( α - β = 1-2i-6i=1 - 8i\)
Tính \(α + β, α - β\), biết: \(α = 5i, β = -7i\)
Câu trả lời của bạn
\(α + β = 5i+(-7i)=-2i\)
\( α - β = 5i-(-7i)=12i\)
Tính \(α + β, α - β\), biết: \(α = 15, β = 4- 2i\).
Câu trả lời của bạn
\(α + β =15+4-2i= 19 - 2i\)
\(α - β =15-(4-2i)= 11 + 2i\)
Thực hiện phép tính: \((3 - 2i)(2 - 3i)\).
Câu trả lời của bạn
\(\left( {3 - 2i} \right)\left( {2 - 3i} \right) \) \(= 3.2 - 2i.2 - 3.3i + 2i.3i \) \(= 6 - 4i - 9i + 6{i^2} \) \(= 6 - 13i - 6 = - 13i\)
Thực hiện phép tính: \((-1 + i)(3 + 7i)\).
Câu trả lời của bạn
\(\left( { - 1 + i} \right)\left( {3 + 7i} \right) \) \(= - 1.3 + 3i - 1.7i + 7{i^2} \) \(= - 3 + 3i - 7i - 7 \) \(= \left( { - 3 - 7} \right) + \left( {3 - 7} \right)i \) \(= - 10 - 4i\)
Thực hiện phép tính: \(5(4 + 3i)\)
Câu trả lời của bạn
\(5\left( {4 + 3i} \right) = 5.4 + 5.3i = 20 + 15i\)
Thực hiện phép tính: \((-2 - 5i).4i\)
Câu trả lời của bạn
\(\left( { - 2 - 5i} \right).4i = - 2.4i - 5i.4i \) \(= - 8i - 20{i^2} = - 8i + 20\)
Tính \({i^3},{i^4},{i^5}\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}{i^3} = {i^2}.i = - 1.i = - i\\{i^4} = {i^3}.i = - i.i = - {i^2} = 1\\{i^5} = {i^4}.i = 1.i = i\end{array}\).
Thực hiện phép tính: \((2 + 3i)^2\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\,\,{\left( {2 + 3i} \right)^2}\\
\,\,\, = {2^2} + 2.2.3i + {\left( {3i} \right)^2}\\\,\,\, = 4 + 12i + 9i^2\\\,\,\, = 4 + 12i - 9\\\,\,\, = - 5 + 12i\end{array}\)
Thực hiện phép tính: \((2 + 3i)^3\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\,\,{\left( {2 + 3i} \right)^3}\\
\,\,\, = {2^3} + {3.2^2}.3i + 3.2.{\left( {3i} \right)^2} + {\left( {3i} \right)^3}\\ \,\,\, =8+36i+54i^2+27i^3 \\ \,\,\, =8+36i+54.(-1)+27.(-i)\\
\,\,\, = 8 + 36i - 54 - 27i\\
\,\,\, = - 46 + 9i
\end{array}\)
Thực hiện phép tính sau: \((2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i)\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\left( {2 + 4i} \right)\left( {3 - 5i} \right) + 7\left( {4 - 3i} \right)\) \( = 6 + 12i - 10i + 20 + 28 - 21i\) \( = 54 - 19i\)
Thực hiện phép tính sau: \({\left( {1 - 2i} \right)^2} - \left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\({\left( {1 - 2i} \right)^2} - \left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\) \( = 1 - 4i - 4 - \left( {6 - 9i + 4i + 6} \right)\) \( = - 15 + i\).
Giải phương trình sau trên tập số phức: \((5 - 7i) + \sqrt 3 x = (2 - 5i)(1 + 3i)\).
Câu trả lời của bạn
\((5 - 7i) + \sqrt 3 x = (2 - 5i)(1 + 3i)\)\( \Leftrightarrow \sqrt 3 x = \left( {2 - 5i} \right)\left( {1 + 3i} \right) - 5 + 7i\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 3 x = 2 - 5i + 6i + 15 - 5 + 7i\) \( \Leftrightarrow \sqrt 3 x = 12 + 8i\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{12}}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{8}{{\sqrt 3 }}i\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *