Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm, cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, mối liên hệ của diện tích đa giác và hình chiếu của nó, các điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc nhau. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến xác định góc giữa hai mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc,...
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Nhận xét: Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0o.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q): \((P) \cap \left( Q \right) = c\)
Lấy I bất kì thuộc c.
Trong (P) qua I kẻ \(a \bot c\).
Trong (Q) qua I kẻ \(b \bot c\).
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q), \(\varphi\) là góc giữa (P) và (Q) ta có: \(S'=S.\cos \varphi\).
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o.
\(\left\{ \begin{array}{l} a \bot mp(P)\\ a \subset mp(Q) \end{array} \right. \Rightarrow mp(Q) \bot mp(P)\)
\(\left\{ \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = d\\ a \subset (P),a \bot d \end{array} \right. \Rightarrow a \bot (Q)\)
\(\left\{ \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ A \in (P)\\ A \in a\\ a \bot (Q) \end{array} \right. \Rightarrow a \subset (P)\)
\(\left\{ \begin{array}{l} (P) \cap (Q) = a\\ (P) \bot (R)\\ (Q) \bot (R) \end{array} \right. \Rightarrow a \bot (R)\)
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy.
Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
Nhận xét: Trong hình hộp đứng bốn mặt bên đều là hình chữ nhật.
Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Nhận xét:
+ Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.
+ Một hình chóp là hình chóp đều đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy.
+ Một hình chóp là hình chóp đều đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo voéi mặt đáy các góc bằng nhau.
Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
Nhận xét:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C).
Kẻ \(BH \bot A'C,{\rm{ (H}} \in {\rm{A'C)}}\) (1).
Mặt khác: \(BD \bot AC{\rm{ (gt)}}\)
\(AA' \bot (ABCD) \Rightarrow AA' \bot BD{\rm{ }}\)
\(\Rightarrow BD \bot (ACA') \Rightarrow BD \bot A'C\) (2)
Từ (1) (2) suy ra:
\(A'C \bot (BDH) \Rightarrow A'C \bot DH\)
Do đó: \((\widehat {(BA'C),(DA'C)}) = (\widehat {HB,HD})\)
Xét tam giác BCA' ta có:
\(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{BA{'^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow BH = a.\sqrt {\frac{2}{3}} \Rightarrow DH = a.\sqrt {\frac{2}{3}}\)
Ta có:
\(\cos \widehat {BHD} = \frac{{2B{H^2} - B{D^2}}}{{2B{H^2}}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BHD} = {120^0}>90^0\)
Vậy: \(\widehat {((BA'C),(DA'C))} =180^0-120^0= {60^0}.\)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, \(\widehat {BAC} = {120^0}\), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Theo công thức hình chiếu ta có: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}}\).
Ta có:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(AB' = \sqrt {A{B^2} + BB{'^2}} = a\sqrt 2\)
\(IB' = \sqrt {B'C{'^2} + IC{'^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên \({S_{AB'I}} = \frac{1}{2}.AB'.AI = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).
Vậy: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} .\)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng minh rằng: \((SBD) \bot (ABCD).\)
Ta có: \(AC \bot BD\) (1) (giả thiết).
Mặt khác, \(SO \bot AC\) (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác).
Từ (1) và (2) suy ra: \(AC \bot (SBD)\) mà \(AC \subset (ABCD)\) nên \((SBD) \bot (ABCD).\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, \(AD = a\sqrt 2\), \(SA \bot (ABCD)\). Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: \((SAC) \bot (SMB).\)
Ta có: \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BM{\rm{ (1)}}\).
Xét tam giác vuông ABM có: \(\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}} = \sqrt 2\).
Xét tam giác vuông ACD có: \(\tan \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AD}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l} \cot \widehat {AIM} = \cot ({180^0} - (\widehat {AMB} + \widehat {CAD}))\\ = \cot (\widehat {AMB} + \widehat {CAD}) = 0 \Rightarrow \widehat {AIM} = {90^0} \end{array}\)
Hay \(BM \bot AC{\rm{ (2)}}\).
+ Từ (1) và (2) suy ra: \(BM \bot (SAC)\) mà \(BM \subset (SAC)\) nên \((SAC) \bot (SMB).\)
Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm, cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, mối liên hệ của diện tích đa giác và hình chiếu của nó, các điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc nhau. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến xác định góc giữa hai mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc,...
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD.
Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng ∝
Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD.
Hai mặt phẳng (SAC) và (AHK) vuông góc vì:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 113 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 113 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 113 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 114 SGK Hình học 11
Bài tập 5 trang 114 SGK Hình học 11
Bài tập 6 trang 114 SGK Hình học 11
Bài tập 7 trang 114 SGK Hình học 11
Bài tập 8 trang 114 SGK Hình học 11
Bài tập 9 trang 114 SGK Hình học 11
Bài tập 10 trang 114 SGK Hình học 11
Bài tập 11 trang 114 SGK Hình học 11
Bài tập 3.22 trang 150 SBT Hình học 11
Bài tập 3.23 trang 150 SBT Hình học 11
Bài tập 3.24 trang 150 SBT Hình học 11
Bài tập 2.25 trang 150 SBT Hình học 11
Bài tập 3.26 trang 151 SBT Hình học 11
Bài tập 3.27 trang 151 SBT Hình học 11
Bài tập 3.28 trang 151 SBT Hình học 11
Bài tập 3.29 trang 151 SBT Hình học 11
Bài tập 3.30 trang 151 SBT Hình học 11
Bài tập 3.31 trang 151 SBT Hình học 11
Bài tập 3.32 trang 152 SBT Hình học 11
Bài tập 21 trang 111 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 22 trang 111 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 23 trang 111 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 24 trang 111 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 25 trang 112 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 26 trang 112 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 27 trang 112 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 28 trang 112 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD.
Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng ∝
Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD.
Hai mặt phẳng (SAC) và (AHK) vuông góc vì:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a.
Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với:
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc. Đường thẳng AB vuông góc với:
Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) bằng:
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD, góc BAC bằng góc BAD bằng 600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:
Cho tứ diện ABCD có: AB = AC = AD, góc BAC bằng góc BAD bằng 600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Giả sử góc BAD bằng 600. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) bằng:
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cạnh SC, (α) cắt SC tại I.
a) Xác định giao điểm K của SO với mặt phẳng (α).
b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và BD // (α).
c) Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (α). Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng (α).
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).
b) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính tanφ.
c) Gọi (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định (α) và xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α)
Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
a. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau;
b. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau;
c. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước ;
d. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước ;
e. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định ;
f. Hình lăng trụ có hai mặt bên là hình chữ nhật là lăng trụ đứng ;
g. Hình chóp có đáy là đa giác đều và ba cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu \(AC\prime = BD\prime = B\prime D = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không ? Vì sao ?
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).
b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 600
Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.
Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a. Tứ diện AB’CD’ có các cạnh đối bằng nhau ;
b. Tứ diện AB’CD’ có các cạnh đối vuông góc ;
c. Tứ diện AB’CD’ là tứ diện đều.
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Tính AB, IJ theo a và x.
b. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc ?
Cho tam giác ABC và mặt phẳng (P). Biết góc giữa mp(P) và mp(ABC) là φ (φ ≠ 900); hình chiếu của tam giác ABC trên mp(P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng \({S_{A\prime B\prime C\prime }} = {S_{ABC}}.cos\varphi \)
Hướng dẫn. Xét hai trường hợp :
a. Tam giác ABC có một cạnh song song hoặc nằm trong mp(P)
b. Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
1 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và SA = a , đáy ABCD là hình vuông cạnh đáy a
a) CM : (SBC) vuông góc (SAB) , (SCD) vuông góc với (SAD)
b) tính góc giữa SB và (ABCD)
SC và góc giữa (ABCD)
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình VUÔNG, SA⊥(ABCD). Chứng minh rằng: ( S A C ) ⊥ ( A B C D )
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Cho hình vuông ABCD cạnh a và tam giác SAB đều nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, gọi j là trung điểm AB, k là trung điểm CD.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
:33
Câu trả lời của bạn
Giúp em giải bài này đi ạ.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Giải giúp với
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Cho hình chóp SABCD; ABCD là hình thoi tâm O và có SA=SC;SB=SD
a.CM: SO vuông góc ABCD
b.Gọi I,K là trung điểm AB;BC. CM: IK vuông góc SBD
c.CM: SAC vuông góc SBD
Câu trả lời của bạn
Giúp mình 2 câu này với
Câu trả lời của bạn
Câu 5
Câu trả lời của bạn
A. AH ⊥(SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK⊥SD và AK⊥CD)
B. AH ⊥(SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK⊥SD và AK⊥CD) nên SC⊥(AHK)
C. AH ⊥(SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) nên SC⊥(AHK)
D. AK ⊥(SBC) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)
Câu trả lời của bạn
Phương án A sai vì hai điều kiện AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) và AK ⊥ (SCD) (do AK vuông góc với SD và AK ⊥ CD) chưa liên quan đến (SAC); phương án B đúng vì AH ⊥(SBC) và AK ⊥ (SCD) nên SC ⊥ (AHK), từ đó suy ra hai mặt phẳng (AHK) và (SAC) vuông góc; phương án C và D đều sai vì chưa đủ điều kiện kết luận SC ⊥ (AHK)
Đáp án: B
A. (SAD)
B. (SBD)
C. (SDC)
D. (SBC)
Câu trả lời của bạn
Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Từ S vẽ SO ⊥ (ABCD)
⇒ OA = OB = OC (là hình chiếu của các đường xiên bằng nhau)
⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tiếp tam giác ABC
Ta có: BI là đường trung tuyến của tam giác ABC nên O nằm trên đường thẳng BI hay 0 ∈ BD
Vậy SO ⊂ (SBD) và SO ⊥(ABCD) ⇒ (SBD) ⊥(ABCD)
Đáp án: B
A. Góc của (SAB) và (SBC) là góc ABC và bằng 900.
B. Góc của (SAB) và (SBC) là góc BAD và bằng 900.
C. AB ⊥ BC; AB ⊂ (SAB) và BC ⊂ (SBC)
D. BC ⊥ (SAB) do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA
Câu trả lời của bạn
Phương án A sai vì AB và CB không vuông góc với giao tuyến SB của (SAB) và (SBC), nên góc ABC không phải là góc của hai mặt phẳng này; phương án B sai vì góc BAD không phải là góc của hai mặt phẳng (SAB) với mặt phẳng (SBC); phương án C sai vì AB ⊥ BC thì chưa đủ để kết luận AB vuông góc với mặt phẳng (SBC); phương án D đúng vì : BC ⊥ (SAB) do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ (SBC) ⊥ (SAB)
Đáp án: D
A. BN
B. AN
C. BC
D. MN
Câu trả lời của bạn
CD ⊥ MN; AB ⊥ (CDM) (do AB ⊥ CM và AB ⊥ DM)
MN là đường vuông góc chung của AB và CD
Đáp án: D
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *