Phương trình bậc hai một ẩn là một chương rất quan trọng ở chương trình toán lớp 9 cũng như áp dụng của nó vào thực tiễn và đời sống. Ngoài ra còn là kiến thức nền tảng để các em có thêm kiến thức học tốt toán cấp 3
Đồ thị hàm số \(y=ax^2 (a\neq 0)\) là tập hợp gồm tất cả các điểm \(M(x_{M}; ax_{M}^{2})\). Để xác định một điểm thuộc đồ thị, ta lấy một giá trị của x làm hoành độ và thay vào phương trình \(y=ax^2\) để tìm ra giá trị tung độ.
Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\)
Trong đó, x là ẩn; các hệ số a, b, c là các số cho trước và \(a\neq 0\)
Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):
\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.
Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b'\), \(\Delta '=b'^2-ac\) thì:
Nếu \(\Delta '>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\)
Nếu \(\Delta '=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b'}{a}\)
Nếu \(\Delta '<0\) thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
a. Phương trình trùng phương
Định nghĩa
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm
c. Phương trình tích
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:
Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....
Phương pháp giải
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Cho hàm số \(y=-x^2\) và đường thẳng \(y=-4x+4\). Tìm giao điểm của hai đồ thị đó bằng hình vẽ và đồ thị
Hướng dẫn:Vẽ hình HS tự vẽ.
Tìm giao điểm: Phương trình hoành độ giao điểm: \(-x^2=-4x+4\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)
Tính biệt thức \(\Delta=0\) suy ra phương trình có nghiệm kép \(x=2\Rightarrowy=-4\).
Vậy khi vẽ hình, ta chỉ nhận được một giao điểm. Sau này lên cấp trên, các em sẽ được biết đường thẳng trên là tiếp tuyến của hàm số.
Bài 2: Giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2-11x-12=0\)
Hướng dẫn:\(x^2-11x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x(x-12)+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow (x+1)(x-12)=0\)
Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \(x=-1;x=12\)
Bài 3:
Giải phương trình: \(x^2+10x+25=0\); \(x^2-4x-9=0\)
Hướng dẫn: \(x^2+10x+25=0\)
Giải: \(\Delta =10^2-4.1.25=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-0}{2}=-5\)
\(x^2-4x-9=0\)
Giải: \(\Delta =(-4)^2-4.1.(-9)=52\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{13}>0\)
\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-4)+2\sqrt{13}}{2}=2+\sqrt{13};x_{2}=\frac{-(-4)-2\sqrt{13}}{2}=2-\sqrt{13}\)
Bài 4:
Tìm hai số biết hiệu của chúng là 5 và tích của chúng là 150
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b
Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=5\\ ab=150 \end{matrix}\right.\)
Thế \(a=5+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+5)=150\Leftrightarrow b^2+5b-150=0\)
\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=10\)
\(b=-15\Rightarrow a=-10\)
\(b=10\Rightarrow a=15\)
Bài 5:
Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-4x^2-5=0\)
Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-4t-5=0\)
Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được:
\(t=-1\) (loại)
\(t=5\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 9 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 4 Bài 9 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 9 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tọa độ giao điểm của phương trình hàm số \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=8\) là:
Tập nghiệm của phương trình \(x^2< 100\) là:
Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai \(x^2+6x-m=0\) vô nghiệm?
Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+2016x-2017=0\) lần lượt là:
Tìm hai số biết tổng bằng 30 và tổng bình phương bằng 468.
Giải các phương trình trùng phương
a) \({x^4} + 2{x^2} - x + 1 = 15{x^2} - x - 35\)
b) \(2{x^4} + {x^2} - 3 = {x^4} + 6{x^2} + 3\)
c) \(3{x^4} - 6{x^2} = 0\)
d) \(5{x^4} - 7{x^2} - 2 = 3{x^4} - 10{x^2} - 3\)
Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a) \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0\)
b) \(3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3\)
Cho phương trình:
\({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + m - 1 = 0\)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m:
\({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2};{x_1}^2 + {x_2}^2\)
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng \(10\) và tích của chúng bằng \(-10\).
Một đội thợ mỏ phải khai thác \(216\) tấn than trong một thời hạn nhất định. Ba ngày đầu mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó mỗi ngày họ đều khai thác vượt định mức \(8\) tấn. Do đó họ khai thác được \(232\) tấn và xong trước thời hạn một ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?
Khoảng cách giữa hai bến sông \(A\) và \(B\) là \(30km\). Một ca nô đi từ \(A\) đến \(B\), nghỉ \(40\) phút ở \(B\) rồi lại trở về bến \(A\). Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến \(A\) là \(6\) giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là \(3km/h\).
Cho hàm số \(y = - 3{x^2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A) Khi \(0 < x < 15,\) hàm số đồng biến
B) Khi \(-1 < x < 1,\) hàm số đồng biến
C) Khi \(-15 < x < 0,\) hàm số đồng biến
D) Khi \(-15 < x < 1,\) hàm số đồng biến
Muốn tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng \(S,\) tích của chúng bằng \(P\) thì ta giải phương trình nào sau đây?
A) \({x^2} + Sx + P = 0\)
B) \({x^2} - Sx + P = 0\)
C) \({x^2} - Sx - P = 0\)
D) \({x^2} + Sx - P = 0\)
Giải các phương trình:
a) \(\displaystyle {x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\)
b) \(\displaystyle {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\)
c) \(\displaystyle 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} \)\(\displaystyle - 3x - 4 = 0\)
d) \(\displaystyle \left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) \)\(\displaystyle - 6 = 0\)
Cho phương trình: \({x^2} + px + 1 = 0\) có hai nghiệm. Xác định \(p\) biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng \(254.\)
Cho phương trình: \(\displaystyle {x^4} - 13{x^2} + m = 0\). Tìm các giá trị của \(\displaystyle m\) để phương trình:
a) Có 4 nghiệm phân biệt
b) Có 3 nghiệm phân biệt
c) Có 2 nghiệm phân biệt
d) Có một nghiệm
e) Vô nghiệm.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
các bạn giúp mik với
cho (p) y= x^2 và (d) y= 2x - m. vẽ p cắt d tại điểm có hoành độ = 2
Câu trả lời của bạn
chịu luôn đó
Khó quá
Câu1: cho hàm số:y=(m-3)x+2m-5
a) Tìm m để đồ thị hàm số tạo vs Ox 1 góc nhọn
b) Chứng tỏ: vs mọi m thì đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định. Tìm điểm cố định đó
Câu 2: cho pt: x2-2(m-1)x-5=0. Tìm m để pt có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:2x1-x2=11
Câu trả lời của bạn
Để phục vụ cho công tác phòng chống dịch covid -19 hiện nay , một nhà máy dự định sản xuất 800 chai nước sát khuẩn trong một thời gian nhất định . Nhưng khi bắt tay vào sản xuất, nhà máy lại được giao sản xuất 1000 chai nước sát khuẩn. Mặc dù nhà máy đã tăng năng suất mỗi giờ thêm 20 chai nhưng vẫn hoàn thành công việc chậm hơn dự kiến 20 phút. Hỏi theo dự định ,mỗi giờ nhà máy phải sản xuất bao nhiêu chai nước sát khuẩn tay biết mỗi giờ nhà máy không sản xuất được quá 150 chai
Câu trả lời của bạn
Đổi 20'=1/3(h)
Gọi số chai nước sát khuẩn mà nhà máy phải sx mỗi giờ là x(0<x<150)(chai)
==>số chai nước phải sản xuất theo thực tế là x+20(chai)
==>Thời gian phải sản xuất 800 chai nước là 800/x (h)
==>Thời gian phải sản xuất 1000 chai nước là 1000/x+20(h)
Vì nhà máy hoàn thành công việc chậm 20'.Ta có pt
1000/x+20 - 800/x =1/3
Giải phương trình ta được x= 100(t/m)
Vậy....
Bài làm :
Đổi : 20 phút = giờ
Gọi số chai nước sát khuẩn mà nhà máy dự định sản xuất là x ( 0<x<150) ( chai )
Vì phải tăng năng suất thêm 20 chai mỗi giờ nên số chai thực tế cần làm trong 1h là x+20 ( chai )
Thời gian dự tính để sản xuất 800 chai nước là ( giờ )
Thời gian thực tế để sản xuất 1000 chai là ( giờ )
Do công việc bị chậm hơn dự kiến là 20 phút nên ta có phương trình :
- =
=> - =
=> 3000x - 2400x - 48000 = + 20x
=> 600x - 48000 - - 20x = 0
=> - + 580x - 48000 = 0
Giải phương trình ta được : x1= 480 ( không thỏa mãn vì 480>150 )
x2= 100 ( Thỏa mãn điều kiện )
Vậy theo dự định thì mỗi giờ nhà máy sản xuất được 100 chai nước sát khuẩn
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}9x + y = 11\\5x + 2y = 9\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
x=1,y=2
Vậy (x;y)=(1;2)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}9x + y = 11\\5x + 2y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 2y = 9\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 2\left( {11 - 9x} \right) = 9\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 22 - 18x - 9 = 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\)
Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\), (m là tham số). Giải phương trình (1) khi m = 3.
Câu trả lời của bạn
x=8,2
Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\), ( m là tham số)
Giải phương trình (1) khi m = 3.
Với m = 3 ta có (1) trở thành:
\({x^2} - 10x + 16 = 0\,\,\left( 2 \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 16 = 9 > 0\)
Khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là:
\(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 5 - 3 = 2\\{x_2} = 5 + 3 = 8\end{array} \right.\)
Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {2;8} \right\}\)
Một người dự định đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 90 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ, người đó nghỉ 9 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hẹn, người ấy phải tăng vận tốc thêm 4 km/h. Tính vận tốc lúc đấy của người đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi vận tốc ban đầu của người đó là \(x\;\;\left( {km/h} \right),\;\;\left( {x > 0} \right).\)
Thời gian dự định người đó đi hết quãn đường là: \(\dfrac{{90}}{x}\;\;\left( h \right).\)
Quãng đường người đó đi được sau 1 giờ là: \(x\;\;\left( {km} \right).\)
Quãng đường còn lại người đó phải tăng tốc là: \(90 - x\;\;\left( {km} \right).\)
Vận tốc của người đó sau khi tăng tốc là: \(x + 4\;\;\left( {km/h} \right),\) thời gian người đó đi hết quãng đường còn lại là: \(\dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\;\;\left( h \right).\)
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{90}}{x} = 1 + \dfrac{9}{{60}} + \dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{90}}{x} = \dfrac{{23}}{{20}} + \dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\\ \Leftrightarrow 90.20\left( {x + 4} \right) = 23x\left( {x + 4} \right) + 20.\left( {90 - x} \right).x\\ \Leftrightarrow 1800x + 7200 = 23{x^2} + 92x + 1800x - 20{x^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 92x - 7200 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 36} \right)\left( {3x + 200} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 36 = 0\\3x + 200 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 36\;\;\left( {tm} \right)\\x = - \dfrac{{200}}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy vận tốc lúc đầu của người đó là \(36\;km/h.\)
Cho pt x2 - (2m + 1) x + m2 + m = 0 . Giải pt khi m = 0
b: tìm m để pt có 2 nghiệm phản biệt X1,x2 và cả 2 nghiệm đều là nghiệm của pt x3 + x2 = 3
Câu trả lời của bạn
a) thay m =0 vào pt ta được :
x2 -(2*0+1)x + 02+0=0
(=) x2-x=0
denta= (-1)2-4*1*0=1 >0
vì denta lớn hơn 0 nên pt có 2 nghiệm phân biệt
x1 =1
x2=0
x1=0
x2=-1
x=0
x=1
=> x^2 -3x =0
=> delta= 9 - 0 = 9 => căn delta = 3
=> x1= 3 + 3/2 = 6
x2 = 3-3/2=0
=x2+x=0
=1
phương trình có 2 no phân biệt x1,x2 là :
x1=0
x2=-1
Cho hàm số y = 2(m - 2)x + m có đồ thị là đường thẳng d1 và hàm số y = - x - 1 có đồ thị là đường thẳng d2. Xác định m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại một điểm có tung độ y = 3.
Câu trả lời của bạn
Cho phương trình sau \({x^2} - x - 2 = 0\). Giải phương trình đã cho
Câu trả lời của bạn
Xét phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\) có \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \({x_1} = - 1;{x_2} = 2.\)
Hãy giải phương trình cho sau: \(5{x^2} - 3x + 1 = 2x + 11\)
Câu trả lời của bạn
\(5{x^2} - 3x + 1 = 2x + 11\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{x^2} - 3x + 1 - 2x - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 5x - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\end{array}\)
Phương trình trên có \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \({x_1} = - 1;{x_2} = 2.\)
Hãy giải phương trình cho sau: \(\dfrac{{{x^2}}}{5} - \dfrac{{2x}}{3} = \dfrac{{x + 5}}{6}\)
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{{{x^2}}}{5} - \dfrac{{2x}}{3} = \dfrac{{x + 5}}{6}\)
\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 20x = 5\left( {x + 5} \right)\)
\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 25x - 25 = 0\)
Xét \(\Delta = {\left( { - 25} \right)^2} - 4.6.\left( { - 25} \right) = 1225 > 0\)\( \Rightarrow \sqrt \Delta = 35\)
Nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{25 + 35}}{{2.6}} = 5\\x = \dfrac{{25 - 35}}{{2.6}} = \dfrac{{ - 5}}{6}\end{array} \right.\)
Hãy giải phương trình cho sau: \(\dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{10 - 2x}}{{{x^2} - 2x}}\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ne \left\{ {0;2} \right\}\)
Ta có \(\dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{10 - 2x}}{{{x^2} - 2x}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{10 - 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{10 - 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\\ \Rightarrow {x^2} = 10 - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 10 = 0\end{array}\)
Phương trình trên có \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 10} \right) = 11 > 0\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt {11} \\x = - 1 - \sqrt {11} \end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = - 1 + \sqrt {11} ;x = - 1 - \sqrt {11} \) .
Hãy giải phương trình cho sau: \(\dfrac{{x + 0,5}}{{3x + 1}} = \dfrac{{7x + 2}}{{9{x^2} - 1}}\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ne \left\{ { - \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right\}\)
\(\dfrac{{x + 0,5}}{{3x + 1}} = \dfrac{{7x + 2}}{{9{x^2} - 1}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 0,5} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} = \dfrac{{7x + 2}}{{\left( {3x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}}\)
Khử mẫu và biến đổi, ta được
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3{x^2} - x + 1,5x - 0,5 = 7x + 2\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6,5x - 2,5 = 0\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 13x - 5 = 0\end{array}\)
Phương trình trên có \(\Delta = {\left( { - 13} \right)^2} - 4.6.\left( { - 5} \right) = 289 > 0\)\( \Rightarrow \sqrt \Delta = 17\) nên có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{13 + 17}}{{2.6}} = \dfrac{5}{2};\) \({x_2} = \dfrac{{13 - 17}}{{2.6}} = - \dfrac{1}{3}\)
\({x_2} = - \dfrac{1}{3}\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn
Vậy phương trình có một nghiệm \({x} = \dfrac{5}{2}.\)
Hãy giải phương trình cho sau: \(2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 - \sqrt 3 \left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 - \sqrt 3 x - \sqrt 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + 1 - \sqrt 3 = 0\end{array}\)
\(\Delta = {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - 4.2\sqrt 3 \left( {1 - \sqrt 3 } \right) \)\(= 4 - 2\sqrt 3 - 8\sqrt 3 + 24\)\( = 28 - 10\sqrt 3 \)\( = 25 - 2.5.\sqrt 3 + 3 \)\(= {\left( {5 - \sqrt 3 } \right)^2}\)\( \Rightarrow \sqrt \Delta = 5 - \sqrt 3 \)
\({x_1} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 + 5 - \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} \)\(= \dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\)\({x_2} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 - 5 + \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} \)\(= \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\)
Hãy giải phương trình cho sau: \({x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\)
Câu trả lời của bạn
\({x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 - 3\left( {x + \sqrt 2 } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 4 - 3\sqrt 2 = 0\end{array}\)
Phương trình trên có \(\Delta = {\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)^2} - 4.1.\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right) \)\(= 17 - 12\sqrt 2 - 16 + 12\sqrt 2 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 2 - \sqrt 2 ;{x_2} = 1 - \sqrt 2 \)
Hãy giải các phương trình (bằng cách đưa về phương trình tích): \(1,2{x^3} - {x^2} - 0,2x = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(1,2{x^3} - {x^2} - 0,2x = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left( {1,2{x^2} - x - 0,2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\1,2{x^2} - x - 0,2 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình (*) có \(a + b + c = 1,2 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 0,2} \right) = 0\) nên có hai nghiệm \(x = 1;x = \dfrac{{ - 0,2}}{{1,2}} = - \dfrac{1}{6}\)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm \(x = 0;x = 1;x = - \dfrac{1}{6}.\)
Hãy giải các phương trình (bằng cách đưa về phương trình tích): \(5{x^3} - {x^2} - 5x + 1 = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(5{x^3} - {x^2} - 5x + 1 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left( {5x - 1} \right) - \left( {5x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {5x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\5x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\\x = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình có ba nghiệm \(x = - 1;x = 1;x = \dfrac{1}{5}.\)
Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tìm tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Cho biết nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu ?
Câu trả lời của bạn
Gọi số mà cô giáo đã cho là \(x,x \in {\mathbb{N}^*}\) .
Bạn Quân đã chọn số \(x - 2\) để nhân với \(x.\)
Vì tích này là \(120\) nên ta có phương trình \(x\left( {x - 2} \right) = 120 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 120 = 0\)
Giải phương trình:
\(\Delta ' = {( - 1)^2} - 1.\left( { - 120} \right) = 121 > 0\)\( \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 11\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} = \dfrac{{1 + 11}}{1} = 12;\) \({x_2} = \dfrac{{1 - 11}}{1} = - 10\)
Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = - 10\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn
Vậy số mà cô giáo đã cho là \(12.\)
Nhưng đầu bài yêu cầu tìm tích của \(x\) và \(x + 2\)
Vậy kết quả đúng phải là \(12.\left( {12 + 2} \right) = 168.\)
Hãy giải phương trình trùng phương: \(3{x^4} - 12{x^2} + 9 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = {x^2}(t \ge 0)\), ta được phương trình \(3{t^2} - 12t + 9 = 0\)
Phương trình trên có \(a + b + c = 3 + \left( { - 12} \right) + 9 = 0\) nên có hai nghiệm \(t = 1;t = 3\) (thỏa mãn)
+ Với \(t = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
+ Với \(t = 3 \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\x = - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1;x = - 1;x = \sqrt 3 ;x = - \sqrt 3 \).
Hãy giải phương trình trùng phương: \(2{x^4} + 3{x^2} - 2 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = {x^2};t \ge 0\), ta có \(2{t^2} + 3t - 2 = 0\)
Phương trình trên có \(\Delta = {3^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 25 > 0 \)\(\Rightarrow \sqrt \Delta = 5\)
\({t_1} = \dfrac{{ - 3 + 5}}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\left( N \right);\) \({t_2} = \dfrac{{ - 3 - 5}}{{2.2}} = - 2\left( L \right)\)
Với \(t = {t_1} = \dfrac{1}{2}\) ta có \({x^2} = \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\)\(x = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) .
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *