Cho phương trình: \({x^2} + px + 1 = 0\) có hai nghiệm. Xác định \(p\) biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng \(254.\)
Hướng dẫn giải
Phương trình \(ax^2+b x+c=0\,(a\ne 0\) có hai nghiệm \(x_1;x_2\) khi \(\Delta \ge 0\)
Theo hệ thức Vi-et ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thì \(\Delta \ge 0\)
Ta có: \( \Delta = {p^2} - 4 \)
\( \Rightarrow {p^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {p^2} \ge 4\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
p > 2\\
p < - 2
\end{array} \right.\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - p;{x_1}{x_2} = 1\)
Theo bài ra ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 254\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 254 \cr
& \Leftrightarrow {p^2} - 2.1 = 254 \cr
& \Leftrightarrow {p^2} = 256 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{p = 16} \cr
{p = - 16} \cr} } \right. \cr} \)
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy với \(p = 16\) hoặc \(p = -16\) thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 254.\)
-- Mod Toán 9