Cho phương trình: \(\displaystyle {x^4} - 13{x^2} + m = 0\). Tìm các giá trị của \(\displaystyle m\) để phương trình:
a) Có 4 nghiệm phân biệt
b) Có 3 nghiệm phân biệt
c) Có 2 nghiệm phân biệt
d) Có một nghiệm
e) Vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
Đặt \(\displaystyle x^2=t\ge 0\), đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai một ẩn rồi biện luận số nghiệm theo \(\displaystyle \Delta, \,S, \, P.\)
Lời giải chi tiết
Cho phương trình: \(\displaystyle {x^4} - 13{x^2} + m = 0\) (1)
Đặt \(\displaystyle {x^2} = t \,(t \ge 0),\) ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 13t + m = 0\) (2)
\(\displaystyle \Delta = 169 - 4m\)
a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm \(\displaystyle t_1,t_2\) dương phân biệt. Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 169 - 4m > 0\\
{t_1} + {t_2} = 13 > 0\\
{t_1}.{t_2} = m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \dfrac{{169}}{4}\\
m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{{169}}{4}
\end{array}\)
b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng \(\displaystyle 0\) khi:
\(\displaystyle \left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr
{{t_1}.{t_2} = m = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle m < { {169} \over 4}} \cr
{m = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow m = 0} \right.\)
c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm (tức hai nghiệm trái dấu)
+) Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi \(\displaystyle \Delta = 169 - 4m = 0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow m = {{169} \over 4} \Rightarrow {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2}>0\) (thỏa mãn)
+) Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi
\(\displaystyle \left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1}.{t_2} = m < 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle m < {{169} \over 4}} \cr
{m < 0} \cr} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.\)
Vậy với \(\displaystyle m = {{169} \over 4}\) hoặc \(\displaystyle m < 0\) thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.
Theo câu c) ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép \(\displaystyle {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2} \ne 0\) (loại)
Nếu phương trình (2) có một nghiệm \(\displaystyle t_1 = 0\) thì theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\displaystyle {t_1} + {t_2} = 13 \)\(\displaystyle \Rightarrow {t_2} = 13 - {t_1} = 13 - 0 = 13 > 0\)
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.
e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.
Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\displaystyle {t_1} + {t_2} = 13 > 0\) vô lý
Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm.
Suy ra: \(\displaystyle \Delta = 169 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > {{169} \over 4}\)
-- Mod Toán 9