Phương trình bậc hai một ẩn là một chương rất quan trọng ở chương trình toán lớp 9 cũng như áp dụng của nó vào thực tiễn và đời sống. Ngoài ra còn là kiến thức nền tảng để các em có thêm kiến thức học tốt toán cấp 3
Đồ thị hàm số \(y=ax^2 (a\neq 0)\) là tập hợp gồm tất cả các điểm \(M(x_{M}; ax_{M}^{2})\). Để xác định một điểm thuộc đồ thị, ta lấy một giá trị của x làm hoành độ và thay vào phương trình \(y=ax^2\) để tìm ra giá trị tung độ.
Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\)
Trong đó, x là ẩn; các hệ số a, b, c là các số cho trước và \(a\neq 0\)
Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):
\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.
Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b'\), \(\Delta '=b'^2-ac\) thì:
Nếu \(\Delta '>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\)
Nếu \(\Delta '=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b'}{a}\)
Nếu \(\Delta '<0\) thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
a. Phương trình trùng phương
Định nghĩa
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm
c. Phương trình tích
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:
Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....
Phương pháp giải
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Cho hàm số \(y=-x^2\) và đường thẳng \(y=-4x+4\). Tìm giao điểm của hai đồ thị đó bằng hình vẽ và đồ thị
Hướng dẫn:Vẽ hình HS tự vẽ.
Tìm giao điểm: Phương trình hoành độ giao điểm: \(-x^2=-4x+4\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)
Tính biệt thức \(\Delta=0\) suy ra phương trình có nghiệm kép \(x=2\Rightarrowy=-4\).
Vậy khi vẽ hình, ta chỉ nhận được một giao điểm. Sau này lên cấp trên, các em sẽ được biết đường thẳng trên là tiếp tuyến của hàm số.
Bài 2: Giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2-11x-12=0\)
Hướng dẫn:\(x^2-11x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x(x-12)+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow (x+1)(x-12)=0\)
Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \(x=-1;x=12\)
Bài 3:
Giải phương trình: \(x^2+10x+25=0\); \(x^2-4x-9=0\)
Hướng dẫn: \(x^2+10x+25=0\)
Giải: \(\Delta =10^2-4.1.25=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-0}{2}=-5\)
\(x^2-4x-9=0\)
Giải: \(\Delta =(-4)^2-4.1.(-9)=52\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{13}>0\)
\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-4)+2\sqrt{13}}{2}=2+\sqrt{13};x_{2}=\frac{-(-4)-2\sqrt{13}}{2}=2-\sqrt{13}\)
Bài 4:
Tìm hai số biết hiệu của chúng là 5 và tích của chúng là 150
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b
Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=5\\ ab=150 \end{matrix}\right.\)
Thế \(a=5+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+5)=150\Leftrightarrow b^2+5b-150=0\)
\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=10\)
\(b=-15\Rightarrow a=-10\)
\(b=10\Rightarrow a=15\)
Bài 5:
Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-4x^2-5=0\)
Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-4t-5=0\)
Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được:
\(t=-1\) (loại)
\(t=5\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 9 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 4 Bài 9 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 9 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tọa độ giao điểm của phương trình hàm số \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=8\) là:
Tập nghiệm của phương trình \(x^2< 100\) là:
Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai \(x^2+6x-m=0\) vô nghiệm?
Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+2016x-2017=0\) lần lượt là:
Tìm hai số biết tổng bằng 30 và tổng bình phương bằng 468.
Giải các phương trình trùng phương
a) \({x^4} + 2{x^2} - x + 1 = 15{x^2} - x - 35\)
b) \(2{x^4} + {x^2} - 3 = {x^4} + 6{x^2} + 3\)
c) \(3{x^4} - 6{x^2} = 0\)
d) \(5{x^4} - 7{x^2} - 2 = 3{x^4} - 10{x^2} - 3\)
Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a) \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0\)
b) \(3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3\)
Cho phương trình:
\({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + m - 1 = 0\)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m:
\({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2};{x_1}^2 + {x_2}^2\)
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng \(10\) và tích của chúng bằng \(-10\).
Một đội thợ mỏ phải khai thác \(216\) tấn than trong một thời hạn nhất định. Ba ngày đầu mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó mỗi ngày họ đều khai thác vượt định mức \(8\) tấn. Do đó họ khai thác được \(232\) tấn và xong trước thời hạn một ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?
Khoảng cách giữa hai bến sông \(A\) và \(B\) là \(30km\). Một ca nô đi từ \(A\) đến \(B\), nghỉ \(40\) phút ở \(B\) rồi lại trở về bến \(A\). Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến \(A\) là \(6\) giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là \(3km/h\).
Cho hàm số \(y = - 3{x^2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A) Khi \(0 < x < 15,\) hàm số đồng biến
B) Khi \(-1 < x < 1,\) hàm số đồng biến
C) Khi \(-15 < x < 0,\) hàm số đồng biến
D) Khi \(-15 < x < 1,\) hàm số đồng biến
Muốn tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng \(S,\) tích của chúng bằng \(P\) thì ta giải phương trình nào sau đây?
A) \({x^2} + Sx + P = 0\)
B) \({x^2} - Sx + P = 0\)
C) \({x^2} - Sx - P = 0\)
D) \({x^2} + Sx - P = 0\)
Giải các phương trình:
a) \(\displaystyle {x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\)
b) \(\displaystyle {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\)
c) \(\displaystyle 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} \)\(\displaystyle - 3x - 4 = 0\)
d) \(\displaystyle \left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) \)\(\displaystyle - 6 = 0\)
Cho phương trình: \({x^2} + px + 1 = 0\) có hai nghiệm. Xác định \(p\) biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng \(254.\)
Cho phương trình: \(\displaystyle {x^4} - 13{x^2} + m = 0\). Tìm các giá trị của \(\displaystyle m\) để phương trình:
a) Có 4 nghiệm phân biệt
b) Có 3 nghiệm phân biệt
c) Có 2 nghiệm phân biệt
d) Có một nghiệm
e) Vô nghiệm.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hãy xác định hai số u và v trong trường hợp sau: Biết u + v = 12, uv = 28 và u > v
Câu trả lời của bạn
Hai số phải tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 12x + 28 = 0\)
Phương trình trên có \(\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 1.28 = 8 > 0 \)\(\Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 2\sqrt 2 \) nên có hai nghiệm \({x_1} = 6 + 2\sqrt 2 ;\) \({x_2} = 6 - 2\sqrt 2\)
Vì \(u > v\) nên phải chọn \(u = 6 + 2\sqrt 2 ;v = 6 - 2\sqrt 2 \) .
Hãy giải phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn phụ: \({\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 4\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 3 = 0\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(x \ne 0.\)
Đặt \(x + \dfrac{1}{x} = t\), ta thu được phương trình \({t^2} - 4t + 3 = 0\)
Phương trình trên có \(a + b + c = 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0\) nên có hai nghiệm \(t = 1;t = 3.\)
+ Với \(t = 1 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 1\)\( \Rightarrow {x^2} - x + 1 = 0\) . Xét \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = - 3 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
+ Với \(t = 3 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 3 \)\(\Rightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\) (*)
Phương trình (*) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 5 > 0\) nên có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)
Hãy giải phương trình sau đây bằng cách đặt ẩn phụ: \(2{\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2x} \right) + 1 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \({x^2} - 2x = t\), ta có \(2{t^2} + 3t + 1 = 0\)
Phương trình trên có \(a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0\) nên có hai nghiệm \(t = - 1;t = - \dfrac{1}{2}.\)
+ Với \(t = - 1\) ta có \({x^2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\)
Phương trình này có \(a + b + c = 1 + \left( { - 2} \right) + 1 = 0\) nên có nghiệm \({x_1} = {x_2} = 1\)
+ Với \(t = - \dfrac{1}{2}\) ta có \({x^2} - 2x = - \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = \dfrac{1}{2} \)\(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x - 1 = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm \(x = 1;x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2};x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\)
Hãy giải phương trình trùng phương: \({x^4} + 5{x^2} + 1 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = {x^2}(t \ge 0)\), ta được phương trình \({t^2} + 5t + 1 = 0\)
Phương trình trên có \(\Delta = {5^2} - 4.1.1 = 21 > 0\) nên có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {21} }}{2} < 0\left( L \right)\\t = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {21} }}{2} < 0\,\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
(A) \({x^2} + Sx + P = 0\)
(B) \({x^2} - Sx + P = 0\)
(C) \({x^2} + Px + S = 0\)
(D) \({x^2} + Sx - P = 0\)
Câu trả lời của bạn
Nếu hai số có tổng bằng \(S\) và tích bằng \(P\) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) (ĐK: \({S^2} \ge 4P\))
(A) \({x_1} + {x_2} = - 3;\,\,{x_1}{x_2} = - \dfrac{2}{3}\)
(B) \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{1}{3};\,\,{x_1}{x_2} = - \dfrac{2}{3}\)
(C) \({x_1} + {x_2} = \dfrac{1}{3};\,\,{x_1}{x_2} = - \dfrac{2}{3}\)
(D) \({x_1} + {x_2} = \dfrac{1}{3};\,\,{x_1}{x_2} = \dfrac{2}{3}\)
Câu trả lời của bạn
Xét phương trình \( - 3{x^2} + x + 2 = 0\) có \(a = - 3;b = 1;c = 2\) nên \(a.c < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}.\) Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{ - 1}}{{\left( { - 3} \right)}} = \dfrac{1}{3}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{{\left( { - 3} \right)}} = - \dfrac{2}{3}\end{array} \right..\)
(A) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},\,\,{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
(B) Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},\,\,{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
(C) Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = \dfrac{{b + \sqrt \Delta }}{{2a}},\,\,{x_2} = \dfrac{{b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
(D) Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{a},\,\,{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{a}\)
Câu trả lời của bạn
Khi \(\Delta = 0\) thì \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - b + 0}}{{2a}} = \dfrac{{ - b}}{{2a}};\)
\({x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - b - 0}}{{2a}} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}\) nên \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}\)
Do đó A đúng.
(A) Luôn luôn đồng biến
(B) Nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
(C) Đồng biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
(D) Luôn luôn nghịch biến
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(y = \left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2}\) có hệ số \(a = 2 - \sqrt 5 = \sqrt 4 - \sqrt 5 < 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0.\)
Cho một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau ở một ga ở chính giữa quãng đường. Tính vẫn tốc của mỗi xe, biết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km
Câu trả lời của bạn
Gọi vận tốc của xe lửa thứ nhất là \(x\left( {km/h} \right),x > 0.\)
Vận tốc của xe lửa thứ hai là \(x + 5\left( {km/h} \right)\)
Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là \(\dfrac{{450}}{x}\left( giờ \right)\)
Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là \(\dfrac{{450}}{{x + 5}}\) (giờ)
Vì xe lửa thứ hai đi sau 1 giờ; nghĩa là thời gian xe thứ hai đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe thứ nhất 1 giờ. Do đó, ta có phương trình
\(\dfrac{{450}}{x} - \dfrac{{450}}{{x + 5}} = 1\)
Khử mẫu và biến đổi, ta được
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 450\left( {x + 5} \right) - 450x = x\left( {x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow 450x+ 2250 -450x= {x^2} + 5x\\ \Leftrightarrow {x^2} +5x - 2250 = 0\end{array}\)
Phương trình trên có \(\Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 2250} \right) = 9025 > 0 \)\(\Rightarrow \sqrt \Delta = 95\)
Nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{-5 + 95}}{2} = 45;\) \({x_2} = \dfrac{{-5 - 95}}{2} = - 50\)
Vì \(x > 0\) nên \({x_2}\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn
Trả lời: Vận tốc của xe lửa thứ nhất là \(45\left( {km/h} \right)\)
Vận tốc của xe lửa thứ hai là \(50\left( {km/h} \right)\).
Hãy xác định hai số u và v trong trường hợp sau: u + v = 3, uv = 6
Câu trả lời của bạn
Hai số phải tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 6 = 0\)
Phương trình trên có \(\Delta = {( - 3)^2} - 4.1.6 = - 15 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số \(u,v\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
(A) \({x^2} + 300x - 35 = 0\)
(B) \({x^2} - 35x + 300 = 0\)
(C) \({x^2} - 300x + 35 = 0\)
(D) \({x^2} + 300x + 35 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Vì hai số có tổng bằng \(35\) và tích bằng \(300\) nên hai số đó (nếu có) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 35x + 300 = 0\).
(A) \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{r}{p};\,\,{x_1}{x_2} = \dfrac{q}{p}\)
(B) \({x_1} + {x_2} = \dfrac{q}{p};\,\,{x_1}{x_2} = \dfrac{r}{p}\)
(C) \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{q}{p};\,\,{x_1}{x_2} = \dfrac{r}{p}\)
(D) \({x_1} + {x_2} = \dfrac{q}{p};\,\,{x_1}{x_2} = - \dfrac{r}{p}\)
Câu trả lời của bạn
Xét phương trình \(p{x^2} + qx + r = 0\) có \(a = p;b = q;c = r\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}.\) Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{ - q}}{p}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{r}{p}\end{array} \right.\)
(A) Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình vô nghiệm
(B) Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}\)
(C) Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
(D) Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{a},\,\,{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{a}\)
Câu trả lời của bạn
Theo công thức nghiệm thu gọn thì A,C,D sai.
Ta thấy: Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}\) mà \(b' = \dfrac{b}{2} \Rightarrow {x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}\)
Nên B đúng.
(A) Đồng biến khi x < 0
(B) Nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
(C) Nghịch biến khi x > 0
(D) Luôn luôn nghịch biến
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(y = - \left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^2}\) có hệ số \(a = - \left( {1 - \sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 - 1 > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\) và nghịch biến khi \(x < 0.\)
Có một công nhân phải làm 50 sản phẩm trong một thời gian cố định. Do cải tiến phương pháp sản xuất nên mỗi giờ làm thêm được 5 sản phẩm. Vì thế đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn quy định là 1 giờ 40 phút. Biết theo quy định mỗi giờ người ấy phải làm bao nhiêu sản phẩm ?
Câu trả lời của bạn
Gọi năng suất theo qui định của người đó là \(x\) (sản phẩm/giờ), \(x > 0\).
Thời gian làm của người đó theo qui định là \(\dfrac{{50}}{x}\) (giờ)
Theo thực tế, mỗi giờ làm được thêm 5 sản phẩm nên năng suất theo thực tế là \(x + 5\) (sản phẩm/giờ)
Thời gian làm theo thực tế là \(\dfrac{{50}}{{x + 5}}\) (giờ)
Vì người đó hoàn thành sớm hơn qui định là 1 giờ 40 phút \( = \dfrac{5}{3}\) giờ nên ta có phương trình
\(\dfrac{{50}}{x} - \dfrac{{50}}{{x + 5}} = \dfrac{5}{3}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{50.3.\left( {x + 5} \right)}}{{3x\left( {x + 5} \right)}} - \dfrac{{50.3x}}{{3x\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{{5x\left( {x + 5} \right)}}{{3x\left( {x + 5} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 30\left( {x + 5} \right) - 30x = x\left( {x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 150 = 0\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Phương trình (1) có \(\Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 150} \right) = 625 > 0 \)\(\Rightarrow \sqrt \Delta = 25\) nên phương trình (1) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + 25}}{1} = 20\left( N \right)\\x = \dfrac{{ - 5 - 25}}{1} = - 30\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy theo qui định, mỗi giờ người đó phải làm 20 sản phẩm.
Hãy giải phương trình \(\dfrac{{3{x^2} - 15x}}{{{x^2} - 9}} = x - \dfrac{x}{{x - 3}}\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(x \ne \left\{ { \pm 3} \right\}\)
Ta có
\(\dfrac{{3{x^2} - 15x}}{{{x^2} - 9}} = x - \dfrac{x}{{x - 3}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2} - 15x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \)\(= \dfrac{{x\left( {{x^2} - 9} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3{x^2} - 15 = x\left( {{x^2} - 9} \right) - x\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 15 = {x^3} - 9x - {x^2} - 3x\\ \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - 12x + 15 = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 3{x^2} + 3x - 15x + 15 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - 3x\left( {x - 1} \right) - 15\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x - 15} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} - 3x - 15 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\{x^2} - 3x - 15 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Giải (*): Xét \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 15} \right) = 69 > 0\) nên phương trình (*) có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {69} }}{2}\\x = \dfrac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {69} }}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt {69} }}{2}\\x = \dfrac{{3 - \sqrt {69} }}{2}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;\dfrac{{3 + \sqrt {69} }}{2};\dfrac{{3 - \sqrt {69} }}{2}} \right\}\)
Với hàm số y = ax + b. Tìm a và b, biết rằng đồ thị của hàm số đã cho thỏa mãn một trong các điều kiện đi qua hai điểm A(1; 3) và B (-1; -1);
Câu trả lời của bạn
Vì \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( { - 1; - 1} \right)\) nằm trên đường thẳng \(y = ax + b\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}a.1 + b = 3\\a.\left( { - 1} \right) + b = - 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\ - a + b = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = 2\\a + b = 3\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = 3 - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 2;b = 1.\)
Hãy chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: \(\left( {\dfrac{{2 + \sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right).\dfrac{{x\sqrt x + x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x > 0;x \ne 1\)
Đặt \(\sqrt x=a\) thì biểu thức trở thành:
\(\left( {\dfrac{{2 + a}}{{{a^2} + 2a + 1}} - \dfrac{{a - 2}}{{{a^2} - 1}}} \right).\dfrac{{{a^3} + {a^2} - a - 1}}{a}\)
\( = \dfrac{{\left( {2 + a} \right)\left( {a - 1} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}\left( {a - 1} \right)}}.\dfrac{{{a^2}\left( {a + 1} \right) - \left( {a + 1} \right)}}{a}\)
\( = \dfrac{{2a}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{a}\)
\( = \dfrac{{2a}}{a} = 2\)
Vậy biểu thức trên có giá trị bằng \(2\) (là hằng số) nên nó không phụ thuộc vào biến.
Rút gọn biểu thức cho sau: \(N = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \)
Câu trả lời của bạn
\(N = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \)\(\Rightarrow {N^2} = 2 + \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 + 2\sqrt {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \)\(= 4+ 2.1 = 6\)
Vì \(N > 0\) nên \({N^2} = 6 \Rightarrow N = \sqrt 6 .\)
Rút gọn biểu thức cho sau: \(M = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(M = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \) \( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \)
\( = \left( {\sqrt 2 - 1} \right) - \left( {2 + \sqrt 2 } \right) \)\(= \sqrt 2 - 1 - 2 - \sqrt 2 = - 3\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *