Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, các em cần biết vận dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết, bài học rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai sẽ giúp các em làm quen với các dạng toán hay.
Để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết
Chứng minh đẳng thức \((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=2\sqrt{2}\)
Hướng dẫn:
Ở bài toán này, ta có thể dùng phương pháp nhân từng thừa số vào rồi cộng các kết quả lại với nhau.
Tuy nhiên, ta có thể quan sát và vận dụng theo cách sau:
\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=1+2\sqrt{2}+2-3=2\sqrt{2}\)
Rút gọn biểu thức \(\frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}; x\neq -\sqrt{3}\)
Hướng dẫn:
\(\frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}=\frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{x+\sqrt{3}}=x-\sqrt{3}\)
Bài 1: Rút gọn biểu thức: \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)
Hướng dẫn: \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{\frac{5^2}{5}}+\sqrt{\frac{20}{2^2}}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)
Bài 2: Rút gọn biểu thức: \(0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4\sqrt{50}\)
Hướng dẫn:\(0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4\sqrt{50}\)
\(=0,1\sqrt{10^2.2}+\sqrt{2.}\sqrt{0,16}+0,4\sqrt{5^2.2}=\sqrt{2}+0,4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=0,4\sqrt{2}+3\sqrt{2}\) \(=3,4.\sqrt{2}\)
Bài 3: Chứng minh đẳng thức: \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)
Hướng dẫn: \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}\)\(=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)\(=\frac{9}{\sqrt{6}}+\frac{4}{\sqrt{6}}-\frac{12}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)
Bài 1: Rút gọn biểu thức \(A=\frac{2x}{x+3}-\frac{x+1}{3-x}-\frac{3-11x}{x^2-9} ; x\not\equiv \pm 3\)
Hướng dẫn: \(A=\frac{2x}{x+3}-\frac{x+1}{3-x}-\frac{3-11x}{x^2-9}\)\(=\frac{2x(x-3)}{(x+3)(x-3)}+\frac{(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{3-11x}{(x+3)(x-3)}\)
\(=\frac{2x^2-6x+x^2+4x+3-3+11x}{(x+3)(x-3)}\)\(=\frac{3x^2+9x}{(x+3)(x-3)}=\frac{3x}{x-3}\)
Bài 2: Cho biểu thức \(A=\left ( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right ):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1} ; a>0,a\neq 1\)
\(B=1\)
Hãy so sánh A và B
Hướng dẫn: Ta có: \(A=\left ( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right ):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\)\(=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}.\frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{a}+1}\)\(=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}=1-\frac{1}{\sqrt{a}}\)
Vì \(a>0\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a}}>0\Rightarrow\)\(1-\frac{1}{\sqrt{a}}<1\Rightarrow A
Qua bài giảng Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 8để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho biểu thức \(A=\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{x^3}-1}-\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} \right ).\left ( \frac{1+\sqrt{x^3}}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right )\) với \(x\geq 0, x\neq 1\)
Tìm x để A đạt giá trị bằng 3
Cho biểu thức \(B=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x}-x}\) với \(x>0; x\neq 1\)
Giá trị của biểu thức B khi \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) là:
Cho biểu thức \(C=\frac{x\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}\) với \(x>0; x\neq 1\)
Với giá trị nào của x thì \(|C|=C\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 8 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1
Bài tập 58 trang 32 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 59 trang 32 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 60 trang 33 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 61 trang 33 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 62 trang 33 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 63 trang 33 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 64 trang 33 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 65 trang 34 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 66 trang 34 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 80 trang 18 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 81 trang 18 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 82 trang 18 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 83 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 84 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 85 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 86 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 87 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 8.1 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho biểu thức \(A=\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{x^3}-1}-\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} \right ).\left ( \frac{1+\sqrt{x^3}}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right )\) với \(x\geq 0, x\neq 1\)
Tìm x để A đạt giá trị bằng 3
Cho biểu thức \(B=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x}-x}\) với \(x>0; x\neq 1\)
Giá trị của biểu thức B khi \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) là:
Cho biểu thức \(C=\frac{x\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}\) với \(x>0; x\neq 1\)
Với giá trị nào của x thì \(|C|=C\)
Cho biểu thức \(D=\left ( 1+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right )\left ( 1-\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right )\) với \(x\geq 0;x\neq 1\)
Giá trị của x để D là ước nguyên dương của 2 là:
Cho biểu thức \(E=\left ( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right )\left ( \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right )\) với \(x\geq 0; x\neq 1\)
Định giá trị của x để biểu thức E dương.
Khẳng định nào sau đây sai?
Khẳng định nào sau đây là sai?
Rút gọn \(Q = \left( {\frac{{1 - x\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} + \sqrt x } \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 - x}}} \right)^2},x > 0,x \ne 1\)
Rút gọn \(M = \sqrt {\frac{a}{b}} + \sqrt {ab} - a\sqrt {\frac{1}{{ab}}} \) với a>0 và b>0
Rút gọn \(M = \frac{{x + y}}{{{y^2}}}\sqrt {\frac{{{x^2}{y^4}}}{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}}} \) với x, y>0
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)
b) \(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}\)
c) \(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}\)
d) \(0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}\)
Rút gọn các biểu thức sau (với \(a>0, b>0\)) :
a) \(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}\)
b) \(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}\)
Cho biểu thức \(B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\) với \(x\geq -1\)
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)
b) \(\left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} +\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}=2\frac{1}{3}\) với \(x>0\)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}\)
b) \(\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}\)
c) \((\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{48}\)
d) \((\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}\)
Rút gọn biểu thức sau:
a) \(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}\) với \(a>0, b>0\)
b) với \(m>0;x\neq 1\)
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\left ( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right )\left ( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}=1\) với và ;
b) \(\frac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}=\left | a \right |\) với \(a+b>0\) và
Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:
\(M=\left ( \frac{1}{a-\sqrt{a}} +\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right ):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\) với \(a>0\) và \(a\neq 1\)
Giá trị của biểu thức \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) bằng:
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(1\)
(C) \(-4\)
(D) \(4\)
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Rút gọn các biểu thức:
a) \((2 - \sqrt 2 )( - 5\sqrt 2 ) - {(3\sqrt 2 - 5)^2}\);
b) \(2\sqrt {3a} - \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \) với \(a \ge 0\)
Rút gọn các biểu thức:
a) \({{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }}\)
với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)
b) \({{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} - \sqrt {{b^3}} } } \over {a - b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)
a) Chứng mình:
\({x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \({x^2} + x\sqrt 3 + 1\). Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?
Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ:
a) \({2 \over {\sqrt 7 - 5}} - {2 \over {\sqrt 7 + 5}}\);
b) \(\,{{\sqrt 7 + 5} \over {\sqrt 7 - 5}} + {{\sqrt 7 - 5} \over {\sqrt 7 + 5}}.\)
Tìm x biết:
a. \( \displaystyle\sqrt {4x + 20} - 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 3}\sqrt {9x + 45} \)\(= 6;\)
b. \( \displaystyle\sqrt {25x - 25} - {{15} \over 2}\sqrt {{{x - 1} \over 9}} \)\( = 6 + \sqrt {x - 1} .\)
Cho biểu thức:
\(P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}\)
a) Rút gọn P với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\)
b) Tìm x để P = 2.
Cho biểu thức:
\(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a - 1}} - {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a - 2}} - {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a - 1}}} \right)\)
a) Rút gọn Q với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\).
b) Tìm giá trị của a để Q dương.
Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức:
\(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.
Bất phương trình: \(\sqrt {32} x - \left( {\sqrt 8 + \sqrt 2 } \right)x > \sqrt 2 \) tương đương với bất phương trình
(A) \(\sqrt {20} x > \sqrt 2 \)
(B) \(2\sqrt {5} x > \sqrt 2 \)
(C) \(15\sqrt {2} x > \sqrt 2 \)
(D) \(\sqrt {2} x > \sqrt 2 \)
Hãy chọn đáp án đúng.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(A = \left( {{{1 - a\sqrt a } \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2}\)
\(\eqalign{ & = \left( {{{{1^3} - {{\left( {\sqrt a } \right)}^3}} \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2} \cr & = \left( {{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a + a} \right)} \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2} \cr & = \left( {1 + 2\sqrt a + a} \right).{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}} \over {{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}} \cr} \)
\(\begin{array}{l}
= {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2}.\frac{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}}\\
= 1
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{5\sqrt 3 + \sqrt {50} }}{{\sqrt {75} - 5\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 3 + \sqrt {{5^2}.2} }}{{\sqrt {{5^2}.3} - 5\sqrt 2 }}\\
= \frac{{5\sqrt 3 + 5\sqrt 2 }}{{5\sqrt 3 - 5\sqrt 2 }} = \frac{{5\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}{{5\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}\\
= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}\\
= \frac{{3 + 2\sqrt 6 + 2}}{1} = 5 + 2\sqrt 6
\end{array}\)
Vậy \(x = \left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - \sqrt {24} } \right) \)\(\,= \left( {5 + \sqrt {24} } \right)\left( {5 - \sqrt {24} } \right) \)\(\,= 25 - 24 = 1\)
Vậy \(x = 1\) là số nguyên.
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x ≥ 0\).
Ta có:
\(\left( {\sqrt x + {1 \over {\sqrt x + 1}}} \right).\left( {1 - {{\sqrt x + 2} \over {x + \sqrt x + 1}}} \right) > 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 1} \over {\sqrt x + 1}}.{{x + \sqrt x + 1 - \sqrt x - 2} \over {x + \sqrt x + 1}} > 0 \cr & \Leftrightarrow {{x + \sqrt x + 1} \over {\sqrt x + 1}}.{{x - 1} \over {x + \sqrt x + 1}} > 0 \cr & \Leftrightarrow {{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)} \over {\sqrt x + 1}}>0\cr & \Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \cr} \)
\(\;\;⇔ x > 1\) (thỏa mãn điều kiện \(x ≥ 0\))
Vậy \(x > 1\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\displaystyle A = {{x\sqrt x - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}\)\(\displaystyle \,\,\left( {x > 0;\,x \ne 1} \right)\)
\(\displaystyle \eqalign{ & = {{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - {{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + {{x + 1} \over {\sqrt x }} \cr & = {{x + \sqrt x + 1 - x + \sqrt x - 1 + x + 1} \over {\sqrt x }} \cr & = {{{x+2\sqrt x + 1}} \over {\sqrt x }} \cr & = {{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}} \over {\sqrt x }} \cr} \)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\displaystyle x\sqrt x + 1 = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right) \), với mọi \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\)
Nên:
\(\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x + 1}} + {{\sqrt x - 1} \over {x - \sqrt x + 1}} - {{\sqrt x - 1} \over {x - 1}} < 1\)
\(\displaystyle \eqalign{ & \Leftrightarrow {{x + 2} \over {\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} + {{\sqrt x - 1} \over {x - \sqrt x + 1}} - {{\sqrt x - 1} \over {\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} < 1 \cr & \Leftrightarrow {{x + 2 + x - 1 - \left( {x - \sqrt x + 1} \right)} \over {\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} < 1 \cr & \Leftrightarrow {{x + \sqrt x } \over {\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} < 1 \cr & \Leftrightarrow {{\sqrt x } \over {x - \sqrt x + 1}} < 1 \cr} \)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - x + \sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - \left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0
\end{array}\)
Ta có: \(\displaystyle x\sqrt x + 1 > 0\) và \(\displaystyle \sqrt x + 1 > 0 \Rightarrow x - \sqrt x + 1 > 0\)
Và \(\displaystyle -{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} < 0\) với \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\)
Nên \(\displaystyle \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\) với \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\)
Vậy \(\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x + 1}} + {{\sqrt x - 1} \over {x - \sqrt x + 1}} - {{\sqrt x - 1} \over {x - 1}} < 1\) với \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\) (đpcm)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \eqalign{ & \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } - \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \cr& = \sqrt {4 - 2.2\sqrt 3 + 3} - \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} \cr&= \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \cr & = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cr&= 2 - \sqrt 3 - 1 - \sqrt 3 \,\,\left( {vì\,2 > \sqrt 3 } \right) \cr & = 1 - 2\sqrt 3 \cr} \)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \eqalign{ & \left( {{{14} \over {\sqrt {14} }} + {{\sqrt {12} + \sqrt {30} } \over {\sqrt 2 + \sqrt 5 }}} \right).\sqrt {5 - \sqrt {21} } \cr & = \left[ {\sqrt {14} + {{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)} \over {\sqrt 2 + \sqrt 5 }}} \right].\sqrt {5 - \sqrt {21} } \cr & = \left( {\sqrt {14} + \sqrt 6 } \right).\sqrt {5 - \sqrt {21} } \cr & = \sqrt 2 \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {5 - \sqrt {21} } \cr & = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {10 - 2\sqrt {21} } \cr & = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \cr & = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right).\left| {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right| \cr & = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)\,\,\left( {\text{ vì }\,\sqrt 7 > \sqrt 3 } \right) \cr & = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 4. \cr} \)
Câu trả lời của bạn
Biến đổi vế trái ta có:
\(\displaystyle \eqalign{ & {4 \over {\sqrt x + 2}} + {2 \over {\sqrt x - 2}} - {{5\sqrt x - 6} \over {\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \cr & = {{4\left( {\sqrt x - 2} \right) + 2\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {5\sqrt x - 6} \right)} \over {\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cr & = {{4\sqrt x - 8 + 2\sqrt x + 4 - 5\sqrt x + 6} \over {\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cr & = {{\sqrt x + 2} \over {\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = {1 \over {\sqrt x - 2}} \cr} \)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \eqalign{ & P = \left( {{1 \over {x - \sqrt x }} + {{\sqrt x } \over {x - 1}}} \right):{{x\sqrt x - 1} \over {x\sqrt x - \sqrt x }} \cr & = \left[ {{1 \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + {{\sqrt x } \over {\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:{{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x \left( {x - 1} \right)}} \cr & = {{\sqrt x + 1 + x} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)} \over {\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} \cr&= {1 \over {\sqrt x - 1}} \cr} \)
(với \(\displaystyle x > 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\))
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle P = {1 \over 2} \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt x - 1}} = {1 \over 2} \Rightarrow \sqrt x - 1 = 2 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt x = 3\) \(\displaystyle ⇔ x = 9\) (thỏa mãn điều kiện \(\displaystyle x > 0\) và \(\displaystyle x ≠ 1\))
Câu trả lời của bạn
\((2 - \sqrt 2 )( - 5\sqrt 2 ) - {(3\sqrt 2 - 5)^2}\)
\( = - 10\sqrt 2 + 5\sqrt {{2^2}} - (18 - 30\sqrt 2 + 25)\)
\( = - 10\sqrt 2 + 5.2 - 18 + 30\sqrt 2 - 25 \)\(= 20\sqrt 2 - 33\)
Câu trả lời của bạn
\( \displaystyle 2\sqrt {3a} - \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} \)\(\displaystyle - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \)
\( \displaystyle =2\sqrt {3a} - \sqrt {75a} + a\sqrt {{{27} \over {4a}}} \)\(\displaystyle - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \)
\( \displaystyle = 2\sqrt {3a} - \sqrt {25.3a} + \sqrt {a^2.{{9.3} \over {4a}}} \)\(\displaystyle- {2 \over 5}\sqrt {100{a^2}.3a} \)
\( \displaystyle = 2\sqrt {3a} - 5\sqrt {3a} + \sqrt {{{9.3a} \over {4}}} - {2 \over 5}.10a\sqrt {3a} \)
\( \displaystyle = 2\sqrt {3a} - 5\sqrt {3a} + {3 \over 2}\sqrt {3a} - 4a\sqrt {3a} \)
\( = \sqrt{3a} (2-5+\dfrac{3}{2}-4a) \)\(=-(1,5+4a) \sqrt {3a}\) (với \(a>0\))
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\( \displaystyle{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} \) \( \displaystyle= {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\)
\( \displaystyle = {{a + 2\sqrt {ab} + b + a - 2\sqrt {ab} + b} \over {a - b}}\)
\( \displaystyle = {{2(a + b)} \over {a - b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \( a \ne b\))
Câu trả lời của bạn
Ta có: \( \displaystyle{{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} -{{\sqrt {a^3} - \sqrt {{b^3}} } \over {a - b}}\)
\( \displaystyle={{(a - b)(\sqrt a + \sqrt b)} \over {(\sqrt a - \sqrt b).(\sqrt a + \sqrt b) }} \)\( \displaystyle-{{\sqrt {a^2.a} - \sqrt {{b^2.b}} } \over {a - b}}\)
\( \displaystyle = {{(a - b)(\sqrt a + \sqrt {b)} } \over {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}\)
\( \displaystyle = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}\)
\( \displaystyle = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b - a\sqrt a + b\sqrt b } \over {a - b}}\)
\( \displaystyle = {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))
Chú ý: Ta cũng có thể biến đổi tiếp \( \displaystyle {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\) như sau:
\( \displaystyle {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\)\( \displaystyle = {{\sqrt {a^2b} - \sqrt {ab^2} } \over {(\sqrt a - \sqrt b).(\sqrt a + \sqrt b)}}\)
\( \displaystyle = {{\sqrt {ab} .( \sqrt {a}- \sqrt {b}) } \over {(\sqrt a - \sqrt b).(\sqrt a + \sqrt b)}}\)
\( \displaystyle = {{\sqrt {ab} } \over {\sqrt a + \sqrt b}}\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ge 1\)
Ta có:
\( \displaystyle\sqrt {25x - 25} - {{15} \over 2}\sqrt {{{x - 1} \over 9}} \)\( = 6 + \sqrt {x - 1} \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt {25(x - 1)} - {15 \over 2}.{1\over 3}\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} \)\( = 6\)
\( \displaystyle \Leftrightarrow 5\sqrt {x - 1} - {5 \over 2}\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} = 6\)
\( \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}.(5- {5 \over 2}-1) = 6 \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow {3 \over 2}\sqrt {x - 1} = 6 \)\(\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 6:{3 \over 2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 4\)
\( \displaystyle \Leftrightarrow x - 1 = 16 \Leftrightarrow x = 17\)
Giá trị \(x = 17\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy \(x = 17.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện : \(x \ge - 5\)
Ta có:
\(\sqrt {4x + 20} - 3\sqrt {5 + x} + {\dfrac{4}{3}}\sqrt {9x + 45} = 6\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {4(x + 5)} - 3\sqrt {5 + x} \)\(+ {\dfrac{4}{3}}\sqrt {9(x + 5)} = 6\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5} - 3\sqrt {x + 5} + \dfrac{4}{3}.3\sqrt {x + 5} = 6\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5} - 3\sqrt {x + 5} + 4\sqrt {x + 5} = 6\)
\(\Leftrightarrow \sqrt {x + 5}.(2-3+6) = 6\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt {x + 5} = 6\)
\(\Leftrightarrow \sqrt {x + 5} = 2\)
\( \Leftrightarrow x + 5 = 4 \Leftrightarrow x = - 1\)
Giá trị \(x = -1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy \(x = -1\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} + \dfrac{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }}\\
= \dfrac{{{{(\sqrt 7 + \sqrt 5 )}^2} + {{(\sqrt 7 - \sqrt 5 )}^2}}}{{(\sqrt 7 + \sqrt 5 )\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}\\
= \dfrac{{7 + 2\sqrt {35} + 5 + 7 - 2\sqrt {35} + 5}}{{7 - 5}}\\
= \dfrac{{24}}{2} = 12
\end{array}\)
Vậy \( \displaystyle\,{{\sqrt 7 + 5} \over {\sqrt 7 - 5}} + {{\sqrt 7 - 5} \over {\sqrt 7 + 5}}=12\) là số hữu tỉ.
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\( \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)
Vì \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}\)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) bằng \( \displaystyle{1 \over 4}\) khi \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0\)
Suy ra \( \displaystyle x = - {{\sqrt 3 } \over 2}.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{2}{{\sqrt 7 - 5}} - \dfrac{2}{{\sqrt 7 + 5}}\\
= \dfrac{{2(\sqrt 7 + 5) - 2(\sqrt 7 - 5)}}{{(\sqrt 7 + 5)\left( {\sqrt 7 - 5} \right)}}\\
= \dfrac{{2\sqrt 7 + 10 - 2\sqrt 7 + 10}}{{7 - 25}}\\
= \dfrac{{20}}{{ - 18}} = - \dfrac{{10}}{9}
\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{2}{{\sqrt 7 - 5}} - \dfrac{2}{{\sqrt 7 + 5}} = - \dfrac{{10}}{9}\) là số hữu tỉ
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\( \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}\)
\( \displaystyle\eqalign{
& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr
& = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
1 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *