Bài học trước, chúng ta đã biết về công thức nghiệm thu gọn. Trong bài học này, chúng ta sẽ được tìm hiểu về mối quan hệ tổng tích giữa các nghiệm thông qua hệ thức Vi-ét.
Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là \(S-x\)
Vì thế, tích của chúng được viết lại là: \(x(S-x)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\)
Đặt \(\Delta =S^2-4P\)
Bài 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2-8x+11=0\)
Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta' =(-4)^2-1.11=5>0\)
Ta có: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{1}=8\)
\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{11}{1}=11\)
Bài 2: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:\(2x^2-8x-29=0\)
Hướng dẫn:
Với bài toán này, ta nhận thấy hệ số a và c trái dấu, như đã học ở bài trước, pt này chắc chắn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{2}=4\)
\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{29}{2}\)
Bài 3:Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2+10x+25\)
Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta' =(-5)^2-1.25=0\)
Vậy \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{10}{1}=-10\)
\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{25}{1}=25\)
Bài 1: Tìm hai số biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng là 6
Hướng dẫn: Gọi hai số đó là \(x_1\) và \(x_2\)\(\Rightarrow x_1+x_2=5; x_1.x_2=6\)
Lại có \(S^2=25>4P=24\)
Vậy 2 số cần tìm là nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0\) hay \(x^2-5x+6=0\)
\(\Rightarrow x_1=3, x_2=2\) hoặc \(\Rightarrow x_1=2, x_2=3\)
Bài 2: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 11 và tích của chúng là 60
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b
Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=11\\ ab=60 \end{matrix}\right.\)
Thế \(a=11+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+11)=60\Leftrightarrow b^2+11b-60=0\)
\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=4\)
\(b=-15\Rightarrow a=-4\)
\(b=4\Rightarrow a=15\)
Qua bài giảng Hệ thức Vi-ét và ứng dụng này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 6để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+6x-2017=0\) lần lượt là:
Cho phương trình \(-x^2+8x-17=0\). Tổng và tích của 2 nghiệm phương trình trên là:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 25 trang 52 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 26 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 27 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 28 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 29 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 30 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 31 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 32 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 33 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 35 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 36 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 37 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 38 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 39 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 40 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 41 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 42 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 43 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 44 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 6.1 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 6.1 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 6.3 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 6.4 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+6x-2017=0\) lần lượt là:
Cho phương trình \(-x^2+8x-17=0\). Tổng và tích của 2 nghiệm phương trình trên là:
Viết phương trình bậc hai, biết phương trình đó có nghiệm kép \(x=5\)
Cho phương trình ẩn x có tham số m: \(x^2-(2m+3)x+m^2-3=0\)
Giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm đều âm là:
Cho phương trình bậc hai ẩn x tham số m: \(x^2-(2m+1)x+m^2+m-6=0\)
Giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là:
Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):
\(\small a) 2x^2-17x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)
\(\small b) 5x^2-x-35=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)
\(\small c) 8x^2-x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)
\(\small d) 25x^2+10x+1=0;\Delta=...;x_1+x_2=...;x_1.x_2=...\)
Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 35x2 – 37x + 2 = 0
b) 7x2 + 500x – 507 = 0
c) x2 – 49x - 50 = 0
d) 4321x2 + 21x – 4300 = 0
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
a) x2 – 7x + 12 = 0
b) x2 + 7x + 12 = 0
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 32, uv = 231
b) u + v = -8, uv = -105
c) u + v = 2, uv = 9
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
a) 4x2 + 2x – 5 = 0
b) 9x2 – 12x + 4 = 0
c) 5x2 + x + 2 = 0
d) 159x2 – 2x – 1 = 0
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) x2 – 2x + m = 0
b) x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) \(1,5x^2 - 1,6x + 0,1 = 0\)
b) \(\sqrt{3}x^2 - (1 - \sqrt{3})x - 1 = 0\)
c) \((2 - \sqrt{3})x^2 + 2\sqrt{3}x - (2 + \sqrt{3}) = 0\)
d) \((m - 1)x^2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0\) với \(m \neq 1\)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 42, uv = 441
b) u + v = -42, uv = -400
c) u – v = 5, uv = 24
Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x2 – 5x + 3;
b) 3x2 + 8x + 2.
Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét:
a) \(3{x^2} - 2x - 5 = 0\)
b) \(5{x^2} + 2x - 16 = 0\)
c) \({1 \over 3}{x^2} + 2x - {{16} \over 3} = 0\)
d) \({1 \over 2}{x^2} - 3x + 2 = 0\)
Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:
a) \(2{x^2} - 7x + 2 = 0\)
b) \(2{x^2} + 9x + 7 = 0\)
c) \(\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0\)
d) \(1,4{x^2} - 3x + 1,2 = 0\)
e) \(5{x^2} + x + 2 = 0\)
Tính nhẩm nghiệm của phương trình:
a) \(7{x^2} - 9x + 2 = 0\)
b) \(23{x^2} - 9x - 32 = 0\)
c) \(1975{x^2} + 4x - 1979 = 0\)
d) \(\left( {5 + \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - \sqrt 2 } \right)x - 10 = 0\)
e) \({1 \over 3}{x^2} - {3 \over 2}x - {{11} \over 6} = 0\)
f) \(31,1{x^2} - 50,9x + 19,8 = 0\)
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình:
a) \({x^2} - 6x + 8 = 0\)
b) \({x^2} - 12x + 32 = 0\)
c) \({x^2} + 6x + 8 = 0\)
d) \({x^2} - 3x - 10 = 0\)
e) \({x^2} + 3x - 10 = 0\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình \(3{x^2} + 2x - 21 = 0\) có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia
b) Chứng tỏ rằng phương trình \( - 4{x^2} - 3x + 115 = 0\) có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia
Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:
a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\), biết nghiệm x1 = 7
b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0,\) biết nghiệm x1 = 12,5
c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0,\) biết nghiệm x1 = -2
d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0,\) biết nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 14; uv = 40
b) \(u + v = - 7;uv = 12\)
c) \(u + v = - 5;uv = - 24\)
d) \(u + v = 4,uv = 19\)
e) \(u - v = 10,uv = 24\)
f) \({u^2} + {v^2} = 85,uv = 18\)
Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
a) 3 và 5;
b) -4 và 7;
c) -5 và \({1 \over 3}\);
d) 1,9 và 5,1;
e) 4 và \(1 - \sqrt 2 \);
f) \(3 - \sqrt 5 \) và \(3 + \sqrt 5 \)
Cho phương trình \({x^2} + px - 5 = 0\) có nghiệm là x1, x2. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
a) –x1 và –x2
b) \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\)
Cho phương trình \({x^2} - 6x + m = 0.\) Tính giá trị của \(m\), biết rằng phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện \(x_1-x_2= 4.\)
Giả sử \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0).\)
Điều nào sau đây đúng?
A) \(\displaystyle {x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)
B) \(\displaystyle {x_1} + {x_2} = - {b \over a},{x_1}{x_2} = - {c \over a}\)
C) \(\displaystyle {x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = - {c \over a}\)
D) \(\displaystyle {x_1} + {x_2} = - {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Bài 3: cho pt x2-(2m+3)x+m2+2m+2=0 (1)
a, Tìm m để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt
b,Tìm m để pt(1) có bốn nghiệm phân biệt
c,Tìm m để pt(1) có đúng ba nghiệm
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
a)
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow (2m+3)^2-4(m^2+2m+2)>0\)
\(\Leftrightarrow 4m+1>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{4}\)
b,c) PT bậc 2 thì có tối đa là 2 nghiệm nên không tồn tại m để pt có 3 hoặc 4 nghiệm .
Bài2: Cho pt x2-2mx-4m2-5=0
a,cmr: Với mọi m pt luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
b,Tìm giá trị m để x1,x2 để biểu thức A= x12+x22 - x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu trả lời của bạn
Bài 1: Cho phương trình x2_2(m+2)+m2+4m+3=0
a,cmr: phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b,Tìm giá trị của m để biểu thức A= x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu a : Ta có :
\(\Delta=4\left(m^2+4m+4\right)-4\left(m^2+4m+3\right)\)
\(=4m^2+16m+16-4m^2-16m-12\)
\(=4>0\)
Vì \(\Delta>0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
Câu b : Theo định lý vi-et ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+4\\x_1x_2=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\left(2m+4\right)^2-2.\left(m^2+4m+3\right)\)
\(=4m^2+16m+16-2m^2-8m-6\)
\(=2m^2+8m+10\)
\(=2\left(m^2+4m+5\right)\)
\(=2\left[\left(m^2+4m+4\right)+1\right]\)
\(=2\left[\left(m+2\right)^2+1\right]\)
Do : \(\left(m+2\right)^2\ge0\Rightarrow\left(m+2\right)^2+1\ge1\Rightarrow2\left[\left(m+2\right)^2+1\right]\ge2\)
Vậy GTNN của \(A\) là 2 . Dấu \("="\) xảy ra khi \(\left(m+2\right)^2=0\Leftrightarrow m=-2\)
Wish you study well !!
Câu a : Ta có :
\(\Delta=4m^2+4\left(m^2+5\right)=8m^2+20>0\)
Vì \(\Delta>0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
Câu b : Theo định lý vi-et ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-4m^2-5\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^2+x_2^2-x_1x_2=\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-x_1x_2\)
\(=\left[\left(2m\right)^2-2\left(-4m^2-5\right)\right]-\left(-4m^2-5\right)\)
\(=4m^2+8m^2+10+4m^2+5\)
\(=16m^2+15\)
Vì \(16m^2\ge0\Rightarrow16m^2+15\ge15\)
Do đó GTNN của A sẽ là 15 khi \(16m^2=0\Leftrightarrow m=0\)
Cho pt: x\(^2\) - 2mx + m\(^2\) -1 = 0
a, Giải phương trình khi m=2
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x\(_1\), x\(_2\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
a)
Khi $m=2$ phương trình trở thành:
\(x^2-2.2x+2^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ x=3\end{matrix}\right.\)
b)
Để pt có hai nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta'=m^2-(m^2-1)>0\Leftrightarrow 1>0\) (luôn đúng với mọi số thực $m$)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{2m}{m^2-1}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow m^2-1=4m\Leftrightarrow m^2-4m-1=0\)
\(\Leftrightarrow (m-2)^2=5\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=2+\sqrt{5}\\ m=2-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\) (đều chọn)
b1 :Giả sử x1 và x2 là nghiệm của phương trình \(x^2-2(m-1)x+m^2-1=0\). Tìm hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
b2: :Giả sử x1 và x2 là nghiệm của phương trình \(x^2-2(m-1)x+m^2-3m=0\). Tìm hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
Câu trả lời của bạn
Bài 1:
Với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, ta áp dụng hệ thức Viete có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2+2=2m\\ x_1x_2+1=m^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1+x_2+2)^2=4m^2\\ 4(x_1x_2+1)=4m^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (x_1+x_2+2)^2=4(x_1x_2+1)\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+4(x_1+x_2)+4=4x_1x_2+4\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+4(x_1+x_2)=0\)
Đây chính là hệ thức cần tìm
Cho phương trình x2 -2mx -3 =0 ( m là tham số )
a, giải pt khi m =1
b, Tìm m để phương trình có 2 no phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn | x1 | + |x2| =6
Câu trả lời của bạn
mk giải lại câu b cho DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG NHA .
bài làm
vì \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1}{3}< 0\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm trái dấu
giả sử : \(x_1< 0;x_2>0\)
\(\Rightarrow\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=6\Leftrightarrow-x_1+x_2=6\) cộng với phương trình \(x_1x_2=\dfrac{-1}{3}\)
ta có được hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}-x_1+x_2=6\\x_1x_2=\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-9+\sqrt{78}}{3}\\x_2=\dfrac{9+\sqrt{78}}{3}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-9-\sqrt{78}}{3}\\x_2=\dfrac{9-\sqrt{78}}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
với \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-9+\sqrt{78}}{3}\\x_2=\dfrac{9+\sqrt{78}}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x_1+x_2=\dfrac{2\sqrt{78}}{3}=2m\Leftrightarrow m=\dfrac{\sqrt{78}}{3}\)
với \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-9-\sqrt{78}}{3}\\x_2=\dfrac{9-\sqrt{78}}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x_1+x_2=\dfrac{-2\sqrt{78}}{3}=2m\Leftrightarrow m=\dfrac{-\sqrt{78}}{3}\)
vậy \(m=\pm\dfrac{\sqrt{78}}{3}\)
Giải hệ phương trình: \(\dfrac{1}{x}\)+\(\dfrac{1}{y}\)=3-xy
\(\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}\)+\(\dfrac{3x^2y^2+2}{xy}\)=7
Câu trả lời của bạn
phương trình 2 ⇔\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2}{xy}=7-3xy\)⇔\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2=7-3xy\)
đoạn sau bạn tự giải nha
cho (P) y=x^2
(d) y=ax+3
x1,x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P)
tìm a để x1+2x2=3
Câu trả lời của bạn
Chào bạn! Mình hướng dẫn nha!
Do x1 và x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (p)
=> x1 và x2 là 2 nghiệm của pt x^2 = ax +3
=> x^2 -ax -3 =0
Do pt có 2 nghiệm phân biệt nên đen-ta >0
=> a^2 +12 >0 (luôn đúng do a^2 >=0)
Ta có x1 +2x2 =3 => x1 +x2 = 3- x2 Mà x1 +x2 =a (theo vi-ét)
=> a = 3 -x2 => a = 3 - [a +căn(đen-ta)]/2 (vì [a +căn(đen-ta)]/2 là nghiệm x2 của pt)
=> 2a = 6 -a +căn(đen-ta)
=> 3a -6 = căn(đen-ta) Bình phương 2 vế:
=> 9a^2 - 36a +36 = đen-ta = a^2 +12
=> 8a^2 -36a + 24 =0 => 2x^2 -9x +6 =0
Bấm máy => a ~~ 3,69 hoặc a ~~ 0,81 (lưu ý: ~~ là gần bằng)
Vậy với a = 3,69 hoặc a =0,81 thì thỏa mãn yêu cấu bài toán!
Thế thôi, chúc bạn thành công nha!!!
x^2-2(m+1)x-4m=0
Tìm m để phương trình có 2 nghiem x1,x2 thỏa x1^2+x2^2-x1-x2=6
Câu trả lời của bạn
\(A=x_1^2+x_2^2-x_1-x_2\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+x_2-1\right)-2x_1x_2\)(1)
\(\Delta_x=\left(m+1\right)^2+4m=m^2+6m+1\)
\(\Delta_m=9-1=8\)
\(\Delta_x\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-3-2\sqrt{2}\\m\ge-3+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) (2)
với đk (2) \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=-4m\end{matrix}\right.\)(3)
(1);(3)<=>\(A=2\left(m+1\right)\left[2\left(m+1\right)-1\right]-2.\left(-4m\right)\)
\(A=6=\left(m+1\right)\left[2\left(m+1\right)-1\right]-\left(-4m\right)=3\)
\(A=\left(m+1\right)\left[2m+1\right]+4m=3\)
\(A=2m^2+7m-2=0\)
\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-7+-\sqrt{65}}{4}\\\end{matrix}\right.\) so sánh đk m =(-7+can65)/4
cho pt: ( m +1 )x2 - 2(m-1)x+m-3=0. tìm các gt của m để pt:
a) có đúng 1 nghiệm
b) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2>0 và x1=2x2
Câu trả lời của bạn
a) có 1 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}m+1=0;m=-1\\\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-3\right)=0< =>4=0;vn\end{matrix}\right.\)
b) từ (a) luôn có 2 nghiệm mọi m khác -1
\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m-3}{m+1}\\x_2=\dfrac{m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2>0\Leftrightarrow\dfrac{m-3}{m+1}>0;m\in(-vc;-1)U\left(3;vc\right)\\x_1=2x_2\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m-3}{m+1}=2;-m-5=0;m=-5\\\dfrac{m-3}{m+1}=\dfrac{1}{2};m-7=0;m=7\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
kết hợp ; m =-5 ; 7
cho các số thực dương t/m
x+2y≥ 8
tim GTNN
D=x+y+\(\dfrac{3}{x}\)+\(\dfrac{9}{2y}\)
Câu trả lời của bạn
Câu hỏi của Đinh thị hồng xuyến - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Tìm m để pt : 2x2 -4x + 5(m-1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
Câu trả lời của bạn
m thỏa mãn Hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>4-2.5.\left(m-1\right)>0\\\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{5}\\x_1.x_2-3\left(x_1+x_2\right)+9>0\\x_1+x_2< 6\end{matrix}\right.\) cho vi ét vào \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{5}\\\dfrac{5\left(m-1\right)}{2}-3.2+9>0\\\dfrac{4}{2}< 6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{7}{5}\\m>\dfrac{-1}{5}\end{matrix}\right.\) \(m\in\left(-\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}\right)\)
ch phương trình ax2 +bx +c=0 biết a#0 và 5a +4b+6c=0 chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm
Câu trả lời của bạn
\(f\left(x\right)=\text{ax}^2+bx+c\)
Nếu a=0 thì ta có: \(4b+6c=0\) hay \(c=\dfrac{-2}{3}b\). Phương trình có dạng
\(bx-\dfrac{2}{3}b=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\) là 1 nghiệm
Xét \(a\ne0\). Khi đó
\(5a+4b+6c=0\Leftrightarrow\left(4a+2b+c\right)+\left(a+2b+4c\right)+c=0\)
\(f\left(2\right)+\dfrac{1}{4}f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f\left(0\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\text{af}\left(2\right)+\dfrac{1}{4}\text{af}\left(\dfrac{1}{2}\right)+\text{af}\left(0\right)=0\)
=> Tồn tại ít nhất 1 số hạng âm hoặc bằng 0, theo định lý đảo suy ra phương trình có nghiệm
Cho x1;x2 là 2 nghiệm của ptr :
x2 - 2(m - 1)x + 2m - 6 = 0
Tìm m nguyên dương để \(A=\left(\dfrac{x1}{x2}\right)^2+\left(\dfrac{x2}{x1}\right)^2\)
có giá trị nguyên .
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Điều kiện: \(\Delta'=m^2-4m+7>0\) (luôn đúng)
Áp dụng định lý Viete, nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của PT trên thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-6\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(A=\left ( \frac{x_1}{x_2} \right )^2+\left ( \frac{x_2}{x_1} \right )^2=\left (\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2=\frac{(x_1^2+x_2^2)^2}{(x_1x_2)^2}-2\)
\(A=\left ( \frac{x_1}{x_2} \right )^2+\left ( \frac{x_2}{x_1} \right )^2=\left (\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2\)
\(=\frac{(x_1^2+x_2^2)^2}{(x_1x_2)^2}-2=\frac{[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2}{(x_1x_2)^2}-2=\frac{[4(m-1)^2-2(2m-6)]^2}{(2m-6)^2}-2=\frac{16(m-1)^4-16(m-1)^2(2m-6)}{(2m-6)^2}+2\)
Để \(A\in\mathbb{Z}\Rightarrow 16(m-1)^4-16(m-1)^2(2m-6)\vdots (2m-6)^2\)
\(\Leftrightarrow 4(m-1)^4-8(m-1)^2(m-3)\vdots (m-3)^2\)
Xét điều kiện yếu hơn, \(\) \(4(m-1)^4-8(m-1)^2(m-3)\vdots m-3\Leftrightarrow 4(m-1)^4\vdots m-3\)
\(\Leftrightarrow 4[(m-1)^4-2^4]+2^6\vdots m-3\)
Vì \((m-1)^4-2^4\vdots m-3\Rightarrow 2^6\vdots m-3\). Mà \(m\in\mathbb{Z}^+\Rightarrow m-3\in \left \{\pm 1,\pm 2,4,8,16,32,64\right\}\)
Thử lại ta thu được \(m\in \left \{1,2,4, 5,7,11\right\}\)
Cho phương trình: \(x^2-\left(m-2\right)x+5=0\)
Tìm giá trị của m để biểu thức A= \(3\left(x_1^2+x^2_2\right)+8x_1x_2\) đạt giá trị nhỏ nhất
Câu trả lời của bạn
\(\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(m-5\right)=m^2-4m+4-4m+20\)
\(\Delta=m^2-8m+24=m^2-8m+16+8=\left(m-4\right)^2+8>0\forall m\)
vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)
áp dụng hệ thức vi ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)
ta có : \(A=3\left(x_1^2+x_2^2\right)+8x_1x_2=3\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)+8x_1x_2\)
\(A=3\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2+8x_1x_2=3\left(x_1+x_2\right)^2+2x_1x_2\)
\(A=3\left(m-2\right)^2+2\left(m-5\right)=3\left(m^2-4m+4\right)+2m-10\)
\(A=3m^2-12m+12+2m-10=3m^2-10m+2\)
\(A=3m^2-2.\sqrt{3}m.\dfrac{10}{2\sqrt{3}}+\dfrac{100}{12}-\dfrac{100}{12}+2\)
\(A=\left(\sqrt{3}m-\dfrac{10}{2\sqrt{3}}\right)^2+\dfrac{-19}{3}\ge\dfrac{-19}{3}\)
\(\Rightarrow minA=\dfrac{-19}{3}khi\left(\sqrt{3}m-\dfrac{10}{2\sqrt{3}}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}m-\dfrac{10}{2\sqrt{3}}=0\Leftrightarrow\sqrt{3}m=\dfrac{10}{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow m=\dfrac{10}{6}\)
vậy \(minA=\dfrac{-19}{3}khi\) \(x=\dfrac{10}{6}\)
Pt x^2-2(m+1)x+m^2+2=0
Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn |x1^2-x2^2|=16m^2+64m
Câu trả lời của bạn
Để pt có 2 nghiệm phân biệt
⇒Δ'>0⇌(m+1)2-(m2+2)>0⇌m2+2m+1-m2-2>0⇌2m-1>0⇌m>\(\dfrac{1}{2}\)
⇒pt có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=m+1-\sqrt{2m-1}\); \(x_2=m+1+\sqrt{2m-1}\) \(\left(x_1\right)^2=\left(\left(m-1\right)-\sqrt{2m-1}\right)^2\)
=\(\left(m+1\right)^2-2\left(m+1\right)\sqrt{2m-1}+2m-1\)
TT:\(\left(x_2\right)^2\)=\(\left(m+1\right)^2+2\left(m+1\right)\sqrt{2m-1}+2m-1\)
⇒\(|\left(x_1\right)^2+\left(x_2\right)^2|\)
=\(|\left(m+1\right)^2-2\left(m+1\right)\sqrt{2m-1}+2m-1\)+
\(\left(m+1\right)^2+2\left(m+1\right)\sqrt{2m-1}+2m-1|\)
\(=|2\left(m+1\right)^2+2\left(2m-1\right)|\)
\(=|2\left(m^2+2m+1+2m-1\right)|\)
\(=2|m^2+4m|\)
Do \(m>\dfrac{1}{2}\)⇒m2+4m>0⇒\(=2|m^2+4m|\)=2m2+8m (1)
Lại có: \(|\left(x_1\right)^2+\left(x_2\right)^2|\)=16m2+64m (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
2m2+8m=16m2+64m
⇌-14m2-56m=0
⇌-14m(m-4)=0
⇌m(m-4)=0
⇌\(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m-4=0\end{matrix}\right.\) ⇌\(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=4\end{matrix}\right.\)
Do \(m>\dfrac{1}{2}\)⇒m=4
Vậy với m=4 thì pt có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:
\(|\left(x_1\right)^2+\left(x_2\right)^2|\)=16m2+64m
Cho phương trình \(x^2+\left(m-1\right)x-m^2-2=0\) (1) với m là tham số thực.
a) Chứng minh: phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) với mọi giá trị của m
b) Tìm m để biểu thức \(T=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^3\) đạt giá trị lớn nhất
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
a)
Vì \(\Delta=(m-1)^2+4(m^2+2)>0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
Áp đụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=1-m\\ x_1x_2=-(m^2+2)\end{matrix}\right.(*)\)
Vì \(m^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow m^2+2>0\Rightarrow -(m^2+2)< 0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2< 0\).
Do đó pt luôn có hai nghiệm trái dấu (đpcm)
b)
Sử dụng hằng đẳng thức và $(*)$ để biến đổi:
\(T=\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^3=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^3-3.\frac{x_1}{x_2}.\frac{x_2}{x_1}\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)\)
\(T=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^3-3\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)\)
Đặt \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=t\Rightarrow T=t^3-3t\)
Có: \(t=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=\frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2\)
Vì \((1-m)^2\geq 0; -(m^2+3)< 0\Rightarrow t=\frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2\leq 0-2=-2\)
Khi đó:
\(T=t^3-3t=t(t^2-4)+t=t(t-2)(t+2)+t\)
Vì \(t\leq -2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t(t-2)(t+2)\leq 0\\ t\leq -2\end{matrix}\right.\Rightarrow T\leq -2\)
Vậy \(T_{\max}=-2\). Dấu bằng xảy ra khi \(t=-2\Leftrightarrow \frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2=-2\Leftrightarrow m=1\)
cho pt : x2 - 2x + m - 3=0 ( m là tham số) a, tìm giá trị của m để pt trên có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn : x12 - 2x2+x1x2=-12
Câu trả lời của bạn
ta có \(\Delta'=4-m\)
để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 4\)
vì x1 là nghiệm của pt trên nên ta có
\(x_1^2-2x_1+m-3=0\Rightarrow x_1^2=2x_1-m+3\)
vậy \(x_1^2-2x_2+x_1x_2=2\left(x_1-x_2\right)-m+3+m-3=2\left(x_1-x_2\right)=-12\)
\(\Rightarrow x_1-x_2=-6\)
theo vi-ét ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=-6\\x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_2=4\\m-3=-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_2=4\\m=-5\end{matrix}\right.\)vậy m=-5
cho 2 pt : \(ax^2+bx+c=0\left(1\right)\) và \(cy^2+by+a=0\left(2\right)\)
gọi \(x_1;x_2\) là nghiệm của pt (1), gọi \(y_1;y_2\) là nghiệm của pt (2)
tìm min của \(M=x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2\)
help me @Ace Legona
Câu trả lời của bạn
tag tên tui vô chi biết tui mấy dạng Delta, vi ét này tui ngu mà :v
cho phương trình x2-2(m+1)x+2m+10 (với m là tham số)
a)giải và biện luận phuong trình
b) trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1;x2; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1;x2 mà không phụ thuộc vào m
c) tìm giấ trị của m để 10x1x2+x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu trả lời của bạn
a) "Giải và biện luận phương trình" Mình không hiểu nên tạm thời cho là tìm x.
Vì hệ số bậc cao nhất là \(1\ne0\) nên:
\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(2m+10\right)=4m^2-36\)
\(x=\dfrac{2\left(m+1\right)\pm\sqrt{4m^2-36}}{2}\)
b)Dùng định lí Viète cho ta:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right).........\left(1\right)\\x_1x_2=2m+10.................\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ (2) cho (1) theo từng vế cho ta:
\(x_1x_2-x_1-x_2=8\)
c) Ta có: \(P=10x_1x_2+x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2+8x_1x_2=\left[2\left(m+1\right)\right]^2+8\left(2m+10\right)=4m^2+24m+84=\left(2m+6\right)^2+48\ge48\)Dấu "=" xảy ra khi \(m=-3\).
Nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) -5x2 + 3x + 2 = 0
b) 7x2 + 6x \(-\)13 = 0
c) x2 \(-\)7x + 12 = 0
d) \(-\)0,4x2 + 0,3x + 0,7 = 0
e) 3x2 + (3 \(-\)2m)x \(-\)2m = 0
f) 3x2 \(-\sqrt{3}\)x \(-\) (3 + \(\sqrt{3}\)) = 0
g) (3m2 \(-\) 1)x2 + 6mx + 3m + 1 = 0 với m \(\ne\) \(\dfrac{1}{3}\)
Câu trả lời của bạn
a) -5x2 + 3x + 2 = 0 (a = -5; b = 3; c = 2)
\(\Delta=3^2-4\cdot\left(-5\right)+2=31\)
=> Phương trình có nghiệm
Ta có a + b + c = -5 +3 +2 = 0
Nên phương trình có 2 nghiệm:
x1= 1; x2 = \(\dfrac{c}{a}\) = \(\dfrac{2}{-5}\) = \(\dfrac{-2}{5}\)
b) 7x2 + 6x - 13 = 0 (a = 7; b = 6; c = -13)
\(\Delta=6^2-4\cdot7\cdot\left(-13\right)=400\)
Nên phương trình có nghiệm
Ta có a + b + c = 7 + 6 +(-13) = 0
Nên phương trình có 2 nghiệm:
x1= 1; x2 = \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{-13}{7}\)
c) x2 - 7x + 12 = 0 (a = 1; b = -7; c = 12)
\(\Delta\) = (-7)2 - 4 * 1 * 12= 1
Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-7\right)+\sqrt{1}}{2\cdot1}=4\)
\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-7\right)-\sqrt{1}}{2\cdot1}=3\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1=4 và x2=3
d)-0,4x2 +0,3x +0,7 =0 (a = -0,4; b= 0,3; c= 0,7)
\(\Delta=\left(0,3\right)^2-4\cdot\left(-0,4\right)\cdot0,3=0,57\)
Nên phương trình có nghiệm
Ta có a - b + c = (-0,4) - 0,3 + 0,7 = 0
Nên phương trình có 2 nghiệm x1 = -1; \(x_2=\dfrac{-c}{a}=\dfrac{-0,7}{-0,4}=\dfrac{7}{4}\)
e)3x2+(3-2m)x-2m =0(a= 3;b=3-2m;c= -2m)
\(\Delta=\left(3-2m\right)^2-4\cdot3\cdot\left(-2m\right)\)
= 9 - 12m + 4m +24m = 9 + 16m
Do \(\left\{{}\begin{matrix}9>0\\16m\ge0\end{matrix}\right.\)nên phương trình có nghiệm
Ta có a - b + c = 3- (3-2m) +( -2m)
= 3 -3 + 2m - 2m = 0
Nên phương trình có 2 nghiệm
x1= - 1; x2=\(\dfrac{-c}{a}=\dfrac{-\left(-2m\right)}{3}=\dfrac{2m}{3}\)
f) 3x2 - \(\sqrt{3}\)x - ( 3+\(\sqrt{3}\))=0
(a= 3; b= \(-\sqrt{3}\); c=\(-\left(3+\sqrt{3}\right)\))
\(\Delta=\left(-\sqrt{3}\right)^2-4\cdot3\cdot\left(-\left(3+\sqrt{3}\right)\right)\)
= 39+12\(\sqrt{3}\)
Nên phương trình có nghiệm
Ta có a - b +c = 3 - (\(-\sqrt{3}\)) + (-(3+\(\sqrt{3}\))) = 0
Phương trình có 2 nghiệm x1= -1;
x2=\(\dfrac{-c}{a}=\dfrac{-\left(-\left(3+\sqrt{3}\right)\right)}{3}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *