Cho phương trình
\(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2\)\(\, = 0\;\displaystyle (m \ne {1 \over 2}).\)
a) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm \(x_1,x_2\), hãy tính tổng \(S\) và tích \(P\) của hai nghiệm theo \(m.\)
c) Tìm hệ thức giữa \(S\) và \(P\) sao cho trong hệ thức này không có \(m.\)
Hướng dẫn giải
Sử dụng:
- Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\).
- Hệ thức Vi-ét:
Nếu \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}& & \\ x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a} & & \end{matrix}\right.\)
Lời giải chi tiết
Phương trình: \(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 \)\(\,= 0\;(m \ne\displaystyle {1 \over 2})\) (1)
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\)
\( \Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 4} \right)} \right]^2} \)\(\,- \left( {2m - 1} \right)\left( {5m + 2} \right) \)
\(= {m^2} + 8m + 16 - 10{m^2} - 4m + 5m \)\(\,+ 2 \)
\(= - 9m^2 + 9m + 18 \)
\(= - 9\left( {{m^2} - m - 2} \right) \)
\(=-9(m^2-2m+m-2)\)
\(=-9[m(m-2)+m-2]\)
\(= - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \)
\( \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0 \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m - 2 \ge 0} \cr
{m + 1 \le 0} \cr} } \right.\) hoặc \(\left\{ {\matrix{{m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr} } \right.\)
TH1:
\(\left\{ {\matrix{
{m - 2 \ge 0} \cr
{m + 1 \le 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ge 2} \cr
{m \le - 1} \cr} } \right.} \right.\) vô nghiệm
TH2:
\(\left\{ {\matrix{
{m - 2 \le 0} \cr
{m + 1 \ge 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \le 2} \cr
{m \ge - 1} \cr} } \right.} \right.\) \(\Leftrightarrow - 1 \le m \le 2\)
Vậy \(-1 ≤ m ≤ 2\) thì phương trình (1) có nghiệm.
b) Phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\displaystyle {x_1} + {x_2} = {{2\left( {m + 4} \right)} \over {2m - 1}};\) \(\displaystyle{x_1}{x_2} = {{5m + 2} \over {2m - 1}}\)
c) Theo câu b ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m + 4} \right)}}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{5m + 2}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m + 8}}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}.2m - \dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{2}}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m - 1 + 9}}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}\left( {2m - 1} \right) + \dfrac{9}{2}}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m - 1}}{{2m - 1}} + \dfrac{9}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} + \dfrac{{\dfrac{9}{2}}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{2}.\dfrac{1}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}\\
2{x_1}{x_2} = 5 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) \\= 5 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}} - \left( {1 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}} \right)\\
\Leftrightarrow 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4
\end{array}\)
Vậy \( 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4 \) là biểu thức không phụ thuộc vào \(m\) cần tìm.
-- Mod Toán 9