Cùng điểm lại nội dung chương Phương pháp tọa độ trong không gian bằng sơ đồ tư duy sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức, ghi nhớ dễ dàng những nội dung trọng tâm. Bên cạnh đó là những bài tập tổng hợp nâng cao sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng làm bài tập và từng bước chinh phục được bài toán khó.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(0;-3;-1) và B(-4;1;-3) và mặt phẳng \((P):x-2y+2z-7=0\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ, song song với AB và vuông góc với (P).
b) Lập phương trình mặt cầu nhận đoạn thẳng AB là đường kính.
a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-4;4;-2),\vec{n}=(1;-2;2)\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
\(\left [ \overrightarrow{AB};\vec{n} \right ]=(4;6;4)\)
(Q) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0;0), (Q) song song với AB và vuông góc với mặt phẳng (P) suy ra mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\vec n} \right] = (2;3;2)\) làm véctơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \(2x+3y+2z=0.\)
b. \(\overrightarrow{AB}=(-4;4;-2)\Rightarrow AB=\sqrt{16+16+4}=6\)
Trung điểm AB là I(-2;-1;-2).
Mặt cầu (S) có tâm I, bán kính \(R=\frac{AB}{2}=3\Rightarrow (S):(x+2)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=9\).
Cho mặt cầu \((S): x^2+y^2+z^2-2x+6y+4z-22=0\) và \((\alpha ):x+2y-2z-8=0\). CRM: \((\alpha )\) cắt (S) theo một đường tròn. Xác định tâm, bán kính đường tròn đó.
Nhận xét:
Tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(I;R) và \((\alpha )\) là hình chiếu của I trên \((\alpha )\) với \(r^2+d^2(I;(\alpha ))=R^2\).
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;-2), bán kính R = 6.
\(d(I;(\alpha ))=\frac{\left | 1-6+4-8 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{9}{3}=3\) Vậy \((\alpha )\) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn.
Ta có H là hình chiếu của I trên \((\alpha )\).
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua I và vuông góc với \((\alpha )\), tức là nhận \(\vec{n_\alpha }=(1;2;-2)\) làm một VTCP có phương trình là:
\(\Delta \left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=-3+2t\\ z=-2-2t \end{matrix}\right.\)
\(H =\Delta \cap (\alpha )\)
\(H\in \Delta \Rightarrow H(1+t;-3+2t;-2-2t)\)
\(H\in (\alpha ) \Rightarrow 1+t+2(-3+2t)-2(-2-2t)-8=0\)
\(\Leftrightarrow 9t-9=0\Leftrightarrow t=1\)
Suy ra tọa độ H(2;-1;-4).
Bán kính đường trình giao tuyến: \(r^2=R^2-IH^2=36-9=27.\)
Vậy \(r=3\sqrt{3}.\)
Cho đường thẳng \(d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}\) và \((P):3x+5y-z-2=0\)
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P).
b) Viết phương trình (Q) đi qua M0(1;2;-1) và vuông góc với d.
c) Tìm tọa độ B' đối xứng với B(1;0;-1) qua (P).
a) \(A=d\cap (P)\)
\(A\in d\left\{\begin{matrix} x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t \end{matrix}\right. \Rightarrow A(12+4t;9+3t;1+t)\)
\(A\in (P)\) nên \(3(12+4t)+5(9+3t)-(1+t)-2=0\)
\(\Leftrightarrow 26t +78t=0\Leftrightarrow t=-3\)
Vậy tọa độ là A(0;0;-2).
b) \((Q)\perp d\) nên (Q) nhận \(\vec{u_d}=(4;3;1)\) làm một VTPT.
Phương trình mặt phẳng (Q) là \((Q):4(x-1)+3(y-2)+1(z+1)=0\) hay \(4x+3y+z-9=0.\)
c) Viết phương trình \(\Delta\) đi qua B và vuông góc (P)
\(\Delta\) \(\perp\) (P) nên \(\Delta\) nhận \(\vec{n_P}=(3;5;-1)\) làm một VTCP.
Phương trình tham số của \(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=5t\\ z=-1-t \end{matrix}\right.\)
H là hình chiếu của B trên (P)
\(H=\Delta \cap (P)\)
\(H\in \Delta \Rightarrow H(1+3t;5t;-1-t)\)
\(H\in(P)\) nên \(3(1+3t)+25t+1+t-2=0\)
\(\Leftrightarrow 35t+2=0\)
\(\Leftrightarrow t=-\frac{2}{35}\)
\(H\left ( \frac{29}{35};-\frac{2}{7};-\frac{33}{35} \right )\)
H là trung điểm BB' nên: \(\left\{\begin{matrix} x_{B'}=2x_H-x_B=\frac{23}{35}\\ \\ y_{B'}=2y_H-y_B=-\frac{4}{7}\\ \\ z_{B'}=2z_H-z_B=\frac{2}{35} \end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ \(B' \left ( \frac{23}{35};-\frac{4}{7};\frac{2}{35} \right ).\)
Cùng điểm lại nội dung chương Phương pháp tọa độ trong không gian bằng sơ đồ tư duy sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức, ghi nhớ dễ dàng những nội dung trọng tâm. Bên cạnh đó là những bài tập tổng hợp nâng cao sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng làm bài tập và từng bước chinh phục được bài toán khó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương III - Hình học 12để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right);B\left( {2;1; - 2} \right),C\left( {0;0;1} \right).\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của \(Q = x + y + z.\)
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0.\) Tìm giao điểm I của (d ) và (P).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương III - Hình học 12 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 13 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 14 trang 97 SGK Hình học 12
Bài tập 15 trang 97 SGK Hình học 12
Bài tập 3.46 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.47 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.48 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.49 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.50 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.51 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.52 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.53 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.54 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.56 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.57 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.58 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.59 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.60 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.61 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.62 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.63 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.64 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.65 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.66 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.67 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.68 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.69 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.70 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.71 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 27 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 28 trang 120 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 29 trang 120 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 30 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 31 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 32 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 33 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 34 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 35 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 36 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 37 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 38 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 39 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 40 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 41 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 42 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right);B\left( {2;1; - 2} \right),C\left( {0;0;1} \right).\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của \(Q = x + y + z.\)
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0.\) Tìm giao điểm I của (d ) và (P).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\) song song với mặt phẳng (P): \(x + y - z + m = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 16 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{z}{2}.\) Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( \Delta \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Tìm hình chiếu vuông góc của \(\left( \Delta \right)\) trên mặt phẳng (Oxy).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( { - 2;1;0} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}.\) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa đường thẳng \(\Delta\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1;0;2} \right).\) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;1} \right),C\left( { - 2;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;3;-2) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4.
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
b) Lập phương trình của mặt cầu (S).
c) Lập phương trình của mặt phẳng (\(\alpha\)) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.
Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa AB và song song với CD.
Lập phương trình tham số của đường thẳng:
a) Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(2;-1;0)
b) Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng \(\Delta\) có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=-2+2t\\ y=3-4t\\ z=-5t \end{matrix}\right.\)
Cho mặt cầu (S) có phương trình (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 và mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mp \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).
Cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 3x + 5y - z - 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\)
a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Cho điểm A(-1;2;-3), vecto \(\vec{a}=(6;-2;-3)\) và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=-1+2t\\ z=3-5t \end{matrix}\right.\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa điểm A và vuông góc với \(\vec a.\)
b) Tìm giao điểm của d và (\(\alpha\)).
c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A, vuông góc với \(\vec{a}\) và cắt đường thẳng d.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu
\((S): x^2+y^2+z^2-10x+2y+26z+170=0\)
và song song với hai đường thẳng \(d:\left\{\begin{matrix} x=-5+2t\\ y=1-3t\\ z=-13+2t \end{matrix}\right.;d':\left\{\begin{matrix} x=-7+3t\\ y=-1-2t\\ z=8 \end{matrix}\right.\)
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 2z + 11 = 0.
Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng \((\alpha )\): x + 3y – z – 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua \((\alpha )\).
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng: \(d:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-4+t\\ z=3-t \end{matrix}\right.; d':\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=-3+t\\ z=4-5t \end{matrix}\right.\)
Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng có phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2t \end{matrix}\right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) \(\left | \vec{a} \right |=\sqrt{2}\)
(B) \(\left | \vec{c} \right |=\sqrt{3}\)
(C) \(\vec{a}\perp \vec{b}\)
(D) \(\vec{b}\perp \vec{c}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A) \(\vec{a}.\vec{c}=1\)
(B) \(\vec{a},\vec{b}\) cùng phương
(C) \(cos(\vec{b},\vec{c})=\frac{2}{\sqrt{6}}\)
(D) \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\)
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\)
Cho hình bình hành \(OADB\) có \(\overrightarrow {OA} \) = \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \) (\(O\) là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành \(OADB\) là:
(A) \((0 ; 1 ; 0)\)
(B) \((1 ; 0 ; 0)\)
(C) \((1 ; 0 ; 1)\)
(D) \((1 ; 1 ; 0)\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;
(B) Tam giác ABD là tam giác đều ;
(C) \(AB ⊥ CD\) ;
(D) Tam giác \(BCD\) là tam giác vuông.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Toạ độ điểm G là trung điểm của MN là:
(A) \(G\left ( \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right )\)
(B) \(G\left ( \frac{1}{4} ; \frac{1}{4}; \frac{1}{4}\right )\)
(C) \(G\left ( \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right )\)
(D) \(G\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(B) \(\sqrt{2}\)
(C) \(\sqrt{3}\)
(D) \(\frac{3}{4}\)
Cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(0;0;-1) và song song với giá của hai vecto \(\vec{a}=(1;-2;3)\) và \(\vec{b}=(3;0;5)\).
Phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
(A) 5x - 2y - 3z - 21 = 0
(B) -5x + 2y + 3z + 3 = 0
(C) 10x - 4y - 6z + 21 = 0
(D) 5x - 2y - 3z + 21 = 0
Cho ba điểm A(0; 2; 1), B(3; 0; 1), C(1; 0; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
(A) 2x – 3y – 4z + 2 = 0
(B) 2x + 3y – 4z – 2 = 0
(C) 4x + 6y – 8z + 2 = 0
(D) 2x – 3y – 4z + 1 = 0
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):x+y+z-3=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}\)Tìm tọa độ giao điểm A của d với (P) và lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và nằm trong mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} x+y+z-3=0\\ \\ \frac{x}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=3\\ x+y=1\\ y-z=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=4\\ z=2 \end{matrix}\right.\)
Suy ra A( -3;4;2).
Mặt phẳng (P) có VTPT là \(\overline{n_(P)}=(1;1;1)\)
Đường thẳng d có VTCP là \(\overline{u_d}=(-1;1;1)\)
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng \(d\Rightarrow \Delta =(P)\cap (Q)\)
Khi đó VTCP của \(\Delta\) là \(\bar{u}=\left [ \overline{n_{(P)}} ; \overline{u_d}\right ]=\) \(\left ( \begin{vmatrix} 1 \ \ \ 1\\ 1 \ \ \ 1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 \ \ \ 1\\ 1 \ \ \ -1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 \ \ \ 1\\ -1 \ \ \ 1 \end{vmatrix} \right )=(0;-2;2)\)
Vậy phương trình tham số của \(\Delta\) là \(\left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=4-2t\\ z=2+2t \end{matrix}\right.(t\in R)\)
Help me!
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng: \(d: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}\) và điểm A(1; -4;1 ) . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng \(\Delta\) và viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.
Câu trả lời của bạn
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên \(\Delta\), ta có
\(H(1+2t;t;-1-t), \overrightarrow{AH}=(2t;t+4;-t-2)\)
Vì \(AH\perp \Delta\) nên \(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u_\Delta }=0\Leftrightarrow 2.2t+t+4+t+2=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow H(-1;-1;0)\)
Bán kính mặt cầu \(R=AH=\sqrt{14}\)
Phương trình mặt cầu \((x-1)^2+(y+4)^2+(z-1)^2=14\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng: \(d_1:\frac{x-8}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-8}{-1}\) và đường thẳng \(d_2:\frac{x-3}{7}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\). Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và (P) song song với d2.
Câu trả lời của bạn
d1 đi qua M1 (8;5;8) có 1 vtcp \(\vec{u_1}(1;2;-1)\)
d2 đi qua M2 (3;1;1) có 1 vtcp \(\vec{u_2}(-5;-4;-7)\)
Ta có \(\left [ \vec{u_1}\vec{u_2} \right ]\overrightarrow{M_1M_2}=84\neq 0\) nên d1 d2 là hai đường thẳng chéo nhau
Vì mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 nên (P) là mặt phẳng đi qua M1 và có 1 vectơ pháp tuyến là \(\vec{n}=\left [ \vec{u_1}\vec{u_2} \right ]=(8;-10;-12)\)
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
\(8(x-8)-10(y-5)-12(z-8)=0\Leftrightarrow 4x-5y-6z+41=0\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(3;5; 2),C(3;1;-3). Lập phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (ABC) và lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;4;1),\overrightarrow{AC}=(2;0;-4)\) suy ra \(\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]=(-16;10;-8)\neq \vec{0}\).
Do đó mặt phẳng (ABC) có một véc tơ pháp tuyến là . Do \(d\perp (ABC)\) nên d nhận \(\vec{n}\) làm véc tơ chỉ phương.
Đường thẳng d đi qua O và nhận \(\vec{n}\) làm véc tơ chỉ phương, nên \(d:\left\{\begin{matrix} x=8t\\ y=-5t\\ z=4t \end{matrix}\right.\)
Gọi I(a;b; c) là tâm của mặt cầu (S). Vì(S) đi qua bốn điểm O, A,B,C nên
\(\left\{\begin{matrix} OI=AI\\ OI=BI\\ OI=CI \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\\ a^2+b^2+c^2=(a-3)^2+(b-5)^2+(c-2)^2\\ a^2+b^2+c^2=(a-3)^2+(b-1)^2+(c-3)^2 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{11}{7}\\ \\ b=\frac{41}{7}\\ \\ c=-\frac{39}{14} \end{matrix}\right.\)
Suy ra mặt cầu (S) có tâm \(I\left (-\frac{11}{7};\frac{41}{7};-\frac{39}{14} \right )\), bán kính \(R=OI=\sqrt{\frac{1247}{28}}\)
Do đó \((S):\left ( x+\frac{11}{7} \right )^2+\left ( y-\frac{41}{7} \right )^2+\left ( z+\frac{39}{14} \right )^2=\frac{1247}{28}\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-6x-2y-4z-5=0\). Gọi A là giao điểm của mặt cầu ( ) S với tia Oz . Tìm tọa độ điểm A và viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.
Câu trả lời của bạn
* Gọi A(0;0;a) thuộc mặt cầu (S) nên thay tọa độ A vào phương trình mặt cầu ta được
\(a^2-4a-5=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a=-1<0\\ a=5 \end{matrix}\)
Vì A thuộc tia nên a = 5
Vậy A(0;0;5)
* Mặt cầu (S) có tâm I(3;1;2) và bán kính \(R=\sqrt{19}\)
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A nhận \(\overrightarrow{IA}\) là véc tơ pháp tuyến nên có phương trình \(3x+y-3z+15=0\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;1) và mặt phẳng (P): \(6x+3y-2z+24=0\). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784\(\pi\) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H.
Câu trả lời của bạn
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) \(\Rightarrow d:\left\{\begin{matrix} \ x=2+6t\\ \ y=5+3t\\ \ z=1-2t \end{matrix}\right.\)
Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên \(H=d\cap (P)\)
Vì \(H\in d\) nên H(2+6t;5+3t;1-2t)
Mặt khác, \(H\in (P)\) nên ta có:
\(6(2+6t)+3(5+3t)-2(1-2t)+24=0\Leftrightarrow t=-1\)
Do đó H(-4;2;3)
Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng \(784\pi\Rightarrow 4\piR^2=784\pi\Rightarrow R=14\)
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên \(IH\perp (P)\Rightarrow I\in d\)
Do đó tọa độ điểm I có dạng \(I(2;6t;5+3t;1-2t)\), với \(t\neq -1\)
Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:
\(d(I,(P))=1\Leftrightarrow \frac{\left | 6(2+6t)+3(5+3t)-2(1-2t)+24 \right |}{\sqrt{6^2+3^2+(-2)^2}}=14\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-3 \end{matrix}\)
*) Với t = 1 \(\Rightarrow I(8;8;-1)\Rightarrow (S):(x-8)^2+(y-8)^2+(z+1)^2=196\)
*) Với t = -3 \(\Rightarrow I(-16;-4;7)\Rightarrow (S):(x+16)^2+(y+4)^2+(z-7)^2=196\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \((d): \frac{x+2}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{2}\) và điểm A(2; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và (d). Tính cosin của góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng tọa độ (Oxy).
Câu trả lời của bạn
Tai sao lúc tính Cos lại thế n1 = (-1;1;2) vậy ạ ?
phía trên thì mình tính ra được n1 = (-1;9;-5)
Ta có (d) đi qua điểm M(-2; 2; 0)
Có \(\overline{AM} = (-4; -1; -1) \in (P)\)
Vecto chỉ phương của (d), \(\overrightarrow{u_{d}} = (-1; 1; 2) \in (P)\)
Do đó (P) nhận \(\overrightarrow{n_{1}} = [\overline{AM}; \overrightarrow{u_{d}}] = (-1; 9; -5)\) làm vecto pháp tuyến
(P) đi qua A(2; 3; 1) nên có phương trình -x + 9y -5z - 20 = 0
Mặt phẳng (Oxy) nhận \(\overrightarrow{n_{2}} = (0;0;1)\) làm vecto pháp tuyến
Gọi α là góc giữa mặt phẳng (P) và (Oxy), ta có:
\(\cos \alpha = | (\overrightarrow{n_{1}}; \overrightarrow{n_{2}}) | =\frac{|\overrightarrow{n_{1}}. \overrightarrow{n_{2}}|}{|\overrightarrow{n_{1}} |. |\overrightarrow{n_{2}}|} = \frac{|-1.0+1.0+2.1}{\sqrt{1+1+4}.\sqrt{0+0+1}} = \frac{2}{\sqrt{6}}\)
Vậy sosin góc giữa (P) và (Oxy) là \(\frac{2}{\sqrt{6}}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) lần lượt có phương trình \((P): x-2y+2z+1 = 0\) và \((S): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y + 6z + 17 = 0\). Chứng minh mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P). Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng.
Câu trả lời của bạn
Mặt cầu (S) có tâm I(2; -3; -3), bán kính \(R = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-3)^2 - 17} = \sqrt{5}\)
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P):
\(d = d(I,(P)) = \frac{|2-2(-3)+2(-3)+1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}} = 1 < R\)
• Vì \(d(I,(P)) < R\) nên (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)
Gọi d là đường thẳng qua tâm I của mặt cầu và vuông góc mặt phẳng (P) thì d có vtcp
\(\overrightarrow{u} = (1;-2;2)\) nên có PTTS \(d: \left\{\begin{matrix} x = 2+t \ \ \ \\ y = -3-2t\\ z = -3+2t \end{matrix}\right.\) (*). Thay (*) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được
\((2+t) - 2(-3-2t) + 2(-3+2t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 9t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{1}{3}\)
• Vậy, đường tròn (C) có tâm \(H \left ( \frac{5}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{11}{3} \right )\)
Bán kính \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{5 - 1} = 2\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình \(d: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-5}{4};(P): 2x+2y-z+1=0\). Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2; 3) và đi qua A
Câu trả lời của bạn
Ta có ptts của d là: \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-2-3t\\ z=5+4t \end{matrix}\right.\) với \(t\in R\)
Gọi A(1+2t; -2-3t; 5+4t) \(\in d\cap (P)\)
Vì \(A\in (P)\) nên ta có pt: \(2(1+2t)+2(-2-3t)-(5+4t)+1=0\Leftrightarrow t=-1\)
\(\Rightarrow A(-1;1;1)\)
Vì mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và đi qua A nên nó có bán kính là:
\(R=IA=\sqrt{(1+1)^2+(2-1)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{21}\)
Phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=21\)
Help me!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x - y +2z + 7 = 0. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là: \(d(A,(P)) = \frac{|2.2-1+2.1+7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}\)
Tính đúng \(d(A,(P)) = 4\)
Đường thẳng \((d) \perp (P)\) nên có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (2; -1; 2)\)
Đường thẳng (d) đi qua A nên có phương trình là: \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{2}\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
\(x^2+y^2+z^2+2x+2y+4z+3=0\)
a) Tìm tâm và bán kính mặt cầu.
b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;0;1); B(-1;1;2) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất.
Câu trả lời của bạn
Mặt cầu có tâm I(-1;-1;-2) và bán kính \(R=\sqrt{3}\)
Để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính lớn nhất thì (P) đi qua tâm I.
Ta có \(\overline{AB}=(-2;1;1);\overline{AI}=(-2;-1;-3)\). Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABI) là
\(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} \right ]=(-2;-8;4)\)
Phương trình mặt phẳng (P):
\(-2(x-1)-8(y-0)+4(z-1)=0\Leftrightarrow -x-4y+2z-1=0\)
Vậy \((P): -x-4y+2z-1=0\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(-1; 2; 3) và mặt phẳng (P) có phương trình \(4x + y - z - 1 = 0\). Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) và tìm tọa độ tiếp điểm M.
Câu trả lời của bạn
Do (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên
\(R = d(I;(P)) = \frac{|-4+2-3-1|}{\sqrt{16+1+1}} = \sqrt{2}\)
Mặt cầu (S) có phương trình \((x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 2\)
Đường thẳng IM đi qua I, vuông góc với (P) nên có phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} x = -1+4t\\ y = 2+t \ \ \ \ \\ z = 3-t \ \ \ \ \end{matrix}\right. (t \in R)\)
Gọi M(-1 + 4t; 2 + t; 3 - t)
Do M thuộc (P) nên \(4(-1 + 4t) + 2 + t - (3 -t) -1 = 0 \Leftrightarrow 18t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\)
Vậy \(M\left ( \frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{8}{3} \right )\)
Cứu với mọi người!
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(P: x-y-2z-1=0\) và hai điểm A(2;0;0), B(3; −1;2). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). Viết phương trinh mặt cầu (S) tâm I thuộc mặt phẳng (P) và đi qua ba điểm A, B và điểm gốc toạ độ O.
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng Δ có phương trình là:
\(\begin{Bmatrix} x=2+t \\ y=-t \\ z=-2t \end{matrix}\)
Giả sử tâm mặt cầu là I(a;b;c)
Theo giả thiết bài toán ta có:
\(\begin{Bmatrix} a-b-2c=1 \\ (a-2)^2+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2 \\ (a-3)^2+(b+1)^2+(c-2)^2=a^2+b^2+c^2 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} a-b-2c=1 \\ a=1 \\ (a-3)^2+(b+1)^2+(c-2)^2=a^2+b^2+c^2 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} b=-2c \\ a=1 \\ 3+(b+1)^2+(c-2)^2=b^2+c^2 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} b=-2c \\ a=1 \\ 3+(-2c+1)^2+(c-2)^2=4c^2+c^2 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} b=-2c \\ a=1 \\ 3+4c^2-4c+1+c^2-4c+4=5c^2 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} b=-2c \\ a=1 \\ 8c-8=0 \end{matrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} a=1 \\ b=-2 \\ c=1 \end{matrix} \Leftrightarrow I=(1;-2;1)\)
Bán kính mặt cầu là: \(R=\sqrt{(1-2)^2+4+1}=\sqrt{6}\)
Mặt cầu cần tìm có phương trình là: \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=6\)
Help me!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ y + z - 3 = 0 và điểm I(1; 2; 3).Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và (P).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(R=d(I,(P))=\sqrt{3}\)
Suy ra \((S):(x-1)^2+(y-2)^2+(y-3)^2=3\)
Gọi H là tiếp điểm của (S) và (P). Khi đó H là hình chiếu của I lên ( P).
Ta có \(\overline{u_{IH}}=\overline{n_{P}}(1;1;1)\). Suy ra \(IH: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}\)
Do đó \(H(t+1;t+2;t+3)\) vì \(H\in (P)\) nên
\((t+1)+(t+2)+(t+3)-3=0\Leftrightarrow t=-1\)
Suy ra H(0;1;2)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-1}\) và điểm A(5;4;-2). Tìm tọa độ điểm H trên đường thẳng d sao cho AH vuông góc với d và viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng Oxy.
Câu trả lời của bạn
\(H\in d\Rightarrow H(t;1+2t;-1-t)\) với \(t\in R\)
\(\overrightarrow{AH}=(t-5;2t-3;-t+1)\)
d có một vectơ chỉ phương \(\vec{a}=(1;2;-1)\)
\(AH\perp d\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\vec{a}=0\Leftrightarrow t=2\)
Vậy \(H(2;5;-3)\)
Gọi I là tâm mặt cầu (S) cần tìm, ta có: Gọi I là tâm mặt cầu (S) cần tìm, ta có:
\(I=d\cap Oxy\Rightarrow I:\left\{\begin{matrix} \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-1}\\ z=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow I(-1;-1-0)\)
(S) đi qua A \(\Rightarrow\) bán kính \(R=IA=\sqrt{65}\)
Phương trình (S): \((x+1)^2+(y+1)^2+z^2=65\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–2; 3; 1) và đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{-2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng c{ch từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3.
Câu trả lời của bạn
Một vectơ chỉ phương của d là \(\vec{u}\) = (2;1;- 2)
Mặt phẳng (P) qua A và nhận vectơ \(\vec{u}\) = (2;1;-2) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình của nó là 2(x + 2) + y – 3 – 2(z – 1) = 0 hay 2x + y – 2z + 3 = 0.
Vì M thuộc d nên M(3 + 2t; 2 + t; 1 – 2t). Khoảng cách từ M đến (P) là:
\(d(M,(P))=\frac{2(3+2t)+2+t-2(1-2t)+3}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=\left | 3t+3 \right |\)
\(d(M,(P))=3\Leftrightarrow \left | 3t+3 \right |=3\Leftrightarrow t=0\) hoặc t = -2
Vậy M(3 ; 2 ; 1) hoặc M(–1 ; 0 ; 5).
Bài này phải làm sao mọi người?
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y - 2z - 1 = 0 và hai điểm A(2;0;0), B(3;-1;2). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I thuộc mặt phẳng (P) và đi qua cácđiểm A, B và điểm gốc toạ độ O.
Câu trả lời của bạn
Giả sử I(x,y,z). Ta có \(I\in (P)\Rightarrow x-y-2z-1=0\) (1)
Do \(A,B,O\in (S)\Rightarrow IA=IB=IO.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y+2z=5\\ z=1 \end{matrix}\right.\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x-y-2z-1=0\\ x-y+2z=5\\ x=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=-2\\ z=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow I(1;-2;1)\) (3)
Bán kính mặt cầu (S) là \(R=IA=\sqrt{6}\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=6\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: \(2x-y+2z+7=0\) . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là: \(d(A,(P))=\frac{\left | 2.2-1+2.1+7 \right |}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\)
Tính đúng d (A,(P)) = 4
Đường thẳng \((d)\perp (P)\) nên có một vec to chỉ phương là \(\vec{u}=(2;-1;2)\)
Đường thẳng (d) đi qua A nên có phương trình là: \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{2}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 và đường thẳng \(d: \frac{x}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}\). Tìm tọa độ giao điểm A của d với (P) và lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} x+y+z-3=0\\ \frac{x}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=3\\ x+y=1\\ y-z=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=4\\ z=2 \end{matrix}\right.\)
Suy ra A(-3;4;2)
Mặt phẳng (P) có VTPT là \(\overrightarrow{n_{(P)}}=(1;1;1)\); đường thẳng d có VTCP là \(\overrightarrow{n_{d}}=(-1;1;1)\)
(Q) có vtpt là \(\overrightarrow{n_{Q}}=\left [\overrightarrow{n_{P}} ;\overrightarrow{n_{u}} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} 1 \ \ 1\\ 1\ \ 1 \end{vmatrix} ;\begin{vmatrix} 1 \ \ 1\\ 1\ \ -1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 \ \ 1\\ -1\ \ 1 \end{vmatrix}\right )=(0;-2;2)\)
Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình là y - z + 7 = 0
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (\(\Delta\)) có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-1+t\\ z=-t \end{matrix}\right.\) và mặt phẳng (\(\alpha\)) có phương trình: 2x + 2y +z - 1 = 0. Viết phương mặt cầu (S) tâm I nằm trên đường thẳng \(\Delta\), tiếp xúc với mặt phẳng (\(\alpha\)) và có bán kính bằng 2. Biết rằng tâm mặt cầu có hoành độ âm.
Câu trả lời của bạn
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 5t-1=6\\ 5t-1=-6 \end{matrix} \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=\frac{7}{5}\\ t=-1 \end{matrix}\)
Khi \(t=\frac{7}{5}\) tâm mặt cầu \(I=\left ( \frac{19}{5};\frac{2}{5};-\frac{7}{5} \right )\) loại
Khi t = -1 tâm mặt cầu I(-1;-2;1) phương trình mặt cầu:
\((x+1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=4\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *