Sau khi đã hoàn thành các bài học của chương Khối đa diện, chúng ta dễ dàng nhận thấy để học tốt chương này thì việc nắm vững kiến thức hình học không gian ở lớp 11 là yếu tố mang tính chất quyết định đến khả năng tiếp thu bài và giải bài tập. Bài ôn tập chương Khối đa diện sẽ hệ thống lại tất cả kiến thức cần nắm thông qua những sơ đồ tư duy, hy vọng sẽ giúp cho các em có định hướng học tập hiệu quả hơn.
Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng và mặt phẳng song song”
Hệ thống hóa kiến thức "Hai mặt phẳng song song"
Hệ thống hóa kiến thức "Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng"
Hệ thống hóa kiến thức "Hai mặt phẳng vuông góc"
Hệ thống hóa kiến thức "Khoảng cách và góc"
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt{2}\) và \(AA'=a\sqrt{3}\). Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABB'A'.
Ta có \(A'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'G\) là chiều cao của lăng trụ ABC.A'B'C'.
Diện tích tam giác đều ABC là: \({S_{ABC}} = A{B^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 2{a^2}\sqrt 3\).
Gọi M là trung điểm của BC, ta có: \(AM = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 6\).
\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).
Trong \(\Delta A'GA\) vuông tại G, ta có \(A'G = \sqrt {A'{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {3{a^2} - \frac{8}{3}{a^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = 2{a^3}\)
Gọi N là trung điểm của AB.
Trong \(\Delta A'GN\), kẻ \(GH \bot A'N\).
Chứng minh được \(GH \bot \left( {ABB'A'} \right)\) tại H.
Suy ra \(d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = GH\).
Ta có \(CN = AM = a\sqrt 6\), \(GN = \frac{1}{3}CN = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) .
\(\frac{1}{{G{H^2}}} = \frac{1}{{A'{G^2}}} + \frac{1}{{G{N^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} + \frac{9}{{6{a^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}}\) \(\Rightarrow GH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
Do đó \(d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = GH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = 3d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = a\sqrt 2\).
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, \(AB = a , \widehat{ ACB} = 60^0, SA\perp (ABC)\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{a}{2}\).
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} SA \bot (ABC) \Rightarrow BC \bot SA\\ BC \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\\ \Rightarrow (SBC) \bot (SAB). \end{array}\)
Kẻ AH vuông góc SB \((H \in SB)\) suy ra: \(AH \bot (SBC) \Rightarrow AH = \frac{a}{2}.\)
\(BC = \frac{{AB}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\).
Vậy thể tích khối chóp là: \(V_{S.ABC}=\frac{a^3}{18}.\)
Kẻ \(BI \bot AC;\,\,IK \bot SC.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BI \bot AC\\ BI \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BI \bot (SAC) \Rightarrow SC \bot BI\) (1)
Mặt khác: \(IK \bot SC\) (2)
\(SC \bot (BIK) \Rightarrow BK \bot SC.\)
Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng là \(\widehat{IKB}\).
Xét các tam giác vuông ABC và SBC ta tính được độ dài các đường cao:\(BI=\frac{a}{2};BK=\frac{2a\sqrt{15}}{15}\).
Xét tam giác BIK vuông tại I ta có: \(IK=\frac{a\sqrt{15}}{30};cos\widehat{IKB}=\frac{1}{4}\).
Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: \(SA = 2SM,SB = 3SN;\) \(SC = 4SP;SD = 5SQ.\) Tính thể tích V của khối chóp S.MNPQ.
Ta có: \({V_{SMNPQ}} = {V_{SMQP}} + {V_{SMNP}}\)
Và: \({V_{SADC}} = {V_{SQBC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)
Mặt khác:
\(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.MQP}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SQ}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{5}.\frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{40}}\\ \Rightarrow {V_{S.MQP}} = \frac{1}{{40}}.{V_{S.ADC}} = \frac{1}{{80}}.{V_{S.ABCD}} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SP}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{24}}\\ \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{1}{{24}}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{{48}}.{V_{S.ABCD}} \end{array}\)
\(\Rightarrow {V_{SMNPQ}} = \left( {\frac{1}{{80}} + \frac{1}{{48}}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{8}{5}\)
Sau khi đã hoàn thành các bài học của chương Khối đa diện, chúng ta dễ dàng nhận thấy để học tốt chương này thì việc nắm vững kiến thức hình học không gian ở lớp 11 là yếu tố mang tính chất quyết định đến khả năng tiếp thu bài và giải bài tập. Bài ôn tập chương Khối đa diện sẽ hệ thống lại tất cả kiến thức cần nắm thông qua những sơ đồ tư duy, hy vọng sẽ giúp cho các em có định hướng học tập hiệu quả hơn.
Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 hình học lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Ôn tập chương 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Tính thể tích \(V_1\) của khối tứ diện A’B’C'C.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân có cạnh huyền là 4a và thể tích bằng \(a^3\). Tính chiều cao h của khối chóp S.ABC.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 3 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 1.18 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.19 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.20 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.21 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.22 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.23 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.24 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.25 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.26 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.27 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.28 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.29 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.30 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.31 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.32 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.33 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.34 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.35 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.36 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.37 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.38 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.39 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.40 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.41 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.42 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.43 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.44 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.45 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.46 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.47 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.48 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.49 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.50 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.51 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.52 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.53 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.54 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.55 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.56 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.57 trang 24 SBT Hình học 12
Bài tập 1.58 trang 24 SBT Hình học 12
Bài tập 1.59 trang 24 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 30 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 1 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 34 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 34 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 34 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 34 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 34 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 35 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 35 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 35 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 27 trang 35 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 28 trang 35 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 29 trang 36 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 30 trang 36 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 31 trang 36 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 32 trang 36 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Tính thể tích \(V_1\) của khối tứ diện A’B’C'C.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân có cạnh huyền là 4a và thể tích bằng \(a^3\). Tính chiều cao h của khối chóp S.ABC.
Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150 m, cạnh đáy dài 220 m. Tính diện tích xung quanh S của kim tự tháp này.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SD = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\), hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Tính chiều cao h của khối chóp H.SBD theo a.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng \(a^3\). Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết AC’ tạo với mặt phẳng (A'B'C) một góc 600 và AC' = 4a. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB’C’.
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc \(\widehat{A}\) bằng 600 và cạnh bên AA’ = 2a. Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của cạnh SD. Biết rằng khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(a^3\) và tam giác MAC là tam giác đều cạnh a, hãy tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng (MAC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = k\). Xác định k sao cho mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Các đỉnh, cạnh, mặt của một khối đa diện phải thoả mãn những tính chất nào?
Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.
Thế nào là một khối đa diện lồi. Tìm ví dụ trong một khối đa diện lồi, một khối đa diện không lồi.
Cho hình lăng trụ và hình chóp có cùng diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng.
Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Hãy tính đường cao OH của hình chóp.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b) Tính thể tích khối chóp S.DBC
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a; BC = 6A; CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc bằng 600. Tình thể tích khối chóp đó.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho \(AB'\perp SB, AD'\perp SD\). Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C
b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tạ E và F. Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số của hai khối đa diện đó.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm A'B', N là trung điểm BC.
a) Tính thể tích khối tứ diện BC.
b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{V_{(H)}}{V_{(H')}}\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A) Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau;
(B) Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau;
(C) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh;
(D) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các đỉnh hoặc số các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng:
(A) lớn hơn hay bằng 4
(B) lớn hơn 4
(C) lớn hơn hay bằng 5
(D) lớn hơn 5
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn:
(A) Lớn hơn hay bằng 6
(B) Lớn hơn 6
(C) Lớn hơn 7
(D) Lớn hơn hay bằng 8
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?
(A) Hình tứ diện là khối đa diện lồi
(B) Hình hộp là khối đa diện lồi
(C) Hình chóp là khối đa diện lồi
(D) Hình lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?
(A) Hình khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau;
(B) Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau;
(C) Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau;
(D) Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Cho hình chóp S.ABC. Gọi A', B' lần lượt là trung điểm của SA, SB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC là:
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{4}\)
(D) \(\frac{1}{8}\)
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A', B', C', D' lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD là
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{1}{4}\)
(C) \(\frac{1}{8}\)
(D) \(\frac{1}{16}\)
Thể tích khối lăng trụ tam giác đề có tất cả các cạnh bằng a là:
(A) \(\frac{\sqrt{2}}{3}a^3\);
(B) \(\frac{\sqrt{2}}{4}a^3\)
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}a^3\)
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^3\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho biết các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thoả mãn những tính chất nào?
Câu trả lời của bạn
Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn những tính chất:
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh, ba mặt;
- Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt;
- Hai mặt bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có đúng một cạnh chung.
Thế nào là một khối đa diện lồi? Tìm ví dụ trong thực tế mô tả một khối đa diện lồi, một khối đa diện không lồi.
Câu trả lời của bạn
Khối đa diện \((H)\) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của \((H)\) luôn thuộc \(H\)
Ví dụ: Hình \((H_1)\) mô tả một khối da diện lồi, hình \((H_2)\) mô tả một khối đa diện không lồi (hình 24).
Ví dụ khác:
Hãy tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.
Câu trả lời của bạn
Ví dụ, hình sau được tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện. Vì \(EF\) là giao của hai đa giác \(ABCD\) và \(EFJI\) nhưng nó không phải là cạnh chung của hai đa giác đó.
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh \(AB\) bằng \(a\). Các cạnh bên \(SA, SB, SC\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(D\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng qua \(BC\) và vuông góc với \(SA\). Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp \(S.DBC\) và \(S.ABC\).
Câu trả lời của bạn
Vì hình chóp \(\displaystyle S.ABC\) là hình chóp đều nên chân đường cao \(\displaystyle H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy.
Do đó AH là hình chiếu của SA lên (ABC) nên góc giữa SA và (ABC) bằng góc giữa SA và AH hay góc \(\displaystyle SAH = 60^0\).
Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của cạnh \(\displaystyle BC\) thì \(\displaystyle AM\) là đường cao của tam giác đều \(\displaystyle ABC\):
\(\displaystyle AM = AB\sin {60^0}= {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
\(\displaystyle AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
\(\displaystyle SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}\) = \(\displaystyle {{2a\sqrt 3 } \over 3}=SB\)
Xét tam giác vuông SBM ta có: \(\displaystyle SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} \) \( = \sqrt {\frac{{12{a^2}}}{9} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).
Qua B kẻ \(\displaystyle BD \bot SA\), khi đó ta có:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AM\\
BC \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA\\
\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot BC\\
SA \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BCD} \right)
\end{array}\)
Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.
\(\displaystyle SA \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow SA \bot DM\)
Xét tam giác vuông ADM có: \(\displaystyle DM = AM.\sin 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\)
Xét tam giác vuông SDM có: \(\displaystyle SD = \sqrt {S{M^2} - D{M^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}a\)
Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:
\(\displaystyle {{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} \) \(\displaystyle = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}\)
Cho hình chóp tam giác \(O.ABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Hãy tính đường cao \(OH\) của hình chóp.
Câu trả lời của bạn
Kẻ \(\displaystyle AD\bot BC, OH \bot AD\) ta chứng minh \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot OA\\
BC \bot AH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right) \\\Rightarrow BC \bot OH\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
AC \bot BH\\
AC \bot OB
\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {OBH} \right) \\\Rightarrow AC \bot OH\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)
\end{array}\)
Vậy \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.
\(\displaystyle BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right) \) \(\Rightarrow BC \bot OD\).
Tam giác OBC vuông tại O nên \(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có:
\(\displaystyle OD.BC = OB.OC\) nên \(\displaystyle OD = \frac{{OB.OC}}{{BC}}={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\).
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAD ta có:
\(\displaystyle AD = \sqrt {A{O^2} + O{D^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} + {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\)
\(\displaystyle = \sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAD ta có: \(\displaystyle OH.AD = OA.OD\) nên
\(\displaystyle OH = \frac{{OA.OD}}{{AD}}\) \(= {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}} \) \(\displaystyle = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\).
Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Hãy tính tỉ số thể tích của chúng.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(\displaystyle B\) là diện tích đáy và \(\displaystyle h\) là chiều cao của khối lăng trụ ta có:
\(\displaystyle V\)lăng trụ =\(\displaystyle B.h = V_{(H)}\)
Gọi \(\displaystyle B'\) là diện tích đáy và \(\displaystyle h'\) là chiều cao của khối chóp ta có:
\(\displaystyle V\)chóp = \(\displaystyle {1\over 3}B'.h'={1\over 3}B.h = V_{(H')}\) (Vì diện tích đáy và chiều cao bằng nhau)
Vậy tỉ lệ thể tích giữa hình lăng trụ và hình chóp là: \(\displaystyle {{{V_{(H)}}} \over {{V_{(H')}}}} = 3.\)
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a\). Các mặt bên \(SAB, SBC, SCA\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Tính thể tích của khối chóp đó.
Câu trả lời của bạn
Kẻ \(SH \bot (ABC)\) và từ \(H\) kẻ \(HI \bot AB, HJ \bot BC, HK \bot CA\).
Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:
\(SI \bot AB, SJ \bot BC, SK \bot AC\) do đó:
+) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \( \widehat {SIH} = {60^0}\)
+) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \( \widehat {SJH} = {60^0}\)
+) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \( \widehat {SKH} = {60^0}\)
Từ đây ta có: \(△SIH = △SJH = △SKH\) (c.g.v.g.n)
\( \Rightarrow IH = JH = KH\)
\( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(△ABC\).
Tam giác \(ABC\) có chu vi: \(2p = AB + BC + CA = 18a \Rightarrow p = 9a\)
Theo công thức Hê-rông, ta có: \({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}\) \( = \sqrt {9a.4a.2a.3a} = 6{a^2}\sqrt 6 \)
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\):
\(IH = r = \displaystyle{{{S_{ABC}}} \over p} = {{6{a^2}\sqrt 6 } \over {9a}} \Rightarrow IH = {{2a\sqrt 6 } \over 3}\)
Xét tam giác vuông SHI có: \(SH = r . \tan 60^0\) = \(\displaystyle{{2a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 3 = 2a\sqrt 2 \)
Vậy thể tích khối chóp: \({V_{S.ABC}} = \displaystyle{1 \over 3}.2a\sqrt 2 .6{a^2}\sqrt 6 = 8{a^3}\sqrt 3 \)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với đáy và \(AB = a, AD = b, SA =c\). Lấy các điểm \(B', D'\) theo thứ tự thuộc \(SB, SD\) sao cho \(AB'\) vuông góc với \(SB, AD'\) vuông góc với \(SD\). Mặt phẳng \((AB'D')\) cắt \(SC\) tại \(C'\). Tính thể tích khối chóp \(S.AB'C'D'\).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \(\Rightarrow BC\bot AB'\)
Theo giả thiết \(SB \bot AB'\) \(\Rightarrow AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SC\) (1)
Chứng minh tương tự ta có: \(AD' \bot SC\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot (AB'C'D')\) hay \(SC' \bot (AB'C'D')\)
Do đó \(SC'\) là đường cao của hình chóp \(S.AB'C'D'\).
Từ \(AB' \bot (SBC)\) \( \Rightarrow AB' \bot B'C'\)
Tương tự ta có: \(AD' \bot D'C'\)
\( \Rightarrow {S_{AB'C'D'}} = {S_{AB'C'}} + {S_{AD'C'}} \)
\(= \dfrac{1}{2}AB'.B'C' + \dfrac{1}{2}AD'.D'C'\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {AB'.B'C' + AD'.D'C'} \right)\)
Từ các kết quả trên, ta được:
\(\displaystyle{V_{AB'C'D'}} = {1 \over 3}.SC'.{1 \over 2}(AB'.B'C' + AD'.D'C')\)
\(\displaystyle ={1 \over 6}SC'.(AB'.B'C' + AD'.D'C')\) (*)
Ta tính các yếu tố trên.
Tam giác vuông \(SAB\) có \(AB'\) là đường cao, nên ta có:
\(\displaystyle{1 \over {AB{'^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow AB{'^2} = {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}\) \( \displaystyle \Rightarrow AB' = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)
Tương tự, ta có:
\(\displaystyle AD{'^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow AD' = {{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)
Ta lại có: \(SC^2 = AC^2 + AS^2 = a^2 + b^2 + c^2 \Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Trong tam giác vuông \(SAC, AC'\) là đường cao
\(\Rightarrow SC'.SC = SA^2\) \( \displaystyle \Rightarrow SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
\(∆SBC\) đồng dạng \(∆SC'B'\) (g.g)\( \displaystyle \Rightarrow {{B'C'} \over {BC}} = {{SC'} \over {SB}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow B'C' = {{SC'.BC} \over {SB}} = {{b{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Tương tự ta có: \(\displaystyle D'C' = {{{c^2}a} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Thay các kết quả này vào (*) ta được:
\(\displaystyle V = {1 \over 6}.{{ab{c^5}({a^2} + {b^2} + 2{c^2})} \over {({a^2} + {c^2})({b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})}}\)
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SC\). Mặt phẳng đi qua \(AM\) và song song với \(BD\), cắt \(SB\) tại \(E\) và cắt \(SD\) tại \(F\). Tính thể tích khối chóp \(S.AEMF\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(\displaystyle H = AC \cap BD\).
Hình chóp \(\displaystyle S.ABCD\) là hình chóp đều nên chân \(\displaystyle H\) của đường cao \(\displaystyle SH\) chính là tâm của đáy.
Mặt phẳng đi qua \(\displaystyle AM\) và song song với \(\displaystyle BD\) cắt mặt phẳng \(\displaystyle (SDB)\) theo một giao tuyến song song với \(\displaystyle BD\)\. Ta dựng giao tuyến \(\displaystyle EF\) như sau: Gọi \(\displaystyle I\) là giao điểm của \(\displaystyle AM\) và \(\displaystyle SH\). Qua \(\displaystyle I\) ta dựng một đường thẳng song song với \(\displaystyle BD\), đường này cắt \(\displaystyle SB\) ở \(\displaystyle E\) và cắt \(\displaystyle SD\) ở \(\displaystyle F\).
Ta có: \(\displaystyle HA\) là hình chiếu vuông góc của \(\displaystyle SA\) trên \(\displaystyle (ABCD)\) \(\displaystyle \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AH} \right)} = \widehat {SAH} = {60^0}\)
Tam giác cân \(\displaystyle SAC\) có \(\displaystyle SA = SC\) và góc \(\displaystyle SAC = 60^0\) nên nó là tam giác đều: \(\displaystyle I\) là giao điểm của các trung tuyến \(\displaystyle AM\) và \(\displaystyle AH\) nên I là trọng tâm của tam giác đều SAC \(\displaystyle \Rightarrow {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)
Do \(\displaystyle EF // DB \) \(\displaystyle \Rightarrow {{{\rm{EF}}} \over {DB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SE} \over {SB}} = {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)
Vì \(\displaystyle DB = a\sqrt2\) \(\displaystyle \Rightarrow {\rm{EF}} = {{2a\sqrt 2 } \over 3}\)
Tam giác \(\displaystyle SAC\) là tam giác đều nên \(\displaystyle AM = {{AC\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)
Ta lại có \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \) \(\Rightarrow BD \bot AM \Rightarrow AM \bot EF\)
Tứ giác \(\displaystyle AEMF\) có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích: \(\displaystyle {S_{AEMF}} = {1 \over 2}{\rm{EF}}.AM = {1 \over 2}.{{2a\sqrt 2 } \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
Mặt khác, tam giác \(\displaystyle ASC\) là tam giác đều, \(\displaystyle M\) là trung điểm của \(\displaystyle SC\) nên \(\displaystyle AM \bot SC\). Ta cũng có \(\displaystyle DB \bot (SAM)\) \(\displaystyle \Rightarrow DB \bot SC\) vì \(\displaystyle DB // EF\) nên \(\displaystyle EF \bot SC\). Từ kết quả trên, suy ra \(\displaystyle SM \bot(AEMF)\).
Dễ thấy \(\displaystyle SM = {{a\sqrt 2 } \over 2}\) (do tam giác \(\displaystyle SAC\) đều). Do đó: \(\displaystyle {V_{S.AEMF}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {18}}\).
Cho hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Tính thể tích khối tứ diện \(A'BB'C\).
Câu trả lời của bạn
Ta tính thể tích hình chóp \(\displaystyle A'.BCB'\).
Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của \(\displaystyle B'C'\), ta có: \(\displaystyle A'M \bot B'C'\) (1)
Lăng trụ \(\displaystyle ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên:
\(\displaystyle BB' \bot (A'B'C') \Rightarrow BB' \bot A'M\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle A'M \bot (BB'C')\) hay \(\displaystyle A'M\) là đường cao của hình chóp \(\displaystyle A'.BCB'\).
Ta có: \(\displaystyle A'M\) = \(\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2};{S_{BB'C}} = {1 \over 2}{a^2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {1 \over 3}.A'M.{S_{BB'C}}\) \( \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)
Cho hình lập phương \(\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(\displaystyle a\). Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của \(\displaystyle A'B', N\) là trung điểm của \(\displaystyle BC\). Tính thể tích khối tứ diện \(\displaystyle ADMN\).
Câu trả lời của bạn
Ta tính thể tích hình chóp \(\displaystyle M.ADN\). Hình chóp này có chiều cao bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ANCD) bằng \(\displaystyle a\) và diện tích đáy \(\displaystyle {S_{ADN}} = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {V_{ADMN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}} \) \(\displaystyle = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E\) và \(F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(BB'\) và \(DD'\). Mặt phẳng \((CEF)\) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.
Câu trả lời của bạn
Ta xác định thiết diện của hình hộp \(\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\) khi cắt bởi \(\displaystyle (CEF)\). Mặt phẳng \(\displaystyle (CEF)\) chứa đường thẳng \(\displaystyle EF\) mà \(\displaystyle E\) là trung điểm của \(\displaystyle BB', F\) là trung điểm của \(\displaystyle CC'\).
\(\displaystyle O \in EF \Rightarrow O \in (CEF) \Rightarrow CO \subset \left( {CEF} \right)\)
\(\displaystyle A' \in CO \Rightarrow A' \in \left( {CEF} \right)\)
Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành \(\displaystyle CEA'F\).
Mặt phẳng (CEA'F) chia khối hộp thành 2 phần: ABCD.A'ECF (\(\displaystyle V_1\)) và A'B'C'D'.CEA'F (\(\displaystyle V_2\))
Qua \(\displaystyle EF\) ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt \(\displaystyle AA'\) ở \(\displaystyle P\) và cắt \(\displaystyle CC'\) ở \(\displaystyle Q\).
Ta có:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
{V_{ABCD.A'ECF}} = {V_{ABCD.EFP}} + {V_{A'.PEF}}\\
{V_{A'PEF}} = {V_{C.QEF}}
\end{array}\)
\(\Rightarrow {V_{ABCD.A'ECF}} = {V_{ABCD.EFP}} + {V_{C.QEF}} \) \(= {V_{ABCD.EPFQ}} = \frac{1}{2}V\)
Do đó \(\displaystyle {V_1} = {V_2} = \frac{1}{2}V \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\).
Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm \(\displaystyle O\) của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng \(\displaystyle (CEF)\) chứa điểm \(\displaystyle O\) nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm \(\displaystyle O\). Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.
(A) Lớn hơn hoặc bằng 4;
(B) Lớn hơn 4;
(C) Lớn hơn hoặc bằng 5;
(D) Lớn hơn 5.
Câu trả lời của bạn
Dễ thấy khối tứ diện là khối đa diện có số mặt và số đỉnh nhỏ nhất trong các khối đa diện.
Khối tứ diện có 4 đỉnh và 4 mặt. Do đó các đáp án (B), (C) và (D) sai.
Chọn (A) lớn hơn hoặc bằng 4
(A) Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau;
(B) Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau;
(C) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh;
(D) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau.
Câu trả lời của bạn
Hình lập phương có 8 đỉnh và 6 mặt nên đáp án A sai.
Xét hình tứ diện có 4 đỉnh và 4 mặt, nên đáp án B đúng.
Giả sử khối đa diện có số cạnh bằng số đỉnh \(\Rightarrow\) Đ = C \( \Rightarrow \) p = 2, tức là mỗi mặt có 2 cạnh (vô lí). Do đó đáp án C sai.
Giả sử khối đa diện có số cạnh bằng số mặt \(\Rightarrow\) M = C \( \Rightarrow \) n = 2, tức là mỗi đỉnh là đỉnh chung của 2 cạnh (vô lí). Do đó đáp án D sai.
Chọn đáp án (B).
(A) Khối tứ diện là khối đa diện lồi;
(B) Khối hộp là khối đa diện lồi;
(C) Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện;
(D) Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.
Câu trả lời của bạn
Dễ dàng nhận thấy các khối tứ diện, khối hộp, khối lăng trụ tam giác là các khối đa diện lồi. Do đó A, B, D đúng.
Khi lắp ghép hai khối hộp chưa chắc được một đa diện lồi. Ví dụ khi lắp ghép hai khối hộp như sau, ta không được một khối đa diện lồi.
Chọn (C).
(A) Lớn hơn hoặc bằng 6;
(B) Lớn hơn 6;
(C) Lớn hơn 7;
(D) Lớn hơn hoặc bằng 8.
Câu trả lời của bạn
Dễ thấy khối tứ diện là khối đa diện có số cạnh nhỏ nhất trong các khối đa diện.
Khối tứ diện có 6 cạnh. Do đó các đáp án (B), (C) và (D) sai.
Chọn (A) Lớn hơn hoặc bằng 6.
(A) \({1 \over 2}\)
(B) \({1 \over 3}\)
(C) \({1 \over 4}\)
(D) \({1 \over 8}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({{{V_{S.A'B'C}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA'} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} = {1 \over 2}.{1 \over 2}.1 = {1 \over 4}\)
Chọn (C).
(A) \({1 \over 2}\)
(B) \({1 \over 4}\)
(C) \({1 \over 8}\)
(D) \({1 \over {16}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({V_{S.A'B'C'D'}} = {V_{S.A'B'C'}} + {V_{S.A'C'D'}}\)
\(\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\\
\Rightarrow {V_{S.A'B'C'}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}.\frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S.A'C'D'}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SC'}}{{SC}}.\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\\
\Rightarrow {V_{S.A'C'D'}} = \frac{1}{8}{V_{S.ACD}} = \frac{1}{8}.\frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}}
\end{array}\)
\( \Rightarrow {V_{S.A'B'C'D'}} = {V_{S.A'B'C'}} + {V_{S.A'C'D'}} \) \(= \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}} + \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)
Chọn (C).
(A) \({{\sqrt 2 } \over 3}{a^3}\)
(B) \({{\sqrt 2 } \over 4}{a^3}\)
(C) \({{\sqrt 3 } \over 2}{a^3}\)
(D) \({{\sqrt 3 } \over 4}{a^3}\)
Câu trả lời của bạn
Đáy của khối lăng trụ đều là tam giác đều cạnh \(a\) nên ta có diện tích đáy: \[S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\]
Chiều cao của khối lăng trụ tam giác đều \(h=a\).
Vậy thể tích là: \[V = S.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\]
Chọn (D).
(A) \({1 \over 2}\)
(B) \({1 \over 3}\)
(C) \({1 \over 4}\)
(D) \({1 \over 6}\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử diện tích đáy hình hộp là: \(S\) chiều cao là \(h\)
Thể tích hình hộp là \(V=Sh\)
Hình hộp được chia thành \(5\) khối tứ diện A’.AB'D', B.AB’C, C’.B’CD’, D.ACD’ và ACB’D’.
Ta có:
\({V_{A'.AB'D'}} = {V_{A.A'B'D'}}\) \( = \frac{1}{3}h{S_{A'B'D'}} = \frac{1}{3}h.\frac{1}{2}S\) \( = \frac{1}{6}Sh = \frac{1}{6}V\)
Tương tự \({V_{B.AB'C}} = {V_{C'.B'CD'}} = {V_{D.ACD'}} = \frac{1}{6}V\)
Do đó
\(\begin{array}{l} = V - \left( {\frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V} \right)\\ = V - \frac{2}{3}V\\ = \frac{1}{3}V\\ \Rightarrow \frac{{{V_{ACB'D'}}}}{V} = \frac{1}{3}\end{array}\)
Chọn (B).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *