Cùng điểm lại nội dung chương Phương pháp tọa độ trong không gian bằng sơ đồ tư duy sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức, ghi nhớ dễ dàng những nội dung trọng tâm. Bên cạnh đó là những bài tập tổng hợp nâng cao sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng làm bài tập và từng bước chinh phục được bài toán khó.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(0;-3;-1) và B(-4;1;-3) và mặt phẳng \((P):x-2y+2z-7=0\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ, song song với AB và vuông góc với (P).
b) Lập phương trình mặt cầu nhận đoạn thẳng AB là đường kính.
a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-4;4;-2),\vec{n}=(1;-2;2)\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
\(\left [ \overrightarrow{AB};\vec{n} \right ]=(4;6;4)\)
(Q) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0;0), (Q) song song với AB và vuông góc với mặt phẳng (P) suy ra mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\vec n} \right] = (2;3;2)\) làm véctơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \(2x+3y+2z=0.\)
b. \(\overrightarrow{AB}=(-4;4;-2)\Rightarrow AB=\sqrt{16+16+4}=6\)
Trung điểm AB là I(-2;-1;-2).
Mặt cầu (S) có tâm I, bán kính \(R=\frac{AB}{2}=3\Rightarrow (S):(x+2)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=9\).
Cho mặt cầu \((S): x^2+y^2+z^2-2x+6y+4z-22=0\) và \((\alpha ):x+2y-2z-8=0\). CRM: \((\alpha )\) cắt (S) theo một đường tròn. Xác định tâm, bán kính đường tròn đó.
Nhận xét:
Tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(I;R) và \((\alpha )\) là hình chiếu của I trên \((\alpha )\) với \(r^2+d^2(I;(\alpha ))=R^2\).
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;-2), bán kính R = 6.
\(d(I;(\alpha ))=\frac{\left | 1-6+4-8 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{9}{3}=3\) Vậy \((\alpha )\) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn.
Ta có H là hình chiếu của I trên \((\alpha )\).
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua I và vuông góc với \((\alpha )\), tức là nhận \(\vec{n_\alpha }=(1;2;-2)\) làm một VTCP có phương trình là:
\(\Delta \left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=-3+2t\\ z=-2-2t \end{matrix}\right.\)
\(H =\Delta \cap (\alpha )\)
\(H\in \Delta \Rightarrow H(1+t;-3+2t;-2-2t)\)
\(H\in (\alpha ) \Rightarrow 1+t+2(-3+2t)-2(-2-2t)-8=0\)
\(\Leftrightarrow 9t-9=0\Leftrightarrow t=1\)
Suy ra tọa độ H(2;-1;-4).
Bán kính đường trình giao tuyến: \(r^2=R^2-IH^2=36-9=27.\)
Vậy \(r=3\sqrt{3}.\)
Cho đường thẳng \(d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}\) và \((P):3x+5y-z-2=0\)
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P).
b) Viết phương trình (Q) đi qua M0(1;2;-1) và vuông góc với d.
c) Tìm tọa độ B' đối xứng với B(1;0;-1) qua (P).
a) \(A=d\cap (P)\)
\(A\in d\left\{\begin{matrix} x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t \end{matrix}\right. \Rightarrow A(12+4t;9+3t;1+t)\)
\(A\in (P)\) nên \(3(12+4t)+5(9+3t)-(1+t)-2=0\)
\(\Leftrightarrow 26t +78t=0\Leftrightarrow t=-3\)
Vậy tọa độ là A(0;0;-2).
b) \((Q)\perp d\) nên (Q) nhận \(\vec{u_d}=(4;3;1)\) làm một VTPT.
Phương trình mặt phẳng (Q) là \((Q):4(x-1)+3(y-2)+1(z+1)=0\) hay \(4x+3y+z-9=0.\)
c) Viết phương trình \(\Delta\) đi qua B và vuông góc (P)
\(\Delta\) \(\perp\) (P) nên \(\Delta\) nhận \(\vec{n_P}=(3;5;-1)\) làm một VTCP.
Phương trình tham số của \(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=5t\\ z=-1-t \end{matrix}\right.\)
H là hình chiếu của B trên (P)
\(H=\Delta \cap (P)\)
\(H\in \Delta \Rightarrow H(1+3t;5t;-1-t)\)
\(H\in(P)\) nên \(3(1+3t)+25t+1+t-2=0\)
\(\Leftrightarrow 35t+2=0\)
\(\Leftrightarrow t=-\frac{2}{35}\)
\(H\left ( \frac{29}{35};-\frac{2}{7};-\frac{33}{35} \right )\)
H là trung điểm BB' nên: \(\left\{\begin{matrix} x_{B'}=2x_H-x_B=\frac{23}{35}\\ \\ y_{B'}=2y_H-y_B=-\frac{4}{7}\\ \\ z_{B'}=2z_H-z_B=\frac{2}{35} \end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ \(B' \left ( \frac{23}{35};-\frac{4}{7};\frac{2}{35} \right ).\)
Cùng điểm lại nội dung chương Phương pháp tọa độ trong không gian bằng sơ đồ tư duy sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức, ghi nhớ dễ dàng những nội dung trọng tâm. Bên cạnh đó là những bài tập tổng hợp nâng cao sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng làm bài tập và từng bước chinh phục được bài toán khó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương III - Hình học 12để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right);B\left( {2;1; - 2} \right),C\left( {0;0;1} \right).\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của \(Q = x + y + z.\)
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0.\) Tìm giao điểm I của (d ) và (P).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương III - Hình học 12 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 13 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 14 trang 97 SGK Hình học 12
Bài tập 15 trang 97 SGK Hình học 12
Bài tập 3.46 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.47 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.48 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.49 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.50 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.51 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.52 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.53 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.54 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.56 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.57 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.58 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.59 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.60 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.61 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.62 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.63 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.64 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.65 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.66 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.67 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.68 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.69 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.70 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.71 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 27 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 28 trang 120 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 29 trang 120 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 30 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 31 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 32 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 33 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 34 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 35 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 36 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 37 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 38 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 39 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 40 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 41 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 42 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right);B\left( {2;1; - 2} \right),C\left( {0;0;1} \right).\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của \(Q = x + y + z.\)
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0.\) Tìm giao điểm I của (d ) và (P).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\) song song với mặt phẳng (P): \(x + y - z + m = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 16 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{z}{2}.\) Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( \Delta \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Tìm hình chiếu vuông góc của \(\left( \Delta \right)\) trên mặt phẳng (Oxy).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( { - 2;1;0} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}.\) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa đường thẳng \(\Delta\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1;0;2} \right).\) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;1} \right),C\left( { - 2;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;3;-2) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4.
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
b) Lập phương trình của mặt cầu (S).
c) Lập phương trình của mặt phẳng (\(\alpha\)) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.
Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa AB và song song với CD.
Lập phương trình tham số của đường thẳng:
a) Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(2;-1;0)
b) Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng \(\Delta\) có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=-2+2t\\ y=3-4t\\ z=-5t \end{matrix}\right.\)
Cho mặt cầu (S) có phương trình (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 và mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mp \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).
Cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 3x + 5y - z - 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\)
a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Cho điểm A(-1;2;-3), vecto \(\vec{a}=(6;-2;-3)\) và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=-1+2t\\ z=3-5t \end{matrix}\right.\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa điểm A và vuông góc với \(\vec a.\)
b) Tìm giao điểm của d và (\(\alpha\)).
c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A, vuông góc với \(\vec{a}\) và cắt đường thẳng d.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu
\((S): x^2+y^2+z^2-10x+2y+26z+170=0\)
và song song với hai đường thẳng \(d:\left\{\begin{matrix} x=-5+2t\\ y=1-3t\\ z=-13+2t \end{matrix}\right.;d':\left\{\begin{matrix} x=-7+3t\\ y=-1-2t\\ z=8 \end{matrix}\right.\)
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 2z + 11 = 0.
Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng \((\alpha )\): x + 3y – z – 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua \((\alpha )\).
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng: \(d:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-4+t\\ z=3-t \end{matrix}\right.; d':\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=-3+t\\ z=4-5t \end{matrix}\right.\)
Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng có phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2t \end{matrix}\right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) \(\left | \vec{a} \right |=\sqrt{2}\)
(B) \(\left | \vec{c} \right |=\sqrt{3}\)
(C) \(\vec{a}\perp \vec{b}\)
(D) \(\vec{b}\perp \vec{c}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A) \(\vec{a}.\vec{c}=1\)
(B) \(\vec{a},\vec{b}\) cùng phương
(C) \(cos(\vec{b},\vec{c})=\frac{2}{\sqrt{6}}\)
(D) \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\)
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\)
Cho hình bình hành \(OADB\) có \(\overrightarrow {OA} \) = \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \) (\(O\) là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành \(OADB\) là:
(A) \((0 ; 1 ; 0)\)
(B) \((1 ; 0 ; 0)\)
(C) \((1 ; 0 ; 1)\)
(D) \((1 ; 1 ; 0)\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;
(B) Tam giác ABD là tam giác đều ;
(C) \(AB ⊥ CD\) ;
(D) Tam giác \(BCD\) là tam giác vuông.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Toạ độ điểm G là trung điểm của MN là:
(A) \(G\left ( \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right )\)
(B) \(G\left ( \frac{1}{4} ; \frac{1}{4}; \frac{1}{4}\right )\)
(C) \(G\left ( \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right )\)
(D) \(G\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(B) \(\sqrt{2}\)
(C) \(\sqrt{3}\)
(D) \(\frac{3}{4}\)
Cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(0;0;-1) và song song với giá của hai vecto \(\vec{a}=(1;-2;3)\) và \(\vec{b}=(3;0;5)\).
Phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
(A) 5x - 2y - 3z - 21 = 0
(B) -5x + 2y + 3z + 3 = 0
(C) 10x - 4y - 6z + 21 = 0
(D) 5x - 2y - 3z + 21 = 0
Cho ba điểm A(0; 2; 1), B(3; 0; 1), C(1; 0; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
(A) 2x – 3y – 4z + 2 = 0
(B) 2x + 3y – 4z – 2 = 0
(C) 4x + 6y – 8z + 2 = 0
(D) 2x – 3y – 4z + 1 = 0
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x+y+2z-3=0\) và hai điểm A (2;1;3); B (6; -7;8) . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \((2+1+2.3-3) (6-7+2.8-3 )>0\)nên A, B nằm cùng một phía đối với (P)
Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P) là: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t\\ y=1+t\\ z=3+2t \end{matrix}\right.\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên \((P) \Rightarrow H(2+t;1+t;3+2t)\)
Vì \(H\in (P)(2+t)+(1+t)+2(3+2t)-3=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow H(1;0;1)\)
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua \((P)=A_1(0;-1;-1)\). Phương trình đường thẳng A1B là: \(\left\{\begin{matrix} x=2s\\ y=1-2s\\ z=-1+2s \end{matrix}\right.\).Gọi M1 là giao điểm của A1B và (P)
Suy ra: M1 (2;- 3;2)
Ta có: \(MA+MB=MA1+MB\geq A_{1} B\)
Do đó: \((MA+MB)_{min}= A _{1}B \Leftrightarrow M=M_{1}\)
Vậy \(M (2;-3;2)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P): 2x-y-3z+1=0\) và điểm \(I(3;-5;-2)\). Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng \((P): 2x-y-3z+1=0\) và điểm \(I(3;-5;-2)\). Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu trả lời của bạn
+ Bán kính mặt cầu \(R=d(I;(P))=\frac{2.3-(-5)-3(-2)+1}{\sqrt{2^3+1^2+3^2}}=\frac{18}{\sqrt{14}}\)
+ Phương trình mặt cầu: \((x-3)^2+(y+5)^2+(z+2)^2=\frac{162}{7}\)
+ Tiếp tuyến chính là hình chiếu vuông góc H của I xuống mặt phẳng (P) đã cho
+ Đường thẳng IH qua I và nhận VTPT \(\vec{n}=(2;-1;-3)\) của mặt phẳng (P) làm VTCP có phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=-5-t\\ z=-2-3t \end{matrix}\right.\)
+ Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=-5-t\\ z=-2-3t\\ 2x-y-3z+1=0 \end{matrix}\right.\)
+ Hệ này có nghiệm \(t=-\frac{9}{7}, x=\frac{3}{7}, y=-\frac{26}{7}, z=\frac{13}{7}\)
+ Do đó tiếp điểm H có tọa độ là \(H(\frac{3}{7}; -\frac{26}{7};\frac{13}{7})\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1;-2;3), N(- 1;0;1) và mặt phẳng (P): x + y + z + 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng \(\frac{MN}{6}\), tâm nằm trên đường thẳng MN và (S) tiếp xúc với (P).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overline{MN}=(-2;2;-2)\) nên phương trình đường thẳng MN là \(\left\{\begin{matrix} x=1-t\\ y=-2+t\\ z=3-t \end{matrix}\right. \ \(t\in R )\)
Mặt cầu (S) có bán kính \(R=\frac{MN}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) có tâm \(I\in MN\Rightarrow I(1-t;-2+t;3-t)\)
(S) tiếp xúc với (P) nên \(d(I;(P))=R\Leftrightarrow \frac{\left | 1-t-2+t+3-t+4 \right |}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=7\\ t=5 \end{matrix}\)
Với \(t = 7 \Rightarrow I(-6;5;-4)\), phương trình \((S): (x+6)^2+(y-5)^2+(z+4)^2=\frac{1}{3}\)
Với \(t = 5 \Rightarrow I(-4;3;-2)\), phương trình \((S): (x+4)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=\frac{1}{3}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ 2y – 5z – 3 = 0 và 2 điểm A(2;1;1), B(3;2;2). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\small \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}=(1;1;1)\\ \vec{n_P}=(1;2;-5) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_P} \right ]=(-7;6;1)\)
Mp (Q) qua A, B và vuông góc (P) nên nhận \(\small \vec{n}\) = (-7;6;1) làm véc tơ pháp tuyến.
Pt mp (Q): - 7(x-2) + 6(y -1) + (z-1) = 0
Vậy phương trình tổng quát của mp (Q) 7x – 6y – z – 7 = 0
Trong không gian Oxyz cho các điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng AB.
Câu trả lời của bạn
\(\overrightarrow{AB}=(-6;3;3)\) nên AB có VTCP là \(\overrightarrow{u}=(-2;1;1).\) Suy ra phương trình của AB là \(\left\{\begin{matrix} x=-2t\\ y=1+t \\ z=6+t \end{matrix}\right.\; (t\in R).\)\(\left\{\begin{matrix} x=-2t\\ y=1+t \\ z=6+t \end{matrix}\right.\; \; (t\in R).\)
Gọi \(H(-2t; 1 + t; 6 + t)\in AB\) là hình chiếu của điểm C trên AB. Suy ra
\(\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow (-2t-2).(-2)+(1+t).1+(6+t+1).1=0\Leftrightarrow t=-2\)
Từ đó suy ra \(H(4;-1;4)\Rightarrow CH=\sqrt{(4-2)^{2}+(-1-0)^{2}+(4+1)^{2}}=\sqrt{30}.\)
Do đó mặt cầu (S) có phương trình \((x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=30.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 8 = 0 và điểm A(2; 2; 3). Viết phương trình mặt cầu (S), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có tâm thuộc trục hoành.
Câu trả lời của bạn
Gọi tâm mặt cầu (S) là I(x; 0; 0). Mặt cầu (S) đi qua điểm A(2; 2; 3) tiếp xúc với (P) nên ta có \(IA=d(I,(P))\Leftrightarrow \sqrt{(2-x)^{2}+4+9}=\frac{\left | 2x+8 \right |}{\sqrt{4+9+1}}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(2-x)^{2}+13}=\frac{\left | 2x+8 \right |}{\sqrt{14}}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{14}.\sqrt{(2-x)^{2}+13}=\left | 2x+8 \right |\Leftrightarrow 14((2-x)^{2}+13)=(2x+8)^{2}\)
\(\Leftrightarrow 14(x^{2}-4x+17)=4x^{2}+32x+64\Leftrightarrow 10x^{2}-88x+174=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=3\\x=\frac{29}{5} \end{matrix}\)
Với \(x=3\Rightarrow I(3;0;0)\Rightarrow IA=\sqrt{14}\Rightarrow\) Phương trình mặt cầu (S) là \((x-3)^{2}+y^{2}+z^{2}=14\)
Với \(x=\frac{29}{5}\Rightarrow I(\frac{29}{5};0;0)\Rightarrow IA=\frac{\sqrt{686}}{5}\Rightarrow\) Phương trình mặt cầu (S) là \((x-\frac{29}{5})^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{686}{25}\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 0), B(2; 0; -1) và mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C trên (P) sao cho mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và tam giác ABC có diện tích bằng \(\sqrt{14}.\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(C(a;b;c);\overrightarrow{n_{p}}=(2;1;1)\) là 1 vtcp của (P)
Do \(C\in (P)\Leftrightarrow 2a+b+c+1=0\; (1)\)
Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;1;-1);\overrightarrow{AC}=(a-1;b+1;1+c)\)
\(\Rightarrow [\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]=(c+b+1;1-a-c;b-a+2)\)
\(\Rightarrow mp\; (ABC)\) nhận \(\overrightarrow{n}=(c+b+1;1-a-c;b-a+2)\) là 1 vtpt
Vì \((ABC) \perp (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{p}}=0\Leftrightarrow -2a+3b+c+5=0\; (2)\)
Mà \(S_{ABC}=\frac{1}{2}[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]|\)
\(\Rightarrow \sqrt{(c+b+1)^{2}+(1-a-c)^{2}+(b-a+2)^{2}}=2\sqrt{14}\; (3)\)
Từ (1), (2) ta có \(\left\{\begin{matrix} b=2a-2\\ c=1-4a \end{matrix}\right.\)
Thay vào (3) ta được
\((-2a)^{2}+(3a)^{2}+a^{2}=4.14\Leftrightarrow a^{2}=4\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} a=2\Rightarrow b=2;c=-7\\ a=-2\Rightarrow b=-6;c=9 \end{matrix}\)
Vậy tọa độ điểm C thỏa mãn đề bài là C(2; 2; -7); C(-2; -6; 9)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3; 6; 7) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z - 11 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).
Câu trả lời của bạn
Mặt cầu (S) có tâm I có bán kính \(R=d(I,(P))=\frac{\left | 3+12+14-11 \right |}{3}=6\)
Phương trình mặt cầu (S): \((x-3)^{2}+(y-6)^{2}+(z-7)^{2}=36\)
Đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=3+t\\ y=6+2t \\ z=7+2t \end{matrix}\right.\; (t \in R)\)
Giả sử \(M=(d)\cap (P)\Rightarrow (3+t)+(12+4t)+(14+4t)-11=0\Leftrightarrow 9t+18=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow M(1;2;3)\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x-y+2z+4=0\) và mặt cầu (S): \(x^2+y^2+z^2+2x-6y+4z=11\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu trả lời của bạn
Mặt cầu (S) có tâm I(1;3;-2) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P) có một véc tơ pháp tuyến là \(\vec{n_P}=(1;-1;2)\)
Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: \(x-y+2z+D=0\)
Mặt phẳng (Q) tiếp xúc mặt cầu (S) khi và chỉ khi \(d(I,(Q))=R\Leftrightarrow \frac{\left | 1-3+2(-2)+d \right |}{\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}}=5\)
\(\Leftrightarrow \left | D-6 \right |=5\sqrt{6}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} D=6+5\sqrt{6}\\ D=6-5\sqrt{6} \end{matrix}\)
Vậy có hai mặt phẳng (Q) thỏa mãn đầu bài là
\((Q_1): x-y+2z+6+5\sqrt{6}=0;(Q_2): x-y+2z+6-5\sqrt{6}=0;\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 3; 1) và đường thẳng d:
\(\left\{\begin{matrix} x=-2+t\\ y=1+2t \\ z=-1-2t \end{matrix}\right..\) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; -1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(1;2;-2),\overrightarrow{MA}=(4;2;2)\)
mp (P) đi qua A và chứa d nhận \(\overrightarrow{n}=\left [ \overrightarrow{a},\overrightarrow{MA} \right ]=(8;-10;-6)\) làm vectơ pháp tuyến
\(\Rightarrow (P):4x-5y-3z+10=0\)
Gọi H là hình chiếu của A trên d \(\Rightarrow H(-2+t;1+2t;-1-2t),\)
\(\overrightarrow{AH}=(-4+t;-2+2t;-2-2t);\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{a}\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{a}=0\Leftrightarrow t=\frac{4}{9}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(-\frac{32}{9};-\frac{10}{9};-\frac{26}{9})\)
Mặt cấu (S) tâm A có bán kính \(R=AH=\frac{10\sqrt{2}}{3}.\) Vậy \((S):(x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(z-5)^{2}=\frac{200}{9}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):x+y+z-1=0\) và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2). Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho \(\left | MA -MB \right |\) đạt giá trị lớn nhất.
Câu trả lời của bạn
Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).
Gọi B'(x;y;z) là điểm đối xứng với B(5; -1; -2)
Suy ra B'(-1; -3;4)
Lại có \(\left | MA-MB \right |=\left | MA-MB' \right |\leq AB'=const\)
Vậy \(\left | MA-MB \right |\) đạt giá trị lớn nhất khi M, A, B' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng (P)
AB' có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=-3 \ \ \\ z=-2t \ \ \end{matrix}\right.\)
Tọa độ M (x; y; z) là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=-3\\ z=-2t\\ x+y+z-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=-3\\ x=-2\\ y=-3\\ z=6 \end{matrix}\right.\)
Vậy điểm M (-2;-3;6)
Cứu với mọi người!
Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho các điểm M (1; 2;0), N(3;4;2) và mặt phẳng \((P):2x+2y+z-7=0\). Viết phương trình đường thẳng MN và tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{MN}=(-4;6;2)\) hay \(\vec{u}=(-2;3;1)\)
Phương trình đường thẳng MN: \(\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{1}\) (có thể viết dưới dạng pt tham số)
Trung điểm của đoạn thẳng MN là I(-1;1;1)
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:
\(d(I,(P))=\frac{\left | -2+2+1-7 \right |}{\sqrt{4+4+1}}=2\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{-2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-1}{-1}\) và mặt phẳng \((P):x+y+z+-6=0\). Tìm tọa độ giao điểm A của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA vuông góc với ∆ và khoảng cách từ M đến ∆ bằng \(4\sqrt{14}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(A\in \Delta\) nên tọa độ của A có dạng \(A(-2t;3+t;1-t)\)
\(A\in (P)\) nên \((-2t)+(3+t)+(1-t)-6=0\), nghĩa là t = −1.
Suy ra A(2;2;2)
Ta có \(\vec{n}=(1;1;1)\) là vectơ pháp tuyến của (P) và \(\vec{u}=(-2;1;-1)\) là vectơ chỉ phương của ∆.
Do đó \(\vec{a}=\left | \vec{u},\vec{n} \right |=(2;1;-3)\) là vectơ chỉ phương của MA.
Mà \(A\in MA\), nên MA có phương trình \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{-3}\)
Do đó \(M(2+2m;2+m;2-3m)\)
Ta có MA = d(M, ∆) = \(4\sqrt{14}\), nên \((2m)^2+m^2+(-3m)^2=224\Leftrightarrow m=Im4\)
Suy ra M(10;6;-10) hoặc M(-6;-2;14)
Cứu với mọi người!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{3}\) và mặt phẳng \((P):x+2y-2z+3=0\). Viết phương trình của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với d. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2.
Câu trả lời của bạn
Vectơ chỉ phương của d là \(\vec{u}=(1;2;3)\)
Mặt phẳng qua O và vuông góc với d có phương trình \(x+2y+3z=0\)
\(M\in d\) suy ra \(M(t;-1+2t;-2+3t)\)
\(d(M,(P))=2\Leftrightarrow \frac{\left |t+2(-1+2t)+3(-2+3t)+3 \right |}{3}=2\Leftrightarrow\bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=11 \end{matrix}\)
Do đó \(M(-1;-3;-5)\) hoặc M(11;21;31)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) và tìm tọa độ các giao điểm của mặt cầu đó với trục Ox.
Câu trả lời của bạn
a.
+) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính
\(R=d(A,(P))=\frac{\left | 4-1+2+1 \right |}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=2\)
+) Phương trình mặt cầu là: \((x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4\)
b.
+) Tọa độ giao điểm của mặt cầu và trục Ox là nghiệm của hệ pt:
\(\left\{\begin{matrix} (x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4\\ y=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ z=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=2+\sqrt{2}\\ x=2-\sqrt{2} \end{matrix}\)
+) Các giao điểm: \(M(2+\sqrt{2};0;0), N(2-\sqrt{2};0;0)\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;3;0) và B(1;2;1). Tìm tọa đọ điểm M trên trục hoành sao cho tam giác ABM có diện tích bằng \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Do M thuộc trục hoành nên M có tọa độ dạng M(m;0;0)
Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1),\overrightarrow{AM}=(m-2;-3;0)\)
Tìm được \(\left [ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB} \right ]=(-3;-m+2;-m-1)\)
\(S=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB} \right ] \right |=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \left | \left [ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB} \right ] \right |=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow 2m^2-2m+14=18\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=2\\ m=-1 \end{matrix}\)
Vậy M cần tìm là M(2;0;0) hoặc M(-1;0;0)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A B C (0;1;2), (2; -2;1), ( -2;0;1) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.
Câu trả lời của bạn
* Ta có mặt cầu (S) có tọa độ tâm là A( 0; 1; 2), bán kính \(R=d(A;(P))=\frac{1}{3}\)
Vì vậy (S) có phương trình: \(x^2+(y-1)^2+(z-2)^2=\frac{1}{9}\)
* Đặt M(x; y; z). Khi đó theo giả thiết ta có:
\(\left\{\begin{matrix} MA=MB=MC\\ M\in (P) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} MA=MB\\ MB=MC\\ 2x+2y+z-3=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-3y-z=2\\ 2x-y=1\\ 2x+2y+z=3 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=3\\ z=-7 \end{matrix}\right.\)
Vậy M(2;3;-7)
Cứu với mọi người!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; -1; 0) và mặt phẳng (P): x - 2y + z + 2 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua A và có tâm I là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Phương trình đường thẳng d \(\left\{\begin{matrix} x=2+t\\ y=-1-2t\\ z=t \end{matrix}\right.\)
Do \(I\in d\Rightarrow I(2+t;-1-2t;t)\)
I thuộc (P) nên \((2+t)-2(-1-2t)+t+2=0\Leftrightarrow t=-1\). Vậy I(1;1;-1).
Mặt cầu (S) có bán kính R = IA = \(\sqrt{6}\) có phương trình \((x-1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=6\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 3;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x - y + 2z - 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu trả lời của bạn
\(R=d(A,P)=\frac{\left | 2-3-4-1 \right |}{3}=2\)
\((S):(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=4\)
Gọi H là tiếp điểm, ta có AH đi qua A(1; 3; -2), có véc tơ chỉ phương \(\bar{u}\) = (2;-1;2)
\(AH:\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=3-t\\ z=-2+2t \end{matrix}\right.\Rightarrow H(1+2t;3-t;-2+2t)\)
\(H\in (P)\Rightarrow 2(1+2t)-(3-t)+2(-2+2t)-1=0\)
\(\Leftrightarrow 9t-6=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}\Rightarrow H\left ( \frac{7}{3};\frac{7}{3};-\frac{2}{3} \right )\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; -2; 3) và mặt phẳng \((P): 2x - y - 2z - 1 = 0\). Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với (P) và tìm tọa độ tiếp điểm của (P) với (S).
Câu trả lời của bạn
Gọi R là bán kính của (S). Ta có \(R = d(I;(P)) = \frac{\left | 2+2-6-1 \right |}{3} = 1\)
\((S): (x - 1)^2+ (y + 2)^2+ (z - 3)^2= 1\)
(P) có VTPT \(\overrightarrow{n} = (2;-1;-2)\)
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)
\(d: \left\{\begin{matrix} qua\ I(1;-2;3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ VTCP\ \overrightarrow{n} = (2;-1;-2) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1+2t\\ y = -2-t\\ x = 3-2t \end{matrix}\right.\)
Gọi \(H = (P) \cap (S)\). Ta có H thuộc d suy ra H(1 + 2t; -2 - t; 3 - 2t)
H thuộc (P) suy ra \(2(1 + 2t) - (-2 - t) - 2(3 - 2t) - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\)
Ta được \(H\left (\frac{5}{3};-\frac{7}{3};\frac{7}{3} \right )\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *