Cùng điểm lại nội dung chương Phương pháp tọa độ trong không gian bằng sơ đồ tư duy sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức, ghi nhớ dễ dàng những nội dung trọng tâm. Bên cạnh đó là những bài tập tổng hợp nâng cao sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng làm bài tập và từng bước chinh phục được bài toán khó.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(0;-3;-1) và B(-4;1;-3) và mặt phẳng \((P):x-2y+2z-7=0\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ, song song với AB và vuông góc với (P).
b) Lập phương trình mặt cầu nhận đoạn thẳng AB là đường kính.
a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-4;4;-2),\vec{n}=(1;-2;2)\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
\(\left [ \overrightarrow{AB};\vec{n} \right ]=(4;6;4)\)
(Q) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0;0), (Q) song song với AB và vuông góc với mặt phẳng (P) suy ra mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\vec n} \right] = (2;3;2)\) làm véctơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \(2x+3y+2z=0.\)
b. \(\overrightarrow{AB}=(-4;4;-2)\Rightarrow AB=\sqrt{16+16+4}=6\)
Trung điểm AB là I(-2;-1;-2).
Mặt cầu (S) có tâm I, bán kính \(R=\frac{AB}{2}=3\Rightarrow (S):(x+2)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=9\).
Cho mặt cầu \((S): x^2+y^2+z^2-2x+6y+4z-22=0\) và \((\alpha ):x+2y-2z-8=0\). CRM: \((\alpha )\) cắt (S) theo một đường tròn. Xác định tâm, bán kính đường tròn đó.
Nhận xét:
Tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(I;R) và \((\alpha )\) là hình chiếu của I trên \((\alpha )\) với \(r^2+d^2(I;(\alpha ))=R^2\).
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;-2), bán kính R = 6.
\(d(I;(\alpha ))=\frac{\left | 1-6+4-8 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{9}{3}=3\) Vậy \((\alpha )\) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn.
Ta có H là hình chiếu của I trên \((\alpha )\).
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua I và vuông góc với \((\alpha )\), tức là nhận \(\vec{n_\alpha }=(1;2;-2)\) làm một VTCP có phương trình là:
\(\Delta \left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=-3+2t\\ z=-2-2t \end{matrix}\right.\)
\(H =\Delta \cap (\alpha )\)
\(H\in \Delta \Rightarrow H(1+t;-3+2t;-2-2t)\)
\(H\in (\alpha ) \Rightarrow 1+t+2(-3+2t)-2(-2-2t)-8=0\)
\(\Leftrightarrow 9t-9=0\Leftrightarrow t=1\)
Suy ra tọa độ H(2;-1;-4).
Bán kính đường trình giao tuyến: \(r^2=R^2-IH^2=36-9=27.\)
Vậy \(r=3\sqrt{3}.\)
Cho đường thẳng \(d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}\) và \((P):3x+5y-z-2=0\)
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P).
b) Viết phương trình (Q) đi qua M0(1;2;-1) và vuông góc với d.
c) Tìm tọa độ B' đối xứng với B(1;0;-1) qua (P).
a) \(A=d\cap (P)\)
\(A\in d\left\{\begin{matrix} x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t \end{matrix}\right. \Rightarrow A(12+4t;9+3t;1+t)\)
\(A\in (P)\) nên \(3(12+4t)+5(9+3t)-(1+t)-2=0\)
\(\Leftrightarrow 26t +78t=0\Leftrightarrow t=-3\)
Vậy tọa độ là A(0;0;-2).
b) \((Q)\perp d\) nên (Q) nhận \(\vec{u_d}=(4;3;1)\) làm một VTPT.
Phương trình mặt phẳng (Q) là \((Q):4(x-1)+3(y-2)+1(z+1)=0\) hay \(4x+3y+z-9=0.\)
c) Viết phương trình \(\Delta\) đi qua B và vuông góc (P)
\(\Delta\) \(\perp\) (P) nên \(\Delta\) nhận \(\vec{n_P}=(3;5;-1)\) làm một VTCP.
Phương trình tham số của \(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=5t\\ z=-1-t \end{matrix}\right.\)
H là hình chiếu của B trên (P)
\(H=\Delta \cap (P)\)
\(H\in \Delta \Rightarrow H(1+3t;5t;-1-t)\)
\(H\in(P)\) nên \(3(1+3t)+25t+1+t-2=0\)
\(\Leftrightarrow 35t+2=0\)
\(\Leftrightarrow t=-\frac{2}{35}\)
\(H\left ( \frac{29}{35};-\frac{2}{7};-\frac{33}{35} \right )\)
H là trung điểm BB' nên: \(\left\{\begin{matrix} x_{B'}=2x_H-x_B=\frac{23}{35}\\ \\ y_{B'}=2y_H-y_B=-\frac{4}{7}\\ \\ z_{B'}=2z_H-z_B=\frac{2}{35} \end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ \(B' \left ( \frac{23}{35};-\frac{4}{7};\frac{2}{35} \right ).\)
Cùng điểm lại nội dung chương Phương pháp tọa độ trong không gian bằng sơ đồ tư duy sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức, ghi nhớ dễ dàng những nội dung trọng tâm. Bên cạnh đó là những bài tập tổng hợp nâng cao sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng làm bài tập và từng bước chinh phục được bài toán khó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương III - Hình học 12để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right);B\left( {2;1; - 2} \right),C\left( {0;0;1} \right).\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của \(Q = x + y + z.\)
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0.\) Tìm giao điểm I của (d ) và (P).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương III - Hình học 12 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 13 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 14 trang 97 SGK Hình học 12
Bài tập 15 trang 97 SGK Hình học 12
Bài tập 3.46 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.47 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.48 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.49 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.50 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.51 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.52 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.53 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.54 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.56 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.57 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.58 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.59 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.60 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.61 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.62 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.63 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.64 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.65 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.66 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.67 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.68 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.69 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.70 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.71 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 27 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 28 trang 120 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 29 trang 120 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 30 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 31 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 32 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 33 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 34 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 35 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 36 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 37 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 38 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 39 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 40 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 41 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 42 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right);B\left( {2;1; - 2} \right),C\left( {0;0;1} \right).\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của \(Q = x + y + z.\)
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0.\) Tìm giao điểm I của (d ) và (P).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\) song song với mặt phẳng (P): \(x + y - z + m = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 16 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{z}{2}.\) Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( \Delta \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Tìm hình chiếu vuông góc của \(\left( \Delta \right)\) trên mặt phẳng (Oxy).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( { - 2;1;0} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}.\) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa đường thẳng \(\Delta\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1;0;2} \right).\) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;1} \right),C\left( { - 2;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;3;-2) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4.
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
b) Lập phương trình của mặt cầu (S).
c) Lập phương trình của mặt phẳng (\(\alpha\)) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.
Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa AB và song song với CD.
Lập phương trình tham số của đường thẳng:
a) Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(2;-1;0)
b) Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng \(\Delta\) có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=-2+2t\\ y=3-4t\\ z=-5t \end{matrix}\right.\)
Cho mặt cầu (S) có phương trình (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 và mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mp \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).
Cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 3x + 5y - z - 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\)
a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Cho điểm A(-1;2;-3), vecto \(\vec{a}=(6;-2;-3)\) và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=-1+2t\\ z=3-5t \end{matrix}\right.\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa điểm A và vuông góc với \(\vec a.\)
b) Tìm giao điểm của d và (\(\alpha\)).
c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A, vuông góc với \(\vec{a}\) và cắt đường thẳng d.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu
\((S): x^2+y^2+z^2-10x+2y+26z+170=0\)
và song song với hai đường thẳng \(d:\left\{\begin{matrix} x=-5+2t\\ y=1-3t\\ z=-13+2t \end{matrix}\right.;d':\left\{\begin{matrix} x=-7+3t\\ y=-1-2t\\ z=8 \end{matrix}\right.\)
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 2z + 11 = 0.
Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng \((\alpha )\): x + 3y – z – 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua \((\alpha )\).
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng: \(d:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-4+t\\ z=3-t \end{matrix}\right.; d':\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=-3+t\\ z=4-5t \end{matrix}\right.\)
Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng có phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2t \end{matrix}\right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) \(\left | \vec{a} \right |=\sqrt{2}\)
(B) \(\left | \vec{c} \right |=\sqrt{3}\)
(C) \(\vec{a}\perp \vec{b}\)
(D) \(\vec{b}\perp \vec{c}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A) \(\vec{a}.\vec{c}=1\)
(B) \(\vec{a},\vec{b}\) cùng phương
(C) \(cos(\vec{b},\vec{c})=\frac{2}{\sqrt{6}}\)
(D) \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\)
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\)
Cho hình bình hành \(OADB\) có \(\overrightarrow {OA} \) = \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \) (\(O\) là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành \(OADB\) là:
(A) \((0 ; 1 ; 0)\)
(B) \((1 ; 0 ; 0)\)
(C) \((1 ; 0 ; 1)\)
(D) \((1 ; 1 ; 0)\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;
(B) Tam giác ABD là tam giác đều ;
(C) \(AB ⊥ CD\) ;
(D) Tam giác \(BCD\) là tam giác vuông.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Toạ độ điểm G là trung điểm của MN là:
(A) \(G\left ( \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right )\)
(B) \(G\left ( \frac{1}{4} ; \frac{1}{4}; \frac{1}{4}\right )\)
(C) \(G\left ( \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right )\)
(D) \(G\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(B) \(\sqrt{2}\)
(C) \(\sqrt{3}\)
(D) \(\frac{3}{4}\)
Cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(0;0;-1) và song song với giá của hai vecto \(\vec{a}=(1;-2;3)\) và \(\vec{b}=(3;0;5)\).
Phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
(A) 5x - 2y - 3z - 21 = 0
(B) -5x + 2y + 3z + 3 = 0
(C) 10x - 4y - 6z + 21 = 0
(D) 5x - 2y - 3z + 21 = 0
Cho ba điểm A(0; 2; 1), B(3; 0; 1), C(1; 0; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
(A) 2x – 3y – 4z + 2 = 0
(B) 2x + 3y – 4z – 2 = 0
(C) 4x + 6y – 8z + 2 = 0
(D) 2x – 3y – 4z + 1 = 0
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
1: Tìm tập hợp điểm M cach đều 3 điểm A(3;-2;4) , B(5;3;-2) ,C(0;4;2)
Câu trả lời của bạn
không gian với hệ tọa độ Oxyz, góc hợp bởi mp :√2x + y +z-5=0 và mặt phẳng (Oxy) là?
Câu trả lời của bạn
cho (P) đi qua M(9,1,1) cắt các tia ox, oy, oz tại A,B,C (k trùng với gốc tọa độ). thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là?
Câu trả lời của bạn
Trong không gian 0xyz cho A(-2;1;1),B(3;-1;2) . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và đi qua B
Câu trả lời của bạn
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) và a,b,c >0 sao cho 1/a+2/b+3/c=7. Biết mp ABC tiếp xúc mặt cầu
(x-1)2 + (y-2)2+(y-3)2 =72/7. Thể tích khối tứ diện oabc là
Câu trả lời của bạn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): (m2+m+1)x+2(m2-1)y+2(m+2)z+m2+m+1=0 luôn chứa đường thẳng d cố định khi m thay đổi. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
Câu trả lời của bạn
trông không gian Oxyz cho A(-2;4;1) , B(2;0;3),C(0;2;-1) và mặt phẳng (P) : x+y-z+2=0 . Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A,B,C VÀ CÓ TÂM THUỘC (P)
Câu trả lời của bạn
trong không gian Oxyz cho I(-2;1;30 và mặt phẳng (P) : 2x+ 2y-z+3 =0 viết phương trình mặt cầu tâm (S) tâm I và tiếp xúc với (P)
Câu trả lời của bạn
trong không gian Oxyz cho I(-2;1;3) và mặt phẳng (P) : 2x+ 2y-z+3 =0 viết phương trình mặt cầu tâm (S) tâm I và tiếp xúc với (P)
đề em ghi sai 1 đoạn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;-2;1), B(2;1;3) và mặt phẳng \((P): x-y+2z-3=0.\) Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow{AB} = (1;3;2)\)
Đường thẳng AB có phương trình \(\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{3}\)
Gọi M là giao điểm của AB và (P). Do M thuộc AB nên \(M(1+t;-2+3t;1+3t)\)
M thuộc (P) nên \(1+t-(-2+3t)+2(1+2t)-3=0\), suy ra \(t=-1\). Do đó M (0;-5;-1)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;2;3), B(1;0;2), C(- 2;3;4), D(4;-3;3). Lập phương trình mặt phẳng (BCD). Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (BCD).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow{BC}=(-3;3;2),\overrightarrow{BD}=(3;-3;1)\)
Mp(BCD) đi qua B(1;0;2) và có vtpt \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]=(9;9;0)\). Chọn \(\vec{n}=(1;1;0)\)
Phương trình (BCD): \(1(x-1)+1(y-0)+0(z-2)=0\Leftrightarrow x+y-1=0\)
Đường thẳng AB cắt (BCD) tại B(1;0;2). Ta đi tìm hình chiếu A’ của A lên (BCD).
Đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với (BCD) có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=3+t\\ y=2+t\\ z=3 \end{matrix}\right.(t\in R)\)
\(A'=\Delta \cap (BCD)\Rightarrow (3+t)+(2+t)-1=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow A'(1;0;3)\)
Hình chiếu vuông góc của AB đi qua B, A’ nên có vtcp \(\vec{u}=\overrightarrow{BA}=(0;0;1)\)
Phương trình\(BA'\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=0\\ y=2+t \end{matrix}\right.(t\in R)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3;0;4), B(1;0;0). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB và tìm điểm M trên tia Oy sao cho \(MA=MB\sqrt{13}\).
Câu trả lời của bạn
+ Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB và I là trung điển của AB
Ta có \(I(-1;0;2), AB = 4\sqrt{2}\)
Khi đó mặt cầu (S) có tâm I và bán kính \(R=\frac{AB}{2}=2\sqrt{2}\) nên có phương trình
\((x+1)^2+y^2+(z-2)^2=8\)
\(+\ M \in Oy \Rightarrow M(0;t;0)\)
Khi đó
\(MA=MB\sqrt{13}\Leftrightarrow \sqrt{(-3)^2+(-t)^2+4^2}=\sqrt{1^2+(-t^2)+0^2}.\sqrt{13}\)
\(\Leftrightarrow 25+t^2=13(1+t^2)\Leftrightarrow t=\pm 1\)
Với \(t = 1 \Rightarrow M(0;1;0)\)
\(t = -1 \Rightarrow M(0;-1;0)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z + 1 = 0\) và mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y + 6z + 13 =0\). Chứng minh rằng mặt phẳng (P) có điểm chung với mặt cầu (S). Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
Câu trả lời của bạn
Phương trình mặt cầu (S): \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9\)
Tâm và bán kính của (S) lần lượt là I(2; -3; -3) và R = 3.
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P):\(h=\frac{\left | 2+6-6+1 \right |}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=1< R=3\), nên mp (P) có điểm chung với mặt cầu (S)
Gọi r, H lần lượt là bán kính và tâm của đường tròn là giao giữa S và (P). Ta có \(r=\sqrt{R^2-h^2}=2\sqrt{2}\)
Phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P): \(\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z+3}{2}\)
H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z+3}{2}\\ x-2y+2z+1=0 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ trên ta được \(H (\frac{5}{3}; \frac{7}{3};\frac{11}{3})\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;-3) và mặt phẳng (P) có phương trình \(2x + 2y - z + 9 = 0\). Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) . Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) .
Câu trả lời của bạn
Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d có vecto chỉ phương là \(\vec{u}=(2;2;-1)\). . Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm \(A(1;2;-3)\) và có vecto chỉ phương là \(\vec{u}=(2;2;-1)\)
\(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+2t\\ z=-3-t \end{matrix}\right. (t\in R)\)
Gọi H là tọa độ giao điểm với d và mặt phẳng (P) . Vì A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của AA'.
\(H\in d\) nên \((1+2t;2+2t;-3-t)\) từ đó do \(H\in (P)\)
\(2(1+2t)+2(2+2t)-3(3-t)+9=0\Leftrightarrow t=-2, H(-3;-2;-1)\)
Vậy suy ra tọa độ điểm \(A'(-7;-6;1)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số x = 1 + t, y = 2, z = 3 – t và điểm A(-1;2;-1).
a) Tìm tọa độ của điểm I là hình chiếu của A lên ∆.
b) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi ABCD biết diện tích của hình thoi bằng 12 và B,D thuộc đường thẳng ∆.
Câu trả lời của bạn
a) Ta có
\(\small I(1+t;2;3-t), \overrightarrow{IA}\perp \overrightarrow{u_\Delta }(1;0;-1)\Rightarrow t=1\Rightarrow I(2;2;2)\)
b) I là trung điểm của AC nên C (5;2;5)
\(\small S_{ABCD}=AI.BD, AI = 3\sqrt{2}\Rightarrow BI=\sqrt{2}.B(1+t;2;3-t)\)
\(\small \Rightarrow t=2, t=0\Rightarrow B(3;2;1)\) và D (1;2;3) và B(1;2;3)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (3;2;1) B \((-\frac{7}{3};-\frac{10}{3};\frac{11}{3})\) và mặt cầu (S): \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 4\). Chứng minh rằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu (S). Xác định tọa độ của tiếp điểm.
Câu trả lời của bạn
:hu-34+sin
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), R = 2.
Phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB đi qua \(M(\frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3})\) , có vtpt:
Ta có: d(I;(P)) = 2 = R nên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu (S) (đpcm)
Phương trình đường thẳng d đi qua I nhận véc tơ \(\overrightarrow{n_{(P)}}=(2;2;-1)\) làm vt chỉ phương là:
\(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+2t\\ z=3-t \end{matrix}\right.\)
d∩(P) = {H} \(\Rightarrow\) Hệ PT: \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+2t\\ z=3-t\\ 2x+2y-z+3=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow H(-\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{11}{3})\)
Vậy tọa độ tiếp điểm là \(H(-\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{11}{3})\)
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 1 = 0, điểm A(1;2;-3) và đường thẳng d: \(\frac{x-3}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-2}\). Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với (d); lập phương trình đường thẳng (∆) qua A vuông góc (d) và song song (P).
Câu trả lời của bạn
(Q) vuông góc với (d) \(\Rightarrow\) (Q) nhận véc tơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow{a_d}=(1;2;-2)\) làm véc tơ pháp tuyến.
(Q) qua A \(\Rightarrow (Q): 1(x-1)+2(y-2)-2(z+3)=0\Leftrightarrow (Q):\ x+2y-2z-11=0\)
Ta có: (d) có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{n_P}=(2;1;-2)\)
(\(\Delta\)) vuông góc (d) và song song (P) \(\Rightarrow\) (\(\Delta\)) có véc tơ chỉ phương là:
\(\overrightarrow{a_\Delta }=\left [ \overrightarrow{a_d};\overrightarrow{a_P} \right ]=(-2;-2;-3)\)
Vậy \((\Delta ): \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{x+3}{3}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;2;3), B(1;-4;5) và mặt phẳng (P): 2x – y – z – 13 = 0. Tìm điểm M ở trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và mặt phẳng (MAB) vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Vì M cách đều A, B nên M nằm trên mặt phẳng trung trực (Q) của AB.
Phương trình mặt phẳng (Q):
\(\small \overrightarrow{AB}=(0;6;-2)\)
Tọa độ trung điểm I của AB: I(1;-1;4)
(Q): 3y – z + 7 = 0
Vì mặt phẳng (MAB) vuông góc với mặt phẳng (P) nên M trên mặt phẳng (R) chứa AB và vuông góc với (P).
Phương trình mặt phẳng (R):
(R): 2x + y + 3z – 13 = 0
Điểm M cần tìm là giao điểm của hệ phương trình:
\(\small \left\{\begin{matrix} 2x-y-z-13=0\\ 2y-z+7=0\\ 2x+y+3z-13=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=6\\ y=-2\\ z=1 \end{matrix}\right.\)
Tọa độ điểm M(6;-2;1)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;-5), B(2;4;3), C(1;5;2).
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC
2) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Q): 2x – y + z – 6 = 0. Với I là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng BC.
Câu trả lời của bạn
+ Tính \(\overrightarrow{BC}(-1;1;-1)\)
+ Phương trình (P) đi qua A và có VTPT \(\overrightarrow{BC}(-1;1;-1)\) có phương trình là: x – y + z + 5 = 0
+ PT \((BC)\left\{\begin{matrix} x=1-t\\ y=5+t,t\in R\\ z=2-t \end{matrix}\right.\)
+Gọi H = (BC) ∩ (P). Suy ra tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=1-t\\ y=5+t\\ z=2-t\\ x-y+z+5=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=1\\ x=0\\ y=6\\ z=1 \end{matrix}\right.\)
Vậy H(0;6;1). Do I đối xứng với A qua BC nên H là trung điểm của AI. Suy ra I (-1;11;7)
+ Gọi (S) là mặt cầu tâm I và tiếp xúc với (Q). Suy ra bán kính mặt cầu là \(R=d(I;(Q))=2\sqrt{6}\)
\((S): (x+1)^2+(y-11)^2+(z-7)^2=24\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y - z + 6 =0. Viết phương trình mặt cầu có tâm K(0; 1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
* Bán kính mặt cầu \(R = d(K;(P)) = \frac{5}{\sqrt{6}}\)
Phương trình mặt cầu là \(x^2+(y-1)^2+(z-2)^2=\frac{25}{6}\)
* Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm; trục Oy có vectơ chỉ phương \(\vec{j}=(0;1;0)\)
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến \(\vec{n}=(2;1;-1)\)
Mặt phẳng (Q) có véc tơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n_Q}=\left [ \vec{n},\vec{j} \right ]=(1;0;2)\)
Mặt phẳng (Q) còn qua gốc tọa độ O nên có phương trình là \(x+2z=0\)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;-2; 2), B(-3;-2;0) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 3y – z + 2 = 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB
b) Gọi ∆ là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho đoạn thẳng OM nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
a)
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng \(AB \Rightarrow I(-2;-2;1)\)
Ta có \(\overline{AB}=(-2;0;-2)//\bar{n}=(1;0;1)\)
Vì mp(Q) là mp trung trực của đoạn AB nên nhận véc tơ \(\bar{n}=(1;0;1)\) là véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm I (- 2;-2;1).
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là x + z + 1 = 0
b)
Mp(P) có VTPT là \(\overrightarrow{n_1}=(1;3;-1)\)
Mp (Q) có VTPT là \(\overrightarrow{n_2}=(1;0;1)\)
Suy ra \(\overrightarrow{u}=\left [ \overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2} \right ]=(3;-2;-3)\) là VTCP của \(\Delta =(P)\cap (Q)\)
Lấy \(E(0;-1;-1)\in \Delta =(P)\cap (Q)\). Phương trình tham số \(\Delta\) là \(\left\{\begin{matrix} x=3t\\ y=-1-2t\\ z=-1-3t \end{matrix}\right.\)
Điểm \(M\in \Delta \Rightarrow M(3t;-1-2t;-1-3t)\)
Do đó \(OM=\left | \overline{OM} \right |=\sqrt{(3t)^2+(-1-2t)^2+(-1-3t^2)}=\sqrt{22t^2+10t+2}\)
Ta có \(22t^2+10t+2=(\sqrt{22}.t+\frac{5}{\sqrt{22}})^2+\frac{19}{22}\geq \frac{19}{22}\Rightarrow OM\geq \sqrt{\frac{19}{22}}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(t=-\frac{5}{22}\Rightarrow M(-\frac{15}{22};-\frac{6}{11};-\frac{7}{22})\)
Vậy \(M(-\frac{15}{22};-\frac{6}{11};-\frac{7}{22})\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *