Cùng điểm lại nội dung chương Phương pháp tọa độ trong không gian bằng sơ đồ tư duy sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức, ghi nhớ dễ dàng những nội dung trọng tâm. Bên cạnh đó là những bài tập tổng hợp nâng cao sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng làm bài tập và từng bước chinh phục được bài toán khó.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(0;-3;-1) và B(-4;1;-3) và mặt phẳng \((P):x-2y+2z-7=0\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ, song song với AB và vuông góc với (P).
b) Lập phương trình mặt cầu nhận đoạn thẳng AB là đường kính.
a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-4;4;-2),\vec{n}=(1;-2;2)\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
\(\left [ \overrightarrow{AB};\vec{n} \right ]=(4;6;4)\)
(Q) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0;0), (Q) song song với AB và vuông góc với mặt phẳng (P) suy ra mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\vec n} \right] = (2;3;2)\) làm véctơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \(2x+3y+2z=0.\)
b. \(\overrightarrow{AB}=(-4;4;-2)\Rightarrow AB=\sqrt{16+16+4}=6\)
Trung điểm AB là I(-2;-1;-2).
Mặt cầu (S) có tâm I, bán kính \(R=\frac{AB}{2}=3\Rightarrow (S):(x+2)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=9\).
Cho mặt cầu \((S): x^2+y^2+z^2-2x+6y+4z-22=0\) và \((\alpha ):x+2y-2z-8=0\). CRM: \((\alpha )\) cắt (S) theo một đường tròn. Xác định tâm, bán kính đường tròn đó.
Nhận xét:
Tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(I;R) và \((\alpha )\) là hình chiếu của I trên \((\alpha )\) với \(r^2+d^2(I;(\alpha ))=R^2\).
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;-2), bán kính R = 6.
\(d(I;(\alpha ))=\frac{\left | 1-6+4-8 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{9}{3}=3\) Vậy \((\alpha )\) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn.
Ta có H là hình chiếu của I trên \((\alpha )\).
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua I và vuông góc với \((\alpha )\), tức là nhận \(\vec{n_\alpha }=(1;2;-2)\) làm một VTCP có phương trình là:
\(\Delta \left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=-3+2t\\ z=-2-2t \end{matrix}\right.\)
\(H =\Delta \cap (\alpha )\)
\(H\in \Delta \Rightarrow H(1+t;-3+2t;-2-2t)\)
\(H\in (\alpha ) \Rightarrow 1+t+2(-3+2t)-2(-2-2t)-8=0\)
\(\Leftrightarrow 9t-9=0\Leftrightarrow t=1\)
Suy ra tọa độ H(2;-1;-4).
Bán kính đường trình giao tuyến: \(r^2=R^2-IH^2=36-9=27.\)
Vậy \(r=3\sqrt{3}.\)
Cho đường thẳng \(d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}\) và \((P):3x+5y-z-2=0\)
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P).
b) Viết phương trình (Q) đi qua M0(1;2;-1) và vuông góc với d.
c) Tìm tọa độ B' đối xứng với B(1;0;-1) qua (P).
a) \(A=d\cap (P)\)
\(A\in d\left\{\begin{matrix} x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t \end{matrix}\right. \Rightarrow A(12+4t;9+3t;1+t)\)
\(A\in (P)\) nên \(3(12+4t)+5(9+3t)-(1+t)-2=0\)
\(\Leftrightarrow 26t +78t=0\Leftrightarrow t=-3\)
Vậy tọa độ là A(0;0;-2).
b) \((Q)\perp d\) nên (Q) nhận \(\vec{u_d}=(4;3;1)\) làm một VTPT.
Phương trình mặt phẳng (Q) là \((Q):4(x-1)+3(y-2)+1(z+1)=0\) hay \(4x+3y+z-9=0.\)
c) Viết phương trình \(\Delta\) đi qua B và vuông góc (P)
\(\Delta\) \(\perp\) (P) nên \(\Delta\) nhận \(\vec{n_P}=(3;5;-1)\) làm một VTCP.
Phương trình tham số của \(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=5t\\ z=-1-t \end{matrix}\right.\)
H là hình chiếu của B trên (P)
\(H=\Delta \cap (P)\)
\(H\in \Delta \Rightarrow H(1+3t;5t;-1-t)\)
\(H\in(P)\) nên \(3(1+3t)+25t+1+t-2=0\)
\(\Leftrightarrow 35t+2=0\)
\(\Leftrightarrow t=-\frac{2}{35}\)
\(H\left ( \frac{29}{35};-\frac{2}{7};-\frac{33}{35} \right )\)
H là trung điểm BB' nên: \(\left\{\begin{matrix} x_{B'}=2x_H-x_B=\frac{23}{35}\\ \\ y_{B'}=2y_H-y_B=-\frac{4}{7}\\ \\ z_{B'}=2z_H-z_B=\frac{2}{35} \end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ \(B' \left ( \frac{23}{35};-\frac{4}{7};\frac{2}{35} \right ).\)
Cùng điểm lại nội dung chương Phương pháp tọa độ trong không gian bằng sơ đồ tư duy sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức, ghi nhớ dễ dàng những nội dung trọng tâm. Bên cạnh đó là những bài tập tổng hợp nâng cao sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng làm bài tập và từng bước chinh phục được bài toán khó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương III - Hình học 12để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right);B\left( {2;1; - 2} \right),C\left( {0;0;1} \right).\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của \(Q = x + y + z.\)
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0.\) Tìm giao điểm I của (d ) và (P).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương III - Hình học 12 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 92 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 93 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 94 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 95 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 13 trang 96 SGK Hình học 12
Bài tập 14 trang 97 SGK Hình học 12
Bài tập 15 trang 97 SGK Hình học 12
Bài tập 3.46 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.47 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.48 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.49 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.50 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.51 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.52 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.53 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.54 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.56 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.57 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.58 trang 132 SBT Hình học 12
Bài tập 3.59 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.60 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.61 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.62 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.63 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.64 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.65 trang 133 SBT Toán 12
Bài tập 3.66 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.67 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.68 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.69 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.70 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.71 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 114 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 115 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 116 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 117 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 118 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 27 trang 119 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 28 trang 120 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 29 trang 120 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 30 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 31 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 32 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 33 trang 121 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 34 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 35 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 36 trang 122 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 37 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 38 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 39 trang 123 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 40 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 41 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 42 trang 124 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right);B\left( {2;1; - 2} \right),C\left( {0;0;1} \right).\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính giá trị của \(Q = x + y + z.\)
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0.\) Tìm giao điểm I của (d ) và (P).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\) song song với mặt phẳng (P): \(x + y - z + m = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 16 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{z}{2}.\) Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( \Delta \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Tìm hình chiếu vuông góc của \(\left( \Delta \right)\) trên mặt phẳng (Oxy).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( { - 2;1;0} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}.\) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa đường thẳng \(\Delta\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1;0;2} \right).\) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;1} \right),C\left( { - 2;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;3;-2) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4.
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
b) Lập phương trình của mặt cầu (S).
c) Lập phương trình của mặt phẳng (\(\alpha\)) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.
Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa AB và song song với CD.
Lập phương trình tham số của đường thẳng:
a) Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(2;-1;0)
b) Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng \(\Delta\) có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=-2+2t\\ y=3-4t\\ z=-5t \end{matrix}\right.\)
Cho mặt cầu (S) có phương trình (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 và mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mp \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).
Cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 3x + 5y - z - 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\)
a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Cho điểm A(-1;2;-3), vecto \(\vec{a}=(6;-2;-3)\) và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=-1+2t\\ z=3-5t \end{matrix}\right.\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa điểm A và vuông góc với \(\vec a.\)
b) Tìm giao điểm của d và (\(\alpha\)).
c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A, vuông góc với \(\vec{a}\) và cắt đường thẳng d.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu
\((S): x^2+y^2+z^2-10x+2y+26z+170=0\)
và song song với hai đường thẳng \(d:\left\{\begin{matrix} x=-5+2t\\ y=1-3t\\ z=-13+2t \end{matrix}\right.;d':\left\{\begin{matrix} x=-7+3t\\ y=-1-2t\\ z=8 \end{matrix}\right.\)
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 2z + 11 = 0.
Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng \((\alpha )\): x + 3y – z – 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua \((\alpha )\).
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng: \(d:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-4+t\\ z=3-t \end{matrix}\right.; d':\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=-3+t\\ z=4-5t \end{matrix}\right.\)
Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng có phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2t \end{matrix}\right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) \(\left | \vec{a} \right |=\sqrt{2}\)
(B) \(\left | \vec{c} \right |=\sqrt{3}\)
(C) \(\vec{a}\perp \vec{b}\)
(D) \(\vec{b}\perp \vec{c}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A) \(\vec{a}.\vec{c}=1\)
(B) \(\vec{a},\vec{b}\) cùng phương
(C) \(cos(\vec{b},\vec{c})=\frac{2}{\sqrt{6}}\)
(D) \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\)
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\)
Cho hình bình hành \(OADB\) có \(\overrightarrow {OA} \) = \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \) (\(O\) là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành \(OADB\) là:
(A) \((0 ; 1 ; 0)\)
(B) \((1 ; 0 ; 0)\)
(C) \((1 ; 0 ; 1)\)
(D) \((1 ; 1 ; 0)\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;
(B) Tam giác ABD là tam giác đều ;
(C) \(AB ⊥ CD\) ;
(D) Tam giác \(BCD\) là tam giác vuông.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Toạ độ điểm G là trung điểm của MN là:
(A) \(G\left ( \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right )\)
(B) \(G\left ( \frac{1}{4} ; \frac{1}{4}; \frac{1}{4}\right )\)
(C) \(G\left ( \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right )\)
(D) \(G\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(B) \(\sqrt{2}\)
(C) \(\sqrt{3}\)
(D) \(\frac{3}{4}\)
Cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(0;0;-1) và song song với giá của hai vecto \(\vec{a}=(1;-2;3)\) và \(\vec{b}=(3;0;5)\).
Phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
(A) 5x - 2y - 3z - 21 = 0
(B) -5x + 2y + 3z + 3 = 0
(C) 10x - 4y - 6z + 21 = 0
(D) 5x - 2y - 3z + 21 = 0
Cho ba điểm A(0; 2; 1), B(3; 0; 1), C(1; 0; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
(A) 2x – 3y – 4z + 2 = 0
(B) 2x + 3y – 4z – 2 = 0
(C) 4x + 6y – 8z + 2 = 0
(D) 2x – 3y – 4z + 1 = 0
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;3;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x – y + 2z – 1 =0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là A và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ của tiếp điểm.
Câu trả lời của bạn
+ Vì mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với (P) nên bán kính của (S) là
\(R=d(A,(P))=\frac{\left | 2.1-3+2(-2)-1 \right |}{\sqrt{4+1+4}}=2\)
+ Suy ra \((S): (x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=4\)
+ Goi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P). Gọi K là giao điểm của d và (P), ta có K là tiếp điểm của (P) và (S). Ta có một véc tơ chỉ phương d là \(\overrightarrow{u}=(2;-1;2)\) và phương trình tham số của \(d: \left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=3-t\\ z=-2+2t \end{matrix}\right.(t\in R)\Rightarrow K(1+2t;3-t;-2+3t),\)vì \(K\in d\)
+ Mặt khác \(K(1+2t; 3 -t; -2 + 2t) \in (P)\)
\(\Leftrightarrow 2(1+2t)-(3-t)+2(-2+2t)-1=0\Leftrightarrow 9t-6=0\)
\(\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}\) suy ra \(K(\frac{7}{3};\frac{7}{3};-\frac{2}{3})\)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, đáy AB bằng 2a và góc . Mặt phẳng (C’AB) tạo với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và CB'.
Câu trả lời của bạn
*Tính thể tích
Gọi M là trung điểm của AB. Tam giác CAB cân tại C suy ra AB \(\perp\) CM. Mặt khác AB \(\perp\) CC’ \(\Rightarrow\) AB \(\perp\) (CMC’) \(\Rightarrow \widehat{CMC}=60^0\). Gọi V là thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ thì \(V=S_{ABC}.CC'\)
Ta có \(CM=BM.tan30^0=\frac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}CM.AB=\frac{a^2}{\sqrt{3}}\)
\(CC'=CM.tan60^0=\frac{a}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=a\Rightarrow V=\frac{a^2}{\sqrt{3}}a=\frac{a^3}{\sqrt{3}}\)
*Tính khoảng cách
Gọi E đối xứng với A’ qua C’. Suy ra ACEC’ là hình bình hành
Nên AC' // CE \(\subset (CB'E)\Rightarrow AC' //(CB'E)\) mà \(B'C\subset (CB'E)\)
Do đó \(d(AC',B'C)=d(AC',(EB'C))=d(C'(EB'C))\)
Tam giác A’B’E có A’C’ = C’E = B’C’ nên tam giác A’B’E vuông tại B’.
Gọi K là trung điểm B’E, ta có tam giác B’C’E cân tại C’ nên
\(\left.\begin{matrix} C'K\perp B'E\\ CC'\perp (A'B'C')=(A'B'E)\Rightarrow CC'\perp B'E \end{matrix}\right\}\Rightarrow B'E\perp (CC'K)\)
Kẻ \(C'H \perp CK \Rightarrow C'H \subset (CC'K)\) mà \(B'E \perp (CC'K) \Rightarrow B'E \perp C'H\)
Từ đó \(\Rightarrow C'H \perp (CB'E)\) hay \(C'H = d(C', (CB'E))\)
Ta tính được \(CB=\frac{2a}{\sqrt{3}}\Rightarrow C'B'=C'E=CB=\frac{2a}{\sqrt{3}}\)
Lại có \(\widehat{ABC}=30^0\), tam giác ABC cân tại C nên \(\widehat{ACB}=120^0=\widehat{A'C'B'}\Rightarrow \widehat{B'C'E}=60^0\)
Nên tam giác B'C'E đều; tính được \(C'K=\sqrt{B'C'^2-(\frac{B'E}{E})^2}=a\)
Tam giác CC’K vuông cân tại C’ do đó \(C'H=\frac{CK}{2}=\frac{\sqrt{CC'^2+CK^2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vậy \(d(AC', CB')= C'H=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(-1; 2; -3), B(-3; 2; 1) và mặt phẳng \((P): x+y-z+2=0\). Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA2 + MB2 bé nhất.
Câu trả lời của bạn
Gọi I là trung điểm đoạn \(AB \Rightarrow I(-2; 2; -1)\). Theo định lý đường trung tuyến, ta có:
\(MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\)
Suy ra MA2 + MB2 bé nhất khi và chỉ khi MI bé nhất. Mà MI bé nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên (P)
Đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=-2+t\\ y=2+t\\ z=-1-t \end{matrix}\right.\)
Tìm được giao điểm\(M = d \cap (P)\) là M(-3; 1; 0)
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-1; -2; 0), B(-5; -3; 1), C(-2; -3; 4) và đường thẳng ∆: \(\frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}\)
a. Chứng minh tam giác ABC đều. Tính diện tích tam giác ABC.
b. Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng ∆ sao cho thể tích tứ diện D.ABC bằng 3.
Câu trả lời của bạn
a.
T có \(AB=BC=AC=3\sqrt{2}\) nên tam giác ABC đều
Diện tích tam giác ABC là: \(S=\frac{(3\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\)
b.
Ta có
\(V_{D.ABC}=\frac{1}{3}d(D,(ABC)).S_{ABC}=3\Rightarrow (d(ABC))=\frac{3V}{5}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\overline{AB}=(-4;-1;1),\overline{AC}=(-1;-1;4)\Rightarrow \left [ \overline{AB};\overline{AC} \right ]=(-3;15;3)\)
Phương trình mặt phẳng ABC A là: x – 5y – z – 9 = 0.
Vì \(D\in \Delta\) nên \(D(-1+t;t;2-t)\)
\(d(D;(ABC))=\frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{\left | -1+t-5t-2+t-9\right |}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow \left | 3t+12 \right |=6\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=-2\\ t=-6 \end{matrix}\)
Vậy có hai điểm D thỏa mãn điều kiện bài toán: D -3;-2;4) hoặc D(-6;-7; 8)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M(1;1;2)\) mặt phẳng (P): 15x + 3y - 2z +1 =0 và đường thẳng \(d: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-4}{13}\). Chứng tỏ đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) và viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=(15;3;-2)\) và đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=(2;-1;13)\). Suy ra \(\vec{n}.\vec{u}=1\neq 0\) Vậy d cắt (P)
Dễ thấy M không thuộc (P). Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng d và \(\Delta\), ta có \(N(1+2m;2-m;4+13m),m\in R\)
Khi đó đường thẳng \(\Delta\) có véc tơ chỉ phương \(\overline{MN}=(2m;1-m;13m+2)\)
Mặt khác , vì đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng (P) nên ta có \(\bar{n.}\overline{MN}=0\Leftrightarrow 15.2m+3(1-m)-2(13m+2)=0\Leftrightarrow m=1\)
Suy ra \(\overline{MN}=(2;0;15)\)
Vậy đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=1\\ z=2+15t \end{matrix}\right.,t\in R\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; -1; 0) và đường thẳng \(d: \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-3}\). Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d. Tìm tọa độ điểm B thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng \(\sqrt{3}\).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng d qua M(-1; 1;0) và có vtpt \(\vec{u}=(2;1;-3)\). Ta có \(\overrightarrow{MA}=(2;-2;0)\)
(P) qua A(1;-1;0) và có \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{MA},\vec{u} \right ]=(6;6;6)\). Chọn \(\vec{n} \right ]=(1;1;1)\)
Phương trình tổng quát của (P) là: \(1(x-1) + 1(y+1) + 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + y + z = 0\)
Gọi \(B(b;0;0) \in Ox; d(B,(P))= \sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{\left | b \right |}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow |b| = 3 \Leftrightarrow b = \pm 3 \Rightarrow B(\pm 3; 0; 0).\)
Đáp số: \((P): x + y +z = 0; B(\pm 3; 0; 0)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 3; 1) và đường thẳng \(\small d: \left\{\begin{matrix} x=-2+t\\ y=1+2t\\ z=-1-2t \end{matrix}\right.\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng d đi qai M(-2;1;-1) và có véc tơ chỉ phương \(\small \vec{a}=(1;2;-2),\overrightarrow{MA}=(4;2;2)\)
Mp (P) đi qua A và chứa d nhận \(\small \vec{n}=\left [ \vec{a},\overrightarrow{MA} \right ]=(8;-10;-6)\) làm véc tơ pháp tuyến \(\small \Rightarrow (P): 4x - 5y - 3z + 10 = 0\)
Gọi H là hình chiếu của A trên d \(\small \Rightarrow H(-2 + t; 1 + 2t; -1 - 2t)\)
\(\small \overrightarrow{AH}=(-4+t;-2+2t;-2-2t);\overrightarrow{AH}\perp \vec{a}=0\)
\(\small \Leftrightarrow t=\frac{4}{9}\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(-\frac{32}{9};-\frac{10}{9};-\frac{26}{9})\)
Mặt cầu (S) tâm A có bán kính \(\small R=AH=\frac{10\sqrt{2}}{3}\)
Vậy \(\small (S): (x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2=\frac{200}{9}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng \(\Delta: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}\) và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng (P) .Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(3;-1;2) , cắt đường thẳng và song song với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
+) Tọa độ giao điểm H(3;1;3)
+) Gọi \(\small B=d\cap \Delta \Rightarrow B\in \Delta\) nên giả sử \(\small B(1+2t;2-t;3t)\)
Khi đó \(\small \overrightarrow{AB}=(-2+2t;3-t;3t-2)\) là vtcp của d . Mặt phẳng (P) có vtpt có \(\small \overrightarrow{n}=(2;-1;-2)\)
Vì d // (P) nên \(\small \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow 2(-2+2t)-(3-t)-2(3t-2)=0\Leftrightarrow t=-3\)
\(\small \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-8;6;-11)\) hay là vtcp của d.
Vậy phương trình \(\small d: \left\{\begin{matrix} x=3-8t\\ y=-1+6t\\ z=2-11t \end{matrix}\right. t\in R\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;-2;1) đường thẳng \(d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{1}\)và mặt phẳng (P): x - 2y - z - 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overrightarrow{u_d}=(1;2;1)\) là VTCP của đường thẳng d.
\(\overrightarrow{u_{(P)}}=(1;-2;-1)\) là VTPT của mặt phẳng (P)
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm theo giả thiết thì \(\left [ \overrightarrow{u_d},\overrightarrow{u_{(P)}} \right ]=(0;-2;4)\) là VTPT của mặt phẳng (Q).
Phương trình mp (Q): \(0(x-2)-2(y+2)+4(z-1)=0\)
Hay: \(y-2z+4=0\)
Trong không gian tọa độ Oxy cho ba điểm A(1; -2; 3), B(2; 0; 1), C(3; -1; 5). Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tính diện tích tam giác ABC.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;2;-2),\overrightarrow{AC}=(2;1;2)\)
\(\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]=(6;-6;-3)\neq \overrightarrow{0}\)
Suy ra \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng.
Diện tích tam giác ABC là \(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left | [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}] \right |=\frac{9}{2}\) (đvdt).
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y+2z-19=0,\) các điểm A(-1; 3; 7), B(5; 1; 2) và C(3; 2; 4).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm A, B và C.
b) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), và viết phương trình mặt cầu (S') đồng tâm với mặt cầu (S') và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
a) Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(6;-2;-5),\overrightarrow{AC}=(4;-1;-3)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{n_{p}}=\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\left (\begin{vmatrix} -2-5\\-1-3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -5\, 6\\ -3\, 4 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 6-2\\4-1 \end{vmatrix} \right )=(1;-2;2)\)
Phương trình của mặt phẳng (P) là 1(x + 1) - 2(y - 3) + 2(z - 7) = 0
\(\Leftrightarrow x-2y+2z-7=0\)
b) (S): \((x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=5^{2}\)
=> (S) có tâm I(1; 2; -1) bán kính R = 5
Ta có: d(I;(P)) = 4 < R => (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm I' là hình chiếu của I lên (P) và bán kính \(r=\sqrt{R^{2}-d^{2}(I;(P))}=3\)
Ta có \(\overrightarrow{u_{II'}}=\overrightarrow{n_{p}}=(1;-2;2)\)
=> Phương trình của \(\overrightarrow{{II'}}:x=1+t,y=2-2t,z=-1+2t\)
=> Tọa độ I' là nghiệm của hệ
\(\left\{\begin{matrix} x=1+t\\y=2-2t \\z=-1+2t \\x-2y+2z-7=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{7}{3}\\y=\frac{-2}{3} \\z=\frac{5}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow I'(\frac{7}{3};\frac{-2}{3};\frac{5}{3})\)
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat{BAD}=45^{\circ},AA'=\frac{a\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},\) O và O' là tâm của ABCD và A'B'C'D'. Tính theo a.
a) Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D';
b) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (A'BD), và khoảng cách giữa hai đường thẳng AO' và B'O.
Câu trả lời của bạn
a) Ta có: \(S_{ABCD}=2S_{ABD}\)
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat{BAD}=\frac{a^{2}}{2\sqrt{2}}\)
Do ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ đứng nên \(V_{ABCD.A'B'C'D'}=AA'.S_{ABCD}=\frac{a\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.\frac{a^{2}}{\sqrt{2}}=\frac{a^{3}\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}\)
b) Ta có \(O\in(A'BD)\) và \(OA=OC\) nên \(d(C;(A'BD))=d(A;(A'BD))\)
ABCD là hình thoi => \(BD\perp OA,AA'\perp (ABCD)\)
\(\Rightarrow BD\perp AA'\Rightarrow BD\perp (A'OA).\) Gọi H là hình chiếu của A lên A'O
\(\Rightarrow AH\perp A'O, BD\perp AH\Rightarrow AH\perp (A'BD)\Rightarrow d(A;(A'BD))=AH.\)
\(\widehat{BAD}=45^{\circ}\Rightarrow \widehat{ABC}=135^{\circ}\Rightarrow AC^{2}=BA^{2}+BC^{2}-2BA.BC.\cos \widehat{ABC}=a^{2}(2+\sqrt{2})\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
Trong \(\triangle AA'O\) có: \(\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AO^{2}}+\frac{1}{AA'^{2}}-\frac{8}{a^{2}}\Rightarrow AH=\frac{a}{2\sqrt{2}}\Rightarrow d(C;(A'BD))=\frac{a}{2\sqrt{2}}.\)
Ta có: AO // O'C' => AOC'O' là hình bình hành => A'O // OC' => AO' // (OB'C')
=> d(AO'; B'O) = d(O'; (OB'C')). Gọi I là hình chiếu của O' lên B'C' => \(OI\perp B'C'.\)
Ta có: \(OO'//AA'\Rightarrow OO'\perp (A'B'C'D')\Rightarrow OO'\perp B'C'\Rightarrow B'C'\perp (OO'I).\)
Gọi K là hình chiếu của O' lên OI => \(O'K\perp OI,B'C'\perp O'K\Rightarrow O'K\perp (OB'C')\Rightarrow d(O';(OB'C'))=O'K.\)
Ta có: \(B'D'^{2}=A'B'^{2}+A'D'^{2}-2A'B'.A'D'.\cos \widehat{B'A'D'}=a^{2}(2-\sqrt{2})\)
\(B'D'=a\sqrt{2-\sqrt{2}},A'C'\perp B'D'\Rightarrow \frac{1}{O'I^{2}}=\frac{1}{O'B'^{2}}+\frac{1}{O'C'^{2}}\Rightarrow O'I=\frac{a}{2\sqrt{2}}.\)
Ta có: \(\frac{1}{O'K^{2}}=\frac{1}{O'I^{2}}+\frac{1}{O'O^{2}}\Rightarrow O'K=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{5-2\sqrt{2}}}.\)
Vậy \(d(AO';B'O)=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{5-2\sqrt{2}}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;3;2), đường thẳng \(d: \frac{x+1}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z}{-2}\) và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 6 = 0. Tìm tọa độ giao điểm của d với (P) và viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P).
Câu trả lời của bạn
d có phương trình tham số \(\left\{\begin{matrix} x=-1+2t\\ y=4-t\\ z=-2t \end{matrix}\right.\)
Gọi \(B = d \cap (P)\), do \(B \in d\) nên \(B(-1+ 2t;4 - t;-2t)\)
Do \(B \in d\) nên \(2(-1+2t)-2(4-t)-2t-6=0\Leftrightarrow t=4\Rightarrow B(7;0;-8)\)
Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên \(I(-1+ 2a;4 - a;-2a)\)
Theo bài ra thì (S) có bán kính R = IA= d(I,(P))
\(\Rightarrow \sqrt{(2-2a)^2+(a-1)^2+(2+2a)^2}=\frac{\left | 2(-1+2a)-2(4-a)-2a-6 \right |}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{9a^2-2x+9}=\frac{\left | 4a-16 \right |}{3}\)
\(\Leftrightarrow 9(9a^2-2a+9)=(4a-16)^2\Leftrightarrow 65a^2+110a-175=0\Leftrightarrow a=1;a=-\frac{35}{13}\)
+) Với \(a=1\Rightarrow I=(1;3;-2),R=4\Rightarrow (S):(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=16\)
+) Với \(a=-\frac{35}{13}\Rightarrow I=\left ( -\frac{83}{13};\frac{87}{13};\frac{70}{13} \right );R=\frac{116}{13}\)
\(\Rightarrow (S):\left ( x+\frac{83}{13} \right )^2+\left ( y-\frac{87}{13} \right )^2+\left ( z-\frac{70}{13} \right )^2=\frac{13456}{169}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;3;5) và đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho N cách M một khoảng bằng 5.
Câu trả lời của bạn
d có véc tơ chỉ phương là: \(\vec{u}=(1;3;2)\) vì (P) vuông góc với d nên (P) có véc tơ pháp tuyến \(\vec{u}=(1;3;2)\)
Phương trình mp (P): \(1(x-2)+3(y-3)+2(z-3)+2(z-5)=0\Leftrightarrow x+3y+2z-21=0\)
Vì N thuộc d nên \(N(t-1;3t-2;2t+2)\). Ta có MN = 5
\(\Leftrightarrow \sqrt{(t-3)^2+(3t-5)^2+(2t-3)^2}=5\)
\(\Leftrightarrow 14t^2-48t+18=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=3\\ t=\frac{3}{7} \end{matrix}\)
Vậy N(2 ;7;8) hoặc N\(\left ( -\frac{4}{7}; -\frac{5}{7}; \frac{20}{7} \right )\)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):2x-y+2z+1=0\) và đường thẳng \(d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-2}\) . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) và mặt phẳng \((\alpha )\).
Câu trả lời của bạn
Gọi I, r là tâm và bán kính mặt cầu (S). Ta có \(I\in d\Rightarrow I(1+t;1+2t;-2t)\)
Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng \((\alpha ): 2x-y+2z+1=0\) và mặt phẳng (Oxy): z = 0 khi và chỉ khi
\(d(I;(\alpha ))=d(I,(Oxy))=r\Leftrightarrow \frac{\left | -2t \right |}{\sqrt{0+0+1}}=\frac{\left | 2(1+t)-1-2t+2(-2t)+1 \right |}{\sqrt{4+1+4}}\)
\(\Leftrightarrow r=\left | 2t \right |=\frac{\left | 2-4t \right |}{3}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=-1;r=2\\ t=\frac{1}{5},r=\frac{2}{5} \end{matrix}\)
Với t = -1 thì \(I(0;-1;2),r=2\Rightarrow (S):x^2+(y+1)^2+(z-2)^2=4\)
Với t = \(\frac{1}{5}\) thì \(I=(\frac{6}{5};\frac{7}{5};\frac{-2}{5}),r=\frac{2}{5}\Rightarrow (S):(x-\frac{6}{5})^2+(y-\frac{7}{5})^2+(z+\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z+1}{1}\) và điểm M(2; -1; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(1; 0; 0), song song với đường thẳng d đồng thời cách điểm M một khoảng bằng \(\sqrt{3}.\)
Câu trả lời của bạn
d có vtpt \(\overrightarrow{u}=(2;-3;1),\) qua \(H(-2;4;-1)\)
(P) có vtpt \(\overrightarrow{n}=(A;B;C),(A^{2}+B^{2}+C^{2}>0)\)
d || (P) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0\\H(-2;4;-1) \notin (P) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2A-3B+C=0\\-3A+4B-C\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C=-2A+3B\\C\neq 3A-4B\; (*) \end{matrix}\right.\)
\((P):\left\{\begin{matrix} qua\; K(1;0;0)\\vtpt\;\overrightarrow {n}=(A;B;-2A+3B) \end{matrix}\right.\Rightarrow (P):Ax+By+(3B-2A)z-A=0\)
\(d(M;(P))=\sqrt{3}\Rightarrow \frac{\left | -5A+8B \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+(3B-2A)^{2}}}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow (-5A+8B)^{2}=3(5A^{2}-12.AB+10B^{2})\Leftrightarrow 5A^{2}-22.AB+17B^{2}=0\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} A=B\\5A=17B \end{matrix}\)
+ Với A = B ⇒ C = B không thỏa mãn (*)
+ Với 5A = 17B ⇒ Chọn A = 17 ta có B = 5 ⇒ C = -19 thỏa mãn (*)
Suy ra phương trình mặt phẳng (P): 17x + 5y - 19z - 17 = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P): x+y+z-3=0\) và đường thẳng \(d: \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1}\). Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d; tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng \(2\sqrt{3}\).
Câu trả lời của bạn
*) Giả sử \(M=d\cap (P).\) Vì \(M=d\cap (P). M\in d\) nên \(M(t+2;-2t-1;-t)\)
Mặt khác \(M\in (P)\) nên suy ra \((t + 2) + (-2t - 1) + (-t) - 3 = 0 \Leftrightarrow t=-1\)
Suy ra M(1;1;1)
*) Ta có nên \(A\in d\) nên \(A(a+2;-2a-1;-a)\)
Khi đó \(d(A,(P))=2\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{\left | (a+2)+(-2a-1)+(-a)-3 \right |}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\)\(=2\sqrt{3}\Leftrightarrow \left | a+1 \right |=3\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=2\\ a=-4 \end{matrix}\)
Suy ra A(4;-5;-2) hoặc A(-2;7;4)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;2;2), B(0;0;7) và đường thẳng \(d: \frac{x-3}{-2}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-1}{1}\). Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng thuộc một mặt phẳng. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân đỉnh A.
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(-2;2;1)\) và đi qua M(3;6;1)
Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}(-4;-2;5)\) \(\overrightarrow{AM}(-1;4;-1)\)
Ta có \(\left [ \vec{u},\overrightarrow{AB} \right ]=(12;6;12)\Rightarrow \left [ \vec{u},\overrightarrow{AB} \right ].\overrightarrow{AM}=-12+24-12=0\)
Vậy AB và d đồng phẳng
\(C\in d\Rightarrow C(3-2t;6+2t;1+t)\)
Tam giác ABC cân tại \(A\Leftrightarrow AB=AC\)
\(\Leftrightarrow (1+2t)^2+(4+2t)^2+(1-t)^2=45\)
\(\Leftrightarrow 9t^2+18t-27=0\Leftrightarrow t=1 \ \ \ or \ \ t =-3\)
Vậy C(1; 8; 2) hoặc C(9; 0; -2)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; 1), C(2; 4; 1), D(2; 2; -1).
a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2; 4; -1) và đi qua điểm B(1; 4; 1)
b) Tính góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\)
Câu trả lời của bạn
a) Ta có bán kính của mặt cầu (S) là
\(R=\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}+(z+1)^{2}=5\)
b) Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(-1;0;2),\overrightarrow{CD}=(0;-2;-2)\)
Góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là
\(\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left | \overrightarrow{AB} \right |.\left | \overrightarrow{CD} \right |}=\frac{(-1).0+0.(-2)+2.(-2)}{\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}}.\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}+(-2)^{2}}}=-\frac{2}{\sqrt{10}}\)
Trong không gian hệ Oxyz, cho hai điểm A(0 ; 0; -3), B( 2; 0; -1) và mặt phẳng (P) có phương trình 3x – 4y + z – 1 =0. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng AB.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overline{AB}=( 2;0;2 )=2 (1;0;1 )\)
Phương trình: \((AB)=\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=0\\ z=-3+t \end{matrix}\right.\)
\(AB\cap (P)\Rightarrow 3t-0+t-3-1=0\Rightarrow t=1\Rightarrow I(1;0;-2)\)
+ Ta có: \(\overrightarrow{n_P}=(3;4;1);\overrightarrow{n_AB}=(1;0;1)\)
Đường thẳng \(d\subset (P)\); cắt và \(\perp AB\Rightarrow d\) qua I; \(d\perp \overrightarrow{n_P}; d\perp \overrightarrow{u_{AB}}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u_d}=\left [ \overrightarrow{u_{AB}}; \overrightarrow{u_P}\right ]=(4;2;-4)=2(2;1;-1)\)
Phương trình đường thẳng d qua I (1;0;-2) là: \(\left\{\begin{matrix} x=1+2s\\ y=s\\ z=-2-s \end{matrix}\right.\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *