Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm khái niệm Tiệm cận của đồ thị hàm số, biết được các phương pháp tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thì hàm số, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em biết cách giải được hầu hết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2 \end{array}\)
Vậy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = + \infty \end{array}\)
Vậy đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{1 \right\}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)
Vậy đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - 1\)
Suy ra đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1\)
Suy ra đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - \infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty\)
Suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}}\).
Ta có: \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ y \ge 1\\ {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \end{array} \right.\)
Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Để tìm được Tiệm cận đòi hỏi đầu tiên các em cần ôn lại bài Giới hạn hàm số đã được học ở lớp 11.
Để ôn luyện bài tập tốt hơn, xin mời các em cùng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \((2;+\infty )\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 1}}?\)
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}.\) Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 30 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 30 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.47 trang 24 SBT Toán 12
Bài tập 1.48 trang 24 SBT Toán 12
Bài tập 1.49 trang 24 SBT Toán 12
Bài tập 1.50 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.51 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.52 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.53 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.54 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.55 trang 25 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \((2;+\infty )\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 1}}?\)
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}.\) Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Tìm m để đồ thị hàm số \(y=\frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) có tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}.\) Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x - 3}}{{2{x^2} - x - 1}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 2}}\) có đồ thị (C). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đường x = 3 là một tiệm cận ngang của (C).
Cho hàm số y=f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 1\)
Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng?
Hàm số nào sau đây có đồ thị nhận đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng?
Cho hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) với m>1
Hỏi giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số trên luôn nằm trên một đường cố định có phương trình nào trong các phương trình sau?
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) \(y=\frac{x}{2-x}\).
b) \(y=\frac{-x+7}{x+1}\).
c) \(y=\frac{2x-5}{5x-2}\).
d) \(y=\frac{7}{x}-1\).
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a) \(y=\frac{2-x}{9-x^2}\) ;
b) \(y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\);
c) \(y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\);
d) \(y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\);
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\)
b) \(y = \frac{{3 - 2x}}{{3x + 1}}\)
c) \(y = \frac{5}{{2 - 3x}}\)
d) \(y = \frac{{ - 4}}{{x + 1}}\)
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
b) \(y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}}\)
c) \(y = \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\)
d) \(y = \frac{{3x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2 + \sqrt {3{x^2} + 2} }}\)
e) \(y = \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}}\)
a) Cho hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}}\) có đồ thị H (H.1.1)
Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H') có tiệm cận ngang
b) Lấy đối xứng (H') qua gốc O, ta được hình (H''). Viết phương trình của (H'').
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{3 - 2x}}\) là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - x + 2}}{{{x^2} - 5}}\) là:
A. \(x = 2\)
B. \(x = \pm \sqrt 5 \)
C. \(x = \pm 1\)
D. \(x = 3\)
Tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\) là:
A. x = 2, y = 0
B. x = 0, y = 2
C. x = 1, y = 1
D. x = −2, y = −3
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(y = \frac{{{x^2} - 12x + 27}}{{{x^2} - 4x + 5}}\) là:
A. y = 1
B. y = 5
C. y = 3
D. y = 10
Cho hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 4}}\). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tính OI.
A. 3
B. 6
C. 5
D. 2
Đồ thị hàm số nào sau đây có hai tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một tứ giác có diện tích bằng 12?
A. \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{2x - 3}}{{1 - x}}\)
C. \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 5}}\)
D. \(y = \frac{{3x + 7}}{{x - 4}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\).
Câu trả lời của bạn
Tập xác đinh: \(D=\mathbb R\)
Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} + 6x \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\;;y_{CĐ}=0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\;;y_{CT}=-4\)
- Giới hạn:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = - \infty \cr} \)
\(\eqalign{
& y'' = 6x + 6 \cr
& y'' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \cr} \)
Điểm uốn \(I(-1;-2)\)
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận điiểm \(I(-1;-2)\) làm tâm đối xứng.
Cho hàm số: \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right)\). Tìm các giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:
\(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right.\)
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr
f\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2}-m - 2 > 0 \hfill \cr
{\left( { - 1} \right)^2} + 2m.\left( { - 1} \right) + m + 2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
- m + 3 \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m \ne 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < - 1\\
2 < m < 3\\
m > 3
\end{array} \right.\)
Vậy \(m < -1\) hoặc \(2 < m < 3\) hoặc \(m > 3\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr
x = 2;\,\,\,\,y\left( 2 \right) = - 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0\), giá trị cực đại \(y(0) = 1\); hàm số đat cực tiểu tại điểm \(x = 2\), giá trị cực tiểu \(y(2) = -3\).
\(y'' = 6x - 6\)
\(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) = - 1\)
Xét dấu \(y”\)
Điểm uốn của đồ thị \(I(1;-1)\)
Điểm đặc biệt \(x = - 1 \Rightarrow y = - 3\)
Đồ thị: đồ thị nhận điểm \(I(1;-1)\) làm tâm đối xứng.
Tìm tiệm cận đứng và ngang của hàm số: \(y = \dfrac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\) \( = \frac{{2 - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 3}}}}{{x - 1}}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - x}}{{x - 3}} = - \frac{1}{2} < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\\x - 1 > 0,\forall x > 1\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 3}}}}{{x - 1}} = - \infty \)
Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 3}}}}{{x - 1}} = + \infty \)
Lại có: \(y = \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\) \( = \frac{{2 - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 1}}}}{{x - 3}}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2 - x}}{{x - 1}} = - \frac{1}{2} < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} \right) = 0\\x - 3 > 0,\forall x > 3\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 1}}}}{{x - 3}} = - \infty \)
Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 1}}}}{{x - 3}} = + \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang.
Tìm tiệm cận đứng và ngang của hàm số: \(y = \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}}\).
Câu trả lời của bạn
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + 3x} \right)\) \( = {2^2} + 3.2 = 10 > 0\)
Và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\{x^2} - 4 > 0,\forall x > 2\end{array} \right.\) nên
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = + \infty \)
Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = - \infty \) nên \(x = 2\) là một tiệm cận đứng.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \left( {{x^2} + 3x} \right)\) \( = {\left( { - 2} \right)^2} + 3.\left( { - 2} \right) = - 2 < 0\)
và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\{x^2} - 2 > 0,\forall x < - 2\end{array} \right.\) nên
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = - \infty \)
Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = + \infty \) nên \(x = - 2\) là tiệm cận đứng thứ hai.
Ta lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{3}{x}}}{{1 - \dfrac{4}{{{x^2}}}}} = 1\) nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang.
Cho hàm số: \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m\). Tìm các giá trị của \(m\) sao cho hàm số có ba cực trị.
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(y = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{x^2} = m \hfill \cr} \right.\)
Nếu \(m> 0\) thì \(y’=0\) \( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - \sqrt m \) hoặc \(x = \sqrt m \)
Hàm số có ba điểm cực trị.
Nếu \(m \le 0\) thì \({x^2} - m \ge 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)
Hàm số có \(1\) cực tiểu.
Vậy hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi \(m>0\).
Chú ý:
Có thể trình bày ngắn gọn như sau:
Để hàm số đã cho có 3 cực trị thì phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)
Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Tìm tiệm cận đứng và ngang của hàm số: \(y = \dfrac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = ( - \infty ; - \sqrt 2 ) \cup (\sqrt 2 ;4) \cup (4; + \infty )\)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x - 4}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x - 1 - \left| x \right|\sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x - 4}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x - 1 - x\sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x - 4}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {5 - \frac{1}{x} - \sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} } \right)}}{{x\left( {1 - \frac{4}{x}} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5 - \dfrac{1}{x} - \sqrt {1 - \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{4}{x}}} = 4\)
và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x - 4}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x - 1 - \left| x \right|\sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x - 4}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x - 1 + x\sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x - 4}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {5 - \frac{1}{x} + \sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} } \right)}}{{x\left( {1 - \frac{4}{x}} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{5 - \dfrac{1}{x} + \sqrt {1 - \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{4}{x}}} = 6\)
Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang \(y = 4\) và \(y = 6\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( {5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} } \right)\) \( = 5.4 - 1 - \sqrt {{4^2} - 2} \) \( = 19 - \sqrt {14} > 0\)
Và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( {x - 4} \right) = 0\\x - 4 > 0,\forall x > 4\end{array} \right.\) nên
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}} = + \infty \)
Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \dfrac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}} = - \infty \) nên đường thẳng \(x = 4\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tìm tiệm cận đứng và ngang của hàm số: \(y = \dfrac{{3x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2 + \sqrt {3{x^2} + 2} }}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(\mathbb{R}\).
Ta có:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3 + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{\dfrac{2}{x} + \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}\)\( = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{3 - \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{\dfrac{2}{x} - \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}\)\( = - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Suy ra đồ thị hàm số có các tiệm cận ngang: \(y = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\) và \(y = - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{3x + 1}}{{3 - 2x}} = - \dfrac{3}{2}\) nên \(y = - \dfrac{3}{2}\) là đường tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^ + }} \dfrac{{3x + 1}}{{3 - 2x}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^ - }} \dfrac{{3x + 1}}{{3 - 2x}} = + \infty \) nên \(x = \dfrac{3}{2}\) là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận.
Chọn C.
A. \(x = 2\)
B. \(x = \pm \sqrt 5 \)
C. \(x = \pm 1\)
D. \(x = 3\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^ + }} \dfrac{{2{x^2} - x + 2}}{{{x^2} - 5}} = + \infty \) nên \(x = \sqrt 5 \) là đường tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \sqrt 5 } \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \sqrt 5 } \right)}^ + }} \dfrac{{2{x^2} - x + 2}}{{{x^2} - 5}} = - \infty \) nên \(x = - \sqrt 5 \) là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là các đường thẳng \(x = \pm \sqrt 5 \).
Chọn B.
A. \(x = 2,y = 0\)
B. \(x = 0,y = 2\)
C. \(x = 1,y = 1\)
D. \(x = - 2,y = - 3\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{3}{{x - 2}}} \right) = - \infty \) nên \(x = 2\) là đường tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \dfrac{3}{{x - 2}}} \right) = 0\) nên \(y = 0\) là đường tiệm cận ngang.
Chọn A.
A. \(y = 1\)
B. \(y = 5\)
C. \(y = 3\)
D. \(y = 10\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{{x^2} - 12x + 27}}{{{x^2} - 4x + 5}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{{12}}{x} + \dfrac{{27}}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}}} = 1\) nên \(y = 1\) là đường tiệm cận ngang.
Chọn A.
A. \(3\)
B. \(6\)
C. \(5\)
D. \(2\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3x - 1}}{{x + 4}} = 3\) nên \(y = 3\) là đường tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} \dfrac{{3x - 1}}{{x + 4}} = - \infty \) nên \(x = - 4\) là đường tiệm cận đứng.
Do đó \(I\left( { - 4;3} \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận.
\( \Rightarrow OI = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} = 5\).
Chọn C.
A. \(y = \dfrac{{3x + 2}}{{x - 2}}\)
B. \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{1 - x}}\)
C. \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 5}}\)
D. \(y = \dfrac{{3x + 7}}{{x - 4}}\)
Câu trả lời của bạn
Đáp án A: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x + 2}}{{x - 2}}\) có đường TCĐ \(x = 2\) và TCN \(y = 3\).
Diện tích hình chữ nhật tạo thành là: \(2.3 = 6\). Đáp án A sai.
Đáp án B: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{1 - x}}\) có đường TCĐ \(x = 1\) và TCN \(y = - 2\).
Diện tích hình chữ nhật tạo thành là: \(2.1 = 2\). Đáp án B sai.
Đáp án C: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 5}}\) có đường TCĐ \(x = - 5\) và TCN \(y = 1\).
Diện tích hình chữ nhật tạo thành là: \(5.1 = 5\). Đáp án C sai.
Đáp án D: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x + 7}}{{x - 4}}\) có đường TCĐ \(x = 4\) và TCN \(y = 3\).
Diện tích hình chữ nhật tạo thành là: \(4.3 = 12\). Đáp án D đúng.
Chọn D.
Hãy khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \(y = 2 - 3x - {x^2}\).
Câu trả lời của bạn
* TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
* Sự biến thiên:
- Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - 3x - {x^2}} \right) = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - 3x - {x^2}} \right) = - \infty \)
- Chiều biến thiên: \(y' = - 3 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{2}\)
Có \(y' > 0 \Leftrightarrow x < - \dfrac{3}{2}\) và \(y' < 0 \Leftrightarrow x > - \dfrac{3}{2}\) nên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\).
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - \dfrac{3}{2}\) và \({y_{CD}} = \dfrac{{17}}{4}\).
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;2} \right)\) và cắt trục \(Ox\) tại hai điểm phân biệt.
- Là parabol nhận đường thẳng \(x = - \dfrac{3}{2}\) là trục đối xứng.
- Vẽ đồ thị:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: \(y = {{x + 1} \over {2x + 1}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{2x + 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{2 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{2}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \frac{1}{2}
\end{array}\)
Nên \( y = \frac{1}{2}\) là đường TCN của ĐTHS.
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{2x + 1}} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} y = - \infty
\end{array}\)
Nên \( x =- \frac{1}{2}\) là đường TCĐ của ĐTHS.
Vậy,
Đường thẳng \(x = -{1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị.
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: \(y = {{\sqrt {{x^2} + x} } \over {x - 1}}\)
Câu trả lời của bạn
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x - 1}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {1 - {1 \over x}}} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x - 1}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {1 - {1 \over x}}} = - 1\)
Nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)) và đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to - \infty \)).
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + x} }}{{x - 1}} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + x} }}{{x - 1}} = - \infty
\end{array}\)
Nên đường thẳng \(x=1\) là TCĐ của ĐTHS.
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: \(y = {{\sqrt {x + 3} } \over {x + 1}}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {x + 3} }}{{x + 1}} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{\sqrt {x + 3} }}{{x + 1}} = - \infty
\end{array}\)
Nên đường thẳng \(x=-1\) là TCĐ của ĐTHS.
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x + 3} }}{{x + 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = 0
\end{array}\)
Nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)).
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: \(y = 4 + {1 \over {x - 2}}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {4 + \frac{1}{{x - 2}}} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty
\end{array}\)
Nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị.
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {4 + \frac{1}{{x - 2}}} \right) = 4\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 4
\end{array}\)
Nên đường thẳng y = 4 là tiệm cận ngang của đồ thị.
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: \(y = {{{x^2} + 2x} \over {x - 3}}\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} + 2x}}{{x - 3}} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = - \infty
\end{array}\)
Đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có
\(\begin{array}{l}
y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x - 3}} = x + 5 + \frac{{15}}{{x - 3}}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{15}}{{x - 3}} = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 5} \right)} \right] = 0
\end{array}\)
Nên đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *