Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm khái niệm Tiệm cận của đồ thị hàm số, biết được các phương pháp tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thì hàm số, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em biết cách giải được hầu hết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2 \end{array}\)
Vậy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = + \infty \end{array}\)
Vậy đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{1 \right\}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)
Vậy đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - 1\)
Suy ra đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1\)
Suy ra đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - \infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty\)
Suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}}\).
Ta có: \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ y \ge 1\\ {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \end{array} \right.\)
Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Để tìm được Tiệm cận đòi hỏi đầu tiên các em cần ôn lại bài Giới hạn hàm số đã được học ở lớp 11.
Để ôn luyện bài tập tốt hơn, xin mời các em cùng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \((2;+\infty )\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 1}}?\)
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}.\) Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 30 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 30 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.47 trang 24 SBT Toán 12
Bài tập 1.48 trang 24 SBT Toán 12
Bài tập 1.49 trang 24 SBT Toán 12
Bài tập 1.50 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.51 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.52 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.53 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.54 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.55 trang 25 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \((2;+\infty )\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 1}}?\)
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}.\) Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Tìm m để đồ thị hàm số \(y=\frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) có tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}.\) Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x - 3}}{{2{x^2} - x - 1}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 2}}\) có đồ thị (C). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đường x = 3 là một tiệm cận ngang của (C).
Cho hàm số y=f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 1\)
Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng?
Hàm số nào sau đây có đồ thị nhận đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng?
Cho hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) với m>1
Hỏi giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số trên luôn nằm trên một đường cố định có phương trình nào trong các phương trình sau?
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) \(y=\frac{x}{2-x}\).
b) \(y=\frac{-x+7}{x+1}\).
c) \(y=\frac{2x-5}{5x-2}\).
d) \(y=\frac{7}{x}-1\).
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a) \(y=\frac{2-x}{9-x^2}\) ;
b) \(y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\);
c) \(y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\);
d) \(y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\);
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\)
b) \(y = \frac{{3 - 2x}}{{3x + 1}}\)
c) \(y = \frac{5}{{2 - 3x}}\)
d) \(y = \frac{{ - 4}}{{x + 1}}\)
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
b) \(y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}}\)
c) \(y = \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\)
d) \(y = \frac{{3x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2 + \sqrt {3{x^2} + 2} }}\)
e) \(y = \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}}\)
a) Cho hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}}\) có đồ thị H (H.1.1)
Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H') có tiệm cận ngang
b) Lấy đối xứng (H') qua gốc O, ta được hình (H''). Viết phương trình của (H'').
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{3 - 2x}}\) là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - x + 2}}{{{x^2} - 5}}\) là:
A. \(x = 2\)
B. \(x = \pm \sqrt 5 \)
C. \(x = \pm 1\)
D. \(x = 3\)
Tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\) là:
A. x = 2, y = 0
B. x = 0, y = 2
C. x = 1, y = 1
D. x = −2, y = −3
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(y = \frac{{{x^2} - 12x + 27}}{{{x^2} - 4x + 5}}\) là:
A. y = 1
B. y = 5
C. y = 3
D. y = 10
Cho hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 4}}\). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tính OI.
A. 3
B. 6
C. 5
D. 2
Đồ thị hàm số nào sau đây có hai tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một tứ giác có diện tích bằng 12?
A. \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{2x - 3}}{{1 - x}}\)
C. \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 5}}\)
D. \(y = \frac{{3x + 7}}{{x - 4}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y = {{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ + }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ - }} y = - \infty \) nên đường thẳng \(x = - {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax + b\)
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - 3x + 4} \over {x\left( {2x + 1} \right)}} = {1 \over 2} \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - {x \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}} - {x \over 2}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 7x + 8} \over {2\left( {2x + 1} \right)}} = - {7 \over 4} \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = + \infty \)
Đường thẳng \(y = {x \over 2} - {7 \over 4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)).
Cách khác:
Ta có: \(y = {1 \over 2}.{{{x^2} - 3x + 4} \over {x + {1 \over 2}}} = {1 \over 2}\left( {x - {7 \over 2} + {{23} \over {4\left( {x + {1 \over 2}} \right)}}} \right)\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {{x \over 2} - {7 \over 4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{23} \over {8\left( {x + {1 \over 2}} \right)}} = 0\) nên đường thẳng \(y = {x \over 2} - {7 \over 4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y = {{x + 2} \over {{x^2} - 1}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0\) nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = - \infty \) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = + \infty \) nên đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y = {x \over {{x^3} + 1}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = + \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(y = {{2x - 1} \over {{x^2}}} + x - 3\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x - 1} \over {{x^2}}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{2 \over x} - {1 \over {{x^2}}}} \right) = 0\) nên y = x – 3 là tiệm cận xiên.
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(\,\,{{{x^3} + 2} \over {{x^2} - 2x}}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {0;2} \right\}\)
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} = + \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} = - \infty \) nên \(x = 2\) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax +b\)
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + 2} \over {{x^3} - 2{x^2}}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {2 \over {{x^3}}}} \over {1 - {2 \over x}}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right)\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^3} + 2} \over {{x^2} - 2x}} - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2{x^2} + 2} \over {{x^2} - 2x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 + \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{2}{x}}}= 2 \cr} \)
Đường thẳng \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(\,\,{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} - 1\,}}\,\,;\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\)
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = - \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng .
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax + b\)
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + x + 1} \over {x\left( {{x^2} - 1} \right)}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {1 - {1 \over {{x^2}}}}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} - 1}}-x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} - 1}} = 0 \cr} \)
\( \Rightarrow y = x\) là tiệm cận xiên.
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(\,\,{{{x^2} + x + 1} \over { - 5{x^2} - 2x + 3}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;{3 \over 5}} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over { - 5 - {2 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}} = - {1 \over 5}\) nên \(y = - {1 \over 5}\) là tiệm cận ngang.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = - \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ - }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} = + \infty \) nên \(x = {3 \over 5}\) là tiệm cận đứng.
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} \)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to + \infty \)
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr} \)
Đường thẳng \(y = 2x\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to + \infty \))
* Tiệm cận khi \(x \to - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {1 \over {x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = 0\)
Đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang (khi \(x \to - \infty \))
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(y = 2x + \sqrt {{x^2} - 1} \)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 3\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 3x} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x + \sqrt {{x^2} - 1} - 3x} \right]\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = 3x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2x + \sqrt {{x^2} - 1} - x} \right]\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} + x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} - x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to - \infty \))
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(\,y = \sqrt {{x^2} - 1} \,\,\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} - x} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} + x}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị khi \(x \to + \infty \).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{\sqrt {{x^2} - 1} + x}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} \) \( = - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} + x} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} - x}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} - x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = -x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to - \infty \)).
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(y = \sqrt {{x^2} + x + 1} \).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(\eqalign{
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x} \right) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }+1} = {1 \over 2} \cr} \)
Đường thẳng \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to + \infty \))
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } -\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 + {1 \over x}} \over { - \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }-1} = - {1 \over 2}\)
Đường thẳng \(y = - x - {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to - \infty \))
Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y = x + \sqrt {{x^2} - 1} \)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x}} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0\)
Ta có tiệm cận xiên \(y = 2x\) (khi \(x \to + \infty \))
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} - x}} = 0\)
Ta có tiệm cận ngang \(y = 0\) (khi \(x \to - \infty \))
Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over {\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} + 1}} = - 2\)
Ta có tiệm cận xiên \(y = x -2\) (khi \(x \to + \infty \)).
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} } \over x} \) \(= - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} = - 1\)
\(\eqalign{
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over { - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over { - \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - 1}}\cr& = {{ - 4} \over { - 2}} = 2 \cr} \)
Tiệm cận xiên: \(y = -x + 2\) (khi \(x \to - \infty \)).
Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y = {{{x^2} + x + 1} \over {{x^2} - 1}}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over {1 - {1 \over {{x^2}}}}} = 1\)
Tiệm cận ngang: \(y = 1\) (khi \(x \to - \infty \) và \(x \to + \infty \))
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = + \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y = \sqrt {{x^2} + 4} \)
Câu trả lời của bạn
TXD: \(D =\mathbb R\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4} - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4} + x}} = 0\)
Tiệm cận xiên \(y = x\) (khi \(x \to + \infty \))
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }- \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} = - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4} + x} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4} - x}} = 0\)
Tiệm cận xiên \(y = -x\) (khi \(x \to - \infty \))
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị \((C)\) của hàm số: \(y = {{{x^2} - 2x + 2} \over {x - 3}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 3}} = x + 1 + \frac{5}{{x - 3}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = - \infty \) nên \(x = 3\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {5 \over {x - 3}} = 0\) nên \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên.
Tìm các đường tiệm cận: \(y = {{{x^2} + x - 4} \over {x + 2}}\)
Câu trả lời của bạn
\(y = x - 1 - {2 \over {x + 2}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = + \infty \) nên \(x = -2\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 2} \over {x + 2}}=0\) nên \(y = x -1\) là tiệm cận xiên.
Tìm các đường tiệm cận: \(y = {{{x^2} - 8x + 19} \over {x - 5}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = x - 3 + \frac{4}{{x - 5}}\) \(\left( {{C_2}} \right)\)
+ Tiệm cận xiên của đồ thị (C2) là đường thẳng y=x-3
(Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {x - 3 + \frac{4}{{x - 5}} - x + 3} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{4}{{x - 5}}} \right) = 0\))
Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x = 5
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)
\(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)
Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = 1\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\)
Bảng biến thiên:
Xét dấu \(y”\)
Điểm uốn \(I(1;2)\)
Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\)
Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(1;2)\) làm tâm đối xứng.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau: \(y = {x^3} - 3x + 1\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& y' = 3{x^2} - 3;\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right.;\cr&y\left( { - 1} \right) = 3;\,y\left( 1 \right) = - 1 \cr} \)
Bảng biến thiên:
\(y'' = 6x;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 1\)
Xét dấu \(y”\)
Điểm uốn \(I(0;1)\)
Điểm đặc biệt:\(x = 2 \Rightarrow y = 3\)
Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(0;1)\) làm tâm đối xứng.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *