Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm khái niệm Tiệm cận của đồ thị hàm số, biết được các phương pháp tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thì hàm số, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em biết cách giải được hầu hết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2 \end{array}\)
Vậy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = + \infty \end{array}\)
Vậy đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{1 \right\}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)
Vậy đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - 1\)
Suy ra đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1\)
Suy ra đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - \infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty\)
Suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}}\).
Ta có: \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ y \ge 1\\ {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \end{array} \right.\)
Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Để tìm được Tiệm cận đòi hỏi đầu tiên các em cần ôn lại bài Giới hạn hàm số đã được học ở lớp 11.
Để ôn luyện bài tập tốt hơn, xin mời các em cùng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \((2;+\infty )\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 1}}?\)
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}.\) Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 30 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 30 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.47 trang 24 SBT Toán 12
Bài tập 1.48 trang 24 SBT Toán 12
Bài tập 1.49 trang 24 SBT Toán 12
Bài tập 1.50 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.51 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.52 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.53 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.54 trang 25 SBT Toán 12
Bài tập 1.55 trang 25 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \((2;+\infty )\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 1}}?\)
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}.\) Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Tìm m để đồ thị hàm số \(y=\frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) có tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}.\) Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x - 3}}{{2{x^2} - x - 1}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 2}}\) có đồ thị (C). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đường x = 3 là một tiệm cận ngang của (C).
Cho hàm số y=f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 1\)
Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng?
Hàm số nào sau đây có đồ thị nhận đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng?
Cho hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) với m>1
Hỏi giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số trên luôn nằm trên một đường cố định có phương trình nào trong các phương trình sau?
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) \(y=\frac{x}{2-x}\).
b) \(y=\frac{-x+7}{x+1}\).
c) \(y=\frac{2x-5}{5x-2}\).
d) \(y=\frac{7}{x}-1\).
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a) \(y=\frac{2-x}{9-x^2}\) ;
b) \(y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\);
c) \(y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\);
d) \(y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\);
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\)
b) \(y = \frac{{3 - 2x}}{{3x + 1}}\)
c) \(y = \frac{5}{{2 - 3x}}\)
d) \(y = \frac{{ - 4}}{{x + 1}}\)
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
b) \(y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}}\)
c) \(y = \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\)
d) \(y = \frac{{3x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2 + \sqrt {3{x^2} + 2} }}\)
e) \(y = \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}}\)
a) Cho hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}}\) có đồ thị H (H.1.1)
Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H') có tiệm cận ngang
b) Lấy đối xứng (H') qua gốc O, ta được hình (H''). Viết phương trình của (H'').
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{3 - 2x}}\) là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - x + 2}}{{{x^2} - 5}}\) là:
A. \(x = 2\)
B. \(x = \pm \sqrt 5 \)
C. \(x = \pm 1\)
D. \(x = 3\)
Tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\) là:
A. x = 2, y = 0
B. x = 0, y = 2
C. x = 1, y = 1
D. x = −2, y = −3
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(y = \frac{{{x^2} - 12x + 27}}{{{x^2} - 4x + 5}}\) là:
A. y = 1
B. y = 5
C. y = 3
D. y = 10
Cho hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 4}}\). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tính OI.
A. 3
B. 6
C. 5
D. 2
Đồ thị hàm số nào sau đây có hai tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một tứ giác có diện tích bằng 12?
A. \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{2x - 3}}{{1 - x}}\)
C. \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 5}}\)
D. \(y = \frac{{3x + 7}}{{x - 4}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Biết đồ thị hàm số y=\(\frac{(2a-b)x^{2}-ax+1}{x^{2}+ax+a+b-6}\) nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận. Tính S= a.b
A. S=8
B. S=6
C. S=4
D. S=2
Mọi người làm chi tiết hộ em nhé
Câu trả lời của bạn
Tìm m để đồ thị hàm số \(y=\frac{x^{2}-x+3}{x^{2}+mx+1}\) có đúng 2 tiệm cận
Câu trả lời của bạn
Dễ thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} - x + 3}}{{{x^2} + mx + 3}} = 0\) nên đồ thị hàm số luôn nhận đường thẳng \(y = 1\) làm tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận khi nó có một tiệm cận đứng.
Ta có phương trình \({x^2} - x + 3 = 0\) vô nghiệm.
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình \({x^2} + mx + 3 = 0\) có nghiệm kép.
Hay: \(\Delta = {m^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\sqrt 3 \\m = 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Tìm m để đồ thị hàm số \(y=\frac{x^{2}-x+3}{x^{2}+mx+3}\) có đúng 1 tiệm cận
Câu trả lời của bạn
Dễ thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} - x + 3}}{{{x^2} + mx + 3}} = 0\) nên đồ thị hàm số luôn nhận đường thẳng \(y = 1\) làm tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận khi nó không có tiệm cận đứng.
Ta có phương trình \({x^2} - x + 3 = 0\) vô nghiệm.
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi phương trình \({x^2} + mx + 3 = 0\) vô nghiệm.
Hay: \(\Delta = {m^2} - 12 < 0 \Leftrightarrow - 2\sqrt 3 < m < 2\sqrt 3 .\)
Tìm số giá trị nguyên của m thuộc [-2018;2018] để đồ thị hàm số \(y=\frac{3-x}{x^{2}+mx+3}\) không có tiệm cận đứng
A. 5
B. 7
C. 4026
D. 4032
Câu trả lời của bạn
Cho mình hỏi răng mà 12+3m=0 zậy
Nhưng làm k ra a ơi a làm lại hộ e dc k
Làm đến đáp số rồi mà????????????????????????
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \({x^2} + mx + 3 = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 3.
TH1: Phương trình \({x^2} + mx + 3 = 0\) vô nghiệm
\(\Delta = {m^2} - 12 < 0 \Leftrightarrow - 2\sqrt 3 < m < 2\sqrt 3 \)
TH2: Phương trình có nghiệm kép bằng 3
\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 12 = 0\\12 + 3m = 0\end{array} \right.\) (vô nghiệm)
Vậy \( - 2\sqrt 3 < m < 2\sqrt 3 \)thỏa yêu cầu bài toán.
Suy ra có 7 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Tìm số giá trị nguyên của m thuộc [-2018;2018] để đồ thị hàm số\(y=\frac{x+3}{x^{2}+x+m-2}\) có đúng 2 tiệm cận đứng
A. 2021
B. 2020
C. 2016
D. 2016
Câu trả lời của bạn
cho mình hỏi số 2-(-2018) số 2 này chỗ mô ra thế
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \({x^2} + x + m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 3,\) hay:
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = - 4m + 9 > 0\\4 + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{9}{4}\\m \ne - 4\end{array} \right.\)
Vậy trên đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) có \(2 - \left( { - 2018} \right) + 1 - 1 = 2020\) (giá trị của m)
Cách tìm số số nguyên của một dãy cho trước:
Số lớn nhất – số bé nhất +1
Bài này bỏ giá trị của -4 nên trừ đi 1.
Tại sao lại ra chỗ này ạ \(2-(-2018)+1-1 ?\)
Với dòng cuối anh viết là có ý nghĩa gì thế?
Dòng cuối giải thích cho vấn đề em vừa hỏi đó.
Ví dụ từ 2 đến 100 hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thì lấy 100-2+1=99 số tự nhiên.
Tập hợp tất cả các giá trị của m để qua điểm M(2;m)kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số y=x^3 -3x^2 là?
Câu trả lời của bạn
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M có dạng \(y = k(x - 2) + m\)
Sử dụng điều kiện tiếp xúc ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} = k(x - 2) + m\,\,(1)\\k = 3{x^2} - 6x\,\,(2)\end{array} \right.\)
Thay (2) vào (1) ta có:
\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} = (3{x^2} - 6x)(x - 2) + m\\{x^3} - 3{x^2} = 3{x^3} - 12{x^2} + 12x + m\\2{x^3} - 9{x^2} + 12x + m = 0\,\,(3)\end{array}\)
\((3) \Leftrightarrow 2{x^3} - 9{x^2} + 12x = - m\)
Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x\) để tìm giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
Tìm số giá trị nguyên của m thuộc [-2018;2018] để đồ thị hàm số\(y=\frac{3-x}{x^{2}-2mx+8}\) không có tiệm cận đứng
A.5
B.7
C.4026
D.4032
Câu trả lời của bạn
làm giống bài này thôi, mình có hướng dẫn bạn bài tương tự rồi nhé:https://dapanhay.com/hoi-dap/toan-12/tim-so-gia-tri-nguyen-cua-m-thuoc-2018-2018-de-do-thi-ham-so-khong-co-tiem-can-dung-faq25039.html
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số \(y=\frac{mx+1}{x+1}\) có 2 đường tiệm cận
Câu trả lời của bạn
Đồ thị hàm số y=\frac{x^{2}-2x+3}{x-1} có bao nhiêu tiệm cận
Câu trả lời của bạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}} = + \infty \)
Nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng.
Tiệm cận xiên không xét vì chương trình cơ bản không có học.
Cho hàm số (C): y= \(\frac{x}{x-1}\) và đường thẳng d: y=x+m. Tập tất cả các giá trị m sao cho (C) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt là?
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{x - 1}} = x + m\\ \Rightarrow x = (x + m)(x - 1)\,\,\,(x \ne 1)\\ \Leftrightarrow x = {x^2} + (m - 1)x - m\\ \Leftrightarrow {x^2} + (m - 2)x - m = 0\,\,(*)\end{array}\)
(C) cắt d tại hai điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1, hay:
\(\left\{ \begin{array}{l}{1^2} + (m - 2).1 - m \ne 0\\\Delta = {(m - 2)^2} - 4m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \ne 0\\{m^2} - 8m + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 4 - 2\sqrt 3 \\x > 4 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}(C)\). Tìm điểm M \(\in (C)\) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
Tìm điểm \(M\in (C)\) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C), Khi đó \(M(a,1+\frac{2}{a-1}).\)
Hai đường tiệm cận của đồ thị là: \((d_{1})x=1,\) và \((d_{2})y=1.\)
Ta có khoảng cách từ M đến \((d_{1})\) là:
\(d(M,d_{1})=\frac{\left | a-1 \right |}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\left | a-1 \right |\)
Khoảng cách từ M đến \((d_{2})\) là:
\(d(M,d_{2})=\frac{\left | 1+\frac{2}{a-1} 1\right |}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\left | \frac{2}{a-1} \right |\)
Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là:
\(d(M,d_{1})+d(M,d_{2})=\left | a-1 \right |+\left | \frac{2}{a-1} \right |\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(\left | a-1 \right |\) và \(\left | \frac{2}{a-1} \right |\) ta có:
\(\left | a-1 \right |+\left | \frac{2}{a-1} \right |\geq 2\sqrt{2}\), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
\(\left | a-1 \right |=\left | \frac{2}{a-1} \right |\Leftrightarrow (a-1)^{2}=\left | 2 \right |\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix}a^{2}-2a+1=2 \\ a^{2}-2a+1=-2 \end{matrix}\Leftrightarrow a=1\pm \sqrt{2}\)
Tương ứng ta có 2 điểm M thỏa mãn là:
\(M_{1}(1+\sqrt{2},1+\sqrt{2})\) và \(M_{2}(1-\sqrt{2},1-\sqrt{2})\)
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-3}{x+2015}\)
Câu trả lời của bạn
Vì \(\lim_{x\rightarrow 2015^+}\frac{2x-3}{x+2015}=-\infty\) (hoặc \(\lim_{x\rightarrow 2015^-}\frac{2x-3}{x+2015}=+\infty\)) nên x =-2015 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \(\lim_{x\rightarrow 2015^+}\frac{2x-3}{x+2015}=2\) nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Cho hàm số \(\small y=\frac{2x-1}{x-1}\)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) , hãy tìm trên đồ thị (C) điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn \(\small 2IA^2+IB^2=12\)
Câu trả lời của bạn
+ Tập xác định: D = R\ \(\small \left \{ 1 \right \}\)
+ \(\small y'=\frac{-1}{(x-1)^2}<0\forall x\in D\): Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\small (-\infty ;1);(1;+\infty )\)
+ \(\small \lim_{x\rightarrow 1^-}y=-\infty ; \lim_{x\rightarrow 1^+}y+\infty : TCD \ x = 1\)
+ \(\small \lim_{x\rightarrow \pm \infty}y=2: TCN \ y= 2\)
+ Điểm đặc biệt (0 ;1); \(\small (\frac{1}{2};0)\)
+ Đồ thị:
b,
I(1;2). Gọi \(\small M(x_0;\frac{2x_0-1}{x_0-1}\in (C)), x_0>0;x_0\neq 1\)
+ Pttt với (C) tại M: \(\small d:y=-\frac{1}{(x_0-1)^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-1}{x_0-1}\)
+ A là giao điểm của d và TCĐ \(\small \Rightarrow A\left ( 1;\frac{2x_0}{x_0-1} \right )\)
+ B là giao điểm của d và TCN \(\small \Rightarrow B (2x-1;2)\)
+ Tính được \(\small IA^2=\frac{4}{(x_0-1)^2};IB^2=4(x_0-1)^2\)
\(\small \Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} (x_0-1)^2=1\\ (x_0-1)^2=2 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x_0-1=1\\ x_0-1=-1\\ x_0-1=\sqrt{2}\\ x_0-1=-\sqrt{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x_0=2\\ x_0=0 \ (loai)\\ x_0=1+\sqrt{2}\\ x_0=1-\sqrt{2} \ (loai) \end{matrix}\)
+ KL : Vậy có 2 điểm cần tìm \(\small M_1(2;3);M_2(1+\sqrt{2};2+\frac{\sqrt{2}}{2})\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đồ thi (C) sao cho khoảng cách từ M đến đến trục Oy bằng 2 lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (1).
Câu trả lời của bạn
* Tập xác định: \(D=R\) \ {1}
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y'=-\frac{3}{(x-1)^2}< 0,\forall x\in D\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;1);(1;+\infty )\)
Hàm số không có cực trị.
* Giới hạn và tiệm cận:
Ta có:
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }=2\Rightarrow\) đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-}y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow 1^+}y=1=+\infty \Rightarrow\) đường thẳng x=1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C).
* Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị (C) cắt Ox tai điểm \(\left ( -\frac{1}{2};0 \right )\), cắt trục Oy tai điểm (0;-1)
b.
Gọi \(M(a;\frac{2a+1}{a-1})\in (C)\) (điều kiện \(a\neq 1\))
Gọi đường thẳng \(\Delta\) là đường tiệm cận ngang của đồ thi (C) .
Ta có \(d(M,Oy)=\left | a \right |;d(M,\Delta )=\frac{\left | 0.a+1.\frac{2a+1}{a-1} -2\right |}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{3}{\left | a-1 \right |}\)
Theo giả thiết khoảng cách từ M đến đến trục Oy bằng 2 lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang do đó: \(2.\frac{3}{\left | a-1 \right |}=\left | a \right |\)
\(\Leftrightarrow \left | a^2-a \right |=6\Leftrightarrow\bigg \lbrack\begin{matrix} a^2-a=6\\ a^2-a=-6 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a^2-a-6=0\\ a^2-a+6=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=3\\ a=-2 \end{matrix}\)
Vì phương trình \(a^2-a+6=0\) vô nghiệm
Với \(a=3\Rightarrow M(3;\frac{7}{2})\)
Với \(a=-2\Rightarrow M(-2;1)\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Tìm phương trình các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(f(x)=\frac{\sqrt{x^2+2}}{x}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: D = R \ {0}
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{\sqrt[\left | x \right |]{1+\frac{2}{x^2}}}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty } \bigg(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}\bigg)=1\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( -\sqrt{1+\frac{2}{x^2}} \right )=-1\)
Các đường thẳng: y = ± 1 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty ;\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-\infty\)
+ Đường thẳng x = 0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-2} \ (C)\) Tìm tọa độ điểm A thuộc tiệm cận ngang của (C), biết IA =4 với I là giao điểm của các đường tiệm cận của (C).
Câu trả lời của bạn
Đường tiệm cận ngang y = 2, đường tiệm cận đứng x = 2
Tọa độ điểm I(2;2)
A thuộc tiệm cận ngang nên A(x0;2)
\(IA=4\Leftrightarrow \left | x_0-2 \right |=4\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x_0=6\\ x_0=-2 \end{matrix}\)
Với x = 6 thì A(6;2)
Với x = -2 thì A(-2;2)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(f(x)=2x-\sqrt{1-x^2}\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(-1\leq x\leq 1\)
\(f'(x)=2+\frac{2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{2\sqrt{1-x^2}+x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{1-x^2}=-x\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -x\geq 0\\ 4(1-x^2)=x^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=-\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(f(-1)=-2, f(1)=2, f(-\frac{2}{\sqrt{5}})=-\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\sqrt{5}\)
\(GTNN \ f(x)=-\sqrt{5} \ khi \ x = -\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(GTLN \ f(x)=2 \ khi \ x = 1\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x + 1}\) có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
1.
TXĐ: R\{-1}
\(y' = \frac{1}{(x+1)^2} > 0, \forall x\neq -1\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((-1; + \infty )\)
Giới hạn:
\(\lim_{x\rightarrow -1^+} \frac{2x+1}{x+1} = - \infty ; \lim_{x\rightarrow -1^-} \frac{2x+1}{x+1} = + \infty\) ⇒ đường tiệm cận đứng của đồ thị là x = - 1
\(\lim_{x\rightarrow + \infty } \frac{2x+1}{x+1} = 2 ; \lim_{x\rightarrow - \infty } \frac{2x+1}{x+1} = 2\) ⇒ đường tiệm cận ngang của đồ thị là y = 2
Bảng biến thiên
Đồ thi
2,
Gọi điểm \(M\left ( a;2-\frac{1}{a+1} \right )\) thuộc đồ thị (C)
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng \(\Delta _1: x = -1\) là \(d(M; \Delta _1) = |a+1|\)
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng \(\Delta _2: y = 2\) là \(d(M; \Delta _2) = \left |\frac{1}{a+1} \right |\)
Suy ra \(d(M; \Delta _1) + d(M; \Delta _2) = |a+1| + \left |\frac{1}{a+1} \right |\)
Dấu bằng xảy ra khi a = 0 hoặc a = -2
Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất bằng 2 khi M(0; 1) hoặc M(-2; 3)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm điểm M trên (C) để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng của đồ thị (C) bằng khoảng cách từ M đến trục Ox.
Câu trả lời của bạn
a.
- Tập xác định D = R \ {1}
- Sự biến thiên \(y'=\frac{-3}{(x-1)^2}<0\) với \(\forall x\in D\)
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty ;1);(1;+\infty )\)
+ Hàm số không có cực trị
+ \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty }y(x)=2\) suy ra đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị
\(\lim_{x\rightarrow 1^+ }y(x)=+\infty ;\lim_{x\rightarrow 1^- }y(x)=-\infty\) suy ra đường thẳng x 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị
+ Bảng biến thiên
- Đồ thị
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 1), (2;1), (4;3), (2;5)
+ Đồ thị nhận điểm I (1;2) làm tâm đối xứng.
b.
Gọi \(M(x_0;y_0),(x_0\neq 1),y_0=\frac{2x_0+1}{x_0-1}\), Ta có
\(d(M,\Delta _1)=d(M,Ox)\Leftrightarrow \left | x_0-1 \right |=\left | y_0 \right |\)
\(\Leftrightarrow \left | x_0-1 \right |=\left | \frac{2x_0+1}{x_0-1} \right |\Leftrightarrow (x_0-1)^2=\left | 2x_0+1 \right |\)
Với \(x_0\geq -\frac{1}{2}\), ta có \(x^2_0-2x_0+1=2x_0+1\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x_0=0\\ x_0=4 \end{matrix}\)
M(0;-1), M(4;3)
Với \(x_0<- \frac{1}{2}\), ta có pt \(x_0^2-2x_0+1=-2x_0-1\Leftrightarrow x_0^2+2=0\) (vô nghiệm)
M(0;-1) M(4;3)
Hôm nay thầy mình cho bài tập này về nhà, mình không biết phải giải như thế nào, bạn nào giúp mình nhé!
Tìm các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số \(y = ax + \sqrt {4{x^2} + 1}\) có tiệm cận ngang.
A. \(a=-2\) hoặc \(a=\frac{1}{2}\)
B. \(a=\pm \frac{1}{2}\)
C. \(a=\pm 2\)
D. \(a=\pm 1\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải của bạn hay quá, cảm ơn bạn nhiều!
Chào bạn! Đây là bài giải của mình, bạn tham khảo:
Yêu cầu bài toán tương đương với:
Tìm a để: \(\left[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ax + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = c\,\,(1)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ax + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = c\,\,(2) \end{array} \right.\) với c là hằng số.
Giải sử 1 đúng thì ta suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ax + \sqrt {4{x^2} + 1} }}{x}} \right) = 0\,\,(3)\)
Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ax}}{x} = a;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{x} = 2\)
Vậy VT(3) bằng a+2 suy ra a=-2.
Tương tự (2) đúng suy ra a=2.
Thử lại với \(a=\pm 2\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *