Khái niệm Tích phân được giới thiệu sau khái niệm nguyên hàm, là sự kế thừa và phát triển của bài học trước. Tương tự bài học Nguyên hàm, bài Tích phân sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích tính phân là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần được xây dựng trên nền tảng Nguyên hàm của một hàm số.
Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\) Trong trường hợp \(a
Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K.
Công thức đổi biến số \(\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }.\) Trong đó \(f(x)\) là hàm số liên tục và \(u(x)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp \(f[u(x)]\) xác định trên J; \(a,\,b \in J.\)
Định lí:
Nếu \(u(x),\,v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và \(a,b\) là hai số thuộc K thì \(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.\)
Áp dụng công thức tính tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:
a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}\)
b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\)
a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)
\(= \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = - 1 + \ln 2\)
b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx = } \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)
Áp dụng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx\)
b) \(I = \int\limits_0^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx}\)
c) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}\)
a) Đặt: \(t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Rightarrow 2tdt = dx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 3 \Rightarrow t = 2\)
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = \int\limits_1^2 {2t(t - 1)dt} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^3} - {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{3} \end{array}\)
b) Đặt: \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} - 1}\\ {xdx = tdt} \end{array}} \right.\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
Vậy: \(I = \int\limits_1^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} - 1} \right)t.tdt} = \left( {\frac{{{t^5}}}{5} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 5 }\\ 1 \end{array} = \frac{2}{{15}} + \frac{{10\sqrt 5 }}{3}} \right.\)
c) Đặt \(x = 2\sin t\) với \(t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\)
Vậy: \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }} = } } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{6}}\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{\pi }{6}\)
Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính các tích phân sau:
a) \(I = \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}\)
b) \(I = \int\limits_1^2 {({x^2} - 1)\ln xdx}\)
a) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = {e^{2x}}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \end{array}} \right.\)
\(I = \left. {\frac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\).
b) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \left( {{x^2} - 1} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3} - 3x}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)
\(I = \left. {\frac{{\left( {{x^3} - 3x} \right)\ln x}}{3}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 3}}{3}} dx = \frac{{2\ln 2}}{3} - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{9} - x} \right)} \right|_1^2\)\(= \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{2}{9}\).
Khái niệm Tích phân được giới thiệu sau khái niệm nguyên hàm, là sự kế thừa và phát triển của bài học trước. Tương tự bài học Nguyên hàm, bài Tích phân sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích tính phân là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần được xây dựng trên nền tảng Nguyên hàm của một hàm số.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 3.}\)
Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx.}\)
Tính \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) biết \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 5;\,\int\limits_b^d {f\left( x \right)} = 2\) với \(a < b < d\).
Tìm tập hợp giá trị của m sao cho \(\int\limits_0^m {\left( {2x - 4} \right)dx} = 5.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 112 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 112 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 3.16 trang 170 SBT Toán 12
Bài tập 3.17 trang 170 SBT Toán 12
Bài tập 3.18 trang 171 SBT Toán 12
Bài tập 3.19 trang 171 SBT Toán 12
Bài tập 3.20 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.21 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.22 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.23 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.24 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.25 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.26 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.28 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.27 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.29 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.30 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 10 trang 152 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 152 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 162 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 162 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 162 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 162 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 3.}\)
Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx.}\)
Tính \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) biết \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 5;\,\int\limits_b^d {f\left( x \right)} = 2\) với \(a < b < d\).
Tìm tập hợp giá trị của m sao cho \(\int\limits_0^m {\left( {2x - 4} \right)dx} = 5.\)
Cho \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x - 1}}{{{x^2} - {{\ln }^2}x}}dx,}\) đặt \(t = \frac{{\ln x}}{x}.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
Kết quả tích phân \(\int_0^2 {\left( {2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} dx = 3\ln a + b\). Tính tổng a+b.
Tích phân \(\int\limits_0^e {\left( {3{x^2} - 7x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \) có giá trị bằng?
Tính \(\int\limits_0^a {x{{\left( {3 - x} \right)}^3}dx} \)
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{2e} {\frac{{\ln x + 1}}{x}dx} \)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos \left( {a - x} \right)dx} \)
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\sin }^n}x.\cos xdx} = \frac{1}{{64}}\). Tìm n?
Tính các tích phân sau:
a)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\) b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)
c) d)
e) g)
Tính các tích phân sau:
a) \(\int_{0}^{2}\left | 1-x \right |dx\) b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{2}x dx\)
c) d)
Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:
a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (Đặt u= x+1)
b) (Đặt x = sint )
c) (Đặt u = 1+x.ex)
d) (Đặt x= asint)
Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\) ; b)
c) ; d)
Tính các tích phân sau:
a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\);
b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\);
c) .
Tính tích phân \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp:
a) Đổi biến số u = 1 - x;
b) Tính tích phân từng phần.
Tính các tích phân sau:
a) \(\int \limits_0^1 \left( {{y^3} + 3{y^2} - 2} \right)dy\)
b) \(\int \limits_1^4 \left( {t + \frac{1}{{\sqrt t }} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt\)
c) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {2\cos x - \sin 2x} \right)dx\)
d) \(\int \limits_0^1 {\left( {{3^s} - {2^s}} \right)^2}ds\)
e) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{3}} \cos 3xdx + \int \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{3\pi }}{2}} \cos 3xdx + \int \limits_{\frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{5\pi }}{2}} \cos 3xdx\)
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
a) \(\int \limits_1^2 x{\left( {1 - x} \right)^5}dx\) (đặt t = 1−x)
b) \(\int \limits_0^{\ln 2} \sqrt {{e^x} - 1} dx\) (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))
c) \(\int \limits_1^9 x\sqrt[3]{{1 - x}}dx\) (đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}\))
d) \(\int \limits_0^\pi \frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx\) (đặt \(x = \pi - t\))
e) \(\int \limits_{ - 1}^1 {x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}dx\)
Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:
a) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos 2xdx\)
b) \(\int \limits_0^{\ln 2} x{e^{ - 2x}}dx\)
c) \(\int \limits_0^1 \ln (2x + 1)dx\)
d) \(\int\limits_2^3 {\left[ {\ln \left( {x - 1} \right)} \right] - \ln \left( {x + 1} \right)dx} \)
e) \(\int \limits_{\frac{1}{2}}^2 \left( {1 + x - \frac{1}{x}} \right){e^{x + \frac{1}{x}}}dx\)
g) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos x{\sin ^2}xdx\)
Tính các tích phân sau đây:
a) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {x + 1} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)dx\)
b) \(\int \limits_0^1 \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\log _2}\left( {x + 1} \right)dx\)
c) \(\int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}dx\)
d) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}\)
Chứng minh rằng hàm số
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a;a]. Chứng minh rằng
\(\int \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = \left\{ \begin{array}{l}
2\int \limits_0^a f\left( x \right)\\
0
\end{array} \right.\)
nếu \(f\) chẵn hoặc \(f\) lẻ.
Áp dụng để tính \(\int \limits_{ - 2}^2 \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx\)
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng
\(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)dx = \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\cos x} \right)dx\)
Đặt \({I_n} = \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin ^n}xdx,n \in {N^ * }.\)
a) Chứng minh rằng \({I_n} = \frac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2\)
b) Tính
Khẳng định nào dưới đây đúng?
a) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin xdx + \int \limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} \sin xdx + \int \limits_{\frac{{3\pi }}{2}}^{2\pi } \sin xdx = 0\)
b) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sqrt[3]{{\sin x}} - \sqrt[3]{{\cos x}}dx = 0\)
c) \(\int \limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}}dx = 0\)
d) \(\int \limits_0^2 \left( {\frac{1}{{1 + x + {x^2} + {x^3}}} + 1} \right)dx = 0\)
Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây:
\(\int \limits_0^{2\pi } \left| {\sin x} \right|dx\)
A. \(\int \limits_0^{2\pi } \sin xdx\)
B. \(\int \limits_0^\pi 2\sin xdx\)
C. \(\int \limits_0^\pi \sin xdx - \int \limits_0^{2\pi } \sin xdx\)
D. \( - \int \limits_\pi ^{2\pi } 2\sin xdx\)
\(\int \limits_{ - 1}^1 \left| {x - {x^3}} \right|dx\) bằng:
A. \(\frac{1}{2}\)
B. 2
C. -1
D. 0
\(\int \limits_1^e \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx\) bằng?
A. \( - 1 - \frac{1}{e}\)
B. \(1 - \frac{2}{e}\)
C. \( - 1 + \frac{2}{e}\)
D.
\(\int \limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{\sin 2x\sin x}}{2} + {{\cos }^3}x} \right)dx\) bằng
A. 2
B. \(2\pi \)
C.
D.
Đối với tích phân \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx\), thực hiện đổi biến số \(t = \tan x\), ta được:
A. \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} tdt\)
B. \(\int \limits_{ - 1}^0 tdt\)
C. \(\int \limits_0^1 tdt\)
D. \( - \int \limits_0^1 tdt\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = \tan x\)\( \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\).
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0,\) \(x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\).
Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_0^1 {tdt} \).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x\) \( \Rightarrow 2tdt = dx\)
Khi đó \(\int\limits_0^1 {\sin \sqrt x dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\sin t.2tdt} = 2\int\limits_0^1 {t\sin tdt} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = \sin tdt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = - \cos t\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {t\sin tdt} = \left. { - t\cos t} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\cos tdt} \) \( = - 1\cos 1 + \left. {\sin t} \right|_0^1 = - \cos 1 + \sin 1\)
Vậy \(\int\limits_0^1 {\sin \sqrt x dx} = 2\left( {\sin 1 - \cos 1} \right)\)
Tính tích phân [(1n2x / x căn 1+1nx)+1nx]dx
Câu trả lời của bạn
Thực hiện phép tính: \(\smallint {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){e^x}dx\) bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} = \left( {x + 1} \right){e^x} - \int {{e^x}dx} \) \( = \left( {x + 1} \right){e^x} - {e^x} + C\) \( = x{e^x} + C\)
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} \,\,\,\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\,\frac{1}{2}} {{{\left( {1 - x} \right)}^{\frac{2}{3}}}dx} \\ = \left. {\frac{1}{{ - 1}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\\= \left. { - 1.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \\ = \left. { - \frac{3}{5}{{\left( {1 - x} \right)}^{\frac{5}{3}}}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\\= - \frac{3}{5}.\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{5}{3}}} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{\frac{5}{3}}}} \right]\\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{2^5}}}}} - \frac{{\sqrt[3]{{{3^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{2^5}}}}}} \right] \\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{2^3}{{.2}^2}}}}} - \frac{{\sqrt[3]{{{3^3}{{.3}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{2^3}{{.2}^2}}}}}} \right]\\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{2\sqrt[3]{4}}} - \frac{{3\sqrt[3]{9}}}{{2\sqrt[3]{4}}}} \right] \\= \frac{3}{{10\sqrt[3]{4}}}\left( {3\sqrt[3]{9} - 1} \right)\end{array}\)
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\dfrac{\pi}{4}-x)dx\).
Câu trả lời của bạn
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)dx} \)
\( = - \frac{1}{{ - 1}}\left. {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)
\(= \left. {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)
\( = \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) - \cos \frac{\pi }{4} = 0\)
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1}{x(x+1)}dx\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} \)
\( = \frac{{x + 1 - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)
\(= \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \left. {\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \left. {\ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^2\\= \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{3} = \ln \left( {\frac{2}{3}:\frac{1}{3}} \right) = \ln 2\end{array}\).
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\,\,x{\left( {x + 1} \right)^2} = x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) \\= {x^3} + 2{x^2} + x\\\Rightarrow \int\limits_0^2 {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx}\\ = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} + 2{x^2} + x} \right)dx} \\= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + 2\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 \\= \left( {\frac{{{2^4}}}{4} + 2.\frac{{{2^3}}}{3} + \frac{{{2^2}}}{2}} \right) - 0\\= \frac{{34}}{3}\end{array}\)
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\,\,\frac{{1 - 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3x - 3 + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\= \frac{{ - 3\left( {x + 1} \right) + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - \frac{3}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 - 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \\= \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( { - \frac{3}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx} \\= - 3\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} + 4\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \\= - \left. {3\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^2 - \left. {\frac{4}{{x + 1}}} \right|_{\frac{1}{2}}^2\\= - 3\left( {\ln 3 - \ln \frac{3}{2}} \right) - 4\left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{3}} \right)\\= - 3\ln 2 + \frac{4}{3}\end{array}\)
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\).
Câu trả lời của bạn
Cách 1:
Đặt \(f(x) = sin3xcos5x\) ta có:
\(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - 3x} \right)\cos \left( { - 5x} \right) \)\(= - \sin 3x\cos 5x = - f\left( x \right) \)
\(\Rightarrow \) hàm số đã cho là hàm số lẻ, từ đó ta có:
\(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 3x\cos 5xdx} = 0\).
Cách 2:
\(\begin{array}{l}\sin 3x\cos 5x \\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {3x + 5x} \right) + \sin \left( {3x - 5x} \right)} \right] \\= \frac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin \left( { - 2x} \right)} \right)\\= \frac{1}{2}\left( {\sin 8x - \sin 2x} \right)\\\Rightarrow \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 3x\cos 5xdx} \\= \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin 8x - \sin 2x} \right)dx} \\= \frac{1}{2}\left. {\left( { - \frac{{\cos 8x}}{8} + \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\\= \frac{1}{2}\left( { - \frac{5}{8} - \left( { - \frac{5}{8}} \right)} \right) = 0\end{array}\)
Tính tích phân cho sau: \(\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left| {1 - x} \right| = \left[ \begin{array}{l}1 - x\,\,khi\,\,x \le 1\\x - 1\,\,khi\,\,x > 1\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left| {1 - x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\)
\(= \int_0^1 {(1 - x)} dx + \int_1^2 {(x - 1)} dx\)
\( = \left. {\left( {x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\)
Tính tích phân cho sau: \(\int_0^{{\pi \over 2}} \sin ^2xdx\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} \\= \dfrac{1}{2}\left. {\left( {x - \dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{4}\end{array}\)
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\), (Đặt \(u= x+1\)).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(u= x+1 \Rightarrow du = dx\) và \(x = u - 1\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 3 \Rightarrow u = 4\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}dx} = \int\limits_1^4 {\frac{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} \\= \int\limits_1^4 {\frac{{{u^2} - 2u + 1}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} \\= \int\limits_1^4 {\left( {{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}} + {u^{ - \frac{3}{2}}}} \right)du} \\ = \left. {\left( {\frac{{{u^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} - 2.\frac{{{u^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{u^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}}} \right)} \right|_1^4\\= \left. {\left( {\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}} - 4{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^4\\= - \frac{{11}}{3} - \left( { - \frac{{16}}{3}} \right) = \frac{5}{3}\end{array}\)
Tính tích phân cho sau: \(\int_0^\pi \sin 2x\cos ^2xdx\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\,\,\sin 2x\cos ^ 2x = \sin 2x\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\\\,\,\, = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\sin 2x\cos 2x = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4}\sin 4x\\\Rightarrow \int\limits_0^\pi {\sin 2x\cos ^2xdx} = \int\limits_0^\pi {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4}\sin 4x} \right)dx} \\= \left. {\left( { - \dfrac{1}{4}\cos 2x - \dfrac{1}{{16}}\cos 4x} \right)} \right|_0^\pi \\= - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{16}} - \left( { - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{16}}} \right) = 0\end{array}\)
Tính tích phân cho sau: \(\displaystyle \int_0^{\ln 2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\,\,\int\limits_0^{\ln 2} {\dfrac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \int\limits_0^{\ln 2} {\left( {{e^{2x + 1 - x}} + {e^{ - x}}} \right)dx} \\= \int\limits_0^{\ln 2} {\left( {{e^{x + 1}} + {e^{ - x}}} \right)dx} \\= \left. {\left( {{e^{x + 1}} - {e^{ - x}}} \right)} \right|_0^{\ln 2}\\= {e^{\ln 2 + 1}} - {e^{ - \ln 2}} - \left( {e - 1} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
= {e^{\ln 2}}.{e^1} - {\left( {{e^{\ln 2}}} \right)^{ - 1}} - e + 1\\
= 2.e - {2^{ - 1}} - e + 1\\
= 2e - \frac{1}{2} - e + 1\\
= e + \frac{1}{2}
\end{array}\)
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\), (Đặt \(x = sint\) ).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(x = sint\), \(0<t<\frac{\pi}{2}\). Ta có: \(dx = costdt\)
và \(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}\)\(= \sqrt{cos^{2}t}=\left | cost \right |= cos t.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} \cos tdt} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\= \frac{1}{2}\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{4}\end{array}\)
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\), (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\)).
Câu trả lời của bạn
Đặt: \(u= 1 + x.{e^x}\)
\(\Rightarrow du = \left( {{e^x} + x.{e^x}} \right)dx \)\(= {e^x}\left( {1 + x} \right)dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 1 \Rightarrow u = 1 + e\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x{e^x}}}dx} = \int\limits_1^{1 + e} {\frac{{du}}{u}} = \left. {\ln \left| u \right|} \right|_1^{1 + e}\\= \ln \left( {1 + e} \right) - \ln 1 = \ln \left( {1 + e} \right)\end{array}\)
Hãy sử dụng phương pháp tích phân từng phần, Tính tích phân sau: \(\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(x+1)\sin xdx\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + 1} \right)\sin xdx} \\= \left. { - \left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \\= \left. { - \left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\end{array}\)
\( = - \left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right)\cos \frac{\pi }{2} + \left( {0 + 1} \right)\cos 0 \)\(+ \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0\)
\(=0+1+1-0=2\)
Hãy sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính tích phân sau: \(\int_{1}^{e}x^{2}\ln xdx\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx \\= \left. {\left( {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} \\= \left. {\left( {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^e - \left. {\frac{{{x^3}}}{9}} \right|_1^e\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
= \ln e.\frac{{{e^3}}}{3} - \ln 1.\frac{{{1^3}}}{3} - \left( {\frac{{{e^3}}}{9} - \frac{{{1^3}}}{9}} \right)\\
= \frac{{{e^3}}}{3} - 0 - \frac{{{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}\\
= \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}\\
= \frac{1}{9}\left( {2{e^3} + 1} \right)
\end{array}\)
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\), (Đặt \(x= asint\)).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(x = a\sin t \Rightarrow dx = a\cos tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{a}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{\sqrt {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}t} }}} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{a.\cos t}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = \left. t \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = \frac{\pi }{6}\end{array}\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *