a) Chứng minh rằng nếu \(f(x) \ge 0\) trên [a; b] thì \(\int \limits_a^b f\left( x \right)dx \ge 0.\)
b) Chứng minh rằng nếu \(f(x) \ge g(x)\) trên [a; b] thì \(\int \limits_a^b f\left( x \right)dx \ge \int \limits_a^b g\left( x \right)dx\)
a)
Nếu \(f\left( x \right) = 0\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {0dx} = \left. C \right|_a^b = 0\)
Nếu \(f\left( x \right) > 0\), gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Ta có: F’(x) = f(x) > 0 trên đoạn [a; b] nên F(x) đồng trên đoạn [a; b]
Mà a < b \( \Rightarrow \) F(a) < F (b).
\( \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right) > 0\).
Vậy \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0\).
b) Đặt h(x) = f(x) − g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a;b].
Theo câu a ta có:
\(\begin{array}{l}
\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \ge 0\\
\Rightarrow \int\limits_a^b f \left( x \right)dx - \int\limits_a^b g \left( x \right)dx \ge 0\\
\Rightarrow \int\limits_a^b f \left( x \right)dx \ge \int\limits_a^b g \left( x \right)dx
\end{array}\)
-- Mod Toán 12