Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm thế nào là Hàm số đồng biến, nghịch biến, điều kiện để hàm số đơn điệu trên một miền. Cùng với những ví dụ minh họa các dạng toán liên quan đến Tính đơn điệu của hàm số sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.
Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:
Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)
b) \(y=x^4-2x^2-1\)
c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)
b) \(y=x^4-2x^2-1\)
c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về tính đơn điệu của hàm số. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,....các em cần tìm hiểu thêm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số \(y = {x^2}(3 - x).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 9 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 10 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 10 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 10 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 10 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 8 SGK Giải tích 12 nâng cao
Bài tập 5 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài tập 7 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài tập 8 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài tập 9 trang 9 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài tập 10 trang 9 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài tập 1.1 trang 7 SBT Toán 12
Bài tập 1.2 trang 7 SBT Toán 12
Bài tập 1.3 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.4 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.5 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.6 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.7 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.8 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.9 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.10 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.11 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1.12 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1.13 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1.14 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1.15 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1.16 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 7 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 7 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 8 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 9 trang 9 SGK Toán 12 NC
Bài tập 10 trang 9 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số \(y = {x^2}(3 - x).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)
Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} - 2\) là:
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{{\rm{x}}^2} + x + 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hàm số \(y = 2{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1\) nghịch biến trên khoảng (hoặc các khoảng) nào sau đây:
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 12{\rm{x}} - 1\). Mệnh đề nào đúng?
Hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x\) đồng biến trên khoảng nào?
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) \(y = 4 + 3x - x^2\).
b) \(y =\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 - 7x - 2\).
c) \(y = x^4 - 2x^2 + 3\).
d) \(y = -x^3 + x^2 - 5\).
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) \(y = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}\).
b) \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{1 - x}}\).
c) \(y = \sqrt {{x^2} - x - 20} \).
d) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}\).
Chứng minh rằng hàm số \(y=\frac{x}{x^{2}+1}\) đồng biến trên khoảng (-1;1) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1 ; +\infty)\).
Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) đồng biến trên khoảng \((0 ; 1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((1 ; 2)\).
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(\tan x > x (0 < x <\frac{\pi }{2} )\)
b) \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)
Với các giá trị nào của a hàm số y = ax - x3 nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
Tìm các giá trị của tham số a để hàm số: \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+4x+3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Chứng minh rằng hàm số: f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(\sin x < x\) với mọi x > 0, \(\sin x > x\) với mọi x < 0.
b) \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x\neq 0\)
c) \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0;
\(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0
Chứng minh rằng
\(sinx +tanx > 2x\) với mọi \(x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\)
Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 ước tính bởi công thức \(f(t)=\frac{26t+10}{t+5}\)(f(x) được tính bằng nghìn người)
a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 và đầu năm 1995
b) Xem f là một hàm số xác định trên nữa khoảng \([0; +\infty )\). Tính f'(t) và xét chiều biến thiên của f trên nữa khoảng \([0; +\infty )\).
c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần số cảu thị trấn (tính bằng nghìn người/ năm)
- Tính tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 của thị trấn
- Tính tốc độ tăng dân số được dự kiến vào năm 2008.
- Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/ năm.
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) \(y = 3{x^2} - 8{x^3}\);
b) \(y = 16x + 2{x^2} - \frac{{16}}{3}{x^3} - {x^4}\);
c) \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\);
d) \(y = {x^4} + 8{x^2} + 5\)
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) \({y = \frac{{3 - 2x}}{{x + 7}}}\);
b) \(y = \frac{1}{{{{(x - 5)}^2}}}\);
c) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 9}}\);
d) \(y = \frac{{{x^4} + 48}}{x}\);
e) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}\);
g) \(y = \frac{{{x^2} - 5x + 3}}{{x - 2}}\).
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 100}}\);
b) \(y = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 6} }}\).
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) \({y = x - \sin x,x \in [0;2\pi ]}\);
b) \({y = \sin \frac{1}{x},(x > 0)}\).
Xác định tham số m để hàm số sau:
a) \(y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định;
b) \(y = - {x^3} + m{x^2} - 3x + 4\) nghịch biến trên (−∞;+∞).
Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất.
\(3(\cos x - 1) + 2\sin x + 6x = 0\)
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(\tan x > \sin x,0 < x < \frac{\pi }{2}\)
b) \(1 + \frac{1}{2}x - \frac{{{x^2}}}{8} < \sqrt {1 + x} < 1 + \frac{1}{2}\) với x > 0.
Xác định giá trị của b để hàm số \(f(x) = \sin x - bx + c\) nghịch biến trên toàn trục số.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.
B. Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {3x + 5} }}{{x - 1}}\) xác định trên R.
C. Hàm số \(y = {x^3} + 4x - 5\) đồng biến trên R.
D. Hàm số \(y = \sin x + 3x - 1\) nghịch biến trên R.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Chứng minh rằng hàm số sau: \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2x + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb R\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = - 2\sin 2x - 2 \\= - 2\left( {\sin 2x + 1} \right)\\
Do\,\,- 1 \le \sin 2x \le 1 \\\Rightarrow \sin 2x + 1 \ge 0,\forall x\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = - 2\left( {\sin 2x + 1} \right) \le 0,\forall x
\end{array}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1\) \( \Leftrightarrow 2x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\) \(\Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z\)
Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \(\left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ; - {\pi \over 4} + (k+1)\pi } \right]\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
Xét chiều biến thiên của hàm số: \(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \mathbb R\)
(vì \({x^2} - 2x + 3 \) \( = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2> 0,\forall x \in \mathbb R\))
\(y' = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}={{2x - 2} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \) \(= {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\);
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,(y = \sqrt 2 )\)
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Xét chiều biến thiên của hàm số: \(y = {1 \over {x + 1}} - 2x\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R \backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
\(y' = - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 2 < 0,\,\,\forall x \ne - 1\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Chứng minh bất đẳng thức: \(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(g\left( x \right) = \cos x + {{{x^2}} \over {2 }}-1\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm \(g'\left( x \right) = x - \sin x\)
Theo câu a) \(g'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x>0\) nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có
\(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x>0\), tức là \(\cos x + {{{x^2}} \over 2} - 1 > 0\) với mọi \(x>0\)
hay \(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x>0\) (1)
Với mọi x < 0 thì -x > 0 nên theo (1) ta có:
\(\cos \left( { - x} \right) > 1 - {{{{\left( { - x} \right)}^2}} \over 2}\)
\(\Leftrightarrow \cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x < 0\)
Vậy \(\cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\).
Chứng minh bất đẳng thức: \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0,\sin x > x\) với mọi \(x < 0\).
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x - \sin x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Đạo hàm \(f'\left( x \right) = 1 - \cos x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\).
Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Từ đó với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) ta có:
\(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \)
\(\Rightarrow x - \sin x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\).
\( \Leftrightarrow x > \sin x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Với \(x \ge {\pi \over 2}\) thì \(x > 1 \ge \sin x\).
Vậy \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0\)
Xét hàm số f(x) = x – sin x trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]\)
Đạo hàm f’(x) = 1 - cos x > 0 \(\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]\)
⇒ f(x) < f(0) hay x- sin x < 0
\( \Leftrightarrow x < \sin x,\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]\)
+ Hiển nhiên: x < sin x với mọi \(x \le - \frac{\pi }{2}\)
(vì \(x \le - \frac{\pi }{2} < - 1 \le \sin x\))
Do đó x < sin x với mọi x < 0.
Cách giải thích khác:
* Với mọi \(x<0\), áp dụng chứng minh ở trường hợp x > 0 ta có:
\(\sin \left( { - x} \right) < - x \) (do x < 0 thì -x > 0)
\(\Rightarrow - \sin x < - x \Rightarrow \sin x > x\)
Vậy \(\sin x > x\) với mọi \(x<0\).
Chứng minh bất đẳng thức: \(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x > 0\); \(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x<0\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(h\left( x \right) = \sin x - x + {{{x^3}} \over 6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x - 1 + {{{x^2}} \over 2} > 0\) với mọi \(x \ne 0\) (câu b)
Do đó \(h\) đồng biến trên \(\mathbb R\) nên ta có:
\(h\left( x \right) > h\left( 0 \right) = 0,\forall x > 0\) và \(h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0\)
Từ đó suy ra: \(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x>0\)
\(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\)với mọi \(x<0\)
Chứng minh rằng: \(\sin x + \tan x > 2x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \tan x - 2x\)
Ta có: f(x) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm: \(f'\left( x \right) = \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2\)
Vì \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) nên \(0 < \cos x < 1 \Rightarrow \cos x > {\cos ^2}x\)
\( \Rightarrow \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 2 \) \(> {\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2 \)
\( \ge 2\sqrt {{{\cos }^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} - 2 = 2 - 2 = 0\)
Do đó \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Suy ra hàm số \(f\) đồng biến trên \(\,\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Khi đó ta có \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \sin x + \tan x - 2x > 0\\
\Leftrightarrow \sin x + \tan x > 2x
\end{array}\)
với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\).
Số dân của một thị trấn sau \(t\) năm kể từ năm \(1970\) được ước tính bởi công thức: \(f\left( t \right) = {{26t + 10} \over {t + 5}},f\left( t \right)\) được tính bằng nghìn người). Tính số dân của thị trấn vào năm \(1980\) và năm \(1995\).
Câu trả lời của bạn
Vào năm \(1980\) thì \(t = 10\), số dân của thị trấn năm \(1980\) là:
\(f\left( {10} \right) = {{26.10 + 10} \over {10 + 5}} = 18\) nghìn người
Vào năm \(1995\) thì \(t=25\), số dân của thị trấn năm \(1995\) là:
\(f\left( {25} \right) = {{26.25 + 10} \over {25 + 5}} = 22\) nghìn người.
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = 3{x^2} - 8{x^3}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: R
\(y' = 6x - 24{x^2} = 6x(1 - 4x)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
Xét dấu \(y'\):
Ta thấy, \(y' > 0 \Leftrightarrow 0 < x < \dfrac{1}{4}\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)\).
\(y' < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{4}\\x < 0\end{array} \right.\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\).
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: R
\(y' = 3{x^2} - 12x + 9\)
y'=0 <=> \(\left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = 3} \cr} } \right.\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < 1\end{array} \right.\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(y' < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = 16x + 2{x^2} - {{16} \over 3}{x^3} - {x^4}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: R
\(y' = 16 + 4x - 16{x^2} - 4{x^3}\) \( = - 4(x + 4)({x^2} - 1)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = \pm 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = {x^4} + 8{x^2} + 5\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: R
\(y' = 4{x^3} + 16x = 4x({x^2} + 4)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow x > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(y' < 0 \Leftrightarrow x < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = {{3 - 2x} \over {x + 7}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 7} \right\}\)
\(y' = \dfrac{{ - 2.7 - 3.1}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} < 0,\) \(\forall x \ne - 7\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 7} \right)\) và \(\left( { - 7};+ \infty \right)\).
Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = {{{x^4} + 48} \over x}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^4} + 48} \right)'.x - \left( x \right)'.\left( {{x^4} + 48} \right)}}{{{x^2}}}\) \( = \dfrac{{4{x^3}.x - {x^4} - 48}}{{{x^2}}} = \dfrac{{3{x^4} - 48}}{{{x^2}}}\) \( = \dfrac{{3\left( {{x^4} - 16} \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{3\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).
Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = {1 \over {{{(x - 5)}^2}}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - \left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}\) \( = \dfrac{{ - 2\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}\) \( = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} > 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^3} < 0 \Leftrightarrow x < 5\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\).
\(y' < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} < 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^3} > 0 \Leftrightarrow x > 5\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\).
Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = {{2x} \over {{x^2} - 9}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 3} \right\}\)
\(y' = \dfrac{{\left( {2x} \right)'.\left( {{x^2} - 9} \right) - 2x.\left( {{x^2} - 9} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 9} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2{x^2} - 18}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{ - 2\left( {{x^2} + 9} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right),\left( { - 3;3} \right),\left( {3; + \infty } \right)\).
Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = {{{x^2} - 5x + 3} \over {x - 2}}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^2} - 5x + 3} \right)'\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)'\left( {{x^2} - 5x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 5x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\).
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Xét tính đơn điệu của hàm số: \(y = {{\sqrt x } \over {x + 100}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {\sqrt x } \right)'\left( {x + 100} \right) - \sqrt x .\left( {x + 100} \right)'}}{{{{\left( {x + 100} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{x + 100}}{{2\sqrt x }} - \sqrt x }}{{{{\left( {x + 100} \right)}^2}}} = \dfrac{{100 - x}}{{2\sqrt x {{\left( {x + 100} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 100\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0; 100)\) và nghịch biến trên khoảng \((100; +∞)\)
Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)'\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 2x - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 5 = 0\) \( \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 6 \)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1 - \sqrt 6 ),( - 1 + \sqrt 6 ; + \infty )\)
và nghịch biến trên các khoảng \(( - 1 - \sqrt 6 ; - 1), ( - 1; - 1 + \sqrt 6 )\)
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: \(y = \sin {1 \over x}\) , \((x > 0)\).
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(y = \sin {1 \over x}\) với \(x > 0\).
\(y' = - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}\)
Với \(x>0\) ta có:
\({1 \over {{x^2}}}( - \cos {1 \over x}) > 0\) ⟺ \(\cos {1 \over x}\) < 0
⟺ \({\pi \over 2}(1 + 4k) < {1 \over x} < {\pi \over 2}(3 + 4k)\) ,k = 0, 1, 2 ….
⟺ \({2 \over {\pi (1 + 4k)}} > x > {2 \over {\pi (3 + 4k)}}\) , k = 0, 1, 2 ……..
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng
\(....,({2 \over {(4k + 3)\pi }};{2 \over {(4k + 1)\pi }}),({2 \over {(4k - 1)\pi }};{2 \over {(4k - 3)\pi }}),.....,\) \(({2 \over {7\pi }};{2 \over {5\pi }}),({2 \over {3\pi }};{2 \over \pi })\)
và nghịch biến trên các khoảng
……, \(({2 \over {(4k + 1)\pi }};{2 \over {(4k - 1)\pi }}),({2 \over {5\pi }};{2 \over {3\pi }}),.....,({2 \over \pi }; + \infty )\)
với k = 0, 1, 2 …
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *