ĐẠI SỐ LỚP 9

troi

troi

x³ + y³ + z³ – xyz – xyz – xyz - x²y – y²x – x²z – z²x - y²z – z²y + x²y + y²x + x²z + z²x+ y²z+ z²y ... ta phân tích từ bài đã cho ra (x+y+z)(z²+x²+y²-xy-yz-zx)=0.

Cái nào khó quá, mà hình như bài này trên vietjack có nè

theo đề ta có :

1% của lớp 9 là

802=6 hs

lớp 9 trường đó có

6.100=600 hs

Để \(x\) là căn bậc hai số học của số \(a\) không âm thì \(x ≥ 0\) và \(x^2 = a.\) 

Ví dụ: số 2 là căn bậc hai số học của 4 vì \(2 > 0\) và \(2^2 = 4.\) 

Ta xét hai trường hợp:

+) Nếu \(a > 0 \Rightarrow \left| a \right| = a \Rightarrow {\left| a \right|^2} = a\)

+) Nếu \(a < 0 \Rightarrow \left| a \right| =  - a \Rightarrow {\left| a \right|^2} = {\left( { - a} \right)^2} = {a^2}\)

Hay ta luôn có \({\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {a^2}\left( 1 \right)\) mà \(\left| a \right| \ge 0\) với mọi \(a\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left| a \right|\) là căn bậc hai số học của \({a^2}\) hay \(\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|\)

Ta có: \(\sqrt A \) xác định khi \(A \ge 0\) hay nói cách khác : điều kiện xác định của căn bậc hai là biểu thức lấy căn không âm. 

Định lí: Nếu \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\) thì \(\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b \)

Chứng minh:  Vì \(a \ge 0,b \ge 0 \Rightarrow ab \ge 0,\) do đó \(\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt {ab} \) đều xác định

Ta có: \({\left( {\sqrt a .\sqrt b } \right)^2} = {\left( {\sqrt a } \right)^2}.{\left( {\sqrt b } \right)^2} = a.b\)

Do \(\sqrt a  \ge 0,\sqrt b  \ge 0 \Rightarrow \sqrt a .\sqrt b  \ge 0\)

Vậy \(\sqrt a .\sqrt b \) là căn bậc hai số học của tích \(ab\) 

Hay \(\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} \)

Ví dụ: \(\sqrt {49.36}  = \sqrt {49} .\sqrt {36} \)\( = 7.6 = 42\)

Định lý: Nếu \(a \ge 0,b > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\)

Chứng minh:

Do \(a \ge 0,b > 0\) nên \(\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) xác định

Ta có: \({\left( {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} = \dfrac{a}{b}\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\sqrt a  \ge 0,\sqrt b  > 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} \ge 0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) là căn bậc hai số học của \(\sqrt {\dfrac{a}{b}} \)

Hay \(\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) 

Ví dụ: \(\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}}  = \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{4}{9}\); \(\dfrac{{\sqrt {32} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\dfrac{{32}}{2}}  = \sqrt {16}  = 4\)

\(\eqalign{
& \sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}} \cr
& = \sqrt {{{25} \over {81}}} .\sqrt {{{16} \over {49}}} .\sqrt {{{196} \over 9}} \cr & = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{3}} \right)}^2}}\cr
& = {5 \over 9}.{4 \over 7}.{{14} \over 3} = {{40} \over {27}} \cr} \)

\(\eqalign{
& \sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}2{{34} \over {81}}} \cr
& = \sqrt {{{49} \over {16}}.{{64} \over {25}}.{{196} \over {81}}} \cr
& = \sqrt {{{49} \over {16}}} .\sqrt {{{64} \over {25}}} .\sqrt {{{196} \over {81}}} \cr & = \sqrt {{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{9}} \right)}^2}}\cr
& = {7 \over 4}.{8 \over 5}.{{14} \over 9} = {{196} \over {45}} \cr} \)

\(\eqalign{
& \left( {\sqrt 8 - 3.\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2 - \sqrt 5 \cr & ={\sqrt 8.\sqrt 2 - 3.\sqrt 2.\sqrt 2 + \sqrt {10} }.\sqrt 2 - \sqrt 5 \cr
& = \sqrt {16} - 3.2 + \sqrt {20} - \sqrt 5 \cr  & = \sqrt {4^2} - 6 + \sqrt {2^2.5} - \sqrt 5 \cr
& = 4 - 6 + 2\sqrt 5 - \sqrt 5 = - 2 + \sqrt 5 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} }}{{\sqrt {567} }} = \sqrt {\dfrac{{640.34,3}}{{567}}} = \sqrt {\dfrac{{64.343}}{{567}}}\\ = \sqrt {\dfrac{{64.49.7}}{{81.7}}}
 = \sqrt {\dfrac{{64.49}}{{81}}} \\ = \dfrac{{\sqrt {64} .\sqrt {49} }}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{8.7}}{9} = \dfrac{{56}}{9}
\end{array}\)

\(\eqalign{
& \sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}} \cr
& = \sqrt {21,6.810.\left( {{{11}^2} - {5^2}} \right)} \cr
& = \sqrt {216.81.\left( {11 + 5} \right)\left( {11 - 5} \right)} \cr
& = \sqrt {{36.6}{{.9}^2}{{.4}^2}.6}\cr& = \sqrt {{36^2}{{.9}^2}{{.4}^2}} = 36.9.4 = 1296 \cr} \)

\(\eqalign{
& 0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3} + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \cr 
& = 0,2\left| { - 10} \right|\sqrt 3 + 2\left| {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right| \cr 
& = 0,2.10.\sqrt 3 + 2\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \cr 
& = 2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 - 2\sqrt 3 = 2\sqrt 5 \cr} \)

\(\eqalign{
& \left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} - {3 \over 2}.\sqrt 2 + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8} \cr 
& = \left( {{1 \over 2}\sqrt {{2 \over {{2^2}}}} - {3 \over 2}\sqrt 2 + {4 \over 5}\sqrt {{{10}^2}.2} } \right):{1 \over 8} \cr & = \left( {{1 \over 2}{\sqrt 2 \over 2} - {3 \over 2}\sqrt 2 + \dfrac{4}5.10\sqrt 2 } \right):{1 \over 8} \cr
& = \left( {{1 \over 4}\sqrt 2 - {3 \over 2}\sqrt 2 + 8\sqrt 2 } \right):{1 \over 8} \cr & = \left( {{1 \over 4} - {3 \over 2} + 8 } \right).\sqrt 2:{1 \over 8} \cr
& = {{27} \over 4}\sqrt 2 .8 = 54\sqrt 2 \cr} \)

\(\eqalign{
& 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}} - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}} \cr 
& = 2\left| {\sqrt 2 - 3} \right| + \left| { - 3} \right|\sqrt 2 - 5.(-1)^2 \cr 
& = 2\left( {3 - \sqrt 2 } \right) + 3\sqrt 2 - 5 \cr 
& = 6 - 2\sqrt 2 + 3\sqrt 2 - 5 = 1 + \sqrt 2 \cr} \)

\(\eqalign{
& \sqrt {a + b} + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \cr 
& = \sqrt {a + b} + \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)} \cr & = \sqrt {a + b} + \sqrt {a + b} .\sqrt {a - b} \cr 
& = \sqrt {a + b} \left( {1 + \sqrt {a - b} } \right) \cr} \) 

\(\eqalign{
& \sqrt {ax} - \sqrt {by} + \sqrt {bx} - \sqrt {ay} \cr 
& = \left( {\sqrt {ax} + \sqrt {bx} } \right) - \left( {\sqrt {ay} + \sqrt {by} } \right) \cr & = \left( {\sqrt {a}.\sqrt {x} + \sqrt {b} .\sqrt {x}} \right) - \left( {\sqrt {a}.\sqrt {y} + \sqrt {b}.\sqrt {y} } \right) \cr
& = \sqrt x \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) - \sqrt y \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \cr 
& = \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) \cr} \)

\(\eqalign{
& 12 - \sqrt x - x \cr 
& = 12 - 4\sqrt x + 3\sqrt x - x \cr 
& = 4\left( {3 - \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right) \cr 
& = \left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {4 + \sqrt x } \right) \cr} \)