Chúng ta vừa kết thúc chương đầu tiên của phân môn Đại số 9, đây là kiến thức nền tảng giúp các em biết và vận dụng để giải các bài toán. Đây là bài ôn tập toàn bộ chương I, giúp các em nắm chắc kiến thức bằng lý thuyết và các bài tập minh họa.
1. \(\sqrt{A^2}=|A|\)
2. \(\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0\))
3. \(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\) (với \(A\geq 0;B>0\))
4. \(\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt{B}\) (với \(B\geq 0\))
5. \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0\))
\(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\) (với \(A<0;B\geq 0\))
6. \(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|}\sqrt{AB}\) (với \(AB\geq 0;B\neq 0\))
7. \(\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{a\sqrt{B}}{B}\) (với \(B>0\))
8. \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}\) (với \(A\geq 0;A\neq B^2\))
9. \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0;A\neq B\))
Bài 1: Tính cạnh của một hình vuông, biết rằng diện tích hình vuông đó bằng diện tích hình chữ nhật có chiều dài là \(16m\) và chiều rộng là \(9m\).
Hướng dẫn: Diện tích của hình chữ nhật là: \(16.9=144(m^2)\)
Theo đề, diện tích hình vuông bằng diện tích hình chữ nhật nên cạnh a của hình vuông là: \(a^2=\sqrt{144}\Leftrightarrow a=12(m)\)
Bài 2: Giải phương trình: \(x^2-2\sqrt{13}x+13=0\)
Hướng dẫn:
\(x^2-2\sqrt{13}x+13=0\) \(\Leftrightarrow x^2-2\sqrt{13}x+(\sqrt{13})^2=0\)\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{13})^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=\sqrt{13}\)
Bài 3: Không dùng máy tính, so sánh hai số \(\sqrt{16+64}\) và \(\sqrt{16}+\sqrt{64}\). Từ đó rút ra nhận xét gì
Hướng dẫn: \(\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)
\(\sqrt{16}+\sqrt{64}=4+8=12\)
Vậy \(\sqrt{16}+\sqrt{64}>\sqrt{16+64}\)
Bài 4: Không dùng máy tính, so sánh hai số \(\sqrt{100-64}\) và \(\sqrt{100}-\sqrt{64}\). Từ đó rút ra nhận xét gì
Hướng dẫn: \(\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\)
\(\sqrt{100}-\sqrt{64}=10-8=2\)
Vậy \(\sqrt{100-64}>\sqrt{100}-\sqrt{64}\)
Nhận xét: Với hai số dương a, b, \(a>b\) ta có: \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}\)
\((\sqrt{a-b})^2=a-b\)
\((\sqrt{a-b})^2-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-b-a-b+2\sqrt{ab}=2(\sqrt{ab}-b)\)
\(=2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})>0\)
Vậy \(\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\)
Bài 5: Rút gọn biểu thức chứa biến sau: \(\left ( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right )\left ( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right )\)
Hướng dẫn:
Điều kiện: \(a\geq 0;a\neq 1\)
Với điều kiện trên:
\(\left ( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right )\left ( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right )\)
\( = \left( {1 + \sqrt a } \right).\left( {1 - \sqrt a } \right)\)\(=1-a\)
Bài 6: Thực hiện phép tính: \(A=\sqrt{5+\sqrt{24}}+\sqrt{5-\sqrt{24}}\)
Hướng dẫn: Do A dương nên bình phương đẳng thức, ta được:
\(A^2=5+5+\sqrt{24}-\sqrt{24}+2\sqrt{(5+\sqrt{24})(5-\sqrt{24})}=12\)
Vậy \(A=3\sqrt{2}\)
Bài 7: Giải phương trình: \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=2\)
Hướng dẫn:
Điều kiện: \(x\geq \frac{1}{2}\)
Với điều kiện trên, đặt \(\sqrt{2x-1}=a(a\geq 0);\sqrt{x}=b(b\geq 0)\)
Ta có: \(a^2=2x-1;b^2=x\)\(\Rightarrow a^2-2b^2=-1\)
Mặc khác: \(a+b=2\)
Ta đưa vào hệ: \(\left\{\begin{matrix} a+b=2\\ a^2-2b^2=-1 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ trên bằng phương pháp thế:
\(\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1 \end{matrix}\right.\) (nhận) và \(\left\{\begin{matrix} a=7\\ b=-5 \end{matrix}\right.\)(không nhận)
Với \(a=1\Leftrightarrow x=1\)
Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Thực hiện phép tính \(5\sqrt{12}+2\sqrt{75}-5\sqrt{48}+4\sqrt{147}\)
Rút gọn biểu thức \(\sqrt{\frac{4}{(2-\sqrt{5})^2}}-\sqrt{\frac{4}{(2+\sqrt{5})^2}}\) là:
Giá trị của biểu thức \(A=\sqrt{2+\sqrt{3}+\sqrt{4-2\sqrt{3}-\sqrt{(2\sqrt{3}-3)^2}}}\) là:
Cho \(B=\left ( 1-\frac{4}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-1} \right ):\frac{x-2\sqrt{x}}{x-1}\) với \(x>0;x\neq 1;x\neq 4\)
Giá trị của x để \(B=2\) là:
Cho biểu thức \(C=\left ( \frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1} \right )\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)với \(x>0;x\neq 1\)
Số nghiệm x thỏa bài toán để C nguyên là:
Khẳng định nào đúng
Giải phương trình: \(\sqrt x=-2\)
Tìm số \(x\) nguyên để biểu thức \({\dfrac{\sqrt x + 1}{\sqrt x - 3}}\) nhận giá trị nguyên.
Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠b )
a) \({{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a - 2\sqrt b }} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} - {{2b} \over {b - a}} = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }}\);
b) \(\left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a - b}}} \right)^2} = 1.\)
Cho biểu thức
\(A = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}.\)
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b) Khi A có nghĩa , chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a.
Cho biểu thức
\(B = \left( {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^3}} - 1}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) .
a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 3.
Cho biểu thức:
\(C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 - x}}} \right):\left( {{{3\sqrt x + 1} \over {x - 3\sqrt x }} - {1 \over {\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 9\)
a) Rút gọn C
b) Tìm x sao cho C < -1.
Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}\) với \(\sqrt 5 + 1\).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho x,y,z đôi một khác nhau tm:
\(x^3=3x-1, y^3=3y-1,z^3=3z-1\)
CMR \(x^2+y^2+z^2=6\)
Câu trả lời của bạn
x;y; vai trò như nhau đôi một khác nhau => x;y;z là nghiệm của pt
P^3 -3P +1 =0
theo vi ét hàm bậc 3 ta có
x+y+z =-b/a =0 (1)
xy+xz+yz =c/a =-3 (2)
(1) bình phương thay 2 vào
=> x^2 +y^2 +z^2 =-2.(-3) =6
=> dpcm
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{1}{x-5\sqrt{x}+7}\)
Câu trả lời của bạn
cho a, b, c, m > 0 thỏa mãn : ab + bc + ca = 1. Tìm GTNN : S = m(a2 + b2) + c2 theo m
Câu trả lời của bạn
m=10 Câu hỏi của Đạt Trần Tiến - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Cho x,y≥0 và \(x^2+y^2=5\).Tìm Pmin=\(x^3+y^6\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy:\(x^3+x^3+8\geq 3\sqrt[3]{8x^6}=6x^2\)
\(y^6+y^6+1+1+1+1\geq 6\sqrt[6]{y^{12}}=6y^2\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow 2(x^3+y^6)+12\geq 6(x^2+y^2)=6.5=30\)
\(\Rightarrow x^3+y^6\geq 9\) hay \(P_{\min}=9\)
Dấu bằng xảy ra khi $(x,y)=(2,1)$
Cho các số thực dương x,y,z tm: x+y+z=3
CMR \(\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\ge 4xyz\)
@Lightning Farron giúp em với
Câu trả lời của bạn
VT=2x2+y2+z24−yz+2y2+z2+x24−xz+2z2+x2+y24−xy
≥4x√yz4−yz+4y√xz4−xz+4z√xy4−xy
Cần chứng minh: 4x√yz4−yz+4y√xz4−xz+4z√xy4−xy≥4xyz
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(VT=\dfrac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\dfrac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\dfrac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\) \(\ge\dfrac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\dfrac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\dfrac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\) Cần chứng minh: \(\dfrac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\dfrac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\dfrac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\dfrac{\sqrt{xz}}{xz\left(4-xz\right)}+\dfrac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\) Mà theo BĐT Cauchy-SChwarz ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)^2\) \(\Leftrightarrow3\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\) Đăt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{xz}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\dfrac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\dfrac{c}{c\left(4-c^2\right)}\ge1\left(\odot\right)\) Ta có BĐT phụ: \(\dfrac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}\le-\dfrac{1}{9}a+\dfrac{4}{9}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-1\right)^2\left(a^2-2a-9\right)}{9a\left(a-2\right)\left(a+2\right)}\le0\forall0< a\le1\) Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế: \(VT_{\left(\odot\right)}\ge\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{9}+\dfrac{4}{9}\cdot3\ge\dfrac{-3}{9}+\dfrac{12}{9}=1=VP_{\left(\odot\right)}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
\(\left(\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)\left(1-\dfrac{2}{a+1}\right)^2\)
Câu trả lời của bạn
2a+2a−1.a2+2a+1−4a−4+4(a+1)2
=2(a+1)(a2−2a+1)(a−1)(a+1)2
=2(a+1)(a−1)2(a−1)(a+1)2
=2(a−1)a+1
\(\left(\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)\left(1-\dfrac{2}{a+1}\right)^2\)
\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}+\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)\left(1-\dfrac{4}{a+1}+\dfrac{4}{\left(a+1\right)^2}\right)\)
\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{a-1}\right).\left(\dfrac{\left(a+1\right)^2}{\left(a+1\right)^2}-\dfrac{4\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{4}{\left(a+1\right)^2}\right)\)\(=\dfrac{a-2\sqrt{a}+1+a+2\sqrt{a}+1}{a-1}.\dfrac{\left(a+1\right)^2-4\left(a-1\right)+4}{\left(a+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{2a+2}{a-1}.\dfrac{a^2+2a+1-4a-4+4}{\left(a+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{2\left(a+1\right)\left(a^2-2a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{2\left(a+1\right) \left(a-1\right)^2}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{2\left(a-1\right)}{a+1}\)
\(\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{\dfrac{4}{3}}+\sqrt{3}\right):\sqrt{3}\)
Câu trả lời của bạn
\(\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{\dfrac{4}{3}}+\sqrt{3}\right):\sqrt{3}\)
\(=\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}}:\sqrt{3}\right)-\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}}:\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{3}:\sqrt{3}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{2}{3}\)
\(\left(2+\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\)
Câu trả lời của bạn
(2+√5+√3)(2+√5−√3)=\(\left(2+\sqrt{5}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2\)=\(4+4\sqrt{5}+5+3\)=\(12+4\sqrt{5}\)
Giải hệ phương trình
\(3x^2+2y^2-4xy+x+8y-4=0\)
\(x^2-y^2+2x+y-3=0 \)
Câu trả lời của bạn
3x2+2y2−4xy+x+8y−4=0 hệ số bất đỉnh
Phương pháp UCT(hệ số bất định) phần 1 - YouTube
Tính: .
Giúp mình với, cảm ơn mấy bạn nhiều!
Câu trả lời của bạn
0,46
0,26
0,26
53536
Cho a,b,c>0 và a+b+c=2
Tìm Pmin=\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}}\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki:
\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2.\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}\) ( Cauchy-Schwarz)
\(=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{162}{\left(a+b+c\right)^2}}=\sqrt{4+\dfrac{162}{4}}=\sqrt{\dfrac{89}{2}}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *