Nội dung bài học giới thiệu đến các em những phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit như đưa về cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Thông những ví dụ minh họa sẽ giúp các em bước đầu biết cách giải phương trình mũ và lôgarit.
Với \(0 < a \neq 1, log_ab\) là số x sao cho \(a^x=b\)
Với \(00:a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)
Với \(0 < a \neq 1, log_ab\) là số x sao cho \(a^x=b\)
Với \(00:a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)
⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
Ví dụ: Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 1}} = {2^{3x}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow {2^{ - 2x + 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow - 2x + 1 = 3x\\ \Leftrightarrow 1 = 5x\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}\end{array}\)
b) Phương pháp mũ hóa
Với \(0
Các nội dung cần nhớ:
Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):
a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}\)
b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)
a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.
b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\)
\(\Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\).
Giải phương trình \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)
Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:
\({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\)
\(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - {\log _2}3 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = - {\log _2}3\).
Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)
a) \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\)
b) \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} - 1\)
a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\)
Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\)
(*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
(*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\).
b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 - {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\)
Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\)
Khi đó phương trình tương đướng với:
\(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 - {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 - {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\).
a) \(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3\)
b) \({2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} = {(x - 1)^2}\)
a) Điều kiện: \(x>0\)
\(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 - x\) (*)
Nhận xét:
+ Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến.
+ Vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến.
Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
Dễ thấy: \(x=1\) là nghiệm của phương trình (*).
Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Ta có: \({(x - 1)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - x \ge x - 1\)
Suy ra: \({2^{{x^2} - x}} \ge {2^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} \le 0\) (Do hàm số \(y=2^t\) đồng biến)
Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} VT \le 0\\ VP \ge 0 \end{array} \right.\)
Mà: \(VT=VP\)
Suy ra: \(VT=VP=0\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(x - 1)^2} = 0\\ {2^{x - 1}} = {2^{{x^2} - x}} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1.\)
Giải phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)\) (Đưa về cùng cơ số)
Lời giải:
Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:
\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)
Giải phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) (Dùng phương pháp mũ hóa)
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.
Giải phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\) (Đặt ẩn phụ)
\(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:
\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=2\) và \(x=\frac{1}{32}\).
Giải phương trình \({\log _2}({x^2} - 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\) (Dùng phương pháp hàm số)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 > 0\\ x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\\ \Leftrightarrow {\log _2}({x^2} - 4) - {\log _2}(x + 2) = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 2} \right) = 3 - x \end{array}\)
Nhận xét:
Hàm số \(y = {\log _2}(x - 2)\) là hàm số đồng biến.
Hàm số \(y=3-x\) là hàm số nghịch biến
Vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Dễ thấy x=3 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có ngiệm duy nhất \(x=3.\)
Nội dung bài học giới thiệu đến các em những phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit như đưa về cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Thông những ví dụ minh họa sẽ giúp các em bước đầu biết cách giải phương trình mũ và lôgarit.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tính P là tích các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}.\)
Tính S là tổng các nghiệm của phương trình \({16^{\frac{{x + 10}}{{x - 10}}}} = {0,125.8^{\frac{{x + 5}}{{x - 15}}}}.\)
Cho phương trình \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 84 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 84 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 84 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 85 SGK Giải tích 12
Bài tập 2.46 trang 124 SBT Toán 12
Bài tập 2.47 trang 124 SBT Toán 12
Bài tập 2.48 trang 125 SBT Toán 12
Bài tập 2.49 trang 125 SBT Toán 12
Bài tập 2.50 trang 125 SBT Toán 12
Bài tập 2.51 trang 125 SBT Toán 12
Bài tập 2.52 trang 125 SBT Toán 12
Bài tập 2.53 trang 125 SBT Toán 12
Bài tập 2.54 trang 125 SBT Toán 12
Bài tập 2.55 trang 125 SBT Toán 12
Bài tập 2.56 trang 126 SBT Toán 12
Bài tập 2.57 trang 126 SBT Toán 12
Bài tập 2.58 trang 126 SBT Toán 12
Bài tập 63 trang 123 SGK Toán 12 NC
Bài tập 64 trang 124 SGK Toán 12 NC
Bài tập 65 trang 124 SGK Toán 12 NC
Bài tập 66 trang 124 SGK Toán 12 NC
Bài tập 67 trang 124 SGK Toán 12 NC
Bài tập 68 trang 124 SGK Toán 12 NC
Bài tập 69 trang 124 SGK Toán 12 NC
Bài tập 70 trang 125 SGK Toán 12 NC
Bài tập 70 trang 125 SGK Toán 12 NC
Bài tập 71 trang 125 SGK Toán 12 NC
Bài tập 72 trang 127 SGK Toán 12 NC
Bài tập 73 trang 127 SGK Toán 12 NC
Bài tập 74 trang 127 SGK Toán 12 NC
Bài tập 75 trang 127 SGK Toán 12 NC
Bài tập 76 trang 127 SGK Toán 12 NC
Bài tập 77 trang 127 SGK Toán 12 NC
Bài tập 78 trang 127 SGK Toán 12 NC
Bài tập 79 trang 127 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tính P là tích các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}.\)
Tính S là tổng các nghiệm của phương trình \({16^{\frac{{x + 10}}{{x - 10}}}} = {0,125.8^{\frac{{x + 5}}{{x - 15}}}}.\)
Cho phương trình \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
Phương trình \({2^{2 + x}} - {2^{2 - x}} = 15\) có bao nhiêu nghiệm?
Tìm P là tích các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - x}} - {2^{x + 8}} = 8 + 2x - {x^2}.\)
Tìm giá trị của m để phương trình \({2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1}\) có hai nghiệm phân biệt.
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x).\)
Phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x}\) có bao nhiêu nghiệm?
Phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _4}(4x) - 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}.\)Tính tích \(P = {x_1}.{x_2}.\)
Tìm m để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất.
Giải các phương trình mũ:
a) \(\small (0,3)^{3x-2} = 1.\)
b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}=25\).
c) \(2^{x^{2}-3x+2}=4\).
d) \((0,5)^{x+7}.(0,5)^{1-2x} = 2.\)
Giải các phương trình mũ:
a) 32x – 1 + 32x = 108.
b) 2x+1 + 2x - 1 + 2x = 28.
c) 64x – 8x – 56 = 0.
d) 3.4x – 2.6x = 9x.
Giải các phương trình lôgarit:
a) log3(5x + 3) = log3( 7x + 5).
b) log(x – 1) – log(2x -11) = log2.
c) log2(x- 5) + log2(x + 2) = 3.
d) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 30)
Giải các phương trình lôgarit:
a) \(\small \frac{1}{2}log(x^2 + x -5) = log5x +log\frac{1}{5x}\).
b) \(\small \frac{1}{2}log(x^2 - 4x - 1) = log8x - log4x\).
c) \(log_{\sqrt{2}}x+ 4log_4x + log_8x = 13.\)
Giải các phương trình mũ sau:
a) \({(0,75)^{2x - 3}} = {\left( {1\frac{1}{3}} \right)^{5 - x}}\)
b) \({5^{{x^2} - 5x - 6}} = 1\)
c) \({\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} - 2x - 3}} = {7^{x + 1}}\)
d) \({32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{25.125^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}\)
Giải các phương trình mũ sau:
a) \({2^{x + 4}} + {2^{x + 2}} = {5^{x + 1}} + {3.5^x}\)
b) \({5^{2x}} - {7^x} - {5^{2x}}.17 + {7^x}.17 = 0\)
c) \({4.9^x} + {12^x} - {3.16^x} = 0\)
d) \( - {8^x} + {2.4^x} + {2^x} - 2 = 0\)
Giải các phương trình lôgarit sau:
a) \({\log x + \log {x^2} = \log 9x}\)
b) \({\log x + \log {x^2} = \log 9x}\)
c) \({{{\log }_4}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \right] + {{\log }_4}\frac{{x - 2}}{{x + 3}} = 2}\)
d) \({{{\log }_{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} \right){{\log }_5}x = 2{{\log }_3}\left( {x - 2} \right)}\)
Giải các phương trình lôgarit sau:
a) \({{{\log }_2}\left( {{2^x} + 1} \right).{{\log }_2}\left( {{2^{x + 1}} + 2} \right) = 2}\)
b) \({{x^{\log 9}} + {9^{\log x}} = 6}\)
c) \({{x^{\log 9}} + {9^{\log x}} = 6}\)
d) \({1 + 2{{\log }_{x + 2}}5 = {{\log }_5}\left( {x + 2} \right)}\)
Tìm tập nghiệm của phương \({25^x} - {6.5^x} + 5 = 0\)
A.
B.
C.
D.
Tìm
A.
B.
C.
D.
Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16\sqrt 2 \)
A.
B.
C.
D. \(\left\{ {1;\frac{1}{7}} \right\}\)
Số nghiệm của phương trình \({4^x} + {2^x} - 6 = 0\) là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. \({3^x} + {4^x} = {5^x}\)
B. \({2^x} + {3^x} + {4^x} = 3\)
C. \({2^x} + {3^x} = {5^x}\)
D. \({2^x} + {3^x} = 0\)
Phương trình \({\log _3}x + {\log _9}x = \frac{3}{2}\) có nghiệm là?
A.
B.
C. \(x = \frac{1}{3}\)
D.
Phương trình \({\lg ^2}x - 3\lg x + 2 = 0\) có mấy nghiệm?
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô nghiệm
Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}[x(x - 1)] = 1\) là
A.
B.
C.
D.
Nghiệm của phương trình \({\log _4}\{ 2{\log _3}[1 + {\log _2}(1 + 3{\log _2}x)]\} = \frac{1}{2}\) là
A.
B.
C.
D.
Giải các phương trình sau:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){{(2 + \sqrt 3 )}^{2x}} = 2 - \sqrt 3 }\\
{b){2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4}\\
{c){{2.3}^{x + 1}} - {{6.3}^{x - 1}} - {3^x} = 9}\\
{d){{\log }_3}({3^x} + 8) = 2 + x.}
\end{array}\)
Giải các phương trình sau:
a) \({\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1\)
b) \({\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1\)
Trên mặt mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dẽ dàng chọn đúng sóng
Radio cần tìm. Biết rằng vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng d (cm) thì ứng tần số F = kad (kHz), trong đó k và a là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng trên trái ứng với tần số 53 kHz, vạch tận cùng bên phải ứng với tần số 160 kHz, và hai vạch này cách nhau 12 cm.
a) Hãy tính k và a (tính a chính xác đến hàng phần nghìn).
b) Giả sử đã cho F, hãy giải phương trình F = kad với ẩn d.
c) Áp dụng kết quả của b), hãy điền vào ô trống trong bảng sau (kết quả tính chính xác đến hàng phần trăm).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Giải phương trình: \(\eqalign{ 3\sqrt {{{\log }_2}x} - {\log _2}8x + 1 = 0; \cr} \)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \({\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
\(3\sqrt {{{\log }_2}x} \, - {\log _2}8x + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} - \left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} - \left( {3 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} -{\log _2}x -2 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_2}x} \,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {\log _2}x = {t^2}\)
Ta có phương trình: \(3t - {t^2} -2 = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {{{\log }_2}x} = 1 \hfill \cr
\sqrt {{{\log }_2}x} = 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^4} = 16 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = \left\{ {2;16} \right\}\)
Giải phương trình: \(\eqalign{ \log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) + {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = 8. \cr} \)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x > 0\). Với điều kiện ta có:
\(\eqalign{
& \log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) = {\left( {\log _{{1 \over 2}}4 + \log _{{1 \over 2}}x} \right)^2} \cr&= \left( { - 2 - {{\log }_2}x} \right)^2 = {\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} \cr
& {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = {\log _2}{x^2} - {\log _2}8 \cr&= 2{\log _2}x - 3 \cr} \)
Ta có phương trình: \({\left( {{{\log }_2}x + 2} \right)^2} + 2{\log _2}x - 3 = 8\)
Đặt \(t = {\log _2}x\) ta được: \({\left( {t + 2} \right)^2} + 2t - 3 = 8\)
\( \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 4 + 2t - 11 = 0 \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^{ - 7}} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = \left\{ {2;{2^{ - 7}}} \right\}\)
Giải phương trình: \(\eqalign{ {4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0; \cr } \)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x > 0\)
\({4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0 \)
\(\Leftrightarrow {4.4^{\ln x}} - {6^{\ln x}} - {18.9^{\ln x}} = 0\)
Chia hai vế của phương trình cho \({4^{\ln x}}\), ta được:
\(4 - {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} - 18{\left( {{9 \over 4}} \right)^{\ln x}} = 0\)
Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}}\,\,\left( {t > 0} \right)\)
Ta có:
\(4 - t - 18{t^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow 18{t^2} + t - 4 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr
t = - {1 \over 2}\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\)
\(t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - 2}}\)
\(\Leftrightarrow \ln x = - 2 \Leftrightarrow x = {e^{ - 2}}\)
Vậy \(S = \left\{ {{e^{ - 2}}} \right\}\)
Giải phương trình sau: \({2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\,{2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6\)
\(\Leftrightarrow {2^{1 - {{\cos }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{2^{{{\cos }^2}x}}}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6\)
Đặt \(t = {2^{{{\cos }^2}x}}\)
Vì \(0 \le {\cos ^2}x \le 1 \) \(\Rightarrow {2^0} \le {2^{{{\cos }^2}x}} \le {2^1}\) \( \Rightarrow 1 \le t \le 2\)
Ta có:
\({2 \over t} + 4t = 6 \)\(\Leftrightarrow 4{t^2} - 6t + 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = {1 \over 2}\,\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow {2^{{{\cos }^2}x}} = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 0\)
\(\Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi ,\,k \in \mathbb Z\)
Giải phương trình sau: \({4^{3 + 2\cos 2x}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = {4^{{1 \over 2}}}\)
Câu trả lời của bạn
\({4^{3 + 2\cos 2x}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = {4^{{1 \over 2}}}\)
\( \Leftrightarrow {4}{.4^{2 + 2\cos 2x}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = 2\)
\( \Leftrightarrow {4.4^{2\left( {1 + \cos 2x} \right)}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = 2\)
Đặt \(t = {4^{1 + \cos 2x}}\,\left( {t > 0} \right)\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 4{t^2} - 7t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 2 \hfill \cr
t = - {1 \over 4}\,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow {2^{2 + 2\cos 2x}} = 2 \Leftrightarrow 2 + 2\cos 2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x = - {1 \over 2} = \cos {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow 2x = \pm {2\pi \over 3} + k2\pi ,\,k \in \mathbb Z \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z\)
Giải phương trình: \(\left( {{1 \over 3}} \right) ^x= x + 4\,;\)
Câu trả lời của bạn
Với \(x < -1\) ta có:
\(\begin{array}{l}
VT = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 1}} = 3\\
VP = x + 4 < - 1 + 4 = 3
\end{array}\)
Do đó \({\left( {{1 \over 3}} \right)^{ x}} > 3 > x + 4\) nên phương trình không có nghiệm \(x < -1\)
Với \(x > -1\) ta có:
\(\begin{array}{l}
VT = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 1}} = 3\\
VP = x + 4 > - 1 + 4 = 3
\end{array}\)
Do đó \({\left( {{1 \over 3}} \right)^x} < {\left( {{1 \over 3}} \right)^{ - 1}} = 3 < x + 4\) nên phương trình không có nghiệm \(x > -1\)
Dễ thấy với x=-1 thì \(VT=3=VP\).
Vậy \(S = \left\{ { - 1} \right\}\)
Giải phương trình: \({\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^x} = 1.\)
Câu trả lời của bạn
Do \( 0 < \sin {\pi \over 5} < 1\) và \(0 < \cos {\pi \over 5} < 1\) nên:
Nếu \(x > 2\) thì:
\({\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^x} < {\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^2}\)
\({\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^x} < {\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^2}\)
\( \Rightarrow {\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^x}\)
\(<{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^2} + {\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^2}= 1\)
Do đó VT < VP nên phương trình không có nghiệm khi \(x > 2\)
Nếu \(x < 2\) thì:
\({\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^x} > {\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^2}\)
\({\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^x} > {\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^2}\)
\( \Rightarrow {\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^x}\)
\(>{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^2} + {\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^2}= 1\)
Do đó VT > VP nên phương trình không có nghiệm khi \(x < 2\)
Dễ thấy với x=2 thì VT=VP=1 nên x=2 là nghiệm của phương trình.
Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ {3.2^x} + {2.3^y} = 2,75 \hfill \cr {2^x} - {3^y} = - 0,75\,; \hfill \cr} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(u = {2^x},\,v = {3^y}\,\left( {u > 0,\,v > 0} \right)\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
3u + 2v = 2,75 \hfill \cr
u - v = - 0,75 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
u = {1 \over 4} \hfill \cr
v = 1 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{2^x} = {1 \over 4} \hfill \cr
{3^y} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ {\left( { - 2;0} \right)} \right\}\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ {\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr 3 + {\log _2}y = {\log _2}5 \left(1+ {3{{\log }_5}x} \right) \hfill \cr} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr
3 + {\log _2}y = {\log _2}5 \left(1+ {3{{\log }_5}x} \right) \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2\\
3 + {\log _2}y = {\log _2}5 + 3{\log _2}5.{\log _5}x
\end{array} \right.\)
Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).
Khi đó \({\log _5}7.{\log _7}y={\log _5}y \) và \({\log _2}5.{\log _5}x = {\log _2}x\) nên hệ tương đương:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr
3 + {\log _2}y = {\log _2}5 + 3{\log _2}x \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}x + {\log _5}y = {\log _5}5 + {\log _5}2\\{\log _2}{2^3} + {\log _2}y = {\log _2}5 + {\log _2}{x^3}\end{array} \right.\cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{\log _5}xy = {\log _5}10 \hfill \cr {\log _2}8y = {\log _2}5{x^3} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{xy = 10\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 8y = 5{x^3}\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\left( 2 \right) \Rightarrow y = {{5{x^3}} \over 8}\) thay vào (1) ta được:
\({{5{x^4}} \over 8} = 10 \Leftrightarrow {x^4} = 16 \Leftrightarrow x = 2\) (vì \(x > 0\))
Với \(x = 2\) ta có \(y = {{10} \over x} = 5\).
Vậy \(S = \left\{ {\left( {2;5} \right)} \right\}\)
Giải bất phương trình: \(\,{2^{3 - 6x}} > 1\)
Câu trả lời của bạn
\({2^{3 - 6x}} > 1\, \Leftrightarrow {2^{3 - 6x}} > {2^0}\)
\(\Leftrightarrow 3 - 6x > 0 \Leftrightarrow x < {1 \over 2}\)
Vậy \(S = \left( { - \infty ;{1 \over 2}} \right)\)
Giải bất phương trình: \({\log _5}\left( {3x - 1} \right) < 1\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \,{\log _5}\left( {3x - 1} \right) < 1 \cr&\Leftrightarrow {\log _5}\left( {3x - 1} \right) < {\log _5}5 \cr
& \Leftrightarrow 0 < 3x - 1 < 5\cr& \Leftrightarrow 1 < 3x < 6 \Leftrightarrow {1 \over 3} < x < 2 \cr} \)
Vậy \(S = \left( {{1 \over 3};2} \right)\)
Giải bất phương trình: \(\,{16^x} > 0,125\)
Câu trả lời của bạn
\(\,{16^x} > 0,125 \Leftrightarrow {2^{4x}} > {1 \over 8}\)
\(\Leftrightarrow {2^{4x}} > {2^{ - 3}} \Leftrightarrow 4x > - 3\)
\(\Leftrightarrow x > - {3 \over 4}\)
Vậy \(S = \left( { - {3 \over 4}; + \infty } \right)\)
Giải bất phương trình: \({\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \ge - 1\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& c)\,{\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \ge - 1\cr
& \Leftrightarrow \,{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \ge -1 \cr
& \Leftrightarrow 0 < {x^2} - 5x + 6 \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} = 2 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 5x + 6 > 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x + 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 2\,\text { hoặc }\,x > 3 \hfill \cr
1 \le x \le 4 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow 1 \le x < 2\,\,\text { hoặc }\,\,3 < x \le 4 \cr} \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[ {1;2} \right) \cup \left( {3;4} \right]\)
Cách trình bày khác:
ĐK:\({x^2} - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 3\\
x < 2
\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
BPT \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \ge - 1\\
\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} = 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \le 0\\
\Leftrightarrow 1 \le x \le 4
\end{array}\)
Kết hợp ĐK ta được \(1 \le x < 2\,\,\text { hoặc }\,\,3 < x \le 4\).
Giải bất phương trình: \({\log _{{1 \over 3}}}\left( {5x - 1} \right) > 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& b)\,{\log _{{1 \over 3}}}\left( {5x - 1} \right) > 0 \cr
& \Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {5x - 1} \right) > {\log _{{1 \over 3}}}1 \cr
& \Leftrightarrow 0 < 5x - 1 < 1 \Leftrightarrow {1 \over 5} < x < {2 \over 5} \cr} \)
Vậy \(S = \left( {{1 \over 5};{2 \over 5}} \right)\)
Cách trình bày khác:
ĐK: \(5x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{5}\)
BPT
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5x - 1 < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^0} = 1\\ \Leftrightarrow 5x < 2\\ \Leftrightarrow x < \frac{2}{5}\end{array}\)
Kết hợp ĐK được \(\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}\)
Giải bất phương trình: \({\log _3}{{1 - 2x} \over x} \le 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& d)\,{\log _3}{{1 - 2x} \over x} \le 0 \cr&\Leftrightarrow {\log _3}{{1 - 2x} \over x} \le {\log _3}1 \cr
& \Leftrightarrow 0 < {{1 - 2x} \over x} \le 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{1 - 2x} \over x} > 0 \hfill \cr
{{1 - 2x} \over x} - 1 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < x < {1 \over 2} \hfill \cr
{{1 - 3x} \over x} \le 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < x < {1 \over 2} \hfill \cr
x < 0\,\text { hoặc }\,x \ge {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 3} \le x < {1 \over 2} \cr} \)
Vậy \(S = \left[ {{1 \over 3};{1 \over 2}} \right)\)
Giải bất phương trình: \(\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x - 2 \le 0\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x > 0\)
Đặt \(t = {\log _{0,5}}x\) ta có:
\(\eqalign{
& {t^2} + t - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le t \le 1 \cr
& \Leftrightarrow - 2 \le {\log _{0,5}}x \le 1 \cr&\Leftrightarrow {\left( {0,5} \right)^{ - 2}} \ge x \ge {\left( {0,5} \right)^1} \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2} \le x \le 4 \cr} \)
Kết hợp với ĐK ta được \({1 \over 2} \le x \le 4\)
Vậy \(S = \left[ {{1 \over 2};4} \right]\)
Giải bất phương trình: \({2^x} + {2^{ - x + 1}} - 3 < 0\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{2^x} + {2^{ - x + 1}} - 3 < 0\\
\Leftrightarrow {2^x} + \frac{2}{{{2^x}}} - 3 < 0
\end{array}\)
Đặt \(t = {2^x}\,\left( {t > 0} \right)\) ta có:
\(\eqalign{
& t + {2 \over t} - 3 < 0 \cr&\Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 < 0\,\,\left( {do\,\,t > 0} \right) \cr
& \Leftrightarrow 1 < t < 2 \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 2 \cr&\Leftrightarrow 0 < x < 1 \cr} \)
Vậy \(S = \left( {0;1} \right)\)
Giải bất phương trình: \({\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}
2 - x > 0\\
{x^2} - 6x + 5 > 0
\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 2\\
\left[ \begin{array}{l}
x > 5\\
x < 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow x < 1\)
Khi đó,
\(\eqalign{
& {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \ge - {\log _3}{\left( {2 - x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \ge {\log _{{1 \over 3}}}{\left( {2 - x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {\left( {2 - x} \right)^2} \cr& \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {x^2} - 4x + 4\cr&\Leftrightarrow 2x - 1 \ge 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Kết hợp ĐK ta được \({1 \over 2} \le x < 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[ {{1 \over 2};1} \right)\)
Giải bất phương trình: \({\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& {\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\cr&\Leftrightarrow 0 < {x^2} + x - 2 < x + 3\,\,\, \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + x - 2 > 0 \hfill \cr
{x^2} - 5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < - 2\,\,\text { hoặc }\,\,x > 1 \hfill \cr
- \sqrt 5 < x < \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- \sqrt 5 < x < - 2\\
1 < x < \sqrt 5
\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \sqrt 5 ; - 2} \right) \cup \left( {1;\sqrt 5 } \right)\)
Giải phương trình mũ sau: \(\displaystyle {5^{{x^2} - 5x - 6}} = 1\).
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle {5^{{x^2} - 5x - 6}} = {5^0} \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 = 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 6}\end{array}} \right.\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *