Qua bài học các em sẽ nắm được hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} y = 0 \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 1 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1 + \sqrt 2 \\ {x^2} = 1 - \sqrt 2 (L) \end{array} \right. \Rightarrow x = \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } \end{array}.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
Cho: \(x = 0 \Rightarrow y = - 1;y = 0 \Rightarrow x = - 1\).
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em các hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.56 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.57 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.58 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.59 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.60 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.61 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.62 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.64 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.66 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.68 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.69 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.70 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.71 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.72 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.73 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.74 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 29 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 43 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 48 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 49 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 50 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 52 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 53 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 54 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 56 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 57 trang 55 SGK Toán 12 NC
Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 59 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 62 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 64 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 65 trang 58 SGK Toán 12 NC
Bài tập 66 trang 58 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi \(f(x)\) có bao nhiêu tiệm cận ngang?
Xác định a,b để hàm số \(y = \frac{{a - x}}{{x + b}}\) có đồ thị như hình vẽ:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số đường cong trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left |f(x) \right |=m\) có 4 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 6 nghiệm thực phân biệt.
Hình vẽ bên là đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đường cong dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({-x^3} + 3{x^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) có đồ thị (C). Hình bên là một phần của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( x \right)\) trong đó a, b, c là các hằng số thực. Có bao nhiêu biểu thức nhận giá trị dương trong các biểu thức sau \(ab,ac,3a + 3b + c\) và \(a - b + c.\)
Cho hàm số
\(y = \frac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\)
a) Xét tính đơn điệu của hàm số
b) Chứng minh rằng với mọi m, tiệm cận ngang của đồ thị
c) Biện luận theo m số giao điểm của
d) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \left| {\frac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|\)
Hàm số \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại x = 1. Khi :
A. m = 1
B. m = 2
C. m =−3
D. m = 4
Hàm số \(y = {x^4} + ({m^2} - 4){x^2} + 5\) có ba cực trị khi :
A.
B.
C.
D.
Biểu thức tổng quát của hàm số có đồ thị như hình 1.6 là :
A. \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\)
B. \(y = a{x^3} + cx + d\) với
C. \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với
và \({b^2} - 3ac > 0\)
D. \(y = {x^3}\)
Xác định giá trị của tham số m để hàm số
\(y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} - 3(m + 1)x - 5\)
có cực trị.
A.
B.
C. \(m \le 0\)
D. \(\forall m \in R\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ
A.
B.
C.
D.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) song song với đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\) và đường thẳng
A. \(\left( {1;3} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
B.
C. \(\left( {0; - 1} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
D.
Xác định đỉnh I của mỗi parabol (P) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol (P) đối với hệ tọa độ IXY
a) \(y = 2{x^2} - 3x + 1\)
b) \(y = \frac{1}{2}{x^2} - x - 3\)
c) \(y = x - 4{x^2}\)
d) \(y = 2{x^2} - 5\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\)
a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I I là nghiệm của phương trình f′′(x) = 0.
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong (C)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng \(( - \infty ;1)\) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng \((1; + \infty )\) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
Cho đường cong (C) có phương trình là \(y = 2 - \frac{1}{{x + 2}}\) và điểm I(−2;2) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C).
Xác định tâm đối xứng của đồ thị mỗi hàm số sau đây:
a) \(y = \frac{2}{{x - 1}} + 1\)
b) \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\)
Cho đường cong (C) có phương trình \(y = ax + b + \frac{c}{{x - x{o_o}}}\), trong đó a ≠ 0, c ≠ 0 và điểm \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thỏa mãn: \({y_o} = a{x_o} + b\) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng II là tâm đối xứng của đường cong (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = - x3 +3x2 - 1
b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: - x3 +3x2 - 1 = m
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x - \frac{5}{3}\)
b) \(y = {x^3} - 3x + 1\)
c) \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x - \frac{2}{3}\)
d) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = −x4 + 2x2 − 2
b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình −x4 + 2x2 − 2= m
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y = x4 - 3x2 + 2
b) y = - x4 - 2x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 - 3x2 + 1
b) Tùy theo các giá trị của mm, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x3 - 3x2 + m + 2 = 0
Cho hàm số y = (x + 1)(x2 +2mx + m + 2)
a) Tìm các giá trị của mm để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = −1
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I\) đối với hệ tọa độ \(Oxy\). Chứng minh rằng trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) đường cong \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) đường cong \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
Câu trả lời của bạn
Phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I(1;-1)\) đối với hệ trục tọa độ \(Oxy\) là:
y - f(1) = f' (1)(x-1) với f’(1) = -3; f(1) = -1
hay \( y + 1 = - 3\left( {x - 1} \right) \) \(\Leftrightarrow y = - 3x + 2\)
Đặt \(g\left( x \right) = - 3x + 2\)
\(f\left( x \right) - g\left( x \right) \)\(= {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( { - 3x + 2} \right)\) \( = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}\)
Vì \(f\left( x \right) - g\left( x \right)<0\) với \(x<1\) và \(f\left( x \right) - g\left( x \right)>0\) với \(x>1\)
Do đó trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số sau đây: \(y = {{3x - 2} \over {x + 1}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(y = {{3x - 2} \over {x + 1}} = {{3\left( {x + 1} \right) - 5} \over {x + 1}} = 3 - {5 \over {x + 1}} \) \(\Leftrightarrow y - 3 = {{ - 5} \over {x + 1}}\)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
x + 1 = X \hfill \cr
y - 3 = Y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = X - 1 \hfill \cr
y = Y + 3 \hfill \cr} \right.\)
Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) với I(-3;3)
\(Y = {{ - 5} \over X}\) là phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY
\(Y = {{ - 5} \over X}\) là hàm lẻ nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.
Vậy đồ thị hàm số \(y = {{3x - 2} \over {x + 1}}\) nhận I(-3;3) làm tâm đối xứng.
Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số sau đây: \(y = {2 \over {x - 1}} + 1\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = {2 \over {x - 1}} + 1 \Leftrightarrow y - 1 = {2 \over {x - 1}}\)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
y - 1 = Y \hfill \cr
x - 1 = X \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = Y + 1 \hfill \cr
x = X + 1 \hfill \cr} \right.\)
Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) với I(1;1).
Đối với hệ trục IXY, hàm số \(Y = {2 \over X}\) là hàm số lẻ nên nhận I làm tâm đối xứng.
Vậy đồ thị hàm số \(y = {2 \over {x - 1}} + 1\) nhận I(1;1) làm tâm đối xứng.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: \(y = {{2x + 1} \over {1 - 3x}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {{1 \over 3}} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^ + }} y = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^ - }} y = + \infty \) nên \(x = {1 \over 3}\) là tiệm cận đứng.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }y = - {2 \over 3}\) nên \(y = - {2 \over 3}\) là tiệm cận ngang.
\(y = {{2.1-(-3).1} \over {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} = {5 \over {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne {1 \over 3}\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right)\) và \(\left( {{1 \over 3}; + \infty } \right)\)
Hàm số không có cực trị.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;1)\) và cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - {1 \over 2};0} \right)\).
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận \(I\left( {{1 \over 3};{-2 \over 3}} \right)\) làm tâm đối xứng.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y = {{x + 1} \over {x - 1}}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\) nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang.
\(y = {{1.(-1)-1.1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Hàm số không có cực trị.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \((0;-1)\) cắt trục hoành tại điểm \((-1;0)\)
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận \(I(1;1)\) làm tâm đối xứng.
Cho đường cong \((C)\) có phương trình \(y = ax + b + {c \over {x - {x_o}}}\), trong đó \(a \ne 0\), \(c \ne 0\) và điểm \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thỏa mãn: \({y_o} = a{x_o} + b\) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và phương trình của \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\). Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong (\(C)\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = ax + b + {c \over {x - {x_o}}}\) \( \Leftrightarrow y = ax - a{x_0} + a{x_0} + b + \frac{c}{{x - {x_0}}}\) \( \Leftrightarrow y = a\left( {x - {x_o}} \right) + {y_o} + {c \over {x - {x_o}}}\)
\( \Leftrightarrow y - {y_o} = a\left( {x - {x_o}} \right) + {c \over {x - {x_o}}}\)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
x - {x_o} = X \hfill \cr
y - {y_o} = Y \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = X + {x_o} \hfill \cr
y = Y + {y_o} \hfill \cr} \right.\)
Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) với \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\).
Khi đó \(Y = aX + {c \over X}\) là phương trình của \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\).
\(Y = aX + {c \over X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị \((C)\) nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận \(I\left( {{x_0};a{x_0} + b} \right)\) làm tâm đối xứng.
Cách trình bày khác:
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI với I(xo,yo) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + a{x_0} + b\end{array} \right.\)
Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY là:
\(Y + a{x_0} + b\)\( = a\left( {X + {x_0}} \right) + b + \frac{c}{{X + {x_0} - {x_0}}}\)
\( \Leftrightarrow Y + a{x_0} + b\) \( = aX + a{x_0} + b + \frac{c}{X}\)
\( \Leftrightarrow Y = aX + \frac{c}{X}\)
Do hàm số \(Y = aX + \frac{c}{X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ tâm I làm tâm đối xứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận \(I\left( {{x_0};a{x_0} + b} \right)\) làm tâm đối xứng.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty \) nên \(x = -2\) là tiệm cận đứng.
Ta có: \(y = 2x + 1 + {2 \over {x + 2}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {2 \over {x + 2}} = 0\) nên \(y = 2x + 1\) là tiệm cận xiên
\(\eqalign{
& y' = 2 - {2 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr&= {{2\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1} \right]} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr&= {{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1;\,\,y\left( { - 1} \right) = 1 \hfill \cr
x = - 3;\,\,y\left( { - 3} \right) = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -3) và (-1; +∞)
Hàm số nghịch biến trên (-3; -2)và (-2; -1)
yCĐ=y(-3)=-7
yCT=y(-1)=1
Đồ thị:
+) Giao với Oy là A(0; 2)
+) Đi qua B(-1;1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau: \(y = {{{x^2} - 3x + 6} \over {x - 1}}\).
Câu trả lời của bạn
\(y = x- 2 + {4 \over {x - 1}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {4 \over {x - 1}} = 0\) nên \(y = x – 2\) là tiệm cận xiên.
\(\eqalign{
& y' = 1 - {4 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr&= {{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1;\,\,\,y\left( { - 1} \right) = -5 \hfill \cr
x = 3;\,\,\,y\left( 3 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) và (1;3)
yCĐ=y(-1)=-5;yCT=y(3)=3
Đồ thị:
+) Đồ thị giao với Oy (0; -6)
+) Đồ thị đi qua A(-3; -6)
Đồ thị nhận giao điểm \(I(1;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau: \(y = {{2{x^2} - x + 1} \over {1 - x}}\).
Câu trả lời của bạn
\(y = {{ - 2{x^2} + x - 1} \over {x - 1}}\)
\(y = - 2x - 1 - {2 \over {x - 1}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \) nên tiệm cận đứng: \(x = 1\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - 2x - 1} \right)} \right] \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{2}{{x - 1}}} \right) = 0\) nên tiệm cận xiên: \(y = -2x – 1\)
\(\eqalign{
& y' = - 2 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\cr& = {{ - 2{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2{x^2} + 4x} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr
x = 2;\,\,\,\,\,\,y\left( 2 \right) = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)và (1;2)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, 0) và (2; +∞)
yCĐ = y(2) = -7; yCT = y(0) = 1
Điểm đặc biệt:
\(x = 0 \Rightarrow y = 1\)
\(x = -1 \Rightarrow y = 2\)
Đồ thị:
Đồ thị nhận \(I(1;-3)\) làm tâm đối xứng.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau: \(y = {{2{x^2} + 3x - 3} \over {x + 2}}\).
Câu trả lời của bạn
\(y = 2x - 1 - {1 \over {x + 2}}\)
• TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
• Tiệm cận đứng: \(x = 2\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = - \infty \)
Tiệm cận xiên: \(y = 2x -1\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x - 1} \right)} \right] \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{1}{{x + 2}}} \right) = 0\)
• \(y' = 2 + {1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne - 2\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (-2; +∞)
• Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = - {3 \over 2}\)
Đồ thị nhận \(I(-2; -5)\) làm tâm đối xứng.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau: \(y = - x + 2 + {1 \over {x - 1}}\).
Câu trả lời của bạn
\(y = - x + 2 + {1 \over {x - 1}}\)
• TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
• Tiệm cận đứng: \(x = 1\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \)
Tiệm cận xiên \(y = -x +2\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0\)
• \(y' = - 1 - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\) nên hàm số luôn nghịch biến trên (-∞;1) và 1; +∞)
• Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\)
Đồ thị nhận điểm \(I(1;-1)\) làm tâm đối xứng.
Hãy khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \(y = {x^3} - {x^2} + x\).
Câu trả lời của bạn
* TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
* Sự biến thiên:
- Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} - {x^2} + x} \right) = + \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - {x^2} + x} \right) = - \infty \)
- Chiều biến thiên: \(y' = 3{x^2} - 2x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó, hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Cắt trục \(Oy\) và \(Ox\) tại điểm \(\left( {0;0} \right)\).
- Có \(y'' = 6x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow y = \dfrac{7}{{27}}\) nên điểm uốn \(U\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{7}{{27}}} \right)\).
- Đi qua các điểm \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( { - 1; - 3} \right)\)
- Vẽ đồ thị:
Hãy khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \(y = - {x^4} + 2{x^3} + 3\).
Câu trả lời của bạn
* TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
* Sự biến thiên:
- Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4} + 2{x^3} + 3} \right) = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^4} + 2{x^3} + 3} \right) = - \infty ;\)
- Chiều biến thiên: \(y' = - 4{x^3} + 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).
Có \(y' > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}\) và \(y' < 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{2}\) nên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\dfrac{3}{2}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\).
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \dfrac{3}{2}\) và \({y_{CD}} = \dfrac{{75}}{{16}}\), không có cực tiểu.
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;3} \right)\), cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt, trong đó có điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).
- Đi qua điểm \(\left( {1;4} \right)\).
- Vẽ đồ thị:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\).
Câu trả lời của bạn
* TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
* Chiều biến thiên: \(y' = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\)
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1\) nên TCN \(y = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = + \infty \) nên TCĐ: \(x = - 1\).
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\) và cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {2;0} \right)\).
- Nhận giao điểm hai đường tiệm cận \(I\left( { - 1;1} \right)\) làm tâm đối xứng.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: \(y = \dfrac{{2 - x}}{{2x - 1}} = \dfrac{{ - x + 2}}{{2x - 1}}\).
Câu trả lời của bạn
* TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\).
* Chiều biến thiên: \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne \dfrac{1}{2}\)
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\dfrac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - \dfrac{1}{2}\) nên TCN \(y = - \dfrac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^ - }} y = - \infty \) nên TCĐ: \(x = \dfrac{1}{2}\).
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\) và cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {2;0} \right)\).
- Nhận giao điểm hai đường tiệm cận \(I\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) làm tâm đối xứng.
- Vẽ đồ thị:
Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số: \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Câu trả lời của bạn
\(y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) thì: \(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\)
Thử lại, \(m = - 3\) thì \(y = {x^3} - 3x - 2\).
Khi đó, \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
\(y'' = 6x;y''(1) = 6 > 0\) nên \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số (thỏa mãn yêu cầu)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) khi \(m = 3\)
Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau \(y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3\) có đúng một cực trị.
Câu trả lời của bạn
+) Với \(m = 1\) thì \(y = - {x^2} + 3\) là hàm đa thức bậc hai luôn có một cực trị nên thỏa mãn.
+) Với \(m \ne 1\) thì hàm số đã cho là hàm bậc bốn trùng phương có:
\(y' = 4(m - 1){x^3} - 2mx\)\( = 2x\left[ {2(m - 1){x^2} - m} \right]\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2\left( {m - 1} \right){x^2} - m = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{m}{{2\left( {m - 1} \right)}}\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Hàm số có đúng một cực trị khi \(y' = 0\) có đúng một nghiệm, tức là:
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\) hoặc vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\\dfrac{m}{{2\left( {m - 1} \right)}} < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\0 < m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < 1\).
Kết hợp với \(m = 1\) ở trên ta được \(0 \le m \le 1\).
Vậy với \(0 \le m \le 1\) hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.
Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số: \(y = - \dfrac{1}{3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1\) đạt cực đại tại \(x = - 1\).
Câu trả lời của bạn
\(y' = - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3\)
\(y'( - 1) = - {m^2} - 6m + 4m + 3\)\( = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 = - {(m + 1)^2} + 4\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\) thì :
\(y'( - 1) = - {(m + 1)^2} + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {(m + 1)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 1\end{array} \right.\)
Thử lại,
+) Với \(m = - 3\) ta có \(y' = 9{x^2} + 12x + 3\)
\( \Rightarrow y'' = 18x + 12\)\( \Rightarrow y''\left( { - 1} \right) = - 18 + 12 = - 6\; < 0\)
Suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\) (thỏa mãn).
+) Với \(m = 1\) ta có:
\(y' = - 7{x^2} - 4x + 3\)\( \Rightarrow y'' = - 14x - 4\) \( \Rightarrow y''( - 1) = 10 > 0\)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\) (loại).
Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = - 1\) khi \(m = - 3\).
Cho hàm số: \(y = \dfrac{1}{4}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 5\). Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3}-6{x^2} + m = 0\;\) có \(3\) nghiệm thực phân biệt.
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\({x^3} - 6{x^2} + m = 0\, \Leftrightarrow \frac{1}{4}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 5 \)
\(= \frac{{ - m}}{4} + 5\,\,( * )\)
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đường thẳng \(y = - \frac{m}{4} + 5\) và đồ thị (C).
Từ đồ thị hàm số, ta có:
Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}
- \frac{m}{4} + 5 < 5\\
- \frac{m}{4} + 5 > - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 32\) thì phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt.
Cho hàm số: \(y = \dfrac{1}{4}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 5\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Câu trả lời của bạn
Tập xác định:\(D = \mathbb{R}\),
* Chiều biến thiên:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)
+) \(y' = \dfrac{3}{4}{x^2} - 3x\);
\(y' = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{3}{4}{x^2} - 3x = 0 \) \(\Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 12x}}{4} = 0 \) \( \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x\left( {x - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0),(4; + \infty )\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = 5\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4,{y_{CT}} = - 3\).
Bảng biên thiên:
* Đồ thị:
+) Đồ thị đi qua các điểm \(A\left( { - 2; - 3} \right);B\left( {6;5} \right)\) và cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;5} \right)\).
+) \(y'' = \dfrac{3}{2}x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 1\) suy ra điểm uốn \(U\left( {2;1} \right)\).
+) Vẽ đồ thị:
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *